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2015年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分细则(一试)(定稿)


2015 年全国高中数学联赛江苏赛区 复赛参考答案与评分细则 一
一、填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分) 1.随机抛掷 3 颗大小、质地相同的正方体骰子.在 3 颗骰子所示数字中最小值是 3 的概率 是 .



4 3 解:所有骰子所示点数至少是 3 的概率为( )3,所有骰子中所示点数至少是 4 的概率为( )3.

6 6 4 3 37 所以 3 颗骰子所示数字中最小值恰为 3 的概率是( )3-( )3= . 6 6 216 2.关于 x 的方程 x2―2ax+a2―4a=0 有模为 3 的虚数根,则实数 a 的值是 .

解:由题(x-a)2=4a<0,所以 x=a―2 -a i,又|x|2= a2―4a=9,即有 a―2=± 13 , 因为 a<0,所以 a=2― 13 .
2 3.已知正项数列{an}的首项为 1,且对于一切正整数 n 都有 an(nan-an+1)=(n+1)an +1,则

数列的通项公式 an=



1 解:根据 an(nan-an+1)=(n+1)a2 n+1,写出 a2,a3,a4,可归纳出 an=n. 也可以变形为(an+1+an)[(n+1)an+1-nan)]=0, 1 由 an+1+an≠0,得(n+1)an+1=nan=…=a1=1,所以 an= . n 4.设以 F1(-1,0)、F2(1,0) 为焦点的椭圆的离心率为 e,以 F1 为顶点、F2 为焦点的抛物 |PF1| 线与椭圆的一个交点是 P.若 =e,则 e 的值为 |PF2| .

解:在抛物线中,p=4,准线 x=-3,|PF2| 是 P 到准线的距离. |PF1| 椭圆中, =e,|PF2|也是 P 到左准线的距离,则抛物线准线与椭圆的准线重合, |PF2| a2 3 所以 =3.因为 c=1,故 e= . c 3 5.设实数 a,b 满足 0≤a,b≤8,且 b2=16+a2,则 b-a 的最大值与最小值之和是 b2-a2 解:由题设可知,b2=16+a2,则 b-a= = b+a 16 a2+16+a . .

2015 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案第 1 页 共 5 页

记 f(a)=

16 ,则函数 f(a)单调递减. a +16+a
2

由 0≤a,b≤8,得 16+a2≤64,解得 0≤a≤4 3. 所以 b-a 的最小值为 f(4 3)=8-4 3,b-a 的最大值为 f(0)=4, 从而 b-a 的最大值与最小值之和为 12-4 3. 6.函数 f(x)=2cosx+sin2x (x∈R)的值域是 .

4 解:[f(x)]2=(2cosx+sin2x)2=4cos2x(1+sinx)2= (3-3sinx)(1+sinx)3 3 4 (3-3sinx)+(1+sinx)+(1+sinx)+(1+sinx) 4 27 ≤ ×[ ]= , 3 4 4 1 当且仅当 3-3sinx=1+sinx,即 sinx= 时,等号成立. 2 1 3 3 3 从而当 sinx= ,cosx= ,f(x)取得最大值为 , 2 2 2 1 3 3 3 当 sinx= ,cosx=- ,f(x)取得最小值为- . 2 2 2 3 3 3 3 所以函数 f(x)=2cosx+sin2x (x∈R)的值域是[- , ]. 2 2 7.正四棱锥 P-ABCD 外接于一个半径为 1 的球面,若球心到四棱锥各个面的距离相等, 则此四棱锥的底面面积为 . 1 1- a2. 2

解:设四棱锥的底面边长为 a,则球心到底面的距离为 1 1- a2 2 = a 1+ 2 2a 2 1 1- a2 2



,解得:a2=4 2-4,即四棱锥的底面面积为 4 2-4.

8.已知△ABC 的外心为 O,内心为 I,∠B=45° .若 OI∥BC,则 cosC 的值是 解:设△ABC 的外接圆半径 和内切圆半径分别为 R 和 r. 记 BC 的中点为 M,D 是由 I 向 BC 所作垂线的垂足. 由 OI∥BC,知 OM=ID=r.由∠BOC=2∠A,BC=BD+DC=2BM, A cos 2 r r 2sinA 得 + =2rtanA,即 = . B C B C cosA tan tan sin sin 2 2 2 2



2015 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案第 2 页 共 5 页

B+C B-C A B C A 所以 cosA=4sin sin sin =-2sin (cos -cos ) 2 2 2 2 2 2 B+C B-C A =-2(sin )2+2 cos cos =cosA-1+(cosB+cosC). 2 2 2 从而 cosB+cosC=1.所以 cosC=1- 二、解答题(本题满分 16 分) 设等比数列 a1,a2,…,ak 和 b1,b2,…,bk,记 cn=an-bn,n=1,2,…,k. (1)写出一组 a1,a2,a3 和 b1,b2,b3,使得 c1,c2,c3 是公差不为 0 的等差数列; (2)当 k≥4 时,求证:{cn}不可能为公差不为 0 的等差数列. 解: (1)a1=4,a2=8,a3=16;b1=1,b2=3,b3=9,则 c1=3,c2=5,c3=7. ………………………… 6 分 (2)设 an=apn,bn=bqn,则 cn=apn-bqn. 假设{cn}是公差非 0 的等差数列, 则由 2cn+1=cn+cn+2 得 apn(p-1)2=bqn(q-1)2. ………………………… 10 分 当 k≥4 时,n 可取 1,2, 所以有 ap(p-1)2=bq(q-1)2,ap2(p-1)2=bq2(q-1)2. 解得 p=q.于是 当 p=q≠1 时,则 a=b,从而 c1=c2=…=ck=0. 当 p=q=1 时,则 c1=c2=…=ck=a-b. 又数列{cn}是公差不为 0 的等差数列,矛盾. 故命题成立. 三、解答题(本题满分 20 分) x2 y2 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C: + =1 的右焦点为 F,过点 F 的直线 l 与 27 18 椭圆 C 交于 A、B 两点.试问在 x 轴上是否存在定点 P,使得当直线 l 绕点 F 旋转时,都有 → → PA · PB 为定值. 解:由题意知,点 F 的坐标为(3,0).设点 A(x1,y1),B(x2,y2). 当直线 l 与 x 轴不垂直时,设 l 的方程为:y=k(x-3). ………………………… 16 分 2 . 2

? x + y =1, ? 由?27 18 得(2+3k2)x2-18k2x+27k2-54=0, ? ?y=k(x-3),

2

2

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所以 x1+x2=

27k2-54 18k2 ,x1x2= . 2 2+3k 2+3k2

………………………… 5 分

→ → 假设在 x 轴上存在定点 P(t,0),使得 PA · PB 为定值, → → PA · PB =(x1-t,y1)·(x2-t,y2)=x1x2-t(x1+x2)+t2+y1y2 =x1x2-t(x1+x2)+t2+k(x1-3)×k(x2-3) =(1+k2) x1x2-(3k2+t) (x1+x2)+t2+9k2 27k2-54 18k2 =(1+k2)× -(3k2+t) × +t2+9k2 2 2+3k 2+3k2 54+(18t+9)k2 2 =- +t . 2+3k2 ………………………… 10 分

→ → 当直线 l 绕点 F 旋转,即 k 变化时,要使得 PA · PB 为定值, 即 54+(18t+9)k2 54 18t+9 为定值,则 = ,解得 t=4. 2 3 2+3k2 ………………………… 15 分

→ → 此时 PA · PB =-11.

当直线 l 与 x 轴垂直时,A(3,2 3),B(3,-2 3), → → 此时 PA · PB =(3-4,2 3)·(3-4,-2 3)=-11. → → 综上所述,在 x 轴上存在定点 P(4,0),使得 PA · PB 为定值. ………………………… 20 分 四、解答题(本题满分 20 分) 设多项式 f(x)=x3+ax2+bx+c,其中 a、b、c 是实数.若对于任意的非负实数 x,y, 有 f(x+y)≥f(x)+f(y).求 a、b、c 所满足的条件. 解:由 f(x+y)≥f(x)+f(y),得 3x2y+3xy2-c≥-2axy,?x,y≥0. 取 x=y=0 代入(*) ,得 c≤0. 不妨设 x>0,y>0,3x2y+3xy2+(-c)≥3 3x2y·3xy2·(-c)=-3xy 9c, 等号成立,当且仅当 x0=y0=-
3
3 3

(*)…………………… 5 分

c . 3

……………………………… 10 分

33 3 因此 -3x0y0 9c≥-2ax0y0,从而 a≥ 9c. ……………………………… 15 分 2 33 当 a≥ 9c,c≤0 时,?x,y≥0,3x2y+3xy2-c≥-2axy,即 f(x+y)≥f(x)+f(y). 2

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33 综上所述,a、b、c 满足的条件是 a≥ 9c,c≤0,b∈R. 2 ……………………………… 20 分

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