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【志鸿优化设计】2015届高考数学(人教版,文科)一轮总复习课时规范练5 函数的单调性与最值]


课时规范练 5 函数的单调性与最值
一、选择题 1.若函数 y=ax 与 y=-在(0,+∞)上都是减函数,则 y=ax2+bx 在(0,+∞)上( ) A.单调递增 B.单调递减 C.先增后减 D.先减后增 答案:B 解析:因为函数 y=ax 与 y=-在(0,+∞)上都是减函数, 所以 a<0,b<0,则 y=ax2+bx 的对称轴方程 x=-<0

.故 y=ax2+bx 在(0,+∞)上为减函数,选 B. 2.已知 f(x)=是 R 上的单调递增函数,则实数 a 的取值范围为( ) A.(1,+∞) B.[4,8) C.(4,8) D.(1,8) 答案:B 解析:由题意得 即 4≤a<8,故选 B. 3.“函数 f(x)在[0,1]上单调”是“函数 f(x)在[0,1]上有最大值”的( ) A.必要非充分条件 B.充分非必要条件 C.充分且必要条件 D.既非充分也非必要条件 答案:B 解析:函数 f(x)在[0,1]上单调,则函数 f(x)在[0,1]上有最大值,而函数 f(x)在[0,1]上有最大值,则 f(x)在 [0,1]上不一定单调,故选 B. 4.函数 f(x)=的最大值为( ) A. B. C. D.1 答案:B 解析:当 x=0 时,y=0; 当 x≠0 时,f(x)=, 因为≥2,当且仅当, 即 x=1 时等号成立, 故 0<f(x)≤,则 0≤f(x)≤. 故 f(x)的最大值为.故选 B. 5.已知定义在 R 上的奇函数 f(x),满足 f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则( ) A.f(-25)<f(11)<f(80) B.f(80)<f(11)<f(-25) C.f(11)<f(80)<f(-25) D.f(-25)<f(80)<f(11) 答案:D 解析:因为 f(x)满足 f(x-4)=-f(x),所以 f(x-8)=f(x), 故函数是以 8 为周期的周期函数, 则 f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3), 又因为 f(x)在 R 上是奇函数, f(0)=0,得 f(80)=f(0)=0,f(-25)=f(-1)=-f(1), 而由 f(x-4)=-f(x)得 f(11)=f(3)=-f(-3)=-f(1-4)=f(1), 又因为 f(x)在区间[0,2]上是增函数, 所以 f(1)>f(0)=0.所以-f(1)<0, 即 f(-25)<f(80)<f(11),故选 D. 6.已知函数 y=f(x)的图象关于 x=1 对称,且在(1,+∞)上单调递增,设 a=f,b=f(2),c=f(3),则 a,b,c 的大小关 系为( ) A.c<b<a B.b<a<c C.b<c<a D.a<b<c 答案:B 解析:a=f=f,b=f(2),c=f(3),又 f(x)在(1,+∞)上单调递增,∴ f(2)<f<f(3),即 b<a<c. 二、填空题 7.如果函数 f(x)=ax2-3x+4 在区间(-∞,6)上单调递减,则实数 a 的取值范围是 .

答案:0≤a≤ 解析:(1)当 a=0 时,f(x)=-3x+4,函数在定义域 R 上单调递减,故在区间(-∞,6)上单调递减. (2)当 a≠0 时,二次函数 f(x)的对称轴为直线 x=. 因为 f(x)在区间(-∞,6)上单调递减, 所以 a>0,且≥6,解得 0<a≤. 综上所述 0≤a≤. 8.函数 y=3|x|-1 的定义域为[-1,2],则函数的值域为 . 答案:[0,8] 解析:当 x=0 时,ymin=3|x|-1=30-1=0,当 x=2 时,ymax=3|x|-1=32-1=8,故值域为[0,8]. 9.(2014 届浙江湖州中学月考)函数 y=的值域为 . 答案: 10.函数 f(x)=ln(4+3x-x2)的单调递减区间是 . 答案: 解析:函数 f(x)的定义域是(-1,4), u(x)=-x2+3x+4=-的递减区间为. ∵ e>1,∴ 函数 f(x)的单调递减区间为. 11.函数 y=-(x-3)|x|的单调递增区间是 . 答案: 解析:y=-(x-3)|x|= 作出该函数的图象如图,观察图象知递增区间为. 三、解答题 12.设函数 f(x)是奇函数,并且在 R 上为增函数,当 0≤θ≤时,f(msin θ)+f(1-m)>0 恒成立,求实数 m 的取值

范围. 解:∵ f(x)是奇函数, ∴ f(msin θ)>-f(1-m)=f(m-1). 又 f(x)在 R 上是增函数, ∴ msin θ>m-1, 即 m(1-sin θ)<1,当 0≤θ≤时恒成立. 当 θ=时,m∈R; 当 0≤θ<时,m<, ∵ 0<1-sin θ≤1,∴ ≥1.∴ m<1. 13.已知函数 f(x)=a-. (1)求证:函数 y=f(x)在(0,+∞)上是增函数; (2)若 f(x)<2x 在(1,+∞)上恒成立,求实数 a 的取值范围. (1)证明:当 x∈(0,+∞)时,f(x)=a-, 设 0<x1<x2,则 x1x2>0,x2-x1>0. f(x1)-f(x2)=<0. ∴ f(x1)<f(x2), 即 f(x)在(0,+∞)上是增函数. (2)解:由题意 a-<2x 在(1,+∞)上恒成立, 设 h(x)=2x+,则 a<h(x)在(1,+∞)上恒成立. 可证 h(x)在(1,+∞)上单调递增. 故 a≤h(1),即 a≤3, ∴ a 的取值范围为(-∞,3]. 14.函数 f(x)=在区间(-2,+∞)上是递增的,求实数 a 的取值范围.

解:f(x)=+a. 任取 x1,x2∈(-2,+∞),且 x1<x2, 则 f(x1)-f(x2)=. ∵ 函数 f(x)=在区间(-2,+∞)上是递增的, ∴ f(x1)-f(x2)<0. ∵ x2-x1>0,x1+2>0,x2+2>0, ∴ 1-2a<0,a>, 即实数 a 的取值范围是. 15.讨论函数 f(x)=x+(a>0)的单调区间. 解:任取 x1,x2∈(0,+∞),且 x1<x2,则 x2-x1>0,f(x2)-f(x1)=(x2-x1)·. 当 0<x1<x2≤时,有 0<x1x2<a, ∴ x1x2-a<0. ∴ f(x2)-f(x1)<0,即 f(x)在(0,]上是减函数. 当≤x1<x2 时,有 x1x2>a, ∴ x1x2-a>0. ∴ f(x2)-f(x1)>0,即 f(x)在[,+∞)上是增函数. ∵ 函数 f(x)是奇函数,∴ 函数 f(x)在(-∞,-]上是增函数,在[-,0)上是减函数. 综上,f(x)在区间(-∞,-],[,+∞)上为增函数,在[-,0),(0,]上为减函数. 四、选做题 1.定义在 R 上的偶函数 y=f(x)满足 f(x+2)=f(x),且当 x∈(0,1]时单调递增,则( ) A.f<f(-5)<f B.f<f<f(-5) C.f<f<f(-5) D.f(-5)<f<f 答案:B 解析:∵ f(x+2)=f(x), ∴ f(x)是以 2 为周期的函数, 又 f(x)是偶函数, ∴ f=f=f, f(-5)=f(5)=f(4+1)=f(1), ∵ 函数 f(x)在(0,1]上单调递增, ∴ f<f<f(1), 即 f<f<f(-5). 2.设 x1,x2 为方程 4x2-4mx+m+2=0 的两个实根,当 m= 时,有最小值 答案:-1 解析:由根与系数的关系得:x1+x2=m,x1x2=, ∴ =(x1+x2)2-2x1x2=m2-. 又 x1,x2 为实根,∴ Δ≥0, ∴ m≤-1 或 m≥2. ∵ y=在区间(-∞,-1]上是减函数,在[2,+∞)上是增函数, 又该函数对应的抛物线开口向上且以 m=为对称轴,故 m=-1 时,ymin=. 3.若 α,β 是方程 4x2-4kx-1=0(k∈R)的两个不等实根,函数 f(x)=的定义域为[α,β]. (1)判断函数 f(x)在定义域内的单调性,并证明; (2)记 g(k)=f(x)max-f(x)min,若对任意 k∈R,恒有 g(k)≤a 成立,求实数 a 的取值范围. 解:(1)设 α≤x1<x2≤β,则 4-4kx1-1≤0,4-4kx2-1≤0,4()-4k(x1+x2)-2≤0, ∴ 2x1x2-k(x1+x2)-<0, 则 f(x2)-f(x1)= =. 又 k(x1+x2)-2x1x2+2>k(x1+x2)-2x1x2+>0, ∴ f(x2)-f(x1)>0, 故 f(x)在区间[α,β]上是增函数. (2)g(k)=f(β)-f(α) =≤a 恒成立.

.

a≥=1+, 考虑的最大值为, ∴ a≥.


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