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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学北师大版必修二【配套备课资源】垂直关系的性质


6.2

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[学习要求]

垂直关系的性质

1.理解并掌握直线与平面,平面与平面垂直的性质定理;
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2.会应用两个性质定理证明有关平行或垂直的问题. [学法指导] 通过借助对图形的直观感知,操作确认,提炼出直线与平 面, 平面与平面垂直的性质定理

; 通过两个性质定理的学 习, 培养和发展推理论证能力, 运用图形语言进行交流的 能力,几何直观感知能力; 感悟和体验线面垂直和面面垂 直转化为线线垂直的思想方法.

填一填·知识要点、记下疑难点

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1.线面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那 么这两条直线 平行 . 2.面面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个 平面内垂直于 它们交线的直线 垂直于另一个平面.

研一研·问题探究、课堂更高效

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[问题情境]
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我们知道“在平面内, 如果两条直线同垂直于另一条直线, 那么这两条直线平行”.在空间中有相同或者类似的结 论吗?

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探究点一

直线与平面垂直的性质

问题 1 观察下图, 两个长方体中的直线 a, 与平面 α 有怎 b
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样的关系?由此你能得出直线 a,b 有什么关系吗?

答 直线 a 与直线 b 都垂直于平面 α,这时 a∥b.

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问题 2 一般地,如果直线 a⊥α,直线 b⊥α,这时,a 和 b

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平行吗?你能给出证明吗?
答 a和b平行,证明如下:
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如右图,假定a和b不平行. 设 a⊥α,b⊥α,垂足分别为 A,B. 过点 B 作 a 的平行线 b′, 由异面直线垂直的定义,b′与平面 α 内过点 A 的任意直线都 垂直,也即有 b′⊥α,b∩b′=B, 故直线 b 与 b′确定一个平面,记为 β,且记 α∩β=l, 在平面 β 内,过点 B 有且仅有一条直线垂直于 l,
故 b′与 b 重合,a 与 b 平行. 小结 直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于
一个平面,那么这两条直线平行.

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例1 过一点和已知平面垂直的直线只有一条. 平面 α 和一点 P(如下图). 过点 P 与平面 α 垂直的直线只有一条. 已知 求证
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证明 不论点 P 在 α 外或内,设 PA⊥α,垂足为 A(或 P).如 果过点 P,除直线 PA⊥α 外,还有一条直线 PB⊥α,设 PA, PB 确定的平面为 β,且 α∩β=a,于是在平面 β 内过点 P 有 两条直线 PA,PB 垂直于交线 a,这是不可能的.所以过点 P 与 α 垂直的直线只有一条. 小结 如果直接证明比较难或感觉无从下手,可以假设结论 不成立,然后设出成立的结论,由此推理得出矛盾,从而说 明原结论成立.

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跟踪训练 1 已知:直线 l⊥平面 α,垂足为 A,直线 AP⊥l. 求证:AP 在 α 内. 证明 设 AP 与 l 确定的平面为 β,假设 AP
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不在平面 α 内, 则设平面 β 与平面 α 交于直 线 AM,如右图所示: 因为 l⊥α,AM? α,所以 l⊥AM, 又因为 AP⊥l,所以在平面 β 内存在两条直线垂直于 l, 这是不可能的,所以 AP 在平面 α 内.

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探究点二 问题 1 平面与平面垂直的性质

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观察下面两个图,两个长方体中的平面 α 和 β 垂直

相交于直线 b,平面 α 内的直线 a 与直线 b 及平面 β 有怎 样的关系?由此你能猜想出怎样的结论?
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直线 a 与直线 b 垂直,直线 a 与平面 β 也垂直.由此可

猜想出:若两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交 线的直线垂直于另一个平面.

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问题2 一般地,平面α⊥β,α∩β=MN,AB? β,AB⊥MN于点 B,这时,直线AB和平面α垂直吗?你能给出证明吗?

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直线 AB 和平面 α 垂直.证明如下:

如右图,在平面 α 内作直线 BC⊥MN,则∠ABC 是 二面角 α—MN—β 的平面角,因为平面 α⊥平面 β, 所以∠ABC=90° ,即 AB⊥BC, 又已知 AB⊥MN,从而 AB⊥α.
小结 面面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一 个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.

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例2

如右图, 长方体 ABCD—A′B′C′D′

中,MN 在平面 BCC′B′内,MN⊥BC 于点 M.判断 MN 与 AB 的位置关系,并说明理由.
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显然,平面 BCC′B′⊥平面 ABCD,交线为 BC.

因为 MN 在平面 BCC′B′内,且 MN⊥BC,
所以 MN⊥平面 ABCD,

又 AB? 平面 ABCD,从而 MN⊥AB.

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小结
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证明线面垂直,除利用定义和判定定理外,另外一种

重要的方法是利用面面垂直的性质定理证明, 应用时应注意: (1)两平面垂直;(2)直线必须在一个平面内;(3)直线垂直于 交线.

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跟踪训练 2 如图所示,P 是四边形 ABCD 所 在平面外的一点, ABCD 是∠DAB=60° 且边长 为 a 的菱形.侧面 PAD 为正三角形,其所在平 面垂直于底面 ABCD.G 为 AD 边的中点.
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(1)求证:BG⊥平面 PAD; (2)求证:AD⊥PB.

证明

(1)由题意知△PAD 为正三角形,G 是 AD 的中点,

∴PG⊥AD. 又平面 PAD⊥平面 ABCD, ∴PG⊥平面 ABCD,∴PG⊥BG.

又∵四边形 ABCD 是菱形且∠DAB=60° ,

∴△ABD 是正三角形,∴BG⊥AD.

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又 AD∩PG=G,∴BG⊥平面 PAD.
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(2)由(1)可知 BG⊥AD,PG⊥AD,BG∩PG=G,

所以 AD⊥平面 PBG, 所以 AD⊥PB.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

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1.下列命题:
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①垂直于同一直线的两条直线平行; ②垂直于同一直线的两个平面平行; ③垂直于同一平面的两条直线平行; ④垂直于同一平面的两平面平行. 其中正确的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 ( B )

解析 由线线、线面垂直与平行的性质知②③正确,选 B.

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2.平面 α∩平面 β=l,平面 γ⊥α,γ⊥β,则 A.l∥γ C.l 与 γ 斜交
解析
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( D )

B.l? γ D.l⊥γ

在 γ 面内取一点 O,

作 OE⊥m,OF⊥n,
由于 β⊥γ,γ∩β=m,
所以 OE⊥面 β,所以 OE⊥l, 同理 OF⊥l,OE∩OF=O, 所以 l⊥γ.

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3.如图所示,平面 ABC⊥平面 ABD,∠ACB =90° ,CA=CB,△ABD 是正三角形,O 为 AB 的中点,则图中直角三角形的个数为
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________. 6

解析

由题意知 CO⊥AB,

∴CO⊥面 ABD, ∴CO⊥OD,
∴直角三角形为△CAO,△COB,△ACB,△AOD,△BOD, △COD.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

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4.如图,在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中, ∠BAC=90° ,BC1⊥AC,则点 C1 在底面
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直线 AB 上 ABC 上的射影 H 必在______________. 解析 由 AC⊥BC1,AC⊥AB,
得 AC⊥面 ABC1,又 AC? ABC, 面 ∴面 ABC1⊥面 ABC.
∴C1 在面 ABC 上的射影 H 必在交线 AB 上.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

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1. 直线与平面垂直的性质定理是平行关系与垂直关系的完美结合, 利用垂直关系可判定平行, 反过来由平行关系也可判定垂直, 即 两条平行直线中的一条垂直于一个平面, 则另一条直线也垂直于
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这个平面. 2.面面垂直的性质定理是判断线面垂直的又一重要定理. 3.判定线面垂直的方法主要有以下五种: ①线面垂直的定义;②线面垂直的判定定理;③面面垂直的性 质定理;④如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一 a∥b ? ? ? ?b⊥α;⑤如果一条直线垂直于 条也垂直于同一平面, a⊥α? ? 两个平行平面中的一个平面,那么它也垂直于另一个平面, α∥β? ? ??a⊥β. a⊥α? ?


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