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2013年全国初中数学竞赛九年级预赛试题及答案最新


中国教育学会中学数学数学专业委员会 2013 年全国初中数学竞赛九年级预赛试题
一.选择题(共 6 小题,满分 30 分,每小题 5 分) 1. 分)从长度是 2cm、2cm、4cm、4cm 的四条线段中任意选三条线段,这三条线段能够组成等腰三角形的概率 (5 是( ) A. B. C. D.1 2. 分) (5 (2008?铜仁地区)如图,M 是△ ABC 的边 BC 的中点,AN 平分∠ BAC,且 BN⊥ AN,垂足为 N,且 AB=6, BC=10,MN=1.5,则△ ABC 的周长是( )

A.28

B.32
2

C.18
2

D.25

3.(5 分)已知 xy≠1,且有 5x +2011x+9=0,9y +2011y+5=0,则 A. 5 B. 9 C. 2011

x 的值等于( y
? 9

)

9

5

?

D. 2011

5

4. 分)已知直角三角形的一直角边长是 4,以这个直角三角形的三边为直径作三个半圆(如图所示) (5 ,已知两个 月牙形(带斜线的阴影图形)的面积之和是 10,那么以下四个整数中,最接近图中两个弓形(带点的阴影图形)面 积之和的是( )

A.6

B.7

C.8

D.9 在 x=1 时取最小值 , ABC 则△

5. 分) a, c 是△ (5 设 b, ABC 的三边长, 二次函数 是( ) A.等腰三角形

B.锐角三角形

C.钝角三角形

D.直角三角形

6. 分)计算机中的堆栈是一些连续的存储单元,在每个堆栈中数据的存入、取出按照“先进后出’’的原则.如图, (5 堆栈(1)的 2 个连续存储单元已依次存入数据 b,a,取出数据的顺序是 a,b;堆栈(2)的 3 个连续存储单元已

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www.jyeoo.com 依次存人数据 e, c, d, 取出数据的顺序则是 c, e, d, 现在要从这两个堆栈中取出这 5 个数据 (每次取出 1 个数据) , 则不同顺序的取法的种数有( )

A.5 种

B.6 种

C.10 种

D.12 种

二.填空题(共 6 小题,满分 30 分,每小题 5 分) 2 7. 分)设方程 x ﹣|2x﹣1|﹣4=0,则满足该方程的所有根之和为 _________ (5



8. 分) (5 (人教版考生做)如图,在平行四边形 ABCD 中,过 A、B、C 三点的圆交 AD 于 E,且与 CD 相切.若 AB=4,BE=5,则 DE 的长为 _________ .

8. 分) (5 (北师大版考生做)如图 B,等边三角形 ABC 中,D、E 分别为 AB、BC 边上的点,AD=BE,AE 与 CD 交于点 F,AG⊥ 于点 G,则 CD

FG 的值为 _________ . AF

9. 分)已知 a ﹣a﹣1=0,且 (5

2

?

2 ,则 x= _________ . 3

10. 分)甲乙两人到特价商店购买商品,已知两人购买商品的件数相等,且每件商品的单价只有 8 元和 9 元,若 (5 两人购买商品一共花费了 172 元,则其中单价为 9 元的商品有 _________ 件. 11. 分)如图,电线杆 AB 直立于地面上, (5 它的影子恰好照在土坡的坡面 CD 和地面 BC 上,若 CD 与地面成 45°, ∠ A=60°,CD=4m, ,则电线杆 AB 的长为 _________ 米.

九年级预赛试卷第 2 页 (共 2 页)

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www.jyeoo.com 12. (5分) 若实数 x, 使得 y, 为 _________ . 这四个数中的三个相同的数值, 则所有具有这样性质的数对(x,y)

三.解答题(共 4 小题,满分 80 分,每小题 20 分) 13. (20 分)已知: (x+a) (x+b)+(x+b) (x+c)+(x+c) (x+a)是完全平方式. 求证:a=b=c 14. (20 分) (2010?钦州)如图,将 OA=6,AB=4 的矩形 OABC 放置在平面直角坐标系中,动点 M、N 以每秒 1 个单位的速度分别从点 A、C 同时出发,其中点 M 沿 AO 向终点 O 运动,点 N 沿 CB 向终点 B 运动,当两个动点 运动了 t 秒时,过点 N 作 NP⊥ BC,交 OB 于点 P,连接 MP. (1)点 B 的坐标为 _________ ;用含 t 的式子表示点 P 的坐标为 _________ ; (2)记△ OMP 的面积为 S,求 S 与 t 的函数关系式(0<t<6) ;并求 t 为何值时,S 有最大值? (3)试探究:当 S 有最大值时,在 y 轴上是否存在点 T,使直线 MT 把△ ONC 分割成三角形和四边形两部分,且三 角形的面积是△ ONC 面积的 ?若存在,求出点 T 的坐标;若不存在,请说明理由.

15. (20 分)对于给定的抛物线 y=x +ax+b,使实数 p、q 适合于 ap=2(b+q) 2 (1)证明:抛物线 y=x +px+q 通过定点; 2 2 (2)证明:下列两个二次方程,x +ax+b=0 与 x +px+q=0 中至少有一个方程有实数解.

2

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2013 年全国初中数学竞赛九年级预赛试题
参考答案与试题解析
一.选择题(共 8 小题,满分 160 分,每小题 20 分) 1. 分)从长度是 2cm、2cm、4cm、4cm 的四条线段中任意选三条线段,这三条线段能够组成等腰三角形的概率 (5 是( ) A. B. C. D.1

考点: 分析:

解答:

概率公式;三角形三边关系;等腰三角形的判定. 根据随机事件概率大小的求法,找准两点: ① 符合条件的情况数目; ② 全部情况的总数. 二者的比值就是其发生的概率的大小. 解:从长度是 2cm、2cm、4cm、4cm 的四条线段中任意选三条线段,有 4 种情况,由于三角形中两
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边之和应大于第三边,所以能构成等腰三角形的情况有 2 种,故能构成等腰三角形的概率= = . 故选 C. 此题考查概率的求法:如果一个事件有 n 种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件 A 出现 m 种结果,那么事件 A 的概率 P(A)= ;用到的知识点为:等腰三角形有 2 条边长相等;构成三角 形的基本要求为两小边之和大于第三边. 2. 分) (5 (2008?铜仁地区)如图,M 是△ ABC 的边 BC 的中点,AN 平分∠ BAC,且 BN⊥ AN,垂足为 N,且 AB=6, BC=10,MN=1.5,则△ ABC 的周长是( )

点评:

A.28 考点: 分析: 解答:

B.32

C.18

D.25

三角形中位线定理. 延长线段 BN 交 AC 于 E,从而构造出全等三角形, ABN≌AEN) (△ △ ,进而证明 MN 是中位线,从而 求出 CE 的长. 解:延长线段 BN 交 AC 于 E. ∵ 平分∠ AN BAC, ∴BAN=∠ ∠ EAN,AN=AN,∠ ANB=∠ ANE=90°, ∴ABN≌AEN, △ △ ∴ AE=AB=6,BN=NE, 又∵ 是△ M ABC 的边 BC 的中点, ∴ CE=2MN=2×1.5=3, ∴ABC 的周长是 AB+BC+AC=6+10+6+3=25, △ 故选 D.
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九年级预赛试卷第 4 页 (共 4 页)

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点评:

本题主要考查了中位线定理和全等三角形的判定.解决本题的关键是作出辅助线,利用全等三角形 来得出线段相等,进而应用中位线定理解决问题.
2 2

3.(5 分)已知 xy≠1,且有 5x +2011x+9=0,9y +2011y+5=0,则 A. 5 B. 9 C. 2011

x 的值等于( y
? 9

)

9
选B

5

?

D. 2011

5

4. 分)已知直角三角形的一直角边长是 4,以这个直角三角形的三边为直径作三个半圆(如图所示) (5 ,已知两个 月牙形(带斜线的阴影图形)的面积之和是 10,那么以下四个整数中,最接近图中两个弓形(带点的阴影图形)面 积之和的是( )

A.6 考点: 专题: 分析:

B.7

C.8

D.9

扇形面积的计算;三角形的面积;勾股定理. 计算题.

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如图,AC=4,S1+S2=10,设 BC=a,利用圆的面积公式得到 S1+S2+S3+S4= π×2 + π× a =2π+ 于是有 S3+S4=2π+ S3+S4= π× a ﹣10① ,再用以 AB 为直径的半圆减去三角形 ABC 的面积得到 S3+S4,即 ﹣ ×4a=
2

2

2

a,

2

a +2π﹣2a② ,有① 得到 a 的方程,求出 a,然后代入① ﹣② 即可得到两

2

解答:

个弓形(带点的阴影图形)面积之和. 解:如图, AC=4,S1+S2=10,设 BC=a, ∴ 1+S2+S3+S4= π×2 + π× a =2π+ S ∴ 3+S4=2π+ S
2 2 2 2 2

a,

2

a ﹣10① ,
2

2

又∵ =4 +a =16+a , AB ∴ 3+S4= π× S ① 得,2π+ ﹣② ∴ 3+S4=2π+ S
2

﹣ ×4a= a ﹣10= a ﹣10=2π+
2 2

a +2π﹣2a② ,

2

a +2π﹣2a,解得 a=5, ×25﹣10≈6.1,

即最接近图中两个弓形(带点的阴影图形)面积之和的是 6.
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www.jyeoo.com 故选 A.

点评:

本题考查了圆的面积公式:S=πR .也考查了不规则图形的面积的求法,即转化为规则的几何图形 的面积的和或差来解决.

2

5. 分) a, c 是△ (5 设 b, ABC 的三边长, 二次函数 是( ) A.等腰三角形 考点: 专题: 分析: 解答:

在 x=1 时取最小值

, ABC 则△

B.锐角三角形

C.钝角三角形

D.直角三角形

二次函数的最值;勾股定理的逆定理. 计算题. 根据二次函数在对称轴时取得最小值,然后根据题意列出方程组即可求出答案;
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解:由题意可得






2 2 2

所以



,因此 a +c =b ,

点评:

所以△ ABC 是直角三角形, 故选 D. 本题考查了二次函数的最值,难度不大,关键是掌握二次函数在二次项系数大于 0 时,在对称轴处 取得最小值.

6. 分)计算机中的堆栈是一些连续的存储单元,在每个堆栈中数据的存入、取出按照“先进后出’’的原则.如图, (5 堆栈(1)的 2 个连续存储单元已依次存入数据 b,a,取出数据的顺序是 a,b;堆栈(2)的 3 个连续存储单元已 依次存人数据 e, c, d, 取出数据的顺序则是 c, e, d, 现在要从这两个堆栈中取出这 5 个数据 (每次取出 1 个数据) , 则不同顺序的取法的种数有( )

A.5 种 考点:

B.6 种 加法原理与乘法原理.

C.10 种

D.12 种

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九年级预赛试卷第 6 页 (共 6 页)

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www.jyeoo.com 专题: 计算题. 分析: 此题实际可以理解为 a、b、c、d、e 这五个字母组成的排列中,不论怎样排列,a、b 先后顺序和 c、 d、e 排列的顺序不变,这样排列开头的字母只能是 a 或 c,由此解答问题即可. 解答: 解:先取出堆栈(1)的数据首次取出的只能是 a,可以有下列情况, abcde,acbde,acdbe,acdeb 四种情况; 先取出堆栈(2)的数据首次取出的只能是 c,可以有下列情况, cdeab,cdabe,cdaeb,cabde,cadbe,cadeb 六种情况; 综上所知,共 10 种取法. 故选 C. 点评: 解决此题的关键是要搞清 a、b 先后顺序和 c、d、e 排列的顺序不变,从而运用一一列举的方法解答 即可. 二.填空题(共 3 小题,满分 15 分,每小题 5 分) 2 7.(5 分)设方程 x ﹣|2x﹣1|﹣4=0,则满足该方程的所有根之和为 _________ . 考点: 解一元二次方程-因式分解法;绝对值;解一元二次方程-公式法. 专题: 因式分解. 分析: 因为题目中带有绝对值符号,所以必须分两种情况进行讨论,去掉绝对值符号,得到两个一元二次 方程,求出方程的根,不在讨论范围内的根要舍去. 解答: 2 解:当 2x﹣1≥0 时,即 x≥ ,原方程化为:x ﹣2x﹣3=0, (x﹣3) (x+1)=0,
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x1=3,x2=﹣1,∵ ﹣1< ∴2=﹣1(舍去) x ∴ x=3 当 2x﹣1<0,即 x< 时,原方程化为:x +2x﹣5=0, (x+1) =6, x+1=± ∵ ﹣1+ ,x1=﹣1+ ,x2=﹣1﹣ (舍去)
2 2

> ,∴1=﹣1+ x

点评:

∴ x=﹣1﹣ . 则 3+(﹣1﹣ )=2﹣ . 故答案是:2﹣ 本题考查的是解一元二次方程,由于带有绝对值符号,必须对题目进行讨论,对不在讨论范围内的 根要舍去.

8. 分) (5 (人教版考生做)如图,在平行四边形 ABCD 中,过 A、B、C 三点的圆交 AD 于 E,且与 CD 相切.若 AB=4,BE=5,则 DE 的长为 _________ .

考点: 分析:

解答:

切割线定理;平行四边形的性质;圆周角定理;弦切角定理. 连接 CE,根据圆周角定理易知:∠ BAE=∠ BEC+∠ EBC,而∠ DCB=∠ DCE+∠ BCE,这两个等式中,由弦 切角定理知:∠ DCE=∠ EBC;再由平行四边形的性质知:∠ DCB=∠ EAB,因此∠ BEC=∠ BCE,即可得 BC=BE=5,即 AD=5,进而可由切割线定理求 DE 的长. 解:连接 CE;
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www.jyeoo.com ∴BAE=∠ ∠ EBC+∠ BEC; ∵DCB=∠ ∠ DCE+∠ BCE, 由弦切角定理知:∠ DCE=∠ EBC, 由平行四边形的性质知:∠ DCB=∠ BAE, ∴BEC=∠ ∠ BCE,即 BC=BE=5, ∴ AD=5; 由切割线定理知:DE=DC ÷DA= 故选 D.
2



点评:

此题主要考查了平行四边形的性质、切割线定理、弦切角定理以及圆周角定理的综合应用,能够判断 出△ BEC 是等腰三角形,是解决此题的关键.

8. 分) (5 (北师大版考生做)如图 B,等边三角形 ABC 中,D、E 分别为 AB、BC 边上的点,AD=BE,AE 与 CD 交于点 F,AG⊥ 于点 G,则 CD

FG 的值为 _________ . AF

考点: 分析: 解答:

特殊角的三角函数值;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质. 首先证明△ CAD≌ABE,得出∠ △ ACD=∠ BAE,证明∠ AFG=60°. 解:在△ CAD 与△ ABE 中, AC=AB,∠ CAD=∠ ABE=60°,AD=BE, ∴CAD≌ABE. △ △ ∴ACD=∠ ∠ BAE. ∵BAE+∠ ∠ CAE=60°, ∴ACD+∠ ∠ CAE=60°. ∴AFG=∠ ∠ ACD+∠ CAE=60°. 在直角△ AFG 中, ∵ FAG= sin∠ ∴

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FG , AF

FG 1 = . AF 2

点评:

本题主要考查了全等三角形的判定、性质,等边三角形、三角形的外角的性质,特殊角的三角函数 值及三角函数的定义.综合性强,有一定难度.

9. 分)已知 a ﹣a﹣1=0,且 (5

2

?

2 ,则 x= 3



考点:

解分式方程.

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www.jyeoo.com 专题: 计算题. 2 2 3 4 分析: 本题可先根据 a ﹣a﹣1=0,得出 a ,a ,a 的值,然后将等式化简求解. 2 解答: 解:由题意可得 a ﹣a﹣1=0 2 a =a+1 4 2 2 2 2 a =(a ) =(a+1) =a +2a+1=a+1+2a+1=3a+2 3 2 2 a =a?a =a(a+1)=a +a=a+1+a=2a+1 =?

2 3 2 3

=?

点评:

x=4. 2 本要先根据给出的 a ﹣a﹣1=0 得出对等式化简有用的一些信息,然后再将方程化简求解.本题计算 过程较长,比较复杂.

10. 分)甲乙两人到特价商店购买商品,已知两人购买商品的件数相等,且每件商品的单价只有 8 元和 9 元,若 (5 两人购买商品一共花费了 172 元,则其中单价为 9 元的商品有 12 件. 考点: 分析: 解答: 二元一次方程组的应用. 设共购商品 2x 件, 元的商品 a 件, 9 根据两人购买商品的件数相等, 且两人购买商品一共花费了 172 元,可列出方程,求解即可. 解:设共购商品 2x 件,9 元的商品 a 件,则 8 元商品为(2x﹣a)件,根据题意得: 8(2x﹣a)+9a=172, 解得 a=172﹣16x, ∵ 依题意 2x≥a,且 a=172﹣16x≥0,x 为大于 0 的自然数, ∴ 可得 9.6≤x≤10.75, ∴ x=10,则 a=12. 所以 9 元的商品 12 件,故答案填 12. 本题主要考查了二元一次方程的应用及不等式组的解法.解题关键是弄清题意,找到合适的等量关 系,列出方程.本题解题的关键在于按生活实际讨论未知数的取值范围.
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点评:

11. 分)如图,电线杆 AB 直立于地面上, (5 它的影子恰好照在土坡的坡面 CD 和地面 BC 上,若 CD 与地面成 45°, ∠ A=60°,CD=4m, ,则电线杆 AB 的长为 _________ 米.

考点: 专题: 分析: 解答:

解直角三角形的应用-坡度坡角问题. 应用题. 延长 AD 交地面于 E,作 DF⊥ 于 F,求出 BE=BC+CF+FE= BE 解:延长 AD 交地面于 E,作 DF⊥ 于 F. BE ∵DCF=45°.CD=4. ∠ ∴ CF=DF= . 由题意知 AB⊥ BC. ∴EDF=∠ ∠ A=60°.
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,根据正切求出 AB 的值即可.

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www.jyeoo.com ∴DEF=30° ∠ ∴ EF= . ∴ BE=BC+CF+FE= . 在 Rt△ ABE 中,∠ E=30°. ∴ AB=BEtan30°= 答:电线杆 AB 的长为 6 米. (m) .

点评:

此题主要是运用所学的解直角三角形的知识解决实际生活中的问题. 作辅助线、 求出 BE=BC+CF+FE 是解题的关键.

12. (5分) 若实数 x, 使得 y, 为 _________ 考点: 专题: 分析: 解答:

这四个数中的三个相同的数值, 则所有具有这样性质的数对(x,y)

. 实数的运算. 分类讨论. 此题可以先根据分母不为 0 确定 x+y 与 x﹣y 不相等,再分类讨论即可.
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解:因为 有意义,所以 y 不为 0,故 x+y 和 x﹣y 不等 (1)x+y=xy= 解得 y=﹣1,x= , (2)x﹣y=xy= 解得 y=﹣1,x=﹣ , 答案为(﹣1, ) (﹣1,﹣ )

点评:

解答本题的关键是确定 x+y 与 x﹣y 不相等,再进行分类讨论.

三.解答题(共 4 小题,满分 80 分,每小题 20 分) 13. (20 分)已知: (x+a) (x+b)+(x+b) (x+c)+(x+c) (x+a)是完全平方式. 求证:a=b=c 考点: 完全平方式. 专题: 计算题. 分析: 2 先把原式展开, 合并, 由于它是完全平方式, 故有 3x +2 (a+b+c) (ab+bc+ac) x+ =[
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x+

(a+b+c) , ]

2

解答:

化简有 ab+bc+ac=a +b +c ,那么就有(a﹣b) +(b﹣c) +(c﹣a) =0,三个非负数的和等于 0, 则每一个非负数等于 0,故可求 a=b=c. 2 解:原式=3x +2(a+b+c)x+(ab+bc+ac) , ∵ (x+a) (x+b)+(x+b) (x+c)+(x+c) (x+a)是完全平方式, ∴ +2(a+b+c)x+(ab+bc+ac)=[ 3x
2 2 2 2 2

2

2

2

2

2

2

x+

(a+b+c)] ,

2

∴ ab+bc+ac= (a+b+c) = (a +b +c +2ab+2ac+2bc) , ∴ ab+bc+ac=a +b +c ,
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2 2 2

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www.jyeoo.com ∴ 2(ab+bc+ac)=2(a +b +c ) , 2 2 2 即(a﹣b) +(b﹣c) +(c﹣a) =0, ∴ a﹣b=0,b﹣c=0,c﹣a=0, ∴ a=b=c. 本题考查了完全平方式、非负数的性质.两数的平方和,再加上或减去它们积的 2 倍,就构成了一 个完全平方式.
2 2 2

点评:

14. (20 分) (2010?钦州)如图,将 OA=6,AB=4 的矩形 OABC 放置在平面直角坐标系中,动点 M、N 以每秒 1 个单位的速度分别从点 A、C 同时出发,其中点 M 沿 AO 向终点 O 运动,点 N 沿 CB 向终点 B 运动,当两个动点 运动了 t 秒时,过点 N 作 NP⊥ BC,交 OB 于点 P,连接 MP. (1)点 B 的坐标为 (6,4) ;用含 t 的式子表示点 P 的坐标为 (t, t) ;

(2)记△ OMP 的面积为 S,求 S 与 t 的函数关系式(0<t<6) ;并求 t 为何值时,S 有最大值? (3)试探究:当 S 有最大值时,在 y 轴上是否存在点 T,使直线 MT 把△ ONC 分割成三角形和四边形两部分,且三 角形的面积是△ ONC 面积的 ?若存在,求出点 T 的坐标;若不存在,请说明理由.

考点: 专题: 分析:

二次函数的最值;一次函数的应用;三角形的面积;矩形的性质. 压轴题. (1)由 OA=6,AB=4,易得点 B 的坐标为(6,4) ;由图可得,点 P 的横坐标=CN=t, 纵坐标=4﹣NP,NP 的值可根据相似比求得;
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(2)由(1)的结论易得△ OMP 的高为 t,而 OM=6﹣AM=6﹣t,再根据三角形的面积 公式即可求得 S 与 t 的函数关系式,再由二次函数的最值求法,求得 t 为何值时,S 有最 大值; (3)由(2)求得点 M、N 的坐标,从而求得直线 ON 的函数关系式;设点 T 的坐标为 (0,b) ,可得直线 MT 的函数关系式,解由两个关系式组成的方程组,可得点直线 ON 与 MT 的交点 R 的坐标;由已知易得 S△OCN= ×4×3=6,∴ △ORT= S△OCN=2;然后分两种 S 情况考虑:① 当点 T 在点 O、C 之间时,② 当点 T 在点 OC 的延长线上,从而求得符合条 件的点 T 的坐标. 解: (1)延长 NP 交 OA 于 H, ∵ 矩形 OABC, ∴ OA,∠ BC∥ OCB=90°, ∵ BC, PN⊥ ∴ OC, NH∥ ∴ 四边形 CNHO 是平行四边形, ∴ OH=CN, ∵ OA=6,AB=4, ∴ B 的坐标为(6,4) 点 ; 由图可得,点 P 的横坐标=0H=CN=t,纵坐标=4﹣NP,
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解答:

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www.jyeoo.com ∵ BC, NP⊥ ∴ OC, NP∥ ∴ NP:OC=BN:CB, 即 NP:4=(6﹣t) :t, ∴ NP=4﹣ t, ∴ P 的纵坐标=4﹣NP= t, 点 则点 P 的坐标为( ) ;

(其中写对 B 点得 1 分) 分) (3 (2)∵ △OMP= ×OM× S ∴ ×(6﹣t)× S= = = , 分) (4 +2t. (0<t<6)(6 分) .

∴ t=3 时,S 有最大值. 分) 当 (7 (3)存在. 由(2)得:当 S 有最大值时,点 M、N 的坐标分别为:M(3,0) ,N(3,4) , 则直线 ON 的函数关系式为: . ,

设点 T 的坐标为(0,b) ,则直线 MT 的函数关系式为:

解方程组





∴ 直线 ON 与 MT 的交点 R 的坐标为 ∵ △OCN= ×4×3=6, S ∴ △ORT= S△OCN=2. 分) S (8



① 当点 T 在点 O、C 之间时,分割出的三角形是△ 1T1,如图,作 R1D1⊥ 轴,D1 为垂 OR y 足, 则 S△OR1T1= RD1?OT= ? ∴ ﹣4b﹣16=0,b= 3b ∴1= b ,b2=
2

?b=2. . (不合题意,舍去) )(9 分) .

此时点 T1 的坐标为(0,

② 当点 T 在 OC 的延长线上时,分割出的三角形是△ 2NE,如图,设 MT 交 CN 于点 E, R

九年级预赛试卷第 12 页 (共 12 页)

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www.jyeoo.com 由① 得点 E 的横坐标为 S△R2NE= ?EN?R2D2= ? ∴ +4b﹣48=0,b= b ∴1= b ,b2= ∴ 此时点 T2 的坐标为(0,
2

,作 R2D2⊥ 交 CN 于点 D2,则 CN ? . (不合题意,舍去) . ) . ) 2(0, ,T )符合条件. (10 分) = =2.

综上所述,在 y 轴上存在点 T1(0,

点评:

此题综合性较强,考查了点的坐标、平行线分线段成比例、二次函数的最值、一次函数 的应用等知识点.
2

15. (20 分)对于给定的抛物线 y=x +ax+b,使实数 p、q 适合于 ap=2(b+q) 2 (1)证明:抛物线 y=x +px+q 通过定点; 2 2 (2)证明:下列两个二次方程,x +ax+b=0 与 x +px+q=0 中至少有一个方程有实数解. 考点: 专题: 分析: 二次函数图象上点的坐标特征;根的判别式. 证明题. (1)由已知求得 q=
2

732662

﹣b,代入抛物线 y=x +px+q,得 y=x +px+

2

﹣b,将抛物线 y=x +ax+b 的

2

顶点横坐标 x=﹣ 代入可求 y 的值,确定结果为顶点纵坐标即可; (2)方程 x +ax+b=0 与 x +px+q=0 的判别式分别为 a ﹣4b,p ﹣4q,由 2q=ap﹣2b 可得出两个判 别式的和为非负数,可知其中至少有一个判别式为非负数,故至少有一个方程有实数解. 解答: 证明: (1)由 ap=2(b+q) ,得 q= 得:﹣y+x ﹣b+p(x+ )=0,
2 2 2 2 2

﹣b,代入抛物线 y=x +px+q,

2





九年级预赛试卷第 13 页 (共 13 页)

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解得:



故抛物线 y=x +px+q 通过定点(﹣ ,

2

) .

点评:

(2)由 2q=ap﹣2b 得 p ﹣4q=p ﹣2?2q=p ﹣2(ap﹣2b)=(p﹣a) ﹣(a ﹣4b) , 2 2 2 ∴ ﹣4q)+(a ﹣4b)=(p﹣a) ≥0, (p 2 2 ∴ ﹣4q,a ﹣4b 中至少有一个非负, p 2 2 ∴ +ax+b=0 与 x +px+q=0 中至少有一个方程有实数解. x 本题考查了抛物线上的点及顶点的坐标特点,判别式判断一元二次方程解的运用,明确两个数的和 为非负数时,其中至少有一个数为非负数.

2

2

2

2

2

九年级预赛试卷第 14 页 (共 14 页)


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