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实验教案1


实验教案1

数学建模实验
实验一:MATLAB基础

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实验目的:
? 熟悉MATLAB进入与界面及常见的命 令、数学函数,掌握数组、矩阵的计 算,能编写简单的M文件。熟悉 MATLAB常见的绘图命令、能画出二 维、三维图形,并能针对图形作常用 的图形处理。

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实验重点、难点:
? 重点:矩阵的操作与计算、绘图 。
? 难点:MATLAB的控制流结构 。

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实验原理及知识点:
一、变 量 与 函 数 二、数 三、 矩 组 阵

四、 MATLAB编程*

五、 MATLAB绘图

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一、变 量 与 函 数
1、变量

MATLAB中变量的命名规则是:
(1)变量名必须是不含空格的单个词;

(2)变量名区分大小写;
(3)变量名最多不超过32个字符; (4)变量名必须以字母打头,之后可以是 任意字母、数字或下划线,变量名中 不允许使用标点符号.

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特殊变量表
特殊变量 ans pi eps flops inf NaN i,j nargin nargout realmin realmax 取 值 用于结果的缺省变量名 圆周率 计算机的最小数,当和 1 相加就产生一个比 1 大的数 浮点运算数 无穷大,如 1/0 不定量,如 0/0 i=j= ? 1 所用函数的输入变量数目 所用函数的输出变量数目 最小可用正实数 最大可用正实数

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2、数学运算符号及标点符号
+ — * .* / ./ ^ .^ \ 加法运算,适用于两个数或两个同阶矩阵相加. 减法运算 乘法运算 点乘运算 除法运算 点除运算 乘幂运算 点乘幂运算 反斜杠表示左除.

(1)MATLAB的每条命令后,若为逗号或无标点符号, 则显示命令的结果;若命令后为分号,则禁止显示结果. (2)“%” 后面所有文字为注释. (3) “...”表示续行.

实验教案1 3.赋值语句 (1) 变量=表达式 (2) 表达式 其中表达式是用运算符将有关运算量连接起来的式子, 其结果是一个矩阵。 例1 计算表达式的值,并显示计算结果。 在MATLAB命令窗口输入命令: x=1+2i; y=3-sqrt(17); z=(cos(abs(x+y))sin(78*pi/180))/(x+abs(y)) 其中pi和i都是MATLAB预先定义的变量,分别代表代表 圆周率π和虚数单位。 输出结果是: z =-0.3488 + 0.3286i

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4、数学函数
函 数 名 称 函 数 名 称 sin(x) cos(x) tan(x) abs(x) min(x) sqrt(x) log(x) sign(x) 正弦函数 余弦函数 正切函数 绝对值 最小值 开平方 自然对数 符号函数 asin(x) acos(x) atan(x) max(x) sum(x) exp(x) log10 ( x) fix(x) 反正弦函数 反余弦函数 反正切函数 最大值 元素的总和 以 e 为底的指数 以 10 为底的对数 取整

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5、M文件
MATLAB的内部函数是有限的,有时为了研究某一个函数 的各种性态,需要为MATLAB定义新函数,为此必须编写函 数文件. 函数文件是文件名后缀为M的文件,这类文件的第一 行必须是一特殊字符function开始,格式为: function 因变量名=函数名(自变量名) 函数值的获得必须通过具体的运算实现,并赋给因变量. M文件建立方法:1. 在Matlab中,点:File->New->M-file

2. 在编辑窗口中输入程序内容
3. 点:File->Save,存盘,M文件名必须 与函数名一致。 Matlab的应用程序也以M文件保存。

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例2:定义函数 f(x1,x2)=100(x2-x12)2+(1-x1)2 1.建立M文件:fun.m function f=fun(x) f=100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2 2. 可以直接使用函数fun.m
例如:计算 f(1,2), 只需在Matlab命令窗口键入命令: x=[1 2] fun(x)

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二、数



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1、创建简单的数组 x=[a b c d e f ] 创建包含指定元素的行向量 x=first:last 创建从first开始,加1计数,到last结束的行向量 x=first:increment:last 创建从first开始,加increment计数,last结束的 行向量 x=linspace(first,last,n) 创建从first开始,到last结束,有n个元素的行向量 x=logspace(first,last,n) 创建从开始,到结束,有n个元素的对数分隔行向量.

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2、 数组元素的访问
(1)访问一个元素: x(i)表示访问数组x的第i个元素.

(2)访问一块元素: x(a :b :c)表示访问数组x的从第a 个元素开始,以步长为b到第c个元素(但不超过c),b可 以为负数,b缺损时为1.
(3)直接使用元素编址序号. x([a b c d]) 表示提取 数组x的第a、b、c、d个元素构成一个新的数组 [x(a) x(b) x(c) x(d)].

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3、数组的方向
前面例子中的数组都是一行数列,是行方向分布的.

称之为行向量. 数组也可以是列向量,它的数组操作和运
算与行向量是一样的,唯一的区别是结果以列形式显示. 产生列向量有两种方法: 直接产生 转置产生 例 例 c=[1;2;3;4] b=[1 2 3 4]; c=b’

说明:以空格或逗号分隔的元素指定的是不同列的

元素,而以分号分隔的元素指定了不同行的元素.

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4、数组的运算
(1)标量-数组运算 数组对标量的加、减、乘、除、乘方是数组的每个 元素对该标量施加相应的加、减、乘、除、乘方运算.
设:a=[a1,a2,…,an], c=标量 则:a+c=[a1+c,a2+c,…,an+c]

a.*c=[a1*c,a2*c,…,an*c]
a./c= [a1/c,a2/c,…,an/c](右除) a.\c= [c/a1,c/a2,…,c/an] (左除) a.^c= [a1^c,a2^c,…,an^c] c.^a= [c^a1,c^a2,…,c^an]

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(2)数组-数组运算 当两个数组有相同维数时,加、减、乘、除、 幂运算可按元素对元素方式进行的,不同大小或维 数的数组是不能进行运算的.
设:a=[a1,a2,…,an], b=[b1,b2,…,bn] 则:a+b= [a1+b1,a2+b2,…,an+bn]

a.*b= [a1*b1,a2*b2,…,an*bn]
a./b= [a1/b1,a2/b2,…,an/bn] a.\b=[b1/a1,b2/a2,…,bn/an] a.^b=[a1^b1,a2^b2,…,an^bn] 返回

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三、 矩



1、矩阵的建立

逗号或空格用于分隔某一行的元素,分号用于区分不
同的行. 除了分号,在输入矩阵时,按Enter键也表示开始

一新行. 输入矩阵时,严格要求所有行有相同的列.
例 m=[1 2 3 4 ;5 6 7 8;9 10 11 12] p=[1 1 1 1 2222 3 3 3 3]

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特殊矩阵的建立:. a=[ ] 产生一个空矩阵,当对一项操作无结 果时,返回空矩阵,空矩阵的大小为零. b=zeros(m,n) c=ones(m,n) 产生一个m行、n列的零矩阵 产生一个m行、n列的元素 全为1的矩阵 d=eye(m,n) 产生一个m行、n列的单位矩阵

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2、矩阵中元素的操作
(1)矩阵A的第r行:A(r,:)

(2)矩阵A的第r列:A(:,r)
(3)依次提取矩阵A的每一列,将A拉伸为一个列向量:A(:) (4)取矩阵A的第i1~i2行、第j1~j2列构成新矩阵:A(i1:i2, j1:j2) (5)以逆序提取矩阵A的第i1~i2行,构成新矩阵:A(i2:-1:i1,:) (6)以逆序提取矩阵A的第j1~j2列,构成新矩阵:A(:, j2:-1:j1 )

(7)删除A的第i1~i2行,构成新矩阵:A(i1:i2,:)=[ ]
(8)删除A的第j1~j2列,构成新矩阵:A(:, j1:j2)=[ ] (9)将矩阵A和B拼接成新矩阵:[A B];[A;B]

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(1)标量-矩阵运算 同标量-数组运算。

3、矩阵的运算

(2)矩阵-矩阵运算 [1] 元素对元素的运算,同数组-数组运算。
[2]矩阵运算: 矩阵加法:A+B 矩阵乘法:A*B 方阵的行列式:det(A)

方阵的逆:inv(A)
方阵的特征值与特征向量:[V,D]=eig[A] 返回

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关系与逻辑运算
1、关系操作符
关系操作符 < <= > >= == ~= 说明 小于 小于或等于 大于 大于或等于 等于 不等于

实验教案1 2、逻辑运算符

逻辑操作符 & ︱ ~

说明 与 或 非

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控制流
MATLAB提供三种决策或控制流结构: for循环、while循环、if-else-end结构. 这些结构经常包含大量的MATLAB命令,故经常出现在 MATLAB程序中,而不是直接加在MATLAB提示符下.

1、for循环:允许一组命令以固定的和预定的次数重复
for x=array {commands} end 在for和end语句之间的命令串{commands}按数组(array)中 的每一列执行一次. 在每一次迭代中,x被指定为数组的下一列,即 在第n次循环中,x=array(:,n) n ?? 例 对n=1,2,…,10,求xn= sin 的值
10

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2、While循环
与for循环以固定次数求一组命令相反,while循环以不定的次 数求一组语句的值.

while expression {commands} end
只要在表达式(expression)里的所有元素为真,就执行while和 end语句之间的命令串{commands}. 例 设银行年利率为11.25%。将10000元钱存入银行, 问多长时间会连本带利翻一番?

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money=10000 years=0 while money<20000 years=years+1 money=money*(1+11.25/100) end

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3、If-Else-End结构 (1)有一个选择的一般形式是: if expression {commands} end 如果在表达式(expression)里的所有元素为真, 就执行if和end语句之间的命令串{commands}.
?x2 ? 1 x ? 1 例 设f ( x ) ? ? , 求f (2), f ( ?1) x ?1 ? 2x
先建立M文件fun1.m定义函数f(x),再在 Matlab命令窗口输入fun1(2),fun1(-1)即可。

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function f=fun1(x) if x>1 f=x^2+1 end if x<=1 f=2*x end

实验教案1 2) 有三个或更多的选择的一般形式是: if (expression1) {commands1} else if (expression2) {commands2} else if (expression3) {commands3} else if …… ………………………………… else {commands} end end end …… end

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?x 2 ? 1 x ? 1 ? 例 设 f(x) ? ?2 x 0 ? x ? 1, 求f (2), f (0.5), f (?1) ?x3 x?0 ?
先建立M文件fun2.m定义函数f(x),再在 Matlab命令窗口输入fun2(2),fun2(0.5), fun2(-1)即 可。 function f=fun2(x) if x>1 f=x^2+1 else if x<=0 f=x^3 else f=2*x end end

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二维图形 三维图形 图形处理

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1.曲线图
Matlab作图是通过描点、连线来实现的,故在画一个曲线图形 之前,必须先取得该图形上的一系列的点的坐标(即横坐标

和纵坐标),然后将该点集的坐标传给Matlab函数画图.

命令为: PLOT(X,Y,S)
线型

?y ?m ?c -. +

黄色 . 点 洋红 o 圈 蓝绿色 x 长短线 r 加号 --

- 连线 : 短虚线 x-符号 红色 长虚线

X,Y是向量,分别表示点集的横坐标和纵坐标

PLOT(X,Y)--画实线 PLOT(X,Y1,S1,X,Y2,S2,……,X,Yn,Sn) --将多条线画在一起

实验教案1 例 在[0,2*pi]用红线画sin(x),用绿圈画cos(x). 解 x=linspace(0,2*pi,30);

y=sin(x); z=cos(x); plot(x,y,'r',x,z,’g0')

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8

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2.符号函数(显函数、隐函数和参数方程)画图

(1) ezplot
ezplot(‘f(x)’,[a,b])

表示在a<x<b绘制显函数f=f(x)的函数图
ezplot(‘f(x,y)’,[xmin,xmax,ymin,ymax])

表示在区间xmin<x<xmax和 ymin<y<ymax绘制
隐函数f(x,y)=0的函数图

ezplot(‘x(t)’,’y(t)’,[tmin,tmax]) 表示在区间tmin<t<tmax绘制参数方程 x=x(t),y=y(t)的函数图

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例 在[0,pi]上画y=cos(x)的图形 解 输入命令 ezplot(‘sin(x)’,[0,pi])
例 在[0,2*pi]上画 x ? cos t , y ? sin t 星形图
3

3

解 输入命令 ezplot(‘cos(t)^3’,’sin(t)^3’,[0.2*pi])
例 在[-2,0.5],[0,2]上画隐函数e ? sin(xy) ? 0 的图
x

解 输入命令 ezplot('exp(x)+sin(x*y)',[-2,0.5,0,2])

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(2) fplot
fplot(‘fun’,lims)

表示绘制字符串fun指定的函数在 lims=[xmin,xmax]的图形.
注意: [1] fun必须是M文件的函数名或是独立变量为 x的字符串. [2] fplot函数不能画参数方程和隐函数图形, 但在一个图上可以画多个图形。

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例 在[-1,2]上画 y ? e ? sin(3x ) 的 图形 解 先建M文件myfun1.m: function Y=myfun1(x) Y=exp(2*x)+sin(3*x.^2) 再输入命令: fplot(‘myfun1’,[-1,2])
2x 2

例 在[-2,2]范围内绘制函数tanh的图形 解 fplot(‘tanh’,[-2,2])

例 x、y 的取值范围都在[-2? ,2? ], 画函数 tanh(x),sin(x),cos(x)的图形
解 输入命令: fplot(‘[tanh(x),sin(x),cos(x)]’,2*pi*[-1 1 –1 1])

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3. 对数坐标图 在很多工程问题中,通过对数据进行对数转换可以 更清晰地看出数据的某些特征,在对数坐标系中描绘数 据点的曲线,可以直接地表现对数转换.对数转换有双对 数坐标转换和单轴对数坐标转换两种.用loglog函数可 以实现双对数坐标转换,用semilogx和semilogy函数可以 实现单轴对数坐标转换. loglog(Y) 表示 x、y坐标都是对数坐标系 semilogx(Y) semilogy(…) 表示 x坐标轴是对数坐标系 表示y坐标轴是对数坐标系

plotyy 有两个y坐标轴,一个在左边,一个在右边

实验教案1 例 用方形标记创建一个简单的loglog

解 输入命令: x=logspace(-1,2); loglog(x,exp(x),’-s’) grid on %标注格栅
例 创建一个简单的半对数坐标图 解 输入命令: x=0:.1:10; semilogy(x,10.^x)

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三维图形 1、空间曲线 2、空间曲面

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空 1、 一条曲线





线

PLOT3(x,y,z,s)
n维向量,分别表示曲 线上点集的横坐标、纵 坐标、函数值 例 指定颜色、 线形等

在区间[0,10*pi]画出参数曲线x=sin(t),y=cos(t), z=t. 解 t=0:pi/50:10*pi; plot3(sin(t),cos(t),t) rotate3d %旋转

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2、多条曲线

PLOT3(x,y,z)
其中x,y,z是都是m*n矩阵,其对应的每一列表示一条曲线. 例 画多条曲线观察函数Z=(X+Y).^2. 解 x=-3:0.1:3;y=1:0.1:5; [X,Y]=meshgrid(x,y); Z=(X+Y).^2; plot3(X,Y,Z)

(这里meshgrid(x,y)的作用 是产生一个以向量x为行、向量y 为列的矩阵) 返回

实验教案1 (1) 空 间 曲 面 surf(x,y,z) 画出数据点(x,y,z)表示的曲面
数据矩阵。分别表示 数据点的横坐标、纵 坐标、函数值

例 解

画函数Z=(X+Y).^2的图形. x=-3:0.1:3; y=1:0.1:5; [X,Y]=meshgrid(x,y); Z=(X+Y).^2; surf(X,Y,Z) shading flat %将当前图形变得平滑

实验教案1 (2) Mesh(x,y,z)

画网格曲面

数据矩阵。分别表示 数据点的横坐标、纵 坐标、函数值



画出曲面Z=(X+Y).^2在不同视角的网格图.

解 x=-3:0.1:3; y=1:0.1:5; [X,Y]=meshgrid(x,y); Z=(X+Y).^2; mesh(X,Y,Z)

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(3)meshz(X,Y,Z) 在网格周围画一个curtain图(如,参考平面) 例 绘peaks的网格图

解 输入命令: [X,Y]=meshgrid(-3:.125:3); Z=praks(X,Y); Meshz(X,Y,Z)

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在图形上加格栅、图例和标注

图 形 处 理

定制坐标
图形保持 分割窗口

缩放图形
改变视角





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处理图形
1、在图形上加格栅、图例和标注

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(1)GRID ON: 加格栅在当前图上
GRID OFF: 删除格栅
hh = ylabel(string): 在当前图形的y轴上加图例string hh = zlabel(string): 在当前图形的z轴上加图例string

(2)hh = xlabel(string): 在当前图形的x轴上加图例string

hh = title(string): 在当前图形的顶端上加图例string

实验教案1 例 在区间[0,2*pi]画sin(x)的图形,并加注图例“自变量 X”、“函数Y”、“示意图”, 并加格栅. 解 x=linspace(0,2*pi,30); y=sin(x); plot(x,y) xlabel('自变量X') ylabel('函数Y') title('示意图') grid on

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(3) hh = gtext(‘string’)

命令gtext(‘string’)用鼠标放置标注在现有的图上. 运行命令gtext(‘string’)时,屏幕上出现当前图形,在 图形上出现一个交叉的十字,该十字随鼠标的移动移动, 当按下鼠标左键时,该标注string放在当前十交叉的位 置. 例 在区间[0,2*pi]画sin(x),并分别标注“sin(x)” ”cos(x)”. 解 x=linspace(0,2*pi,30); y=sin(x); z=cos(x); plot(x,y,x,z) gtext(‘sin(x)’);gtext(’cos(x)’) 返回

实验教案1 2、定制坐标 Axis([xmin xmax ymin ymax zmin zmax]) 定制图形坐标

x、y、z的最大、最小值
Axis auto 将坐标轴返回到自动缺省值

例 在区间[0.005,0.01]显示sin(1/x)的图形。
解 x=linspace(0.0001,0.01,1000); y=sin(1./x); plot(x,y) axis([0.005 0.01 –1 1])

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实验教案1 3、图形保持

(1) hold on 保持当前图形, 以便继续画图到当前图上 hold of 释放当前图形窗口
例 将y=sin(x)、y=cos(x)分别用点和线画出在同一屏幕上。



x=linspace(0,2*pi,30); y=sin(x); z=cos(x) plot(x,z,:) hold on Plot(x,y)

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(2) figure(h)


新建h窗口,激活图形使其可见,并把它置 于其它图形之上

区间[0,2*pi]新建两个窗口分别画出y=sin(x); z=cos(x)。 解 x=linspace(0,2*pi,100); y=sin(x);z=cos(x); plot(x,y); title('sin(x)'); pause figure(2); plot(x,z); title('cos(x)');

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实验教案1 4、分割窗口 h=subplot(mrows,ncols,thisplot) 划分整个作图区域为mrows*ncols块(逐行对块访问)并 激活第thisplot块,其后的作图语句将图形画在该块上。 subplot(mrows,ncols,thisplot) 激活已划分为mrows*ncols块的屏幕中的第thisplot块,其后 的作图语句将图形画在该块上。 subplot(1,1,1) 命令Subplot(1,1,1)返回非分割状态。

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例 将屏幕分割为四块,并分别画出y=sin(x),z=cos(x), a=sin(x)*cos(x),b=sin(x)/cos(x)。 解x=linspace(0,2*pi,100); y=sin(x); z=cos(x); a=sin(x).*cos(x);b=sin(x)./(cos(x)+eps) subplot(2,2,1);plot(x,y),title(‘sin(x)’) subplot(2,2,2);plot(x,z),title(‘cos(x)’) subplot(2,2,3);plot(x,a),title(‘sin(x)cos(x)’) subplot(2,2,4);plot(x,b),title(‘sin(x)/cos(x)’)

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实验教案1 为当前图形打开缩放模式 单击鼠标左键,则在当前图形窗口中,以鼠标点中的点为 中心的图形放大2倍;单击鼠标右键,则缩小2倍 zoom off 关闭缩放模式 5、缩放图形 zoom on

例 缩放y=sin(x)的图形 解 x=linspace(0,2*pi,30); y=sin(x); Plot(x,y) zoom on

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6. 改变视角view (1)view(a,b) 命令view(a,b)改变视角到(a,b),a是方位角,b为仰角。 缺省视角为(-37.5,30)。 (2)view([x,y,z]) view用空间矢量表示的,三个量只关心它们的比例,与数 值的大小无关,x轴view([1,0,0]),y轴view([0,1, 0]),z轴view([0,0,1])。
例 画出曲面Z=(X+Y).^2在不同视角的网格图. 解 x=-3:0.1:3; y=1:0.1:5; [X,Y]=meshgrid(x,y); Z=(X+Y).^2; subplot(2,2,1), mesh(X,Y,Z) subplot(2,2,2), mesh(X,Y,Z),view(50,-34) subplot(2,2,3), mesh(X,Y,Z),view(-60,70) subplot(2,2,4), mesh(X,Y,Z),view(0,1,1) 返回

实验教案1 7. 动画 Moviein(),getframe,movie() 函数Moviein()产生一个帧矩阵来存放动画中的帧;函 数getframe对当前的图象进行快照;函数movie()按顺序 回放各帧。 例 将曲面peaks做成动画。 解 [x,y,z]=peaks(30); surf(x,y,z) axis([-3 3 -3 3 -10 10]) m=moviein(15); for i=1:15 view(-37.5+24*(i-1),30) m(:,i)=getframe; end movie(m) 返回

实验教案1

实验作业
1、熟悉数组与矩阵的相关运算.

2、有一个 5 ? 5 矩阵,编程求出其最大值及其所处的 位置以及矩阵的特征值与特征向量.
? n k ? 30 ?? k ! 3、已知 f ( n) ? ? k ?1 编程求 f (25), f (35) ?k k k ? 30 ? 4、在同一平面中的两个窗口分别画出心形线和马鞍面。

1)、在图形上加格栅、图例和标注 要求: 2)、定制坐标

3)、以不同角度观察马鞍面
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