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绵阳市高一数学上学期期末考试试题及答案详解


绵阳市高一数学上学期期末考试试题
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.若 sin ?? ? ? ? ? A.第一象限

4 ?? ? 3 ,sin ? ? ? ? ? ,则 ? 角的终边在 5 ?2 ? 5
B.第二象限 C.第三象限

( D.第四象限 ( D. 8 ? k ( D. 2 ? 2
a b



? ? ? ? ? ? ? 2.若 a ? (1, 2) , b ? (4, k ) , c ? 0 ,则 ( a ? b)c ?
A. 0 B. 0



?

C. 4 ? 2k

3.已知 a, b 为非零实数,且 a ? b ,则下列不等式一定成立的是 A. a 2 ? b 2 B.



1 1 ? a b

C. | a |?| b |

? ? ? ? ? ( a ? a )b ? ? ? ? ? ? 4.若向量 a 与 b 不共线, a ? b ? 0 ,且 c ? a ? ? ? ,则向量 a 与 c 的夹角为( a ?b
A.



π 2

B.

π 6

C.

π 3

D.0 ( )

5.若 a ≥ 0, b ≥ 0 ,且 a ? b ? 2 ,则下列不等式一定成立的是

A. ab ≤

2 2

B. ab ≥

1 2

C. a ? b ≤ 2
2 2

D. a ? b ≥ 2
2 2

6.函数 y ? 2sin ? x cos ? x (? ? 0) 的最小正周期为 ? ,则函数 f ( x) ? 2sin(? x ? 一个单调增区间是 A. [ ? , ] ( B. [ ,??

? )的 2


? ? 2 2

? 2

C. [ ?, ]

?? 2

D. [0, ]

? 2

7.已知函数 f ( x) ? tan(2 x ? b? ) 的图象的一个对称中心为 ( 解析式为

? 1 , 0) ,若 | b |? ,则 f ( x ) 的 3 2
( )

? ) 3 ? ? C. tan(2 x ? ) 或 tan(2 x ? ) 6 3
A. tan(2 x ?

B. tan(2 x ?

? ) 6 ? ? D. tan(2 x ? ) 或 tan(2 x ? ) 6 3

8.已知偶函数 f ( x ) 满足: f ( x) ? f ( x ? 2) ,且当 x ? [0,1] 时, f ( x) ? sin x ,其图象与 直线 y ?

???? ? ???? ? 1 在 y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为 P , P ? , 则 P P ? P P ( ) 1 2 1 3 2 4 等于 2

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A. 2
2

B. 4
2

C. 8

D.16 ( )

9.设 m, x ? R , M ? x ? 2mx ? 2m , N ? x ? 2 ,则 M , N 的关系为 A. M ? N B. M ? N C. M ≥ N D. M ≤ N

10.设 S 是 ?ABC 的面积, A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 2S sin A ? ( BA ? BC )sin B , 则 A. ?ABC 是钝角三角形 C. ?ABC 可能为钝角三角形,也可能为锐角三角形 ( B. ?ABC 是锐角三角形 D.无法判断 )

??? ? ??? ?

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.在平行四边形 ABCD 中,若 AB ? (2, 4) , AC ? (1,3) ,则 AD ? ____. (用坐标表示) 12.已知三点 A(1, 2), B (2, ?1), C (2, 2) , E , F 为线段 BC 的三等分点,则 AE ? AF = 13. 若函数 f ( x ) ?

??? ?

????

????

??? ? ??? ?



x ( x ≥ 1) 能用均值不等式求最大值, 则需要补充 a 的 x ? 2( a ? 2) x ? 3a
2

取值范围是_________. 14.已知关于 x 的方程 sin x ? cos x ? a 与 tan x ? cot x ? a 的解集都是空集,则实数 a 的取 值范围是______. 15.已知实数 a 、 b 、c 满足条件 ab ? bc ? ca ? 1 ,给出下列不等式: ① a b ? b c ? c a ≥ 1 ;②
2 2 2 2 2 2

1 ≥ 2 3 ;③ (a ? b ? c)2 ? 2 ; abc

④ a bc ? ab c ? abc ≤
2 2 2

1 ; 3

其中一定成立的式子有_________.

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答题卡
题号 答案 题号 答案 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 16. (本小题满分 12 分)解关于 x 的不等式: log a ( x ? 4 x ? 3) ? log a (? x ? 1), ( a ? 0, 且
2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

a ? 1) .

17. (本小题满分 12 分)已知向量 OA ? (3, ?4), OB ? (6, ?3), OC ? (5 ? x, ?3 ? y ) . (Ⅰ)若点 A, B, C 能构成三角形,求 x, y 满足的条件; (Ⅱ)若 ?ABC 为等腰直角三角形,且 ?B 为直角,求 x, y 的值.

??? ?

??? ?

????

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18. (本小题满分 12 分)若将函数 f ( x) ? sin x 的图象按向量 a ? ( ?? , ?3) 平移后得到函数

?

g ( x) 的图象.
(Ⅰ)求函数 g ( x) 的解析式;

(Ⅱ)求函数 F ( x ) ? f ( x ) ?

1 的最小值. g ( x)

19. (本小题满分 12 分)在 △ ABC 中, cos A ? (Ⅰ)求角 C 的大小;

4 17 3 , tan B ? . 17 5

(Ⅱ)若 △ ABC 最大边的边长为 17 ,求最小边的边长.

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20. (本小题满分 13 分) “ 5 ?12 ”汶川大地震中,受灾面积大,伤亡惨重,医疗队到达后, 都会选择一个合理的位置,使伤员能在最短的时间内得到救治。设有三个乡镇,分别位于一 个矩形 ABCD 的两个顶点 A, B 及 CD 的中点 P 处, AB ? 10km , BC ? 5km ,现要在该 矩形的区域内(含边界) ,且与 A, B 等距离的一点 O 处建造一个医疗站,记 O 点到三个乡 镇的距离之和为 y . (Ⅰ)设 ?BAO ? ? (rad ) ,将 y 表示为 ? 的函数; (Ⅱ)试利用(Ⅰ)的函数关系式确定医疗站的位置,使三 个乡镇到医疗站的距离之和最短. A O B D P C

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21. (本小题满分 14 分)已知 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c . (Ⅰ)证明:不论 x 取何值总有 b 2 x 2 ? (b 2 ? c 2 ? a 2 ) x ? c 2 ? 0 ; (Ⅱ)证明:

c ?1 a ? b ?1 ? ; a ? b ? c ? 1 2(a ? b) ? 1 1 1 1 ? ? . a ? b ? c ? 1 (c ? 1)(a ? b ? 1) 6

(Ⅲ)若 c ≥ 2 ,证明:

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绵阳市高一数学期末考试试题答案解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.若 sin ?? ? ? ? ? A.第一象限

4 ?? ? 3 ,sin ? ? ? ? ? ,则 ? 角的终边在( D ) 5 ?2 ? 5
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

4 3 [提示]:? sin ? ? ? ? 0, cos ? ? ? 0 ,∴ ? 角的终边在第四象限. 5 5 ? ? ? ? ? ? ? 2.若 a ? (1, 2) , b ? (4, k ) , c ? 0 ,则 ( a ? b)c ? ( B )
A. 0 B. 0

?

C. 4 ? 2k

D. 8 ? k

[提示]:? ( a ? b) c ? 0 . 3.已知 a, b 为非零实数,且 a ? b ,则下列不等式一定成立的是( D ) A. a ? b
2 2

? ? ?

?

B.

1 1 ? a b

C. | a |?| b |
x

D. 2 ? 2

a

b

[提示]:不知 a, b 的正负,A ,B ,C 都不能确定,而函数 y ? 2 单调递增.

? ? ? ? ? ( a ? a )b ? ? ? ? ? ? 4.若向量 a 与 b 不共线, a ? b ? 0 ,且 c ? a ? ? ? ,则向量 a 与 c 的夹角为( A ) a ?b
A.

? ? ? ? ? ? ( a ? a )b ? a ? ?a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ?b ? a ? a ? a ?a a?c ? ? ? ? ? [提示]:设向量 a 与 c 的夹角为 ? , cos ? ? ? ? ? ? ? 0. | a |?| c | | a |?| c | | a |?|c |
5.若 a ? 0, b ? 0 ,且 a ? b ? 2 ,则下列不等式一定成立的是(D)

π 2

B.

π 6

C.

π 3

D.0

A. ab ?

2 2

B. ab ?

1 2

C. a 2 ? b 2 ? 2

D. a 2 ? b 2 ? 2

[提示]:? ab ?

a?b a 2 ? b2 2 2 ? ,∴ a ? b ? 2 . 2 2

6.函数 y ? 2sin ? x cos ? x (? ? 0) 的最小正周期为 ? ,则函数 f ( x) ? 2sin(? x ? 一个单调增区间是(C)

? )的 2

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A. [ ? , ]

? ? 2 2

B. [ ,??

? 2

C. [ ?, ]

?? 2

D. [0, ]

? 2

[提示]: ? y ? 2sin ? x cos ? x ? sin 2? x, (? ? 0) . ∴ ? ? 1, f ( x ) ? 2sin( x ? 在 [ ?, ] 上单调递增. 7.已知函数 f ( x) ? tan(2 x ? b? ) 的图象的一个对称中心为 ( 解析式为(D)

? ) ? 2cos x , 2

?? 2

? 1 , 0) ,若 | b |? ,则 f ( x ) 的 3 2

? ? ) B. tan(2 x ? ) 3 6 ? ? ? ? C. tan(2 x ? ) 或 tan(2 x ? ) D. tan(2 x ? ) 或 tan(2 x ? ) 6 3 6 3 ? k? 2 k 1 1 1 [提示]:? 2 ? ? b? ? , ∴ b ? ? ,(k ? Z ) ,又 | b |? ,∴ k ? 1, 2 ,b ? ? 或 . 3 2 3 2 2 3 6
A. tan(2 x ? 8.已知偶函数 f ( x ) 满足: f ( x) ? f ( x ? 2) ,且当 x ? [0,1] 时, f ( x) ? sin x ,其图象与

???? ? ???? ? 1 在 y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为 P 则P ( B ) 1, P 2?, 1P 3?P 2P 4 等于 2 A. 2 B. 4 C. 8 D.16 ???? ? ???? ? [提示]:依题意 P 1, P 2, P 3, P 4 四点共线, P 1P 3 与P 2P 4 同向,且 P 1与P 3,P 2与P 4 的横坐标都
直线 y ? 相差一个周期,所以 | PP 1 3 |? 2 , | P 2P 4 |? 2 , P 1P 3?P 2P 4 ?| P 1P 3 || P 2P 4 |? 4 . 9.设 m, x ? R , M ? x ? 2mx ? 2m , N ? x ? 2 ,则 M , N 的大小关系为 A. M ? N B. M ? N
2 2 2 2

???? ?

???? ?

???? ? ???? ?

???? ? ???? ?

( A )

C. M ? N
2

D. M ? N
2

[提示]:? M ? N ? x ? (2m ? 1) x ? 2m ? 2 , ? ? (2m ? 1) ? 4(2m ? 2) ?

?(2m ? 1)2 ? 6 ? 0 ,所以当 x ? R 时, M ? N ? x 2 ? (2m ? 1) x ? 2m 2 ? 2 ? 0 .
10.设 S 是 ?ABC 的面积, A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 2S sin A ? ( BA ? BC )sin B , 则 (A) A. ?ABC 是钝角三角形 C. ?ABC 可能为钝角三角形,也可能为锐角三角形 [提示]:? 2 S sin A ? ( BA ? BC ) sin B ,∴ 2a ? ∴ ?B 为锐角, sin A ? cos B ? sin(

??? ? ??? ?

B. ?ABC 是锐角三角形 D.无法判断

??? ? ??? ?

1 bc sin A ? b ? ca cos B ,∴ sin A ? cos B , 2

? ? B) ,若 ?A 为钝角,且满足上式,则 ?ABC 是钝 2 ? ? ? 角三角形,若 ?A 为锐角,则 A ? ? B,? A ? B ? , C ? , ?ABC 是钝角三角形. 2 2 2
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.在平行四边形 ABCD 中,若 AB ? (2, 4) , AC ? (1,3) ,则 AD ? ____. (用坐标表示)

??? ?

????

????

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[提示]:? AB ? DC ? (2, 4) ,∴ AD ? AC ? DC ? (1,3) ? (2, 4) ? ( ?1, ?1) . 12. 已知三点 A(1, 2), B (2, ?1), C (2, 2) , E , F 为线段 BC 的三等分点, 则 AE ? AF = [提示]:? B(2, ?1), C (2, 2) , E , F 为线段 BC 的三等分点,∴ E (2, 0), F (2,1) ,

??? ?

????

????

???? ????

??? ? ??? ?

3.

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AE ? (1, ?2), AF ? (1, ?1) ,∴ AE ? AF ? 1 ? 2 ? 3 .
13. 若函数 f ( x ) ?

x ( x ? 1) 能用均值不等式求最大值,则需要补充 a 的 x ? 2( a ? 2) x ? 3a
2

1 _____. 3 x 1 [提示]: ,x ? 1 , 该式能用均值不等式求最大值, ? 2 ? x ? 2( a ? 2) x ? 3a x ? 3a ? 2( a ? 2) x 3a 3a 1 2 则 ? 0, 且 x ? ,∴ 3a ? x ? 1, ∴ a ? . x x 3 14.已知关于 x 的方程 sin x ? cos x ? a 与 tan x ? cot x ? a 的解集都是空集,则实数 a 的取
取值范围是____ a ? 值范围是____ ( ?2, ? 2) ? ( 2, 2) __. [提示]:? a ? sin x ? cos x ?

? 2 sin( x ? ) ? [ ? 2, 2] ,又其解集为空集,∴ a ? (??, 4

? 2) ? ( 2, ??) , 当 tan x ? 0 时, 当 tan x ? 0 时, a ? tan x ? cot x ? 2 tan x ? cot x ? 2 ,
a ? tan x ? cot x ? ?2 , ∴ a ? (??, ?2] ? [2, ??) , 又其解 集为 空集, ∴ a ? (?2, 2) ,

a ? (?2, ? 2) ? ( 2, 2) .
15.已知实数 a 、 b 、c 满足条件 ab ? bc ? ca ? 1 ,给出下列不等式: ① a b ? b c ? c a ? 1; ②
2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 2 2 ?2 3; ③ ( a ? b ? c) ? 2 ; ④ a bc ? ab c ? abc ? ; abc 3

其中一定成立的式子有__③④_______. [提示]:当 a ? b ? c ?

3 时排除①; a ? 2 , b ? 3 , c ? ?1 时排除②;而 ( a ? b ? c) 2 3

? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2(ab ? bc ? ca) ? 3(ab ? bc ? ca ) ? 3 ? 2 ,∴③成立; (ab ? bc ? ca) 2 ? 3[(ab)(bc) ? (bc)(ca ) ? (ca )(ab)] ? 3(a 2bc ? ab 2c ? abc 2 ) ,∴④成立.

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三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 16. (本小题满分 12 分)解关于 x 的不等式: log a ( x ? 4 x ? 3) ? log a (? x ? 1), ( a ? 0, 且
2

a ? 1) .
[解答]:由 x 2 ? 4 x ? 3 ? 0, ? x ? 1 ? 0 ,得 x ? 1 ,所以依对数的性质有: 当 a ? 1 时, x 2 ? 4 x ? 3 ? ? x ? 1,? x 2 ? 3 x ? 2 ? 0,?1 ? x ? 2 ,又 x ? 1 ,此时不等式无解; 当 0 ? a ? 1 时, x 2 ? 4 x ? 3 ? ? x ? 1,? x 2 ? 3 x ? 2 ? 0,? x ? 2 或 x ? 1 ,又 x ? 1 ,? x ? 1 , 综上:当 a ? 1 时,不等式无解;当 0 ? a ? 1 时,不等式的解集为 ? x | x ? 1? . 17. (本小题满分 12 分)已知向量 OA ? (3, ?4), OB ? (6, ?3), OC ? (5 ? x, ?3 ? y ) . (Ⅰ)若点 A, B, C 能构成三角形,求 x, y 满足的条件; (Ⅱ)若 ?ABC 为等腰直角三角形,且 ?B 为直角,求 x, y 的值. [解答]: (Ⅰ) 若点 A, B, C 能构成三角形,则这三点不共线,? AB ? (3,1),

??? ?

??? ?

????

??? ?

???? AC ? (2 ? x,1 ? y ), ∴ 3(1 ? y ) ? 2 ? x , ∴ x, y 满足的条件为 3 y ? x ? 1 (若根据点 A, B, C
能构成三角形,必须 | AB | ? | BC |?| AC | ,相应给分) ; (Ⅱ) ? AB ? (3,1), BC ? (? x ? 1, ? y ) , 若 ?B 为直角, 则 AB ? BC , ∴ 3(? x ? 1) ? y ? 0 , 又 | AB |?| BC | ,∴ ( x ? 1) ? y ? 10 ,再由 y ? 3(? x ? 1) ,解得 ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

2

2

?x ? 0 ? x ? ?2 或? . ? y ? ?3 ? y ? 3

18. (本小题满分 12 分)若将函数 f ( x) ? sin x 的图象按向量 a ? ( ?? , ?3) 平移后得到函数

?

g ( x) 的图象.
(Ⅰ)求函数 g ( x) 的解析式;

(Ⅱ)求函数 F ( x ) ? f ( x ) ?

1 的最小值. g ( x)
?

[解答]: (Ⅰ)设 P( x, y ) 是函数 f ( x) ? sin x 的图象上任意一点,按向量 a ? ( ?? , ?3) 平移

? x' ? x ? ? ? x ? x' ? ? ? ? 后在函数 g ( x) 的图象上的对应点为 P ( x , y ) ,则: ? ' ,∴ ? ,即 ' ? ? ?y ? y ?3 ?y ? y ? 3
' ' '

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y ' ? 3 ? sin( x ? ? ) ,所以函数 g ( x ) ? ? sin x ? 3 ;
(Ⅱ)? F ( x ) ? f ( x ) ?

1 1 1 ? sin x ? ? sin x ? 3 ? ? 3 ,令 t ? sin x ? g ( x) sin x ? 3 sin x ? 3

1 1 3 ? [2, 4] ,而函数 ? (t ) ? t ? 在 [2, 4] 上是增函数,所以当 t ? 2 时, ? (t )min ? 2 ? ,即 t 2 1 当 sin x ? ?1 时, F ( x ) min ? ? . 2
19. (本小题满分 12 分)在 △ ABC 中, cos A ? (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 △ ABC 最大边的边长为 17 ,求最小边的边长.

4 17 3 , tan B ? . 17 5

[解答]: (Ⅰ) ? C ? π ? ( A ? B) ,cos A ?

4 17 1 , ? tan A ? ? tan C ? ? tan( A ? B) ? 17 4

1 3 ? 3 ? 4 5 ? ?1 .又? 0 ? C ? π ,? C ? π ; 1 3 4 1? ? 4 5
(Ⅱ)? C ?

3 ? ?? ? ,? AB 边最大,即 AB ? 17 .又? tan A ? tan B,A,B ? ? 0, ? , 4 ? ??

? 角 A 最小, BC 边为最小边.? cos A ?
BC ? AB

4 17 17 AB BC ,? sin A ? .由 ? 得: 17 17 sin C sin A

sin A ? 2 ,所以,最小边 BC ? 2 . sin C 20. (本小题满分 13 分) “ 5 ?12 ”汶川大地震中,受灾面积大,伤亡惨重,医疗队到达后,
都会选择一个合理的位置,使伤员能在最短的时间内得到救治。设有三个乡镇,分别位于一 个矩形 ABCD 的两个顶点 A, B 及 CD 的中点 P 处, AB ? 10km , BC ? 5km ,现要在该 矩形的区域内(含边界) ,且与 A, B 等距离的一点 O 处建造一个医疗站,记 O 点到三个乡 镇的距离之和为 y . (Ⅰ)设 ?BAO ? ? (rad ) ,将 y 表示为 ? 的函数; (Ⅱ)试利用(Ⅰ)的函数关系式确定医疗站的位置,使三 个乡镇到医疗站的距离之和最短. [解答]: (Ⅰ)如图,延长 PO 交 AB 于点 Q ,由题设可知 A O B D P C

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1 AB ? 5 , AO ? BO , PO ? 5 ? OQ ,在 Rt ?ABC 中, 2 5 10 ? AO ? , OQ ? 5 tan ? ,? y ? AO ? BO ? PO ? ? 5 ? 5 tan ? ,又? 0 ? ? ? , cos ? cos ? 4 10 ? ?y ? ? 5 tan ? ? 5, (0 ? ? ? ) ; cos ? 4 10 2 ? sin ? 2 ? sin ? ? (Ⅱ)? y ? ? 5 tan ? ? 5 ? 5 ? ? 5 ,令 u ? , 0 ? ? ? ,则 cos ? cos ? cos ? 4 BQ ? AQ ?

u cos ? ? sin ? ? 2,? u 2 ? 1sin(? ? ? ) ? 2, (tan ? ? u ) ,? sin(? ? ? ) ?
? u ? 3 或 u ? ? 3 (舍) ,当 u ? 3 时, ? ?
站的位置 O 满足 ? ? 站的距离之和最短. 21. (本小题满分 14 分)已知 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c . (Ⅰ)证明:不论 x 取何值总有 b x ? (b ? c ? a ) x ? c ? 0 ; (Ⅱ)证明:
2 2
2 2 2 2

2 u2 ?1

? 1,

? ? ? , ? ? ? [0, ] ,所以 y 最小,即医疗 3 6 4

? 10 3 5 3 , AO ? BO ? km, PO ? 5 ? km ,可使得三个乡镇到医疗 6 3 3

c ?1 a ? b ?1 ? ; a ? b ? c ? 1 2(a ? b) ? 1 1 1 1 ? ? . a ? b ? c ? 1 (c ? 1)(a ? b ? 1) 6
2 2 2 2 2

(Ⅲ)若 c ? 2 ,证明:

[解答]: (Ⅰ)令 y ? b x ? (b ? c ? a ) x ? c ,由余弦定理 b ? c ? a ? 2bc cos A ,

2

2

2

2

? ? ? (b 2 ? c 2 ? a 2 )2 ? 4b 2 c 2 ? 4b 2 c 2 cos 2 A ? 4b 2 c 2 ? 4b 2c 2 (cos2 A ? 1) ,在三角形中
cos2 A ? 1 ,?? ? 0 ,再由 b 2 ? 0 得:不论 x 取何值总有 b 2 x 2 ? (b 2 ? c 2 ? a 2 ) x ? c 2 ? 0 ;
(Ⅱ) 要证

c ?1 a ? b ?1 ? , 即证 [2(a ? b) ? 1](c ? 1) ? (a ? b ? 1)(a ? b ? c ? 1) , a ? b ? c ? 1 2(a ? b) ? 1

整理得: a 2 ? b 2 ? 2ab ? ac ? bc ? 0 ,亦即证: (a ? b)(a ? b ? c) ? 0 ,因为在三角形中

a ? b ? c,? a ? b ? c ? 0 ,所以 (a ? b)(a ? b ? c) ? 0 成立,则原不等式成立;
(Ⅲ)由(Ⅱ)得:

1 1 1 ? c ?1 1 ? ? ? ? ? a ? b ? c ? 1 (c ? 1)(a ? b ? 1) c ? 1 ? a ? b ? c ? 1 a ? b ? 1 ? ?

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?

a ? b ?1 1 1 ? a ? b ?1 1 ? t ?1 ? ? ,令 t ? a ? b ,则 ? ? ? ? 2(a ? b) ? 1 a ? b ? 1 2t ? 1 c ? 1 ? 2(a ? b) ? 1 a ? b ? 1 ?

1 t2 1 1 1 ? a ? b ?1 1 ? 1 1 1 ? 2 ? ? , 所以 ? ? ? ? , ? ? t ? 1 2t ? 3t ? 1 2 ? ( 3 ? 1 ) 2 c ? 1 ? 2(a ? b) ? 1 a ? b ? 1 ? c ? 1 2 6 t t2
即原不等式成立.

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