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辽宁省沈阳二中2015-2016学年高二上学期10月月考试题 数学


沈阳二中 2015—2016 学年度上学期 10 月份小班化学习成果 阶段验收高二(17 届)数学试题
命题人:高二数学组 审校人:高二数学组
说明:1.测试时间:120 分钟 总分:150 分 2.客观题涂在答题卡上,主观题答在答题纸的相应位置上

第Ⅰ卷
一、选择题(每题 5 分,共 40 分)

(满分

60 分)

1.

已知集合 A= {x | x2 ? 4 x ? 3 ? 0}, B ? {x | 2 ? x ? 4} ,则 A ? B ? A.(1,3) B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4)

2.

设 ? , ? 是两个不同的平面, m 是直线且 m? ? .“ m ∥ ? ”是“ ? ∥ ? ”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

3.

已知平面向量 a ,b 满足 a ? (a + b)=3 ,且 a = 2, b = 1 ,则向量 a 与 b 的夹角为 ( A.

? 6

B.

? 3

C.

?? 3

D.

?? 6
( )

4.

下列不等式一定成立的是
2 A. lg( x ?

1 ) ? lg x ( x ? 0) 4

B. sin x ? D.

1 ? 2( x ? k ? , k ? Z ) sin x

C. x 2 ? 1 ? 2 | x | ( x ? R) 5.

1 ? 1( x ? R ) x ?1
2

已知函数 y ? a x ?1 ( a ? 0 ,且 a ? 1 )的图象恒过定点 A ,若点 A 在一次函数 y ? mx ? n 的图 象上,其中 m, n ? 0 ,则 A.1
1 1 ? 的最小值为 m n

( C.2 D.4



B. 2

6.

已知实数 a, b 满足 ?

?0 ? a ? 4 , x1 , x2 是关于 x 的方程 x 2 ? 2 x ? b ? a ? 3 ? 0 的两个实根, 0 ? b ? 4 ?
( C. )

则不等式 0 ? x1 ? 1 ? x2 成立的概率为 A. 7.

3 32

B.

3 16

5 32

D.

9 16

已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 F1 、 F2, 则 | F1 F2 | ? 2c , 点 A 在 椭 圆 上 且 a 2 b2 ???? ????? ???? ???? ? ( ) AF1 ? F1F2 ? 0 且 AF1 ? AF2 ? c2 ,则椭圆的离心率为
3 3

A.

B.

2 2

C.

3 ?1 2

D.

5 ?1 2

8.

若 P 点是以 A(-3,0) 、B(3,0)为焦点,实轴长为 2 5 的双曲线与圆 x2 ? 个交点,则 PA ? PB = A. 4 13 B. 2 14 C. 2 13 D. 3 14

y

2

? 9 的一





9.

设 函 数 f ( x) ? ln(1? | x |) ? ( )

1 , 则 使 得 f ( x) ? f (2 x ? 1) 成 立 的 x 的 取 值 范 围 是 1 ? x2

A. ? ,1?

?1 ? ?3 ?

B. ? ??, ? ? ?1, ?? ?

? ?

1? 3?

C. ? ? , ?

? 1 1? ? 3 3?

D. ? ??, ? ? ? ? , ?? ?

? ?

1? ?1 3? ? 3

? ?

10. 已知直线 y ? k ( x ? 2)(k ? 0) 与抛物线 C : y 2 ? 8x 相交于 A,B 两点,F 为 C 的焦点,若 |FA|=2|FB|,则实数 k 的值为 A. ( C. )

1 3

B.

2 3

2 3

D.

2 2 3 源:
( )

11. 执行如图的程序框图,若 p ? 9 ,则输出的 S ? A.

9 10

B.

7 18

C.

8 9

D.

2 5

12. 如 图 , 设

P, Q 为 ?ABC 内 的 两 点 , 且 ??? ? 2 ??? ? 1 ???? ???? 2 ??? ? 1 ???? AP ? AB ? AC , AQ = AB + AC ,则 ?ABP 的 5 5 3 4 面积与 ?ABQ 的面积之比为 1 4 1 1 A. B. C. D. 5 5 4 3





第Ⅱ卷

(满分 90 分)

二.填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 在 ?ABC 中, ( 1 ? tan A )( 1 ? tan B ) ? 2 ,则 log2 sinC =_________ b+c x2 y 2 14. 已知 c 是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的半焦距,则 a 的取值范围是________. a b

x?0 ? x ? 2y ? 3 ? y?0 15. 设 x,y 满足约束条件 ? ,则 的取值范围是___________. x ?1 ?4 x ? 3 y ? 12 ?
16. 数列 ?an ? 中 a1 ? 1, an?1 ? 3an ? 2n ,则 an =_______________

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

B、 C 的对边分别为 a、、 b c,a ? 17. 已知 ?ABC 中,角 A、

?? 2 ,向量 m ? (?1,1) ,

?? ? ? 2 n ? (cos B cos C , sin B sin C ? ) ,且 m ? n . 2
(Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)当 sin B ? cos(

7? ? C ) 取得最大值时,求角 B 的大小. 12
n

18. 设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,已知 2Sn ? 3 ? 3. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {bn } 满足 anbn ? log3 an ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn .求

4 13 Tn ? 3 12

19. 如图,直三棱柱 ABC-A′B′C′,∠BAC=90°,AB =AC= 2,AA′=1,点 M、N 分别为 A′B 和 B′C′ 的中点. (1)证明:MN∥平面 A′ACC′; (2)求三棱锥 A′-MNC 的体积
2 20. 已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ( a , b 为常数且 a ? 0 ) 满

足 f (1 ? x) ? f (1 ? x), 且方程 f ( x) ? x 有等根. (1)求 f ( x ) 的解析式;

(2) 设 g ( x) ? 1 ? 2 f ( x)( x ? 1) 的反函数为 g ?1 ( x), 若 g ?1 (22 x ) ? m(3 ? 2x ) 对 x ? [1, 2] 恒 成立,求实数 m 的取值范围. 21. 已知点 F 为抛物线 E : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点, 点 A(2, m) 在抛物线 E 上, 且 AF ? 3 . (Ⅰ)求抛物线 E 的方程; (Ⅱ)已知点 G(?1, 0) ,延长 AF 交抛物线 E 于点 B ,证明:以点 F 为圆心且与直线 GA 相 切的圆,必与直线 GB 相切.

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的半焦距为 c ,原点 ? 到经过两点 a 2 b2 1 ? c,0? , ? 0, b ? 的直线的距离为 2 c . (I)求椭圆 ? 的离心率; 5 2 2 (II)如图, ?? 是圆 ? : ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 的一条直径,若椭圆 ? 经过 ? , ? 两点, 2 求椭圆 ? 的方程.
22. 已知椭圆 ? :

沈阳二中 2015—2016 学年度上学期 10 月份小班化学习成果

阶段验收高二(17 届)数学答案
命题人:高二数学组
1-5CBCCD 13、 ? 6-10ADCAD 11-12DB 14、(1, 2] 15、 ? ,11? ?2 ?

审校人:高二数学组

1 2

?3

?

16、 a n ?

5 n?1 1 ? 3 ? ( ? n) 2 2

(1)因为 m ? n ,所以 ? cos B cos C ? sin B sin C ? ?0 2 17、 即 cos ? B ? C ? ? ?

??

?

2

2 ,因为 A ? B ? C ? ? ,所以 cos( B ? C ) ? ? cos A 2

所以

cos A ?

2 ? ,A? 2 4
3? ?B, 4

(2)由 A ?

?
4

,C ?

故 sin B ? cos( 由 B ? (0,

7? ? 3 3 ? ? C ) ? sin B ? cos( B ? ) ? sin B ? cos B ? 3 sin( B ? ) 12 6 2 2 6

3? ? ? ) ,故 3 sin B ? cos(C ? ) 最大值时, B ? 4 4 3 1 18、 (Ⅰ)由 2Sn ? 3n ? 3 可得 a1 ? S1 ? (3 ? 3) ? 3 , 2 1 1 an ? Sn ? Sn ?1 ? (3n ? 3) ? (3n ?1 ? 3) ? 3n ?1 (n ? 2) 2 2
而 a1 ? 3 ? 31?1 ,则 an ? ?

? 3, n ? 1, n ?1 ?3 , n ? 1.

?1 , n ? 1, ? 3, n ? 1, log 3 an ? ?3 ?? (Ⅱ)由 anbn ? log3 an 及 an ? ? n ?1 可得 bn ? an ?3 , n ? 1. ? n ? 1 , n ? 1. ? ? 3n ?1
1 1 2 3 n ?1 Tn ? ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 . 3 3 3 3 3 1 1 1 2 3 n ? 2 n ?1 Tn ? 2 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 ? n 3 3 3 3 3 3 3

2 1 1 1 1 1 1 n ?1 Tn ? ? ? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? n 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 n ?1 ? ? 2 ? ( ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ) ? n 3 3 3 3 3 3 3 1 1 ? n 2 n ?1 2 1 3 n ?1 ? ?3 3 ? n ? ? ? ? n n 9 1? 1 3 9 2 2?3 3 3 13 2n ? 1 ? ? 18 2 ? 3n
Tn ? 13 2n ? 1 4 13 4 13 2n ? 1 13 2n ? 1 ? ? Tn ? ? ? ? ? n n ?1 12 4 ? 3 3 12 3 12 4 ? 3n?1 12 3

19、(1)证明:连接 AB′,AC′,由题意知,ABB′A′为平行四边形,所以 M 为 AB′中点. 又因为 N 为 B′C′的中点,所以 MN∥AC′.又 MN? 面 A′ACC′,AC′?平面 A′ACC′,因此 MN∥平面 A′ACC′. (2)连接 BN,由已知∠BAC=90°,AB=AC,三棱柱 ABC - A′B′C′为直三棱柱,∴ A′N ⊥ B′C′,平面 A′B′C′∩平面 B′BCC′=B′C′, 所以 A′N⊥平面 1 1 1 1 NBC. 又 A′N= B′C′=1,故 VA′-MNC=VN-A′MC= VN-A′BC= VA′-NBC= . 2 2 2 6 平

21、解法一: (I)由抛物线的定义得 ?F ? 2 ? 因为 ?F ? 3 ,即 2 ?

p . 2

p ? 3 ,解得 p ? 2 ,所以抛物线 ? 的方程为 y 2 ? 4x . 2

(II)因为点 ? ? 2, m? 在抛物线 ? : y 2 ? 4 x 上, 所以 m ? ?2 2 ,由抛物线的对称性,不妨设 ? 2, 2 2 . 由 ? 2, 2 2 , F ?1,0? 可得直线 ? F 的方程为 y ? 2 2 ? x ?1? . 由?

?

?

?

?

? ? y ? 2 2 ? x ? 1? ? ? y ? 4x
2

,得 2 x ? 5 x ? 2 ? 0 ,
2

解得 x ? 2 或 x ? 又 G ? ?1,0 ? , 所以 kG? ?

1 ?1 ? ,从而 ? ? , ? 2 ? . 2 ?2 ?

? 2 ?0 2 2 2 2 ?0 2 2 ?? , kG? ? , ? 1 3 2 ? ? ?1? 3 ? ? ?1? 2

所以 kG? ? kG? ? 0 ,从而 ??GF ? ??GF ,这表明点 F 到直线 G ? , G ? 的距离相等, 故以 F 为圆心且与直线 G ? 相切的圆必与直线 G ? 相切. 解法二: (I)同解法一. (II)设以点 F 为圆心且与直线 G ? 相切的圆的半径为 r . 因为点 ? ? 2, m? 在抛物线 ? : y 2 ? 4 x 上, 所以 m ? ?2 2 ,由抛物线的对称性,不妨设 ? 2, 2 2 .

?

?

由 ? 2, 2 2 , F ?1,0? 可得直线 ? F 的方程为 y ? 2 2 ? x ?1? . 由?

?

?

? ? y ? 2 2 ? x ? 1? ? ? y ? 4x
2

,得 2 x ? 5 x ? 2 ? 0 ,
2

解得 x ? 2 或 x ?

1 ?1 ? ,从而 ? ? , ? 2 ? . 2 ?2 ?

又 G ? ?1,0 ? ,故直线 G ? 的方程为 2 2x ? 3 y ? 2 2 ? 0 , 从而 r ?

2 2 ?2 2 8?9

?

4 2 . 17

又直线 G ? 的方程为 2 2x ? 3 y ? 2 2 ? 0 , 所以点 F 到直线 G ? 的距离 d ?

2 2?2 2 8?9

?

4 2 ?r. 17

这表明以点 F 为圆心且与直线 G ? 相切的圆必与直线 G ? 相切. 22、 (I)过点(c,0),(0,b)的直线方程为 bx + cy - bc = 0 , 则原点 O 到直线的距离 d ?

bc b ?c
2 2

?

bc , a

由d =

1 c 3 c ,得 a = 2b = 2 a2 - c2 ,解得离心率 = . 2 a 2
(1)

(II)解法一:由(I)知,椭圆 E 的方程为 x 2 + 4 y 2 = 4b2 . 依题意,圆心 M(-2,1)是线段 AB 的中点,且 | AB|= 10 . 易知,AB 不与 x 轴垂直,设其直线方程为 y = k ( x + 2) +1 ,代入(1)得

(1 + 4k 2 ) x2 +8k (2k +1) x + 4(2k +1)2 - 4b2 = 0
8k (2k +1) 4(2k +1) 2 - 4b 2 , x1 x2 = . 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则 x1 + x2 = 1 + 4k 2 1 + 4k 2
由 x1 + x2 = - 4 ,得 从而 x1 x2 = 8 - 2b2 .

1 8k (2k +1) = - 4, 解得 k = . 2 2 1 + 4k

5 ?1? 于是 | AB |? 1 ? ? ? | x1 ? x2 |? 2 ?2?

2

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2 ? 10(b 2 ? 2) .

2 2 由 | AB|= 10 ,得 10(b - 2) = 10 ,解得 b = 3 .

x2 y 2 + =1 . 故椭圆 E 的方程为 12 3
解法二:由(I)知,椭圆 E 的方程为 x + 4 y = 4b .
2 2 2

(2)

依题意,点 A,B 关于圆心 M(-2,1)对称,且 | AB|= 10 . 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则 x12 + 4 y12 = 4b2 , x22 + 4 y22 = 4b2 , 两式相减并结合 x1 + x2 = - 4, y1 + y2 = 2, 得 -4( x1 - x2 ) +8 y1 - y2 = 0 . 易知,AB 不与 x 轴垂直,则 x1 ? x2 ,所以 AB 的斜率 k AB = 因此 AB 直线方程为 y =

(

)

y1 - y2 1 = . x1 - x2 2

1 ( x + 2) +1 ,代入(2)得 x2 + 4 x +8 - 2b2 = 0. 2

所以 x1 + x2 = - 4 , x1 x2 = 8 - 2b2 . 于是 | AB |? 1 ? ?

5 ?1? ? | x1 ? x2 |? 2 ?2?

2

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2 ? 10(b 2 ? 2) .

2 2 由 | AB|= 10 ,得 10(b - 2) = 10 ,解得 b = 3 .

x2 y 2 + =1 . 故椭圆 E 的方程为 12 3


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