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河南省洛阳市第二外国语学校2013届高三高考数学闯关密练特训11-2复数的概念与运算试题


2-i - 1.(2011·安徽皖南八校联考)复数 z 满足 z= ,则 z 等于( 1-i A.1+3i 3 1 C. - i 2 2 [答案] C 2-i ? 2-i? ? 1+i? 3+i [解析] ∵z= = = , 1-i 2 2 - 3 1 ∴ z = - i,故选 C. 2 2 B.3-i 1 3 D. + i 2 2

)

i 2.(2012·哈三中二模)已知复数 z= ,则复平面内表示复数 z 的点位于( 2-3i A.第一象限 C.第三象限 [答案] B i [解析] z= = 2-3i ? i? 2+3i? -3+2i 3 2 = ,对应点为(- , ). 2-3i? ? 2+3i? 13 13 13 B.第二象限 D.第四象限

)

3. (文)(2013·武汉市部分学校 12 月联考)投掷两颗骰子, 其向上的点数分别为 m 和 n, 则复数(m+ni) 为纯虚数的概率为( A. 1 3 1 B. 4 1 C. 6
2

) 1 D. 12

[答案] C [解析] ∵(m+ni) =m -n +2mni 为纯虚数, ∴m -n =0,∴m=n, (m,n)的所有可能取法有 6×6=36 种,其中满足 m=n 的取法有 6 种, 6 1 ∴所求概率 P= = . 36 6 (理)(2012·陕西理,3)设 a,b∈R,i 是虚数单位,则“ab=0”是“复数 a+ 为纯虚 i 数”的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2 2 2 2 2

b

A.充分不必要条件 C.充分必要条件 [答案] B

[解析] 由 ab=0 知 a=0 或 b=0,当 a=0 时,若 b≠0,则复数 a+ 为纯虚数,否则 i

b

b b b a+ 为实数,反之若 a+ 为纯虚数,则 b≠0 且 a=0,则 ab=0,故“ab=0”是“a+ 为
i i i 纯虚数”的必要不充分条件. 4 2 4.(2012·东北三校模拟)已知 z=1-i(i 是虚数单位),则 +z =(

z

)

A.2 [答案] A

B.2i

C.2+4i

D.2-4i

[解析] ∵z=1-i, 4 2 4 4? 1+i? 2 ∴ +z = +(1-i) = -2i=2. z 1-i ? 1-i? ? 1+i? - z - 5. (2012·洛阳市示范高中联考)已知 =2-i( z 是 z 的共轭复数), 则复数 z 在复 1+2i 平面内对应的点位于( A.第一象限 C.第三象限 [答案] D - [解析] ∵ z =(1+2i)(2-i)=2+4i-i+2=4+3i,∴z=4-3i 在复平面内对应点 (4,-3)位于第四象限. 2+i 6.(2011·温州八校期末)若 i 为虚数单位,已知 a+bi= (a,b∈R),则点(a,b) 1-i 与圆 x +y =2 的关系为( A.在圆外 C.在圆内 [答案] A 2+i ? 2+i? ? 1+i? [解析] ∵a+bi= = 1-i 2 1 3 = + i(a,b∈R), 2 2
2 2

) B.第二象限 D.第四象限

) B.在圆上 D.不能确定

?a=1 ? 2 ∴? 3 ? ?b=2



?1?2 ?3?2 5 ∵? ? +? ? = >2, ?2? ?2? 2

?1 3? 2 2 ∴点 P? , ?在圆 x +y =2 外,故选 A. ?2 2?
7.(2011·无为中学月考)已知复数 z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-2i,它们所对应的 → → → 点分别为 A、B、C.若OC=xOA+yOB,则 x+y 的值是________. [答案] 5 → → → [解析] ∵OC=xOA+yOB, ∴(3-2i)=x(-1+2i)+y(1-i),
? ?-x+y=3 ∴? ?2x-y=-2 ?

,解得?

? ?x=1 ?y=4 ?

,故 x+y=5. π ,则 2

8.设 i 为虚数单位,复数 z=(3+4i)(cosθ +isinθ ),若 z∈R,θ ≠kπ + tanθ 的值为________. 4 [答案] - 3 [解析]

∵z=(3+4i)(cosθ +isinθ )=(3cosθ -4sinθ )+(4cosθ +3sinθ )i∈

R,∴4cosθ +3sinθ =0, π 4 ∵θ ≠kπ + ,∴cosθ ≠0,∴tanθ =- . 2 3 9.一个正四面体玩具,它的四个面上标有数字-1,0,1,2,连续抛掷两次,记第一次向 下的面上数字为 a,第二次向下的面上数字为 b,设复数 z=a+bi,则 z 的对应点在第二象 限的概率为________. [答案] 1 8

[解析] 若 z=a+bi 的对应点在第二象限, a<0, >0, 则 b 这样的点有 2 个, 即(-1,1), (-1,2),∴所求概率为 P= 10.已知复数 z= 分别为: (1)实数; (2)虚数; (3)纯虚数. [解析]
?a -5a+6=0, ? (1)当 z 为实数时,? ?a-2≠0. ?
2

2 1 = . 4×4 8

a2-7a+10 2 +(a -5a+6)i(a∈R).试求实数 a 分别为什么值时,z a-2

∴a=3,

∴当 a=3 时,z 为实数.
? ?a -5a+6≠0, (2)当 z 为虚数时,? ? ?a-2≠0.
2

∴a≠2 且 a≠3,

故当 a∈R,a≠2 且 a≠3 时,z 为虚数.

?a -5a+6≠0, ? 2 (3)当 z 为纯虚数时,?a -7a+10=0, ?a-2≠0. ?
∴a=5,故 a=5 时,z 为纯虚数. 能力拓展提升 11. (文)(2011·东北四市统考)已知复数 z1=cos23°+isin23°和复数 z2=cos37°+ isin37°,则 z1·z2 为( 1 3 A. + i 2 2 1 3 C. - i 2 2 [答案] A [ 解 析 ] ) B. D. 3 1 + i 2 2 3 1 - i 2 2

2

z1·z2 = cos23°cos37° - sin23°sin37° + (sin37°cos23° +

1 3 cos37°sin23°)i=cos60°+i·sin60°= + i,故选 A. 2 2 (理)若 z=cosθ +isinθ (i 为虚数单位),则使 z =-1 的 θ 值可能是( A. C. π 6 π 3 B. D. π 4 π 2
2

)

[答案] D
?cos2θ =-1 ? 2 [解析] ∵z =cos2θ +isin2θ =-1,∴? ? ?sin2θ =0

.

∴2θ =2kπ +π

(k∈Z),

π ∴θ =kπ + .令 k=0 知,D 正确. 2 12.如果复数(m +i)(1+mi)是实数,则实数 m 等于( A.1 C. 2 [答案] B [解析] ∵(m +i)(1+mi)=(m -m)+(m +1)i 是实数,m∈R, ∴由 a+bi(a、b∈R)是实数的充要条件是 b=0, 得 m +1=0,即 m=-1.
3 2 2 3 2

)

B.-1 D.- 2

3+i 13.(2011·南通调研)若复数 z 满足 z+i= ,则|z|=________. i [答案] 17

3+i [解析] ∵z= -i=-3i+1-i=1-4i, i ∴|z|= 17. 14.在复平面内,z=cos10+isin10 的对应点在第______象限. [答案] 三 7π [解析] ∵3π <10< ,∴cos10<0,sin10<0, 2 ∴z 的对应点在第三象限. 15.(文)设复数 z=lg(m -2m-2)+(m +3m+2)i,当实数 m 取何值时. (1)z 是纯虚数. (2)z 是实数. (3)z 对应的点位于复平面的第二象限. [解析]
? ?lg? m -2m-2? (1)由题意知? 2 ? ?m +3m+2≠0.
2 2 2

=0,

解得 m=3.所以当 m=3 时,z 是纯虚数. (2)由 m +3m+2=0,得 m=-1 或 m=-2, 又 m=-1 或 m=-2 时,m -2m-2>0, 所以当 m=-1 或 m=-2 时,z 是实数.
? ?lg? m -2m-2? (3)由? 2 ?m +3m+2>0. ?
2 2 2

<0,

解得:-1<m<1- 3或 1+ 3<m<3. 1 (理)设 z 是虚数,ω =z+ 是实数,且-1<ω <2.

z

(1)求 z 的实部的取值范围; 1-z (2)设 u= ,那么 u 是不是纯虚数?并说明理由. 1+z [解析] (1)设 z=a+bi(a、b∈R,b≠0), ω =a+bi+

a ? ? b ? 1 ? =?a+ 2 2?+?b- 2 2?i, a+bi ? a +b ? ? a +b ? b
2

∵ω 是实数,∴b-
2 2

a +b2

=0.

又 b≠0,∴a +b =1,ω =2a.

1 ∵-1<ω <2,∴- <a<1, 2

? 1 ? 即 z 的实部的取值范围是?- ,1?. ? 2 ?
1-z 1-a-bi 1-a -b -2bi b (2)u= = = i, 2 2 =- 1+z 1+a+bi ? 1+a? +b a+1 1 ∵- <a<1,b≠0,∴u 是纯虚数. 2 16.将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为 1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次, 记第一次出现的点数为 a,第二次出现的点数为 b. (1)设复数 z=a+bi(i 为虚数单位),求事件“z-3i 为实数”的概率;
2 2

?a-b+2≥0 ? (2)求点 P(a,b)落在不等式组?0≤a≤4 ?b≥0 ?

表示的平面区域内(含边界)的概率.

[解析] (1)z=a+bi(i 为虚数单位), -3i 为实数, a+bi-3i=a+(b-3)i 为实 z 则 数,则 b=3. 1 依题意得 b 的可能取值为 1,2,3,4,5,6,故 b=3 的概率为 . 6 1 即事件“z-3i 为实数”的概率为 . 6 (2)连续抛掷两次骰子所得结果如下表: 1 1 2 3 4 5 6 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

由上表知,连续抛掷两次骰子共有 36 种不同的结果.

不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界). 由图知, P(a, )落在四边形 ABCD 内的结果有: 点 b (1,1)、 (1,2)、 (1,3)、 (2,1)、 (2,2)、 (2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(3,5)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)、(4,5)、 (4,6),共 18 种. 18 1 所以点 P(a,b)落在四边形 ABCD 内(含边界)的概率为 P= = . 36 2

1.(2011·罗源一中月考)已知复数 z1=cosα +isinα ,z2=sinβ +icosβ ,(α ,β - ∈R),复数 z=z1· z 2 的对应点在第二象限,则角 α +β 所在象限为( A.第一象限 C.第三象限 [答案] C [解析] ∵z=(cosα +isinα )·(sinβ -icosβ )=sin(α +β )-icos (α +β )的 对应点在第二象限,
?sin? α +β ? <0 ? ∴? ? ?-cos? α +β ? >0

)

B.第二象限 D.第四象限

,∴角 α +β 的终边在第三象限.

2.已知复数 a=3+2i,b=4+xi(其中 i 为虚数单位,x∈R),若复数 ∈R,则实数 x 的值为( A.-6 C. 8 3 ) B.6 8 D.- 3

a b

[答案] C [解析]

a 3+2i ? 3+2i? ? 4-xi? 12+2x ? 8-3x ? 8-3x = = = 2?·i∈R,∴ 2 2 +? 2=0,∴ b 4+xi 16+x 16+x ?16+x ? 16+x

x= .
2+ai 3.若复数 (a∈R)是纯虚数(i 是虚数单位),则 a 的值为( 1-i A.-2 C.1 [答案] D [解析]
?2-a=0 ? ? ? ?a+2≠0

8 3

)

B.-1 D.2

2+ai ? 2+ai? ? 1+i? = 1-i ? 1-i? ? 1+i?



?

a+2? i+? 2-a?
2

为纯虚数,∴

,∴a=2.
2

4.若 i 是虚数单位,则满足(p+qi) =q+pi 的实数 p、q 一共有( A.1 对 C.3 对 [答案] D [解析]
? ?p=0 ? ?q=0 ?

)

B.2 对 D.4 对

?p -q =q, ? 由(p + qi) = q + pi 得(p - q )+2pqi= q + pi,所以 ? ? ?2pq=p.
2 2 2

2

2

解得

,或?

? ?p=0 ?q=-1 ?



?p= 23 ? 或? 1 ?q=2, ?

?p=- 23 ? 或? 1 ?q=2, ?

因此满足条件的实数 p、q 一共有 4 对.

3+4i - - 5. (2012·昆明第一中学检测)已知复数 z= ,z 是 z 的共轭复数, z |为( 则| 1-2i A. 5 5 3 B. 221 5

)

C. 5 [答案] C

D.5

3+4i ? 3+4i? ? 1+2i? -5+10i - [解析] ∵z= = = =-1+2i, z =-1-2i, ∴ ∴ 1-2i ? 1-2i? ? 1+2i? 5 - | z |= 5. - z - 2 6.(2012·山西联考)设复数 z 的共轭复数为 z ,若 z=1-i(i 为虚数单位),则 +z

z

的值为(

)

A.-3i C.i [答案] D

B.-2i D.-i

- z 1+i ? 1+i? 2 2 [解析] 依题意得 +z = +(1-i) = z 1-i 2

2

-2i=i-2i=-i,选 D.

5 2 7.关于 x 的不等式 mx -nx+p>0(m,n,p∈R)的解集为区间(- ,2),则复数 m+ni 3 所对应的点位于复平面内的第________象限. [答案] 三 5 2 [解析] ∵mx -nx+p>0(m、n、p∈R)的解集为(- ,2), 3

?? ? ∴? ? ??

m<0,
5 - ? 3 +2= >0,

n m

∵m<0,∴p>0,n<0.

5 p - ? ×2= <0. 3 m

故复数 m+ni 所对应的点位于复平面内的第三象限. 8.(2011·上海文,19)已知复数 z1 满足(z1-2)(1+i)=1-i(i 为虚数单位),复数 z2 的虚部为 2,且 z1·z2 是实数,求 z2. [解析] 设 z1=(a+2)+bi,a,b∈R, ∵(z1-2)(1+i)=1-i,∴a-b+(b+a)i=1-i. ∴?
?a-b=1, ? ? ?a+b=-1,

∴?

?a=0, ? ? ?b=-1.

∴z1=2-i.

又设 z2=c+2i,c∈R,则 z1z2=(2-i)(c+2i)=(2c+2)+(4-c)i, ∵z1z2∈R,∴4-c=0,c=4,∴z2=4+2i.


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