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第五讲 合情推理与演绎推理


第五讲
考纲解析

合情推理与演绎推理

1. 了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,了解合情推理在数学发现 中的作用. 2. 了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式:大前提、小前提、结论,并能运用 它们进行一些简单推理. 3. 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.合情推理的结论不一定正确, 有待进一步证

明;演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下,得到的结论一定正确. 本节内容的思想贯穿于整个数学学科中,常与函数、三角、数列、几何等内容联系, 单独命题时常以选择题、填空题为主要形式. 为中低档题,突出“小而巧”,主要考查类比 推理、归纳推理的能力;演绎推理大多出现在解答题中,为中高档题目,在知识交汇点处命 题,考查学生的逻辑推理能力、以及分析问题、解决问题的能力.

考点梳理
1.归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的 象都具有这些特征的推理, 或者由个别事实概括出 言之,归纳推理是由部分到 ,由个别到 对

的推理, 称为归纳推理. 简 的推理. ,

2. 类比推理: 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些 推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理.简言之,类比推理是由特殊到 的推理. 3. 合情推理: 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、 分析、 比较、 再进行归纳、 4.演绎推理:从 ,然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理.



出发,推出某个特殊情况下的结论,我

们把这种推理称为演绎推理,简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理. 5.演绎推理的一般模式——“三段论”: (1) (2) ——已知的一般原理(∵M 是 P); ——所研究的特殊情况(又∵S 是 M);

(3)结论——根据一般原理,对特殊情况作出的判断(∴S 是 P).

课前热身
1.下面给出了关于复数的四种类比推理: ①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则;

②由向量 a 的性质|a| =a 类比得到复数 z 的性质|z| =z ; ③方程 ax
2

2

2

2

2

? bx ? c ? 0 ( a , b , c ? R ) 有两个不同实数根的条件是 b
2

2

? 4 ac ? 0 可以类
2

比得到:方程 az

? bz ? c ? 0 ( a , b , c ? C ) 有两个不同复数根的条件是 b

? 4 ac ? 0 ;

④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义. 其中类比错误的是 A.①③ B. ②④ C. ①④ D. ②③

(

)

2.定义 A ? B , B ? C , C ? D , D ? A 的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4),那么 下图中的(A)(B)所对应的运算结果可能是 、 ( )

(1)

(2)

(3) B. B ? D , A ? C

(4)

(A)

(B) D. C ? D , A ? D

A. B ? D , A ? D

C. B ? C , A ? D

3.有一段演绎推理是这样的: “直线平行于平面,则平行于平面内所有直线;已知直线 b ? 平面 ? ,直线 a ? 平面 ? ,直线 b ∥平面 ? ,则直线 b ∥直线 a ”的结论显然是错误 ?
?

的,这是因为 ( ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 4.在中学数学中,从特殊到一般,从具体到抽象是常见的一种思维形式.如从指数函数中 可 抽 象 出 f ( x1 ? x 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 的 性 质 ; 从 对 数 函 数 中 可 抽 象 出
f ( x 1 ? x 2 ) ? f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) 的性质. 那么从函数

(写出一个具体函数即可)

可抽象出 f ( x 1 ? x 2 ) ? f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) 的性质. 5.已知: sin 30 ? sin 90 ? sin 150
2 2 2 ? ? ?

?

3 2

; sin 5 ? sin 65 ? sin 125
2 2 2

?

?

?

?

3 2

通过观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题: _____________________________________________________= 的证明。
3 2

( * ) ,并给出( * )式

重难点方法
1、归纳推理 例 1.平面内的1条直线把平面分成 2 部分,2 条相交直线把平面分成 4 部分,3 条相交但 不共点的直线把平面分成 7 部分, n 条彼此相交而无三条共点的直线, 则 可把平面分成多少 部分? 思路点拨:可通过画当直线条数 n 为 3,4,5 时,分别计算出它们将平面分成的区域数 Sn, 从中发现规律,再归纳出结论。 听课笔记:

归纳点评:由部分到整体的归纳推理,常先把部分的情况都写出来,然后寻找规律,概括出 整体的情况.归纳推理的一般步骤是:①通过观察个别情况发现某些相同本质;②从已知的 相同性质中推出一个明确表述的一般性命题.当然,归纳推理所得结论未必正确,有待进一 步证明. 变式训练 1: 在圆内画一条线段,将圆分成两部分;画两条线段,彼此最多分割成 4 条线段,同 时将圆分割成 4 部分;画三条线段,彼此最多分割成 9 条线段,同时将圆分割成 7 部分.那么 (1)在圆内画四条线段,彼此最多分割成 条线段?同时将圆分割成 部分? (2)猜想:圆内两两相交的 n(n≥2)条线段,彼此最多分割成 条线段?同时将圆分割成 部分?

例 2.设 f ( x ) ?

1 3 ?
x

,先分别求 f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3),然后归纳猜想出一般性结
3

论. 思路点拨:利用函数解析式计算各和式的值,并注意观察各和式中的两自变量值间的关系. 听课笔记:

归纳点评:归纳推理具有以下特点:①归纳是依据特殊现象推断出一般现象,因而由归纳所 得出的结论超越了前提所包含的范围; ②归纳的前提是特殊的情况, 所以归纳是立足于观察、 经验或实验的基础之上的.

变式训练 2:观察: ①tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°=1; ②tan5°tan10°+tan10°tan75°+tan75°tan5°=1. 由以上两式成立,推广到一般结论,写出你的推论.

2、类比推理 (一)数列中的类比 例 3.在等差数列 ?a n ? 中,若 a 10 ? 0 ,则有等式 a 1 ? a 2 ? ? ? ? ? a n
? a 1 ? a 2 ? ? ? ? ? a 19 ? n ( n ? 19 , n ? N ? ) 成立,类比上述性质,相应地:在等比数列 ?b n ? 中,

若 b 9 ? 1 ,则有等式

成立.

思路点拨:本题考查等差数列与等比数列的类比.一种较本质的认识是: 等差数列 用减法定义 性质用加法表述(若 m , n , p , q ? N , 且
*

; m ? n ? p ? q , 则am ? an ? a p ? aq ) 等比数列 用除法定义 性质用乘法表述(若 m , n , p , q ? N , 且
*

m ? n ? p ? q , 则 a m ? a n ? a p ? a q ).

听课笔记:

归纳点评:一般地,类比对象的确定可以从以下两个方面来思考:①从形式上去思考,如由 条件的相似去类比结论的相似;由命题结论的相似类比推理方法的相似,??;②从内容上 去思考,形与形类比,数与数类比,数与形类比,式与式类比,数与式类比,运算类比,低 维与高维类比,有限与无限类比,抽象与具体类比,?? 此题是等差数列性质类比 “等比数列” 性质,解决此类问题要认真理解所给出的前提, 结合所学知识寻求正确解决方法。 变式训练 3:定义“等和数列” ,在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一常 数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和。已知数列{a n }等和数列,

且 a 1 ? 2 ,公和为 5。那么 a 18 的值为_______________,这个数列前 n 项和 S n 的计算公式 为_______________。 (二)几何中的类比 例 4.如图 1,若射线 OM,ON 上分别存在点 M1,M2 与点 N1,N2,则
S ? OM S ? OM
1N1 2N 2

=

OM OM

1 2

·

ON ON

1 2



如图 2,若不在同一平面内的射线 OP,OQ 和 OR 上分别存在点 P1,P2,点 Q1,Q2 和点 R1,R2, 则类似的结论是什么?

思路点拨:将平面类比到空间,从方法的类比入手.几何中的类比猜想比较广泛,常常将二 维平面中的对象与三维空间中的对象进行类比;二维平面中的对象与一维中的对象进行类 比.如:点与线类比,线与面类比,面与体类比,平面角与空间角类比等等. 听课笔记:解 : 类似的结论为:
VO ?P Q
1 1 R1

VO ?P

=

OP 1 OP 2

·

OQ 1 OQ
2

·

OR 1 OR
2

.

2Q 2 R2

这个结论是正确的,证明如下: 如图,过 R2 作 R2M2⊥平面 P2OQ2 于 M2,连 OM2. 过 R1 在平面 OR2M2 作 R1M1∥R2M2 交 OM2 于 M1, 则 R1M1⊥平面 P2OQ2. 由VO ?P Q R =
1 1 1

1 3

S ? P OQ
1

1

·R1M1= · OP1·OQ1·sin∠P1OQ1·R1M1
3 2

1

1

= OP1·OQ1·R1M1·sin∠P1OQ1,
6

1

同理, V O ? P Q
2

2 R2

= OP2·OQ2·R2M2·sin∠P2OQ2.所以
6
R1 M 1 R2M
2

1

VO ?P Q
1

1 R1

=

OP 1 ? OQ 1 ? R 1 M OP 2 ? OQ
2

1 2

VO ?P

2Q 2 R2

? R2M

.

由平面几何知识可得

=

OR 1 OR
2

.所以

VO ?P Q
1

1 R1

=

OP 1 ? OQ 1 ? OR 1 OP 2 ? OQ
2

VO ?P

2Q 2 R2

? OR

.所以结论正确.

2

归纳点评:在进行类比推理时,要注意以下两点:①找两类对象的对应元素,如:三角形 对应三棱锥,圆对应球,面积对应体积,平面上的角对应空间角等等;②找对应元素的对应 关系,如:两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直,边相等对应面积相等. 变式训练 4: 已知 O 是△ABC 内任意一点,连结 AO、BO、CO 并延长交对边于 A′,B′,C′, 则
OA ' AA '

+

OB ' BB '

+

OC ' CC '

=1,这是一道平面几何题,其证明常采用“面积法”.
S ? OBC S ? ABC

OA ' AA '

+

OB ' BB '

+

OC ' CC '

=

+

S ? OCA S ? ABC

+

S ? OAB S ? ABC

=

S ? ABC S ? ABC

=1,

请运用类比思想,对于空间中的四面体 V—BCD,存在什么类似的结论?并用体积法证明.

(三)解析几何中的类比 例 5.已知椭圆具有性质:若 M、N 是椭圆 C 上关于原点对称的两个点,点 P 是椭圆上任意 一点,当直线 PM、PN 的斜率都存在,并记为 k PM 、 k PN 时,那么 k PM 与 k PN 之积是与点 P
x a
2 2

的位置无关的定值.试对双曲线

?

y b

2 2

? 1 写出具有类似特性的性质,并加以证明.

思路点拨: 类似的性质为:若 M、N 是双曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 上关于原点对称的两个点,点

P 是双曲线上任意一点,当直线 PM、PN 的斜率都存在,并记为 k PM 、 k PN 时,那么 k PM 与
k PN 之积是与点 P 的位置无关的定值.

听课笔记:

归纳点评:椭圆与双曲线在一些性质和方法上是十分类似的,如焦准距都是

b

2

,通径长都

c 2b a
2



,在学习过程中要善于类比,要知道类比是数学发现的重要途径,也是学习数学的

重要方法。本题通过类比推广,可以由特殊型命题直接归纳概括出一般型命题。 变式训练 5: (1)已知两个圆: x ? y
2 2

? 1,

①与 x ? ( y ? 3 ) ? 1
2 2





由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程,将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广, 即要求得到一个更一般的命题,而已知命题要成为所推广命题的一个特例,推广的命题 为 . (2)如图,椭圆中心在坐标原点,F 为左焦点,当 F B ? A B 时,其离心率为 被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出”黄金双曲线”的 离心率 e 等于 ( ) B F O A x
??? ? ??? ?

5 ?1 2

,此类椭圆

y

A.

5 ?1 2

B.

5 ?1 2

C. 5 ? 1

D. 5 ? 1

3、演绎推理 例 6. 已知梯形 ABCD 中, AB=CD=AD,AC 和 BD 是它的对角线. 用三段论证明: CA 平分∠ BCD, BD 平分∠CBA. 思路点拨: 分清所证问题的大前提, 正确利用平面几何的有关性质, 严格按三段论加以论证. 其一般模式为:(1)大前提——已知的一般原理;(2)小前提——所研究的特殊情况;(3)结论 ——根据一般原理对特殊情况作出的判断. 听课笔记:

例6

归纳点评: 数学的推理证明主要是通过演绎推理来进行的, 一个复杂的数学命题的证明往往 是由多个“三段论”构成, 只不过在平时的证明中我们大多数情况下都省略了大前提. 在应 用三段论推理来证明问题时, 首先应该明确什么是问题中的大前提和小前提, 在演绎推理中, 只要前提和推理形式是正确的,结论必定是正确的. 100 100 变式训练 6:(1)一切奇数都不能被 2 整除,2 +1 是奇数,所以 2 +1 不能被 2 整除,其演 绎推理的 “三段论” 的形式为 . (2). ? AC,BD 是菱形 ABCD 的对角线,? AC,BD 互相垂直且平分。 “ ”补充以上推理的大前提 是 。 (3).由①正方形的对角线相等;②平行四边形的对角线相等;③正方形是平行四边形,根 据 “三段论”推理出一个结论,则这个结论是 .

及时突破
1.下列几种推理过程是演绎推理的是( ) A.两条直线平行,同旁内角互补,如果∠A 与∠B 是两条直线的同旁内角,则∠A+∠B =180° B.某校高三(1)班有 55 人,(2)班有 54 人,(3)班有 52 人,由此得高三所有班人数均 超过 50 人 C.由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质 1 1 D.在数列{an}中,a1=1,an= (an-1+ )(n≥2),由此得出{an}的通项公式 2 an-1 2. (昆明十中 2011 年 3 月高三模拟)根据给出的数塔猜测 1 234 567×9+8= ( ) 1×9+2=11 12×9+3=111 123×9+4=1 111 1 234×9+5=11 111 12 345×9+6=111 111

A.11 111 110

B.11 111 111

C.11 111 112

D.11 111 113

3.(2009 年江苏高考 8)在平面上,若两个正三角形的边长的比为 1:2,则它们的面积比为 1: 类似地, 4, 在空间内, 若两个正四面体的棱长的比为 1: 则它们的体积比为 2, ( ) .

A.1:2 B.1:4 C.1:6 D.1:8 4.(2010 年安徽省皖南八校高三调研)定义集合 A,B 的运算:A?B={x|x∈A 或 x∈B 且 x? (A∩B)},则 A?B?A=________. 5.(2009 年高考浙江卷)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S4,S8-S4,S12-S8,S16 -S12 成等差数列.类比以上结论有:设等比数列{bn}的前 n 项积为 Tn,则 T4,________, ________,

T16 成等比数列. T12

6. 通过计算可得下列等式:
2
2

?1 ? 2 ?1?1
2
2

3 ?2
2

? 2? 2 ?1 ? 2?3?1

4 ?3
2

2

? ? ? ?
( n ? 1) ? n
2 2

? 2? n ?1
2 2

将以上各式分别相加得: (n+1) -1 =2×(1+2+3+?+n)+n 即:1+2+3+?+n =
n ( n ? 1) 2
2 2 2 2

类比上述求法:求出 1 +2 +3 +?+n 的值.

课时训练
一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.下列表述正确的是( ) ①归纳推理是由部分到整体的推理 ②归纳推理是由一般到一般的推理 ③演绎推理 是由一般到特殊的推理 ④类比推理是由特殊到一般的推理 ⑤类比推理是由特殊到特殊 的推理 A.①②③ B.②③④ C.②④⑤ D.①③⑤ 2.给定集合 A、B,定义 A ? B ? { x | x ? m ? n , m ? A , n ? B } ,若 A={4,5,6},B={1,2,3}, 则集合 A ? B 中的所有元素之和为 A.15 B.14
1 2
2

( D.-14
? 5 3 ,1 ? 1 2
2



C.27
3 2 ,1 ? 1 2
2

3.观察式子: 1 ?

?

?

1 3
2

?

1 3
2

?

1 4
2

?

7 4

,?,则可归纳出式子为(



A. 1 ? C. 1 ?

1 2
2

?

1 3
2

??

1 n
2

?

1 2n ? 1 2n ? 1 n

B. 1 ? D. 1 ?

1 2
2

?

1 3
2

??

1 n
2

?

1 2n ? 1 2n 2n ? 1

1 2
2

?

1 3
2

??

1 n
2

?

1 2
2

?

1 3
2

??

1 n
2

?

4.古希腊数学家把数 1,3,6,10,15,21,??叫做三角数,它有一定的规律性,第 30 个三角数与第 28 个三角数的差为 。 A.58 B.59 C.60 D.61 5.为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解 密 ), 已 知 加 密 规 则 为 : 明 文 a , b , c , d 对 应 密 文 a ? 2 b , 2 b ? c , 2 c? 3 d , 4d 例 如 , 明 文 ,
1 , 2 , 3 , 对应密文 5, 7 ,1 8,1 6 .当接收方收到密文 1 4 , 9 , 2 3, 2 8 时,则解密得到的明文为( 4



A. 4 , 6 ,1, 7

B. 7 , 6 ,1, 4

C. 6 , 4 ,1, 7

D. 1, 6 , 4 , 7

6. 在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是 1 颗珠宝, 第二件首饰是由 6 颗珠宝构成如图 1 所示的正六边形, 第三件首饰是由 15 颗珠宝构成如图 2 所示的正六边形, 第四件首饰是由 28 颗珠宝构成如图 3 所示的正六边形, 第五件首饰是由 45 颗珠宝构成如图 4 所示的正六边形, 以 后 每 件 首 饰 都 在 前 一 件 上 ,按 照 这 种 规 律 增 加 一 定 数 量 的 珠 宝 ,使 它 构 成 更 大 的 正 六 边形 ,依 此 推 断 第 6 件 首饰上应有( )颗珠宝.

图1

图2 图3 图4 D. 72

A.54 B.60 C.66 二、填空题(第小题 6 分,共 18 分) 7.(2010 年陕西理 12)观察下列等式:
1 ? 2
3 3 2 3 3 3 2 3 3 3

? 3 ,1 ? 2 ? 3 ? 6 ,1 ? 2 ? 3 ? 4

3

? 10 , ? ,根据上述规律,第五个等式为 .....
2

__________

__ .

8.在平面上,我们如果用一条直线去截正方形的一个角,那么截下的一个直角三角形, 按图所标边长,由勾股定理有: c ? a ? b .
2 2 2

设想正方形换成正方体, 把截线换成如图的截面, 这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的 三棱锥 O—LMN,如果用 s 1 , s 2 , s 3 表示三个侧面面积, s 4 表示截面面积,那么你类比得到 的结论是 .

9.已知 f(x+1)=

2 f (x) f (x) ? 2

, f(1)=1,(x∈N*),猜想 f(x)的表达式为

.

三、解答题(10,11 题每题 15 分,12 题 16 分,共 46 分) 10.观察下面由奇数组成的数阵,回答下列问题: (1)求第六行的第一个数. (2)求第 20 行的第一个数. (3)求第 20 行的所有数的和.
3 7 13 ? ? 15 ? ? 9 17 ? ? 1 5 11 19 ?

11、在数列{an}中,a1=1, an+1= 加以论证.

2an 2 ? an

(n∈N ),归纳猜想这个数列的通项公式,并按三段论

+

12.圆的垂径定理有一个推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦.这一性质能类比推广 到椭圆吗?并证明你的结论.

参考答案
考点梳理 1.全部 3.联想 一般 整体 一般 类比 2.已知特征 特殊 小前提

4.一般性的原理

5.大前提

课前热身
1.选 D.由复数的性质可知. 2.选 B. 3.选 A.直线平行于平面,并不平行于平面内所有直线. 4.选 y=2x.形如函数 y=kx (k≠0)即可,答案不惟一. 5.一般形式: sin ? ? sin (? ? 60 ) ? sin (? ? 120 ) ?
2 2 ? 2 ?

3 2

证明:左边 =
3 2
3 2

1 ? cos 2 ? 2

?

1 ? cos( 2 ? ? 120 )
?

?

1 ? cos( 2 ? ? 240 )
?

2
? ?

2

= =

?
?

1 2
1 2

[cos 2? ? cos( 2 ? ? 120 ) ? cos( 2? ? 240 )]
?

[cos 2? ? cos 2? cos 120

? sin 2? sin 120

?

? cos 2 cos 240

?

? sin 2? sin 240 ]
?

=

3 2

?

1 2

[cos 2? ?

1 2

cos 2? ?

3 2

sin 2 ? ?

1 2

cos 2? ?

3 2

sin 2? ] =

3 2

? 右边

(将一般形式写成 s in (? ? 6 0 ) ? s in ? ? s in ( ? ? 6 0 ) ?
2

?

2

2

?

3 2

,

s in (? ? 2 4 0 ) ? s in ( ? ? 1 2 0 ) ? s in ? ?
2 2 2

?

?

3 2

等均正确。 )

重难点方法
例 1.设平面被 n 条直线分成 Sn 部分,则 当 n=1 时,S1=1+1=2; 当 n=2 时,S2=1+1+2=4; 当 n=3 时,S3=1+1+2+3=7; 当 n=4 时,S4=1+1+2+3+4=11.据此猜想,得 Sn=1+
n ( n ? 1) 2

=

n ? n? 2
2

2
2

变式 1.(1)16,11(2) n ,
3 3

1 2

(n

2

? n ? 2)

例 2.f(0)+f(1)=

,f(-1)+f(2)=

3 3

,f(-2)+f(3)=

3 3

,

注意到这三个式子中,两自变量之和都等于 1,由此归纳猜想: 当 x1+x2=1 时,f(x1)+f(x2)=
3 3

变式训练 2: (1)解:若锐角 α ,β ,γ 满足 α +β +γ =90°, 则 tanα tanβ +tanβ tanγ +tanα tanγ =1. 例 3. 本题的答案为: b 1 b 2 ? ? ? b n ? b1 b 2 ? ? ? b17 ? n ( n ? 17 , n ? N ).
*

事实上,对等差数列 ?a n ? ,如果 a k ? 0 ,则 a n ? 1 ? a 2 k ? 1 ? n ? a n ? 2 ? a 2 k ? 2 ? n ? ? ? ?
? ak ? ak ? 0 .

所以有: a 1 ? a 2 ? ? ? ? ? a n ? a 1 ? a 2 ? ? ? ? ? a n ? ( a n ? 1 ? a n ? 2 ? ? ? ? ?
*

a 2 k ? 2 ? n ? a 2 k ? 1 ? n ) n ? 2 k ? 1 , n ? N ).从而对等比数列 ?b n ? ,如果 b k ? 1 ,则有等式: (

b 1 b 2 ? ? ? b n ? b 1 b 2 ? ? ? b 2 k ? 1 ? n ( n ? 2 k ? 1 , n ? N ) 成立.
*

变式训练 3:解:∵{a n }是等和数列, a 1 ? 2 ,公和为 5, ∴ a 2 ? 3 ,则 a 3 ? 2 , a 4 ? 3 ,?知 a 2 n ? 3 , a 2 n ?1 ? 2 (n∈N*) 。 ∴ a 18 =3,数列{a n }形如:2,3,2,3,2,3,??。

?5 n ? n 为偶数 ? ?2 ? ∴Sn ? ? ? 5 n ? 1 ? n 为奇数 ?2 2 ?

.

?

变式训练 4: 证明:在四面体 V—BCD 中,任取一点 O,连结 VO、DO、BO、CO 并延长分别交 四个面于 E、F、G、H 点.则
OE VE

+

OF DF

+

OG BG

+
1

OH CH

=1.

在四面体 O—BCD 与 V—BCD 中:

OE VE

=

h1 h

=

3 1 3

S ? BCD ? h 1 S ? BCD ? h

=

V O ? BCD VV
? BCD

.

同理有: ∴
OE VE

OF DF

=

V O ? VBC V D ? VBC

; =

OG BG

=

V O ? VCD V B ? VCD



OH CH

=

V O ? VBD V C ? VBD

, =
VV VV
? BCD ? BCD

+

OF DF

+

OG BG

+

OH CH

V O ? BCD ? V O ? VBC ? V O ? VCD ? V O ? VBD V V ? BCD
2 2 2 2

=1.

例 5. 类似的性质为:若 M、N 是双曲线

x a

?

y b

? 1 上关于原点对称的两个点,点 P 是双曲

线上任意一点,当直线 PM、PN 的斜率都存在,并记为 k PM 、 k PN 时,那么 k PM 与 k PN 之积 是与点 P 的位置无关的定值. 证明:设点 M、P 的坐标为( m , n )( x , y ) 、 ,则 N( ? m , ? n ). 因为点 M( m , n )在已知双曲线上,所以 n
2

?

b a

2 2

m

2

? b ,同理 y
2

2

?

b a

2 2

x

2

?b .
2

则 k PM ? k PN ?

y ? n x? m

?

y ? n x? m

?

y x

2 2

? n ? m

2 2

?

b a

2 2

?

x x

2 2

? m ? m

2 2

?

b a

2 2

(定值).

变式训练 5: (1)将题设中所给出的特殊方程①、②推广归纳到一般情况: 设圆的方程为 ( x ? a ) ? ( y ? b ) ? r ,③
2 2 2

与(x ? c) ? ( y ? d ) ? r
2 2

2



其中 a ? c 或 b ? d ,则由③式减去④式可得两圆的对称轴方程. 2.选 A.猜想出“黄金双曲线”的离心率 e 等于
2

5 ?1 2

.事实上对直角△ A B F 应用勾股定理,

得 AF

? BF
2 2

2

? AB
2

2

,即有 ( a ? c ) ? ( b ? c ) ? ( a ? b ) ,
2 2 2 2 2

注意到 b ? c ? a , e ?

c a

,变形得 e ? e ? 1 ? 0, 从 而 e ?
2

5 ?1 2

.

例 6. 证明(1) 两平行线与第三条直线相交,内错角相等(大前提), ∠BCA 与∠CAD 是平行线 AD、BC 被 AC 所截内错角(小前提), 所以,∠BCA=∠CAD(结论) (2) 等腰三角形两底角相等(大前提),

△CAD 是等腰三角形(小前提), 所以,∠DCA=∠CAD(结论). (3) 等于同一个量的两个量相等(大前提), ∠BCA 与∠DCA 都等于∠CAD(小前提), 所以,∠BCA=∠DCA,即 CA 平分∠BCD. (结论) 同理,BD 平分∠CBA. 变式训练 6:(1). 一切奇数都不能被 2 整除, 大前提 100 2 +1 是奇数, 小前提 100 所以 2 +1 不能被 2 整除. 结论 (2).答案:菱形对角线互相垂直且平分。 (3).答案:②③ ? ①。解析:②是大前提,③是小前提,①是结论。

及时突破
1.选 A.两条直线平行,同旁内角互补(大前提) ∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角(小前提) ∠A+∠B=180°(结论) 2.选 B 数塔的右侧的规律是,逐次加 1,由此归纳得 8 个 1. 3. 选 D.考查类比的方法。体积比为 1:8 4. 选 B.如图,A?B 表示的是阴影部分,设 A?B=C,运用类比的方法可知,C?A=B,所以 A ?B?A=B.

T8 T12 由于等差数列与等比数列具有类比性,且等差数列与和差有关,等比数 T4 T8 列与积商有关, 因此当等差数列依次每 4 项之和仍成等差数列时, 类比到等比数列为依次每 4 项的积的商成等比数列.下面证明该结论的正确性: 设等比数列{bn}的公比为 q,首项为 b1, 4 6 8 1+2+?+7 8 28 则 T4=b1 q ,T8=b1 q =b1 q , 12 1+2+?+11 12 66 T12=b1 q =b1 q , T8 T12 4 22 4 38 ∴ =b1 q , =b1 q , T4 T8 T8 2 T12 T8 T12 即( ) = ·T4,故 T4, , 成等比数列. T4 T8 T4 T8 5. 6. 2 ? 1 ? 3 ? 1 ? 3 ? 1 ? 1
3 3 2

3 ?2
3

3

? 3? 2
3

2

? 3? 2 ?1
2

4 ?3
3

3

? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 1?
2

? ? ?

( n ? 1) ? n
3

? 3? n

? 3? n ?1

将以上各式分别相加得:
( n ? 1) ? 1 ? 3 ? (1 ? 2
3 3 2 2

? 3 ? ? ? n ) ? 3 ? (1 ? 2 ? 3 ? ? n ) ? n
2 2

所以:1 +2 +3 +?+n =

2

2

2

2

1 3

[ (n+1) -1-n-

3

3 n (1 ? n ) 2

]=

1 6

n(n+1)(2n+1)

课时训练
1.选 D.归纳推理是由部分到整体的推理,演绎推理是由一般到特殊的推理,类比推理是由 特殊到特殊的推理. 2.选 A . 解析: A ? B ? {1, 2 , 3 , 4 , 5} ,1+2+3+4+5=15. 3.选 C.解析:用 n=2 代入选项判断。 4.选 B.59。解析:记这一系列三角数构成数列 ?a n ? ,则由 a 2 纳猜测 a 30 猜测 a n
? a 29 ? 30 , a 29 ? a 28 ? 29

? a1 ? 2 , a 3 ? a 2 ? 3 , a 4 ? a 3 ? 4 , ? ? 1, a 2 ? 1 ? 2 , a 3 ? 1 ? 2 ? 3

归 ,

,两式相加得 a 30

? a 28 ? 59

。或由 a1

? 1? 2 ?? ? n


6 4 1 7

? a ? 2b ? 14 ?a ? ? ? ? 2b ? c ? 9 ?b ? 5.选 C.解析:本题考查阅读获取信息能力,实则为解方程组 ? ,解得 ? ? 2c ? 3d ? 23 ?c ? ? 4d ? 28 ?d ? ? ?



即解密得到的明文为 6 , 4 ,1, 7 . 6.选 66.解析:利用归纳推理知. 7.∵所给等式左边的底数依次分别为 1, 2 ; 1, 2 , 3 ; 1, 2 ,3 , 4 ; ? ,右边的底数依次分别为
3 , 6 ,10 , ? (注意:这里 3 ? 3 ? 6 , 6 ? 4 ? 10 ) ,∴由底数内在规律可知:第五个等式左边的

底数为 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ,右边的底数为 10 ? 5 ? 6 ? 21 .又左边为立方和,右边为平方的形式, 故第五个等式为 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 21 .
3 3 3 3 3 3 2

8. S 1 ? S 2 ? S 3 ? S 4 .
2 2 2 2

9.

f(x)=

2 x ?1

.

10. (1)第六行的第一个数为 31 (2) ∵第 n 行的最后一个数是 n ? n ? 1 , n 行共有 n 个数, 第 且这些数构成一个等差数列,
2

设第 n 行的第一个数是 a n 1

∴ n ? n ? 1 ? a n 1 ? 2 ( n ? 1)
2

∴ a n1 ? n ? n ? 1
2



第 20 行的第一个数为 381 (3)第 20 行构成首项为 381,公差为 2 的等差数列,且有 20 个数, 设第 20 行的所有数的和为 S 2 0 则 S 2 0 ? 3 8 1 ? 2 0 ? 11. 解:在数列{an}中,∵a1=1, an+1=
2an 2 ? an
2 3?1

2 0 ( 2 0 ? 1) 2
+

? 2 ? 8000

(n∈N )

a1 ? 1 ?

2 2

, a2 ?

2 a1 2 ? a1

?

2 2 ?1

, a3 ?

2a2 2 ? a2

?

, a4 ?

2 a3 2 ? a3

?

2 4 ?1

, a5 ?

2a4 2 ? a4

?

2 5 ?1

,?



∴这个数列的通项公式是 an=

2 n ?1

证明:一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么 这个数列就叫等差数列? ? ? ?大前提 ∵a1=1, an+1= ∴
1 a n ?1 2an 2 ? an

(n∈N ) +
1 2

+

=

2 ? an 2an 1

=

1 an

? ? ? ? 小前提 =1 为首项,
1 2

从而新数列{

}构成以

1 a1

为公差的等差数列. ? ? ? ?结论

a n ?1

以下步骤省略. 12.设 AB 是椭圆
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

的任一弦,M 是 AB 的中点,设 OM 与 AB 的斜率都

存在,并设为 kOM、kAB. 设 A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ), M ( x 0 , y 0 ) ,
2 ? x2 y 1 ? 1 ?1 ? 2 ( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 ) ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? 2 ? ? 则 ? a2 b2 2 2 a b y ? x2 ? 2 ?1 ? 2 2 b ?a

=0

∵ x1

? x 2 ? 2 x 0 , y1 ? y 2 ? 2 y 0 ,?

y0 x0

?

y1 ? y 2 x1 ? x 2

? ?

b a

2 2

即 KOM·KAB= ?

b a

2 2

,而 a

? b

,即 KOM·KAB≠-1

∴OM 与 AB 不垂直,即不能推广到椭圆中.


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