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高考风向标文科数学一轮课时知能训练第3讲


高考风向标文科数学一轮课时知能训练:第 3 讲

几何概型

1.(2010 届广东惠州调研)如图 K14-3-1,在半径为 R 的圆内随机撒一粒黄豆,它落在阴影部分内接正三角形上的概率 是( ) 3 3 3 3 3 3 A. B. C. D. 4 4 4π 4π

图 K14-3-1

图 K14-

3-2

2.(2011 年福建)如图 K14-3-2,矩形 ABCD 中,点 E 为边 CD 的中点,若在矩形 ABCD 内部随机取一个点 Q,则点 Q 取自△ABE 内部的概率等于( ) 1 1 1 2 A. B. C. D. 4 3 2 3 3.设 a,b∈(0,1),则关于 x 的方程 x2+2ax+4b2=0 在(-∞,+∞)上有两个不同的零点的概率为( ) 1 1 1 3 A. B. C. D. 2 3 4 4 4.ABCD 为长方形,AB=2,BC=1,O 为 AB 的中点,在长方形 ABCD 内随机取一点,取到的点到 O 的距离小于 1 的概 率为( ) π π π π A. B.1- C. D.1- 4 4 8 8 πx 1 5.在区间[-1,1]上随机取一个数 x,cos 的值介于 0 到 之间的概率为( ) 2 2 1 2 1 2 A. B. C. D. 3 π 2 3 ? 0 ≤ x≤2, ? 1 6.设不等式组? 所表示的区域为 A,现在区域 A 中任意丢进一个粒子,则该粒子落在直线 y= x 上方的概率为 2 ?0≤y≤2 ? ( ) 3 1 7 1 A. B. C. D. 4 2 8 8 7.如图 K14-3-3 点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点,若在该圆周上随机取一点 B,则劣弧 AB 的长度小于 1 的概 率为__________.

图 K14-3-3 8.(2011 年湖南)已知圆 C:x2+y2=12,直线 l:4x+3y=25. (1)圆 C 的圆心到直线 l 的距离为________. (2)圆 C 上任意一点 A 到直线 l 的距离小于 2 的概率为________________________. 9.在 400 毫升自来水中有一个大肠杆菌,今从中随机取出 2 毫升水样放到显微镜下观察,则发现大肠杆菌的概率为 _______________________________________. 10.如图 K14-3-4,平面上画了两条平行且相距 2a 的平行线.把一枚半径 r<a 的硬币任意投掷在这个平面上,求硬币 不与任一条平行线相碰的概率.

图 K14-3-4

11.如图 K14-3-5,已知正三棱锥 S-ABC 的底面边长为 a,高为 h,在正三棱锥内取一点 M,试求点 M 到底面的距离 h 小于 的概率. 2

图 K14-3-5

12.设关于 x 的一元二次方程 x2+2ax+b2=0. (1)若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任取的一个数,b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个数,求上述方程有实根的概率; (2)若 a 是从区间[0,3]任取的一个数,b 是从区间[0,2]任取的一个数,求上述方程有实根的概率.

第3讲
1.D 8.(1)5

几何概型
2.C 3.C 2 4.A 5.A 6.A 7. 3

1 (2) 9.0.005 6 10.解:设事件 A:“硬币不与任一条平行线相碰”. 为了确定硬币的位置,由硬币中心 O 向靠得最近的平行线引垂线 OM,垂足为 M. 则线段 OM 长度(记作|OM|)的取值范围是[0,a],只有当 r<|OM|≤a 时,硬币不与平行线相碰,其长度范围是(r,a]. ?r,a]的长度 a-r 所以 P(A)= = . a [0,a]的长度 11.解:在 SA,SB,SC 上取点 A1,B1,C1,使 A1,B1,C1 分别为 SA,SB,SC 的中点, h 则当点 M 位于面 ABC 和面 A1B1C1 之间时,点 M 到底面的距离小于 . 2 S 设△ABC 的面积为 S,由△ABC∽△A1B1C1 且相似比为 2,得△A1B1C1 的面积为 . 4 1 由题意,三棱椎 S-ABC 的体积为 Sh, 3 三棱台 A1B1C1-ABC 的体积为: 1 1Sh 1 7 Sh- · · = Sh· . 3 342 3 8 7 故 P= . 8 12.解:设事件 A 为“方程 x2+2ax+b2=0 有实根”. 当 a>0,b>0 时,方程 x2+2ax+b2=0 有实根的充要条件为 a≥b. (1)设为(a,b),其中第一个数表示 a 的取值,第二个数表示 b 的取值,基本事件有 12 个:(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1), (1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2). 事件 A 中包含 9 个基本事件,则事件 A 发生的概率为: 9 3 P(A)= = . 12 4 (2)试验的全部结果所构成的区域为: {(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2}, 构成事件 A 的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b}, 1 3×2- ×22 2 2 所以所求的概率为 = . 3 3×2


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