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北师大版高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》


北师大版高中数学选修 2-1 第二章《空间向量与立体几何》

第一课时

平面向量知识复习

一、教学目标:复习平面向量的基础知识,为学习空间向量作准备 二、教学重点:平面向量的基础知识。 三、教学方法:探究归纳,讲练结合 四、教学过程 (一) 、基本概念 向量、向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量、

相反向量、向量的加法、向 量的减法、实数与向量的积、向量的坐标表示、向量的夹角、向量的数量积。 (二) 、基本运算 1、向量的运算及其性质 运算类型 向 量 1 平行四边形法则
王新敞
奎屯 新疆

教学难点:运用向量知识解决具体问题

几何方法

坐标方法

运算性质

a?b ?b?a

的 2 三角形法则
王新敞
奎屯 新疆

a?b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c)

加 法 向 量 的 减 法 向 量 的 乘 法 向 量 1 ? a 是一个向量,满足:
王新敞
奎屯 新疆

AB ? BC ? AC

a ? b ? a ? (?b)
三角形法则

a?b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )

AB ? ? BA

OB ? OA ? AB

? (?a) ? (?? )a
?a ? (?x, ?y)
(? ? ? )a ? ?a ? ?a

2 ? >0 时, ? a 与 a 同向;
王新敞
奎屯 新疆

? <0 时, ? a 与 a 异向; ? =0 时, ? a =0
a ? b 是一个数
1 a ? 0 或 b ? 0 时,
王新敞
奎屯 新疆

? (a ? b) ? ?a ? ?b
a ∥ b ? a ? ?b
a?b ? x1 x2 ? y1 y2
-1-

王新敞
奎屯

新疆

a?b ? b?a

(?a) ? b ? a ? (?b) ? ? (a ? b)

的 数 量 积
王新敞
奎屯 新疆

a ? b =0
2 a ? 0 且 b ? 0 时,

(a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c

a ? b ?| a || b | cos(a, b)

a 2 ?| a |2 | a |? x 2 ? y 2
| a ? b |?| a || b |

2、平面向量基本定理:
? ? ? 如果 e1 , e 2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量 a ,有且只有一对实数

?1 , ? 2 ,使 a ?
注意 OP ?



1 (OA ? OB) , OP ? ?OA ? (1 ? ? )OA 的几何意义 2
; (向量表示) ; (坐标表示) ; (向量表示) ; (坐标表示)

3、两个向量平行的充要条件: ⑴ a // b 的充要条件是: ⑵ 若 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y 2 ) ,则 a // b 的充要条件是: 4、两个非零向量垂直的充要条件: ⑴ a ? b 的充要条件是: ⑵ 若 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y 2 ) ,则 a ? b 的充要条件是: (三) 、课堂练习

?

?

?

?

1.O 为平面上的定点,A、B、C 是平面上不共线的三点,若( OB - OC )·( OB + OC -2 OA )=0,则 ?ABC 是( ) A.以 AB 为底边的等腰三角形 C.以 AB 为斜边的直角三角形 B.以 BC 为底边的等腰三角形 D.以 BC 为斜边的直角三角形

2.P 是△ABC 所在平面上一点,若 PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA ,则 P 是△ABC 的( ) A.外心 B.内心
? ??

C.重心
? ??
? ??

D.垂心 )

3.在四边形 ABCD 中, AB = DC ,且 AC · BD =0,则四边形 ABCD 是( A. 矩形 B. 菱形 C.直角梯形 D.等腰梯形

? ??

4.已知 | p |? 2 2 , | q |? 3 , p 、 q 的夹角为 45 ? ,则以 a ? 5 p ? 2q , b ? p ? 3q 为邻边的平行四边形的一 条对角线长为( A. 15 ) B. 15 C. 14 D. 16

5.O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足 OP ? OA ? ? (

AB | AB |

?

AC | AC |

),

? ?[0,?? ) 则 P 的轨迹一定通过△ABC 的(

)
-2-

A.外心 (四) 、作业布置

B.内心

C.重心

D.垂心

1.设平面向量 a =(-2,1), b =(λ ,-1),若 a 与 b 的夹角为钝角,则 λ 的取值范围是( A. (? ,2) ? (2,??) 2.若 a ? ?2,3?,



1 2

B. (2,?? )

C. (? ,?? )

1 2

D. (??,? ) 。 .

1 2

b ? ?? 4,7?, a ? c ? 0, 则c在b方向上的投影为

3.向量 OA ? (k ,1), OB ? (4,5), OC ? (?k ,10) ,且 A,B,C 三点共线,则 k=

4.在直角坐标系 xoy 中,已知点 A(0,1)和 点 B(-3,4),若点 C 在∠AOB 的平分线上且| OC |=2,则 OC = 5.在 ?ABC 中,O 为中线 AM 上一个动点,若 AM=2,则 OA ? (OB ? OC) 的最小值是__________。 (五) 、教后反思:

第二课时

空间向量及其运算(一)

一、教学目标:1、知识目标:⒈空间向量;⒉相等的向量;⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律;2、 能力目标: (1)理解空间向量的概念,掌握其表示方法; (2)会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向 量及它们的运算律; (3)能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题.3、德育目标: 学会用发展的眼光看问题,认识到事物都是在不断的发展、进化的,会用联系的观点看待事物. 二、教学重点:空间向量的加减与数乘运算及运算律.教学难点:应用向量解决立体几何问题. 三、教学方法:讨论式. 四、教学过程 (Ⅰ) 、复习引入[师]在必修四第二章《平面向量》中,我们学习了有关平面向量的一些知识,什么叫 做向量?向量是怎样表示的呢? [生]既有大小又有方向的量叫向量.向量的表示方法有:①用有向线段表示;②用字母 a、b 等表 示;③用有向线段的起点与终点字母: AB . [师]数学上所说的向量是自由向量,也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平 移,由此我们可以得出向量相等的概念,请同学们回忆一下. [生]长度相等且方向相同的向量叫相等向量. [师] 学习了向量的有关概念 以后, 我们学习了向量的加减以及 数乘向量运算:

-3-

⒈向量的加法: ⒉向量的减法: ⒊实数与向量的积:实数 λ 与向量 a 的积是一个向量,记作 λ a,其长度和方向规定如下:(1)|λ a|= |λ ||a|;(2)当 λ >0 时,λ a 与 a 同向;当 λ <0 时,λ a 与 a 反向; 当 λ =0 时,λ a=0. [师]关于向量的以上几种运算,请同学们回忆一下,有哪些运算律呢? [生]向量加法和数乘向量满足以下运算律:加法交换律:a+b=b+a;加法结合律:(a+b)+c=a+(b +c) ;数乘分配律:λ (a+b)=λ a+λ b [师]今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上,类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向 等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率,并进行一些简单的应用.请同学们阅读 课本 P26~P27. (Ⅱ)新课探究: [师]如同平面向量的概念,我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量.例如空间的 一个平移就是一个向量.那么我们怎样表示空间向量呢?相等的向量又是怎样表示的呢? [生]与平面向量一样,空间向量也用有向线段表示,并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相 等的向量. [师]由以上知识可知,向量在空间中是可以平移的.空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条 有向线段表示.因此我们说空间任意两个向量是共面的. [师]空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢? [生]空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样:

OB ? OA ? AB =a+b,
(指向被减向量) , AB ? OB ? OA

OP ? λ a (? ? R)
[师]空间向量的加法与数乘向量有哪些运算律呢?请大家验证这些运算律. [生]空间向量加法与数乘向量有如下运算律: ⑴加法交换律:a + b = b + a; ⑵加法结合律:(a + b) + c =a + (b + c); (课件验证) ⑶数乘分配律:λ (a + b) =λ a +λ b.

[师]空间向量加法的运算律要注意以下几点: ⑴首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向 量.即: A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An?1 An ? A1 An
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因此,求空间若干向量之和时,可通过平移使它们转化为首尾相接的向量. ⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形,则它们的和为零向量.即:

A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An?1 An ? An A1 ? 0 .⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成
立.因此,求始点相同的两个向量之和时,可以考虑用平行四边形法则. 例1已知平行六面体 ABCD ? A' B' C ' D' (如图) ,化简下列向量表达式,并标出化简结果的向量:

⑴AB ? BC; ⑵AB ? AD ? AA';

1 ⑶ AB ? AD ? CC ' 2
1 ⑷ ( AB ? AD ? AA' ). 3
说明:平行四边形 ABCD 平移向量 a 到 A’B’C’D’的轨迹所形成的几何体,叫做平行六面体.记作

ABCD—A’B’C’D’.平行六面体的六个面都是平行四边形,每个面的边叫做平行六面体的棱.解: (见
课本 P27)说明:由第 2 小题可知,始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和,等于以这三个向量为棱 的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量,这是平面向量加法的平行四边形法则向空间的 推广. (Ⅲ) 、课堂练习:课本 P27 练习 (Ⅳ) 、课时小结:平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移,而空间向量研究的是空间的 平移,它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度” ,空间的平移包含平面的平 移.关于向量算式的化简,要注意解题格式、步骤和方法. (Ⅴ) 、课后作业:⒈课本习题 2-1A 组中 3、4;B 组中 1 ⒉预习课本 P92~P96, 预习提纲: ⑴怎样的向量叫做共线向量?⑵两个向量共线的充要 条件是什么?⑶空间中点在直线上的充要条件是什么?⑷什么叫做空间直线的向量参数表示式?⑸怎样 的向量叫做共面向量?⑹向量 p 与不共线向量 a、b 共面的充要条件是什么?⑺空间一点 P 在平面 MAB 内 的充要条件是什么? 五、教后反思: 第三课时 空间向量及其运算(二)

一、教学目标:1.理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论;2.掌握空间直线、空间平面的向量 参数方程和线段中点的向量公式. 二、教学重、难点:共线、共面定理及其应用.
-5-

三、教学方法:探究归纳,讲练结合 四、教学过程 (一)复习: 1.空间向量的概念及表示;2、加减与数乘向量及运算律。 (二)新课探析 1.共线(平行)向量: 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量。读 作: a 平行于 b ,记作: a // b . 2.共线向量定理: 对空间任意两个向量 a, b (b ? 0), a // b 的充要条件是存在实数 ? ,使 a ? ?b ( ? 唯一) . 推论:如果 l 为经过已知点 A ,且平行于已知向量 a 的直线,那么对任一点 O ,点 P 在直线 l 上的充要条 件是存在实数 t ,满足等式 OP ? OA ? t AB ①,其中向量 a 叫做直线 l 的方向向量。在 l 上取 AB ? a ,则 ①式可化为 OP ? OA ? t AB 或 OP ? (1 ? t )OA ? tOB ② 当t ?
a P B A

l

1 1 时,点 P 是线段 AB 的中点,此时 OP ? (OA ? OB) ③ 2 2

①和②都叫空间直线的向量参数方程,③是线段 AB 的中点公式.
O

3.向量与平面平行: 已知平面 ? 和向量 a ,作 OA ?a ,如果直线 OA 平行于 ? 或在 ? 内,那么我们说向量 a 平行于平面

? ,记作: a // ? .
通常我们把平行于同一平面的向量,叫做共面向量. 说明:空间任意的两向量都是共面的. 4.共面向量定理:

a a

?

如果两个向量 a, b 不共线, p 与向量 a, b 共面的充要条件是存在实数 x, y 使 p ? xa ? yb . 推论:空间一点 P 位于平面 MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对 x , y ,使 M P ?xM A ? yM B 或对空间任一点 O ,有 OP ? OM ? xMA ? yMB ① 上面①式叫做平面 MAB 的向量表达式. (三)例题分析:

-6-

例 1.已知 A, B, C 三点不共线,对平面外任一点,满足条件 OP ?

1 2 2 OA ? OB ? OC ,试判断:点 P 与 5 5 5

A, B, C 是否一定共面?
解:由题意: 5OP ? OA ? 2OB ? 2OC ,∴ (OP ? OA) ? 2(OB ? OP) ? 2(OC ? OP) , ∴ AP ? 2PB ? 2PC ,即 PA ? ?2PB ? 2PC ,所以,点 P 与 A, B, C 共面. 说明: 在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候, 首先要选择恰当的充要条件形式, 然后对照形式将已知条件进行转化运算. 【练习】 :对空间任一点 O 和不共线的三点 A, B, C ,问满足向量式 OP ? xOA ? yOB ? zOC (其中

x ? y ? z ? 1 )的四点 P, A, B, C 是否共面?
解:∵ OP ? (1 ? z ? y)OA ? yOB ? zOC , ∴ OP ? OA ? y(OB ? OA) ? z(OC ? OA) , ∴ AP ? y AB ? z AC ,∴点 P 与点 A, B, C 共面. 例 2.已知

O
D
A B

ABCD ,从平面 AC 外一点 O 引向量
H
E

C
G
F

OE ? kOA, OF ? KOB, OG ? kOC, OH ? kOD ,
(1)求证:四点 E , F , G, H 共面; (2)平面 AC // 平面 EG . 解: (1)∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AC ? AB ? AD , ∵ EG ? OG ? OE ,

? k ? OC ? k ? OA ? k (OC ? OA) ? k AC ? k ( AB ? AD) ? k (OB ? OA ? OD ? OA) ? OF ? OE ? OH ? OE ? EF ? EH
(2)∵ EF ? OF ? OE ? k (OB ? OA) ? k ? AB ,又∵ EG ? k ? AC , ∴ EF // AB, EG // AC 所以,平面 AC // 平面 EG . ∴ E , F , G, H 共面;

(四) 、课堂练习:课本第 31 页练习第 2、3、4 题. (五) 、课堂小结:1.共线向量定理和共面向量定理及其推论; 2.空间直线、平面的向量参数方程和线段中点向量公式. (六) 、作业 1.已知两个非零向量 e1 , e2 不共线,如果 AB ? e1 ? e2 , AC ? 2e1 ? 8e2 , AD ? 3e1 ? 3e2 ,
-7-

求证: A, B, C , D 共面. 2.已知 a ? 3m ? 2n ? 4 p, b ? ( x ? 1)m ? 8n ? 2 yp , a ? 0 ,若 a // b ,求实数 x , y 的值。 3.如图, E , F , G, H 分别为正方体 AC1 的棱 A1B1 , A1D1 , B1C1 , D1C1 的中点,求证: (1) E , F , D, B 四 点共面; (2)平面 AEF // 平面 BDHG . 4.已知 E , F , G, H 分别是空间四边形 ABCD 边 AB, BC, CD, DA 的中点,
D1 H E B1 G C1

A E B

(1)用向量法证明: E , F , G, H 四点共面; (2)用向量法证明: BD // 平面 EFGH . 五、教后反思:

F

A1

H

D A B

C

F

D G

C

第四课时

空间向量及其线性运算

一、教学目标:1.运用类比方法,经历向量及其运算由平面向空间推广的过程;2.了解空间向量的概念, 掌握空间向量的线性运算及其性质;3.理解空间向量共线的充要条件 二、教学重点:空间向量的概念、空间向量的线性运算及其性质; 教学难点:空间向量的线性运算及其 性质。 三、教学方法:探究归纳,讲练结合 四、教学过程 (一) 、创设情景 1、平面向量的概念及其运算法则; 2、物体的受力情况分析 F1 (二) 、探究新课 1.空间向量的概念: 在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量 注:⑴空间的一个平移就是一个向量
王新敞
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F2 F3

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

⑵向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2.空间向量的运算
王新敞
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王新敞
奎屯

新疆

定义:与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下(如图)

-8-

? ? OB ? OA ? AB ? a ? b ? ? BA ? OA ? OB ? a ? b

b C b O a a B b A
D' A' B' C'

? OP ? ?a(? ? R)
运算律: ⑴加法交换律: a ? b ? b ? a

?

?

?

?
a
D

? ? ? ? ? ? ⑵加法结合律: (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c )
? ? ? ? ⑶数乘分配律: ? (a ? b ) ? ?a ? ?b

C

A

B

3.平行六面体: 平行四边形 ABCD 平移向量 a 到 A ?B ?C ?D ? 的轨迹所形成的几何体,叫做平行六面体,并记作:ABCD-
A ?B ?C ?D ? ,它的六个面都是平行四边形,每个面的边叫做平行六面体的棱。

?

4.共线向量 与平面向量一样,如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向 量或平行向量. a 平行于 b 记作 a // b . 当我们说向量 a 、 b 共线(或 a // b )时,表示 a 、 b 的有向线段所在的直线可能是同一直线,也可 能是平行直线. 5.共线向量定理及其推论: 共线向量定理:空间任意两个向量 a 、 b ( b ≠ 0 ) , a // b 的充要条件是存在实数 λ ,使 a =λ b . 推论:如果 l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线,那么对于任意一点 O,点 P 在直线 l 上 的充要条件是存在实数 t 满足等式 OP ? OA ? t a .其中向量 a 叫做直线 l 的方向向量. P l (三) 、知识运用 B a 1、例 1 如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,M 是 BB1 的中点, A 化简下列各式,并在图中标出化简得到的向量: (1) CB ? BA1 ; (2) AC ? CB ? O A1 C1 B1

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

1 AA1 ; 2

(3) AA1 ? AC ? CB 解: (1) CB ? BA1 ? CA1
-9-

A C

B

(2) AC ? CB ?

1 AA1 ? AM 2

(3) AA1 ? AC ? CB ? BA1 2、如图,在长方体 OADB ? CA/ D / B / 中, OA ? 3, OB ? 4, OC ? 2, OI ? OJ ? OK ? 1 ,点 E,F 分别是

DB, D / B / 的中点,设 OI ? i, OJ ? j, OK ? k ,试用向量 i, j, k 表示 OE 和 OF
解: OE ?

3 i ?4j 2
A/

C D/ O E

B/ F B

3 OF ? i ? 4 j ? 2k 2

A 3、如图,在空间四边形 ABCD 中, E , F 分别是 AD 与 BC 的中点,

D

求证: EF ?

1 ( AB ? DC ) . 2
1 1 AD ? DC ? CB 2 2
B

A E D F C

证明: EF ? ED ? DC ? CF ?

?

1 1 1 1 ( AB ? BD) ? DC ? CB ? AB ? DC ? (CB ? BD) 2 2 2 2

?

1 1 1 AB ? DC ? CD ? ( AB ? DC ) 2 2 2

4、已知 2x ? 3 y ? ?3a ? b ? 4c , ?3x ? y ? 8a ? 5b ? c ,把向量 x, y 用向量 a, b , c 表示 解:∵ 2x ? 3 y ? ?3a ? b ? 4c , ?3x ? y ? 8a ? 5b ? c ∴ x ? ?3a ? 2b ? c , y ? a ? b ? 2c 5、如图,在平行六面体 ABCD ? A?B?C ?D? 中,设 AB ? a ,
D' A' E C F A B B' C'

AD ? b , AA? ? c , E , F 分别是 AD?, BD 中点,
(1)用向量 a, b , c 表示 D?B, EF ; (2)化简: AB ? BB? ? BC ? C?D? ? 2D?E ; 解: (1) D?B ? D?A? ? A?B? ? B?B ? ?b ? a ? c

D

EF ? EA ? AB ? BF ?

1 1 D?A ? a ? BD 2 2 1 1 1 ? (?b ? c ) ? a ? (?a ? b ) ? (a ? c ) 2 2 2
A

(四) 、课堂练习: 已知空间四边形 ABCD ,连结 AC , BD ,设 M , G 分别是 BC , CD 的中点,化简下列 各表达式,并标出化简结果向量: (1) AB ? BC ? CD ;
- 10 B M C G D

(2) AB ?

1 ( BD ? BC ) ; 2

(3) AG ?

1 ( AB ? AC ) . 2

(四) 、回顾总结:空间向量的相关的概念及空间向量的表示方法;平行六面体的概念; 向量加法、减法和数乘运算 (五) 、布置作业:课本习题 2-2 A 组中 2、3、4 五、教后反思: B 组题

第五课时

共面向量定理

一、教学目标:1.了解共面向量的含义,理解共面向量定理;2.利用共面向量定理证明有关线面平行和 点共面的简单问题; 二、教学重点:共面向量的含义,理解共面向量定理;教学难点:利用共面向量定理证明有关线面平行和 点共面的简单问题 三、教学方法:探究讨论法 四、教学过程 (一) 、创设情景 1、关于空间向量线性运算的理解 M D C

A M

A

N

B

B N C

D

平面向量加法的三角形法则可以推广到空间向量,只要图形封闭,其中的一个向量即可以用其它向量 线性表示。从平面几何到立体几何,类比是常用的推理方法。 (二) 、探究新课 1、 共面向量的定义 一般地,能平移到同一个平面内的向量叫共面向量; 理解:若 a, b 为不共线且同在平面 ? 内,则 p 与 a, b 共面的意义是 p 在 ? 内或 p // ? 2、共面向量的判定 平面向量中,向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是 b ? ? a ,类比到空间向量,即有 共面向量定理 如果两个向量 a, b 不共线,那么向量 p 与向量 a, b 共面的充要条件是存在有序实数组
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( x, y ) ,使得 p ? x? ? yb 这就是说,向量 p 可以由不共线的两个向量 a, b 线性表示。
(三) 、知识运用 1,例 1 如图,已知矩形 ABCD 和矩形 ADEF 所在平面互相垂直,点 M,N 分别在对角线 BD,AE 上,且

1 1 BM ? BD, AN ? AE .求证:MN//平面 CDE 3 3 2 1 证明: MN ? MB ? BA ? AN = CD ? DE 3 3
又 CD 与 DE 不共线 根据共面向量定理,可知 MN , CD, DE 共面。 由于 MN 不在平面 CDE 中,所以 MN//平面 CDE.
B

F N A

E

D M

C

2、例 2 设空间任意一点 O 和不共线的三点 A、B、C,若点 P 满足向量关系 OP ? xOA ? yOB ? zOC (其 中 x+y+z=1)试问:P、A、B、C 四点是否共面? 解:由 OP ? xOA ? yOB ? zOC 可以得到

AP ? y AB ? z AC

由 A,B,C 三点不共线,可知 AB 与 AC 不共线,所以 AP , AB , AC 共面且具有公共起点 A. 从而 P,A,B,C 四点共面。 解题总结: 推论: 空间一点 P 位于平面 MAB 内的充要条件是存在有序实数对 x, y 使得: MP ? xMA ? y MB , 或对空间任意一点 O 有: OP ? OM ? xMA ? y MB 。 (四) 、课堂练习 (1)已知非零向量 e1, e2 不共线,如果 AB ? e1 ? e2, AC ? 2e1 ? 8e2, AD ? 3e1 ? 3e2 ,求证:A、B、C、D 共面。 (2) 已知平行四边形 ABCD, 从平面 AC 外一点 O 引向量 OE ? k OA , OF ? k OB , OG ? k OC , OH ? k OD 。 求证: (1)四点 E、F、G、H 共面; (2)平面 AC//平面 EG。 (3)课本练习 (五) 、回顾总结 1、共面向量定理; 2、类比方法的运用。 (六) 、布置作业:练习册 P45 中 3、4、6、7 五、教后反思: 第六课时 空间向量的基本定理

一、教学目标:1.知识目标:掌握空间向量基底的概念;了解空间向量的基本定理及其推论;了解空间 向量基本定理的证明。2.能力目标:理解空间任一向量可用空间三个不共面向量唯一线性表示,会在平
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行六面体、四面体为背景的几何体中选用空间三个不共面向量作基底,表示其它向量。会作空间任一向量 的分解图。类比平面向量的基本定理学习空间向量基本定理,培养学生类比、联想、维数转换的思想方法 和空间想象能力。3.情感目标:创设适当的问题情境,从生活中的常见现象引入课题,开始就引起学生 极大的学习兴趣,让学生容易切入课题,培养学生用数学的意识,体现新课程改革的理念之一,加强数学 与生活实践的联系。 二、教学难点:空间向量的分解作图,用不同的基底表示空间任一向量。灵活运用空间向量基本定理证明 空间直线的平行、共面问题。教学重点: 运用空间向量基本定理表示空间任一向量,并能根据表达式判 断向量与基底的关系。 三、教学方法:在多媒体和实物模型的环境下,学生分组自主与合作学习相结合,老师引导、参与学生活 动和讨论的民主式的教学。 四、教学过程 (一) 、引入:对比平面向量的基本定理,生活实际需要向三维空间发展(播放美伊战争画面,地面的坦 克如何瞄准空中的飞机画面) ,推广到空间向量的基本定理。 用向量来描述:若空间三个向量不共面,那么空间的任一向量都可以用这三个向量表示。我们研究一下怎 么表示。 (提示学生思考平面的任一向量怎么用平面向量的基底表示) 学生: e1 、 e 2 是平面内两个不共线的向量,则该平面内的任一向量 a 都可以表示为 a =λ 1 e1 +λ 2 e 2 ,其 中λ 1、λ 2 是一对唯一的实数。 (二) 、推广:请学生猜测推广到空间向量的基本定理如何? 学生:空间向量的基本定理:如果空间三个向量 a 、 b 、 c 不共面,则空间的任一向量 p 都可表示为 x a +y b +z c 。 师:若猜想正确,则给出证明,若猜想不正确,先给出定理,再证明。 老师板演证明:设空间三个不共面的向量 OA = a ,
P C C1

OB = b , OC = c , OP = p 是空间任一向量,过 P
O

作 PD∥OC 交平面 OAB 于 D,则 OP = OD + DP , 由空间两直线平行的充要条件知 DP = z c ,由平面
A1

A

B

B1

D

向量的基本定理知向量 OD 与 OA 、 OB 共面,则 OD = x a +y b ,所以,存在 x,y,z 使得 OP = x a +y b + z c 。这样的实数 x,y,z 是否唯一呢?

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用反证法证明: 若另有不同于 x,y,z 的实数 x1,y1,z1 满足 OP = x1 a +y1 b + z1 c , 则 x a +y b + z c = x1 a +y1 b + z1 c ,即(x-x1) a +(y-y1) b +(z-z1) c = 0 又 a 、 b 、 c 不共面,则 x-x1=0,y-y1=0,z-z1=0,所以 x,y,z 是唯一的实数。这样,就把平面向量的基本定理推广到空间向量的基本定理。 老师介绍相关概念:其中{ a 、 b 、 c }叫做空间向量的一个基底, a 、 b 、 c 都叫做基向量。 师:对于空间向量的基底{ a 、 b 、 c }的理解,要明确: ①空间任意不共面的三个向量都可以作为向量的基底,基底不唯一; ②三个向量不共面,隐含它们都是非零向量; ③基底是一个集合,一个向量组,一个向量不能构成基底,基向量是基底中的某一向量。 ④通常选择共点不共面的三个向量作为空间向量的基底。 ⑤若{ a 、b 、c }是空间向量的一个基底,则由这三个基向量还能生成其它的基底吗?引导学生举例说明, 结果不唯一,通过思考培养学生的发散思维。 如: a + b 、 a + c 、 b + c ;2 a +3 b 、4 c 、 b 等构成向量的基底。 能否由原来的基向量生成新的基底,取决于生成的新向量是否共面,即其中的一个向量能否用另两个向量 线性表示,请同学随便说一组向量,大家判断这组向量能否构成向量的基底。 通过老师的引导,不仅让学生理解空间向量的基本定理,还要让学生学会把平面向量的知识迁移到空 间向量来,用发展、联系的观点看以前在平面向量中成立的结论,空间向量比平面向量发展了什么,保留 了什么,渗透辨证法的思想。特别地,当 x=0,则 p 与 b 、 c 共面;若 y=0,则 p 与 a 、 c 共面;若 z=0,则

p 与 a 、 b 共面。当 x=0, y=0 时, p 与 c 共线;当 x=0, z=0 时, p 与 b 共线;当\y=0, z=0 时, p 与 a 共
线. 说明每一次维数增加了,高维数的定理不但发展了低维数的定理,并包含了低维数的结论,使得原来 的定理仍适用,这种发展是继承的发展,是合理的发展。这不仅体现在平面向空间的迁移,也体现在数学 中其它知识的迁移(如数系的发展) 。 (三) 、类比:对比平面向量中成立的结论推广到空间是什么相应的结论: 平面向量中成立的结论 向量 b 与非零向量 a 共线 ? 存在唯一实数 λ 使得 b =λ a 空间向量中成立的结论(学生回答) 向量 b 与非零向量 a 共线 ? 存在唯一实数 λ 使得 b = λ a (用来证明空间向量共线或直线平行)

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向量 a 、b 是空间不共线的两个向量, 则向量 p 与向量 a 、b 同一平面的任意两个向量都共面 共面 ? 存在唯一实数 x,y 使得 p = x a +y b (用来证明空间 向量共面) 若 OA = a , OB = b ,则 OA + OB = OC , 若 OA = a , OB = b , OC = c , 则 OA + OB + OC 是平行六面体的体对角线
A

OC 是平行四边形的对角线
O A C

P

B

O B C

向量 OA 、 OB 不共线,则 P 在 AB 上 ? 存 在实数λ 、 μ 使得 OP =λ OA +μ OB 且λ + μ =1 (用来证明三点共线) A P

向量 OA 、 OB 、 OC 不共线,则 P 在平面 ABC 内 ? 存在 实数λ 、μ 、ω 使得

OP =λ OA +μ OB +ω OC 且λ +μ +ω =1
(用来证明四点共面) C B O B O

P A

(四) 、例题:例 1、在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中, AB = a , AD = b , AA1 = c ,P 是 CA1 的中点,M 是 CD1 的中点,N 是 C1D1 的中点,点 Q 在 CA1 上,且 CQ:QA1=4:1, 用基底{ a 、 b 、 c }表示以下向量: (1) AP , (2) AN , (3) AQ 分析:所求的向量与基底都共点,符合平行四边形法 则的特征,尽量将所求向量作为平行四边形的对角线。 解: (1)由 P 是 CA1 的中点, A B1 A1 N Q P C1 M D O C D1

1 1 1 得 AP = ( AA1 + AC )= ( c + AD + AB )= ( a + b + c ) 2 2 2 1 1 1 1 B (2) AN = AM + MN = AM + CC1 = ( c + a )+ b + c = b + c + a 2 2 2 2 1 法 2: AN = AA1 + A1 N = AA1 + A1D1 + D1 N = c + b + a 2 4 4 1 4 (3) AQ = AC + CQ = AC + CA1 = AC + ( AA1 + CA )= AC + AA1 5 5 5 5
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=

1 4 ( b + a )+ c 5 5 1 4 1 1 ( b + a )+ c , OC1 = OC + CC1 = AC + AA1 = ( b + a )+ c 5 5 2 2

例 2、在例 1 中,设 O 是 AC 的中点,判断 AQ 和 OC1 所在直线的位置关系。 解:由例 1 得: AQ =

则 AQ 和 OC1 与( b + a )和 c 共面,又 AQ ≠λ OC1 ,则 AQ 和 OC1 所在直线不能平行,只能相交。 追问:要使 AQ 和 OC1 所在直线平行,则 O 应在 AC 的什么位置? 分析:要使 AQ 和 OC1 所在直线平行,则 OC1 =λ AQ =λ [ 又 OC1 = OC + CC1 ,设 OC =μ AC =μ ( b + a ) 则λ [

1 4 ( b + a )+ c ] 5 5

1 4 ( b + a )+ c ]=μ ( b + a )+ c ,即 5 5 1 1 4 λ b + λ a + λ c =μ b +μ a + c ,由 a 、 b 、 c 不共面即空间向量基本定理的唯一性知: 5 5 5

1 ? ?? ? ? 5 1 1 ? 5 ? ? ? , ? ? ,所以,OC= AC ? 4 4 4 ?4 ? ? 1 ? ?5
学生可能不一定用刚学过的不熟悉的向量法去做,而是用平面几何的方法,根据平行线分线段成比例 定理,也应加以肯定,让学生自己从中体会向量几何与平面几何风格的不同,更深地了解向量几何侧重定 量研究,即将空间任一向量放在空间坐标系中,用向量的基底表示,再进行运算,思路简捷,不需要很强 的演绎推理。 请学生板演平面几何证法: A1
Q

C1

1 OC 1 OC CR ? 易证△AA1Q≌△CC1R,则 CR=A1Q= CQ,又 ,所以 = 4 AC 4 AC CQ
(五) 、练习:已知向量 a = e1 -2 e 2 +3 e 3 , b =2 e1 + e 2 , c =6 e1 -2 e 2 +6 e 3 , 判断 a + b 与 c 能否共面或共线? c -3 b 与 b -2 a 能否共面或共线? A

R O
C

C

A ,则 a + b 与 c 共线即平行 a + b =3 e1 - e 2 +3 e 3 , c =2( a + b )

c -3 b =6 e1 -2 e 2 +6 e 3 -6 e1 -3 e 2 =6 e 3 -5 e 2 b -2 a =2 e1 + e 2 -2 e1 +4 e 2 -6 e 3 =-6 e 3 +5 e 2 c -3 b 与 b -2 a 共线但反向。
B

O D C

思维发散训练:已知甲烷(CH4)的分子结构:中心为碳原子,外围有四个氢原子,四个氢原子构成正四面
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体的顶点,确定了四个氢原子的位置,能找到碳原子的位置吗?能求出两个碳氢键之间的键角吗? (六) 、反思小结:
2) ? 点在线上、线共点 ?公理( ? ? ?平行公理 ? 线线平行、线面平行、 面面平行 ? ? 向量平行(直线平行、 点共线) ? ? ? ? 线线平行、线面平行、 面面平行 ? ? 向量基本定理 ? ? ? ?线在面内、线不在面内 ? ?异面直线 ? ? ?

? ? ? ? ?定量研究 ? ? ? ?

如何对向量进行定量研究,对比平面向量的研究方法,预习下节内容。 (七) 、课后作业:课本习题 2-3 五、教后反思: 第七课时 空间向量的坐标表示 A 组中 8 B 组中 3

一、教学目标:1.能用坐标表示空间向量,掌握空间向量的坐标运算;2.会根据向量的坐标判断两个空 间向量平行。 二、教学重点:空间向量的坐标运算 三、教学方法:探究归纳,讲练结合 四、教学过程 (一) 、创设情景 1、平面向量的坐标表示 分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i 、 j 作为基底 任作一个向量 a ,由平面向量基本定理
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教学难点:空间向量的坐标运算

?

?

?

知,有且只有一对实数 x 、 y ,使得 a ? xi ? yj

?

?

?

把 ( x, y ) 叫做向量 a 的(直角)坐标,记作 a ? ( x, y) 其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标, y 叫做 a 在 y 轴上的 坐标, 特别地, i ? (1,0) , j ? (0,1) , 0 ? (0,0) (二) 、探析新课 1、空间直角坐标系: (1)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长为1 , 这个基底叫单位正交基底,用{i, j, k} 表示; (2)在空间选定一点 O 和一个单位正交基底 {i, j, k} ,
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?

?

?

?

?

?

?

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以点 O 为原点,分别以 i, j , k 的方向为正方向建立三条 数轴: x 轴、 y 轴、 z 轴,它们都叫坐标轴.我们称建 立了一个空间直角坐标系 O ? xyz ,点 O 叫原点,向量

i, j, k 都叫坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫坐标
平面,分别称为 xOy 平面, yOz 平面, zOx 平面。 (3)作空间直角坐标系 O ? xyz 时,一般使 ?xOy ? 135 (或 45 ) , ?yOz ? 90 ; (4)在空间直角坐标系中,让右手拇指指向 x 轴的正方向,食指指向 y 轴的正方向,如果中指指向 z 轴 的正方向,称这个坐标系为右手直角坐标系 规定立几中建立的坐标系为右手直角坐标系
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2、空间直角坐标系中的坐标: 如图给定空间直角坐标系和向量 a ,设 i, j , k 为坐标向量,则存在唯一的有序实数组 (a1 , a2 , a3 ) ,使

a ? a1 i ? a2 j ? a3 k ,有序实数组 (a1 , a2 , a3 )叫作向量 a 在空间直角坐标系 O ? xyz 中的坐标,记作 a ? ( a1 , a2 , a3 ).
在空间直角坐标系 O ? xyz 中,对空间任一点 A ,存在唯 一的有序实数组 ( x, y, z ) ,使 OA ? xi ? yj ? zk ,有序实数组
z

A(x,y,z) k i O j y

( x, y, z ) 叫作向量 A 在空间直角坐标系 O ? xyz 中的坐标,记
作 A( x, y, z ) , x 叫横坐标, y 叫纵坐标, z 叫竖坐标.
x

3、空间向量的直角坐标运算律 (1)若 a ? (a1, a2 , a3 ) , b ? (b1, b2 , b3 ) , 则 a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ,
k z

A(a1,a2,a3)

B(b1,b2,b3) O j y

a ? b ? (a1 ? b1, a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ,

i x

? a ? (?a1, ?a2 , ?a3 )(? ? R) ,
a // b ? a1 ? ?b1, a2 ? ?b2 , a3 ? ?b3 (? ? R) ,

(2)若 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 ) ,则 AB ? ( x2 ? x1, y2 ? y1, z2 ? z1 ) . 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。

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(3) 、平行:若 a≠0 时,向量 b // a 相当于 b ? ?a ,即 {bx , by , bz } ? ?{a x , a y , a z } 也相当于向量的对应坐标成比例即 (三) 、知识运用 1、例 1 已知 a ? (1,?3,8), b ? (3,10,?4) ,求 a ? b, a ? b,3a 解: a ? b ? (4,7,4)

bx b y bz ? ? ax a y az

a ? b ? (?2,?13,12)

3a ? (3,?9,24)
2、已知空间四点 A(?2,3,1), B(2,?5,3), C (10,0,10) 和 D(8,4,9) ,求证:四边形 ABCD 是矩形 解: AB ? OB ? OA ? (4,?8,2) , DC ? (2,?4,1)

AB ? 2DC

所以 AB // DC , AB ? DC , 所以四边形 ABCD 是矩形。 3、课本 P38 练习题 1、2、3 (三) 、回顾总结:空间向量的坐标表示及其运算 (四) 、布置作业:课本习题 2-3 五、教学反思: 第八课时 空间向量的数量积 A 组中 4、5、6、7

一、教学目标:1.掌握空间向量的夹角的概念,掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律,了解空 间向量数量积的几何意义; 2.掌握空间向量数量积的坐标形式,会用向量的方法解决有关垂直、夹角和距离问题。 二、教学重点:空间向量的夹角的概念,掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律 教学难点:用向量的方法解决有关垂直、夹角和距离 三、教学方法:探究归纳,讲练结合 四、教学过程 (一) 、创设情景 1、空间直角坐标系中的坐标; 2、空间向量的直角坐标运算律; 3、平面向量的数量积、夹角、模等概念。 (二) 、探析新课 1、夹角

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定义: a, b 是空间两个非零向量,过空间任意一点 O,作 OA ? a, OB ? b ,则 ?AOB 叫做向量 a 与向量

b 的夹角,记作 ? a, b ?
规定: 0 ?? a, b ?? ? 特别地,如果 ? a, b ?? 0 ,那么 a 与 b 同向;如果 ? a, b ?? ? ,那么 a 与 b 反向;如果 ? a, b ?? 900 , 那么 a 与 b 垂直,记作 a ? b 。 2、数量积 ( 1)设 a, b 是空间两个非零向量,我们把数量 | a ||b | cos ? a, b ? 叫作向量 a, b 的数量积,记作 a ? b ,即

a ? b = | a ||b | cos ? a, b ?
(2)夹角: cos a ? b ? (3)运算律

a1b1 ? a2b2 ? a3b3 a ?b ? . 2 2 2 2 2 2 | a |?| b | a1 ? a2 ? a3 b1 ? b2 ? b3

a ? b ? b ? a ; (? a) ? b ? ? (b ? a) ; a ? (b ? c) ? a ? b ? a ? c
(4)模长公式:若 a ? (a1 , a2 , a3 ) , b ? (b1, b2 , b3 ) , 则 | a |?

a ? a ? a1 ? a2 ? a3 , | b |? b ? b ? b1 ? b2 ? b3 .

2

2

2

2

2

2

(5)两点间的距离公式:若 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 ) , 则 | AB |? AB ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? ( z2 ? z1 )2 ,或 d A, B ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ? ( z2 ? z1 ) 2 . (6) a ? b ? a ? b ? 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z 2 ? 0 (7) 、与非零向量 a 同方向的单位向量为:
2

a0 ?
(三) 、知识运用

a a

?

1 a

{a x , a y , a z } ? {cos? , cos ? , cos? }

1、例 1 已知 A(3,1,3) , B(1, 0,5) ,求: (1)线段 AB 的中点坐标和长度; (2)到 A, B 两点的距离相等的点 P( x, y, z ) 的坐标 x, y, z 满足的条件 解: (1)设 M 是线段 AB 的中点,则 OM ?
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1 3 (OA ? OB) ? (2,3, ) . 2 2
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∴ AB 的中点坐标是 (2,3, ) ,

3 2

AB ? (?2,4,3)

| AB |? (?2) 2 ? 4 2 ? (?3) 2 ? 29 .
(2)∵ 点 P( x, y, z ) 到 A, B 两点的距离相等, 则 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? ( z ? 3) 2 ? ( x ? 1) 2 ? ( y ? 5) 2 ? ( z ? 0) 2 , 化简得: 4 x ? 8 y ? 6 z ? 7 ? 0 , 所以,到 A, B 两点的距离相等的点 P( x, y, z ) 的坐标 x, y, z 满足的条件是 4 x ? 8 y ? 6 z ? 7 ? 0 . 点评:到 A, B 两点的距离相等的点 P( x, y, z ) 构成的集合就是线段 AB 的中垂面,若将点 P 的坐标

x, y, z 满足的条件 4 x ? 8 y ? 6 z ? 7 ? 0 的系数构成一个向量 a ? (4,?8,6) ,发现与 AB ? (?2,4,3) 共线。
2、例 2 已知三角形的顶点是 A(1, ?1,1) , B(2,1, ?1) , C (?1, ?1, ?2) ,试求这个三角形的面积。 分析:可用公式 S ?

1 | AB | ? | AC | ? sin A 来求面积 2

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解:∵ AB ? (1, 2, ?2) , AC ? (?2,0, ?3) , ∴ | AB |? 12 ? 2 2 ? ( ?2) 2 ? 3 , | AC |? (?2) 2 ? 0 ? (?3) 2 ? 13 ,

AB ? AC ? (1, 2, ?2) ? (?2,0, ?3) ? ?2 ? 6 ? 4 ,
∴ cos A ? cos ? AB, AC ??

AB ? AC 4 4 13 , ? ? 39 | AB | ? | AC | 3 ? 13
13 ? 101 39

sin A ? sin ? AB, AC ?? 1 ? cos 2 ? AB, AC ? ?

∴所以, S?ABC ?

1 101 . | AB | ? | AC | ? sin A ? 2 2

3、例题 3 已知两点 M1(2,2, 2 )、M2(1,3,0),计算向量 M 1 M 2 的模、方向余弦、方向角以及与 M 1 M 2 同 向的单位向量。 解: M 1 M 2 ={1-2,3-2,0- 2 }={-1,1,- 2 } M 1 M 2 ?

(?1) 2 ? 12 ? (? 2 ) 2 ? 2

1 1 2? ? 3? 2 cos ? ? ? , cos ? ? , cos? ? ? ?? , ? ? ,? ? 2 2 3 3 4 2
设 a 为与 M 1 M 2 同向的单位向量,由于 a ? {cos? , cos ? , cos? } 即得 a ? {?
0

0

0

1 1 2 , ,? } 2 2 2

4、练习:课本 P38 练习题 4、5
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(四) 、回顾总结:本课要求 1.掌握空间向量的夹角的概念,掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算 律,了解空间向量数量积的几何意义;2.掌握空间向量数量积的坐标形式,会用向量的方法解决有关垂 直、夹角和距离问题。 (五) 、布置作业:课本习题 2-3A 组中 2、3 五、教学反思: 第九课时 一、教学目标: 1.理解直线的方向向量和平面的法向量;2.会用待定系数法求平面的法向量。 二、教学重点:直线的方向向量和平面的法向量;教学难点:求平面的法向量 三、教学方法:探究归纳,讲练结合 四、教学过程 (一) 、创设情景 1、平面坐标系中直线的倾斜角及斜率,直线的方向向量,直线平行与垂直的判定; 2、如何用向量描述空间的两条直线、直线和平面、平面和平面的位置关系? (二) 、探析新课 1、直线的方向向量 我们把直线 l 上的向量 e 以及与 e 共线的向量叫做直线 l 的方向向量 2、平面的法向量 如果表示向量 n 的有向线段所在直线垂直于平面α ,则称这个向量垂直于平面α ,记作 n ? ? ,如果 直线的方向向量与平面的法向量 B 组中 2、3

n ? ? ,那么向量 n 叫做平面α 的法向量。
(三) 、知识运用 1、例 1 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,求证: DB1 是平面 ACD1 的法向量 证:设正方体棱长为 1,以 DA, DC, DD1 为单位正交基底, 建立如图所示空间坐标系 D ? xyz
A1 z D1 C1

B1

DB1 ? (1,1,1) , AC ? (?1,1,0) , AD1 ? (?1,0,1)
D

DB1 ? AC ? 0 ,所以 DB1 ? AC
同理 DB1 ? AD1 所以 DB1 ? 平面 ACD
- 22 A x B

C y

从而 DB1 是平面 ACD1 的法向量。 2、 例 2 在空间直角坐标系内, 设平面 ? 经过点 P( x0 , y 0 , z 0 ) , 平面 ? 的法向量为 e ? ( A, B, C) ,M ( x, y, z ) 为平面 ? 内任意一点,求 x, y, z 满足的关系式。 解:由题意可得 PM ? ( x ? x0 , y ? y0 , z ? z 0 )

e ? PM ? 0
即 ( A, B, C ) ? ( x ? x0 , y ? y 0 , z ? z 0 ) ? 0 3、课堂练习 已 知 点 P 是 平 行 四 边 形 ABCD 所 在 平 面 外 一 点 , 如 果 AB ? (2, ?1, 4) , AD ? (4, 2,0) , 化简得 A( x ? x0 ) ? B( y ? y 0 ) ? C ( z ? z 0 ) ? 0

AP ? (?1, 2, ?1)

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(1)求证: AP 是平面 ABCD 的法向量; (2)求平行四边形 ABCD 的面积. (1)证明:∵ AP ? AB ? (?1, 2, ?1) ? (2, ?1, ?4) ? 0 ,

AP ? AD ? (?1, 2, ?1) ? (4, 2,0) ? 0 ,
∴ AP ? AB , AP ? AD ,又 AB ∴ AP 是平面 ABCD 的法向量. (2) | AB |?

AD ? A , AP ? 平面 ABCD ,

(2) 2 ? (?1) 2 ? (?4) 2 ? 21 , | AD |? 42 ? 22 ? 02 ? 2 5 ,

∴ AB ? AD ? (2, ?1, ?4) ? (4, 2,0) ? 6 , ∴ cos( AB, AD) ?

6 3 105 , ? 105 21 ? 2 5
9 32 , ? 105 35

∴ sin ?BAD ? 1 ? ∴S

ABCD

?| AB | ? | AD | sin ?BAD ? 8 6 .

(四) 、回顾总结:1、直线得方向向量与平面法向量得概念;2、求平面法向量的方法。 (五) 、布置作业:见练习册 P56 中 3、5、6、7、8 五、教后反思:

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