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2013广东华附、省实、深中、广雅四校高三上学期期末联考数学理试题


2013 届高三上学期期末华附、省实、广雅、深中四校联考 数 学(理科)


命题学校:华南师范大学附属中学

本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分 150 分,考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号填写在答题卡的密封线 内。 2.选择题每小题选出答案后,用

2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案;不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在另发的答题卷各题目指定 区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用 铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卷和答题卡一并收回。

第一部分选择题(共 40 分)
一. 选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题的 4 个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1.设集合 P={3,log2a},Q={a,b},若 P∩ Q={0},则 P∪Q= A.{3,0} B.{3,0,1} C.{3,0,2} D.{3,0,1,2}

1-i 2.复数-i+ = 1+i A.-2i 1 B.2i C.0 D.2i

3.在正项等比数列{an}中,a1 和 a19 为方程 x2-10x+16=0 的两根,则 a8· 10· 12 等于 a a A.16 B.32 C.64 D.256 4.若平面 α,β 满足 α⊥β,α∩ β=l,P∈α,P ? l,则下列命题中是假命题的为 A.过点 P 垂直于平面 α 的直线平行于平面 β B.过点 P 垂直于直线 l 的直线在平面 α 内 C.过点 P 垂直于平面 β 的直线在平面 α 内 D.过点 P 在平面 α 内作垂直于 l 的直线必垂直于平面 β 5.观察(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cos x)′=-sin x,由归纳推理可得:若定义在 R 上的函数 f(x) 满足 f(-x)=f(x),记 g(x)为 f(x)的导函数,则 g(-x)= A.f(x) B.-f(x) C.g(x) D.-g(x) 6.给出下述四个命题中: ①三角形中至少有一个内角不小于 60° ; ②四面体的三组对棱都是异面直线; ③闭区间[a,b]上的单调函数 f(x)至多有一个零点;

1

④当 k>0 时,方程 x2 + ky2 = 1 的曲线是椭圆.其中正确的命题的个数有 A.1 B.2 C.3 D.4 7.一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a,得 2 分的概率为 b,不得分的概率为 c(a、b、 2 1 c∈(0,1)),已知他投篮一次得分的均值为 2,则 + 的最小值为 a 3b 32 A. 3 28 B. 3 14 C. 3 16 D. 3

?lg|x-2|,x ≠ 2 8.定义域为 R 的函数 f(x)= ? ,若关于 x 的方程 f 2(x)+bf(x)+c=0 ,x=2 ? 1

恰有 5 个不同的实数解 x1, x2, x3, x4, x5,则 f(x1+x2+x3+x4+x5)等于 A.lg2 B.2lg2 C.3lg2 D.4lg2

第二部分非选择题(110 分) 二、填空题:(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分).
(一)必做题(9~13 题) : 9. 从 0,1,2,3,4 这 5 个数字中,任取 3 个组成三位数, 其中奇数的个数是 ***** ; 10. 执行图中的算法后,若输出的 y 值大于 10,则输入 x 的取 值范围是 ***** ; 11. 已知 e1、e2、e3 为不共面向量,若 a=e1+e2+e3,b=e1- e2+e3,c=e1+e2-e3,d=e1+2e2+3e3,且 d=xa+yb+zc, 则 x、y、z 分别为 ***** . 12. 函数 y=(tanx-1)cos2x 的最大值是 ***** . 13.已知正整数对按如下规律排成一列: (1,1), (1,2), (2,1), 输出 y 结束 是 y = x+13 开始 输入 x x<1 否 y = x+8

(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),…,则第 60 个数对是 ***** . (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题,两题都选的只计算 14 题的得分.) 14.(坐标系与参数方程)在极坐标中,圆? =4cos? 的圆心 C 到直线 ? sin(? +4 )=2 2 的距离为 ***** . 15. (几何证明选讲)如图所示,⊙O 上一点 C 在直径 AB 上的射影为 D,CD=4,BD=8,则⊙O 的半径等于***** . 三.解答题:(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本题满分 12 分) 已知数列{an}中,a1=2,an+1=an+cn(c 是常数,n=1,2,3,……) ,且 a1 ,a2 ,a3 成公比不为

?

1 的等比数列.
(Ⅰ)求 c 的值; (Ⅱ)求{an}的通项公式. 17. (本题满分 12 分)
2

→ C C 已知△ABC 三个内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,向量 m = (cos2 ,sin2 ), → → → C C ? n =(cos2 ,-sin2 ),且 m 与 n 的夹角为3 . (Ⅰ)求角 C 的值; (Ⅱ)已知 c =3,△ABC 的面积 S = 18. (本题满分 14 分) 某省示范高中为了推进新课程改革,满足不同层次学生的需求,决定从高一年级开始,在每 周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲 座, 每位有兴趣的同学可以在规定期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座, 也可以放 弃任何一门科目的辅导讲座.(规定:各科达到预先设定的人数时称为满座,否则称为不满 座)统计数据表明,各学科讲座各天的满座的概率如下表: 信息技术 周一 周三 周五 1 4 1 2 1 3 生物 1 4 1 2 1 3 化学 1 4 1 2 1 3 物理 1 4 1 2 1 3 数学 1 2 2 3 2 3 4 3 3 ,求 a + b 的值.

(Ⅰ) 求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率; (Ⅱ) 设周三各辅导讲座满座的科目数为 ξ,求随机变量 ξ 的分布列和数学期望. 19. (本题满分 14 分) 如图,在三棱锥 V-ABC 中,VC⊥底面 ABC,AC⊥BC,D 是 AB 的中点,且 AC=BC=a,∠VDC=? (0<? <2 ) (Ⅰ)求证:平面 VAB⊥平面 VCD; (Ⅱ) 当角? 变化时, 求直线 BC 与平面 VAB 所成的角的取值 范围. A 20. (本题满分 14 分) 已知焦点在 x 轴上的双曲线 C 的两条渐近线过坐标原点, 且两条渐近线与以点 D(0, 2 )为圆 心,1 为半径的圆相切,又知双曲线 C 的一个焦点与 D 关于直线 y=x 对称. (Ⅰ)求双曲线 C 的方程; (Ⅱ)设直线 y=mx+1 与双曲线 C 的左支交于 A,B 两点,另一直线 l 经过 M(-2,0)及 AB 的中点,求直线 l 在 y 轴上的截距 b 的取值范围; (Ⅲ)若 Q 是双曲线 C 上的任一点,F1F2 为双曲线 C 的左,右两个焦点,从 F1 引∠F1QF2 的 平分线的垂线,垂足为 N,试求点 N 的轨迹方程. D C B V

?

3

21. (本题满分 14 分) 已知函数 f(x)是在(0,+∞)上每一点处可导的函数,若 xf ?(x) >f(x)在(0,+?)上恒成 立. f(x) (Ⅰ)求证:函数 g(x)= 在(0,+∞)上单调递增; x (Ⅱ)当 x1>0,x2>0 时,证明:f(x1)+f(x2)<f(x1+x2); (Ⅲ)已知不等式 ln(1+x)<x 在 x>-1 且 x≠0 时恒成立,证明: 1 1 n 2 1 2 1 2 2 (n ? N+). 2 ln2 + 2 ln3 + 2 ln4 +…+ 2 ln(n+1) > 2 3 4 (n+1) 2(n+1)(n+2)

2013 届高三上学期期末华附、省实、广雅、深中四校联考理科数学答案
一、选择题:
题号 答案 1 B 2 A 3 C 4 B 5 D 6 C 7 D 8 C

1.解: P∩Q={0}知, 由 0?P 且 0?Q. 由 0?P, log 得 ={3,0,1}.选 B. 1-i 2.解:-i+ =-i-i=-2i.选 A. 1+i

2

a =0 ? a=1;由 0?Q 得 b=0.故 P∪Q

3.解:由已知有 a1· 19=16,又 a1· 19=a102,∴在正项等比数列中,a10=4. a a ∴a8· 10· 12=a103=64.选 C. a a 4.解:对于 A,由于过点 P 垂直于平面 α 的直线必平行于平面 β 内垂直于交线的直线,因此 平行于平面 β,因此 A 正确.根据面面垂直的性质定理知,选项 C、D 正确. 选 B. 5.解:由所给函数及其导数知,偶函数的导函数为奇函数,因此当 f(x)是偶函数时,其导函 数应为奇函数,故 g(-x)=-g(x).选 D. 6.解:当 k=1 时,曲线是圆,故 D 错误.其余三个命题都是正确的.选 C. 2 7.解:由已知得,3a+2b+0× c=2,即 3a+2b=2,其中 0<a< ,0<b<1. 3 2 1 3a+2b?2 1 ? 1 2b a 10 + =3+ + + ≥ +2 又 + = a 3b 2 ?a 3b? 3 a 2b 3 2b a 16 2b a · = ,当且仅当 = ,即 a=2b a 2b 3 a 2b

1 1 2 1 16 时取“等号”,又 3a+2b=2,即当 a= ,b= 时, + 的最小值为 ,故选 D. 2 4 a 3b 3 8.解: 因方程方程 f ( x) ? bf ( x) ? c ? 0 恰有 5 个不同的实数解, x=2 应是其中的一个根, 故
2

4

又 f(2)=1,故 1+b+c=0?c=-(b+1),于是有, f 2 ( x) ? bf ( x) ? (1 ? b) ? 0 ?[ f (x)-1][ f (x)+ ( 1+b ) ]=0 ? [lg|x - 2| - 1][lg|x - 2|+ ( 1+b ) ]=0 ? 四 个 根 为 - 8 , 12 ,

?1? ? ? ? 10 ?

1?b

?1? ? 2,?? ? ? 10 ?

1?b

? 2 ? f ( x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ) =f(10)=3lg2,选 C.

二、填空题:

9.答案:18
1 解:从 1,3 中取一个排个位,故排个位有 A2 种方法;排百位不能是 0,可以从另外 3 个数 1 1 1 1 1 中取一个,有 A3 种方法;排十位有 A3 种方法。故所求奇数个数有 A3 × A3 × A2 =18 个.

10.答案: (-3,1)∪(2,+?) 解:由题 y= ?
? x+8 , x≥1 ? x+13 ,x<1

,因此 ?

? x≥1 ? x+8>10

或 ?

? x<1 ? x+13>10

解之得:x>2 或-3<x<1,所以解集为(-3,1)∪(2,+?). 5 1 11.答案: ,- ,-1 2 2 解:由 d=xa+yb+zc 得 e1+2e2+3e3=(x+y+z)e1+(x-y+z)e2+(x+y-z)e3,

?x+y+z=1,
∴ x-y+z=2, ?

?

?x+y-z=3, ?

?x=2, ? 1 解得:? y=- , ? 2 ?z=-1.
5

5 1 故 x、y、z 分别为 ,- ,-1. 2 2

12. 答案:

2 -1 , 2 2 1 ? ? 2 sin(2x-4 )-2 ,x ≠ k? + 2 .当 x = k? +

1 1 解:y =sinx cosx-cos2x = 2 (sin2x-cos2x )-2 = 3 8 ? (k ? Z)时,ymax= 13. 答案:(5,7),

2 ?1 . 2

解:按规律分组:第一组(1,1);第二组(1,2),(2,1);第三组(1,3),(2,2),(3,1);……则前 10 10× 11 组共有 =55 个有序实数对. 2 第 60 项应在第 11 组中,即(1,11),(2,10),(3,9),(4,8),(5,7),…,(11,1)中的第 5 个,因此 第 60 项为(5,7). 14.答案: 2
2 2

解:在直角坐标系中,圆:x +y =4x,圆心 C(2,0),直线:x+y=4,所以,所求为

2.

15.答案:5 解:由题:△ACD∽△CDB,得 CD =AD·BD,所以 AD=2,AB=10 ? r=5.
2

5

三.解答题: 16.解: (I)a1=2, a2=2+c,a3=2+3c,因为 a1,a2,a3 成等比数列,

所以(2+c)2=2(2+3c),解得 c=0 或 c=2. 当 c=0 时,a1=a2=a3,不符合题意舍去,故 c=2. (II)当 n≥2 时,由于 a2-a1=2, a3-a2=2×2,

??
an-an-1=2(n-1), 以上 n-1 个式叠加,得 an-a1=2[1+2+…+(n-1)]=n(n-1). ? an=2+ n(n-1)=n2-n+2 (n=2,3,……). 当 n=1 时,上式也成立,故 an=n2-n+2 (n=1,2,3,…) 17. 解: Ⅰ)∵ ( C C C C ? ∴cos2 cos2 +sin2 (-sin2 )=cos3 即 cosC= cos3 ,

?

又∵C ? (0, ? ) ∴ C=3 . (Ⅱ)由 c2=a2+b2-2abcosC 得 a2+b2-ab=9………………①

?

1 16 由 S△=2 absinC 得 ab= 3 ………………② 由①②得(a+b)2=a2+b2+2ab=9+3ab=25 ? a 、 b ? R ∴ a+b=5.
?

18. 解: (Ⅰ)设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件 A, 1 2 2 1 则 P(A)=?1-2??1-3??1-3?= . ? ?? ?? ? 18 (Ⅱ)ξ 的可能取值为 0,1,2,3,4,5. 1 ? 2 1 P(ξ=0)=?1-2?4× 1-3?= ; ? ? ? ? 48 1 2 1 1 ? 1 ? 2 P(ξ=1)=C1× × 1-2?3× 1-3?+?1-2?4× = ; 4 ? ? ? ? ? 3 8 2 ? 1 ? 1 2 7 ?1 ? 1 ? 2 P(ξ=2)=C2× 2?2× 1-2?2× 1-3?+C1× × 1-2?3× = ; 4 ? ? ? ? ? ? 4 2 ? ? 3 24

?1 ? 1 ? 2 ?1 ? 1 2 1 P(ξ=3)=C3× 2?3× 1-2?× 1-3?+C2× 2?2× 1-2?2× = ; 4 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 3
1 ? 2 ?1 ? 1 2 3 P(ξ=4)=?2?4× 1-3?+C3× 2?3× 1-2?× = ; ? ? ? ? 4 ? ? ? ? 3 16 1 2 1 P(ξ=5)=?2?4× = . ? ? 3 24 所以,随机变量 ξ 的分布列如下:

6

ξ P

0 1 48

1 1 8

2 7 24

3 1 3

4 3 16

5 1 24

1 1 7 1 3 1 8 故 E(ξ)=0× +1× +2× +3× +4× +5× = . 48 8 24 3 16 24 3 19. 解法 1: )∵ (Ⅰ AC=BC=a,

∴ △ACB 是等腰三角形, 又 D 是 AB 的中点, ∴ CD⊥AB,又 VC⊥底面 ABC. ∴ VC⊥AB.因 VC,CD ? 平面 VCD, ∴AB⊥平面 VCD.又 AB ?平面 VAB,
C D A V

∴ 平面 VAB⊥平面 VCD.
(Ⅱ 过点 C 在平面 VCD 内作 CH⊥VD 于 H, ) 则由(Ⅰ )知 CH⊥平面 VAB. 连接 BH,BH 是 CB 在平面 VAB 上的射影,于是 2 ∠CBH 就是直线 BC 与平面 VAB 所成的角.在 Rt△CHD 中,CH= 2 asin?; 设∠CBH=?,在 Rt△BHC 中,CH=asin?, ∴ 2 2 sin?= sin? , ∵ A 2 ? 0<? <2 ,∴ 0<sin? <1,0<sin? < 2 .

B

V

H C D B

又 0≤? ≤2 ,∴ 0<? <4 .即直线 BC 与平面 VAB 所成角的取值范围为(0, 4 ). 解法 2: )以 CA, CB, CV 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐 (Ⅰ 标系,则 a a 2 C(0,0,0), A(a,0,0), B(0,a,0), D(2 ,2 ,0),V(0,0, 2 atan? ), → a a 2 于是, VD =(2 ,2 ,- 2 → a a → atan?), CD =(2 ,2 ,0), AB =(-a,a,0).

?

?

?

→→ → → a a 1 1 从而 AB ·CD =(-a,a,0)·(2 ,2 ,0)=-2 a2+2 a2+0=0,即 AB ⊥ CD , ∴ AB⊥CD. →→ → → a a 2 1 1 同理 AB ·VD =(-a,a,0)·(2 ,2 ,- 2 atan?)=-2 a2+2 a2+0=0,即 AB ⊥ VD , ∴AB⊥VD.又 CD∩VD=D,AB⊥平面 VCD.又 AB ?平面 VAB.

∴ 平面 VAB⊥平面 VCD.
(Ⅱ )设直线 BC 与平面 VAB 所成的角为? ,平面 VAB 的一个法向量为 n=(x, y, z), → → 则由 n· AB =0, n· VD =0.
7

z V

? -ax+ay=0 ? 2 得 ? a a ? 2 x+2 y- 2 aztan?=0 ?
可取 n=(1,1, 2 tan? → ),又 BC =(0,-a,0), a 2 2+ 2 tan ? 2 2 sin?

→ n· BC 于是 sin? =| |= → | n |· BC | a· |

=



2 ? ∵ 0<? <2 ,∴ 0<sin? <1,0<sin? < 2 . 又 0≤? ≤2 ,0<? <4 .即直线 BC 与平面 VAB 所成角的取值范围为(0, 4 ). 20. 解: (Ⅰ)设双曲线 C 的渐近线方程为 y=kx,则 kx-y=0 |- 2 | ∵该直线与圆 x2+(y- 2 )2=1 相切,有 = 1 ? k =±1. k2 + 1 x2 y2 ∴双曲线 C 的两条渐近线方程为 y=±x, 故设双曲线 C 的方程为 a2- a2 = 1 . 易求得双曲线 C 的一个焦点为 ( 2 ,0),∴2a2=2,a2=1. ∴双曲线 C 的方程为 x2-y2=1.
? y=mx+1 (Ⅱ)由 ? x2-y2=1 得(1-m2)x2-2mx-2=0. ?

?

?

?

令 f(x)= (1-m2)x2-2mx-2 直线与双曲线左支交于两点,等价于方程 f(x)=0 在(-?,0)上有两个不等实根.

? △>0 ? 2m 因此 ?1-m -2 ?1-m ?

2

<0 >0

解得 1<m< 2 .

2

m 1 又 AB 中点为( , ),ks5u 1-m2 1-m2 1 ∴直线 l 的方程为 y= (x+2). -2m2+m+2 2 2 令 x=0,得 b= = 2 1 2 17 . -2m +m+2 -2(m-4 ) + 8 1 17 ∵1<m< 2 ,∴-2(m-4 )2+ 8 ? (-2+ 2 , 1), ∴b ? (-?,-2- 2 )∪(2,+?). (Ⅲ)若 Q 在双曲线的右支上,则延长 QF2 到 T,使 | QT |?| QF | , 1 若 Q 在双曲线的左支上,则在 QF2 上取一点 T,使| QT |=|QF1 |. 根据双曲线的定义| TF2 |=2,所以点 T 在以 F2( 2 ,0)为圆心,2 为半径的圆上,即点 T 的轨迹方程是
8

(x- 2 )2+y2=4 (x ≠ 0)



由于点 N 是线段 F1T 的中点,设 N(x,y),T(xT,yT).

? x=x -2 2 则 ? y y= 2 ?
T T

,即 ?

? xT=2x+ 2 ? yT= 2y



2 代入①并整理得点 N 的轨迹方程为 x2+y2=1.(x ≠ - 2

)

1 (或者用几何意义得到| NO |=2 | F2T |=1, 得点 N 的轨迹方程为 x2+y2=1.……)

f '( x) ? x ? f ( x) f(x) 21. 证明: (1)由 g(x)= ,对 g(x)求导知 g’(x)= x x2
由 xf ?(x) >f(x)可知: g ?(x ) >0 在(0,+?)上恒成立. 从而 g(x)= f(x) 在(0,+?)上是单调增函数. x f(x) 在(0,+?)上是单调增函数, x

(2)由(1)知 g(x)=

f(x1+x2) f(x1) f(x1+x2) f(x2) 当 x1>0,x2>0 时, > , > , x1+x2 x1 x1+x2 x2 x1 x2 于是 f(x1)< f(x1+x2), f(x2)< f(x1+x2), x1+x2 x1+x2 两式相加得到:f(x1)+f(x2)<f(x1+x2) (3)由(2)可知:g(x)= (x1>0,x2>0)恒成立 由数学归纳法易证:当 xi>0(i=1,2,3,…,n)时, 有 f(x1)+f(x2)+f(x3)+… +f(xn)<f(x1+x2+x3+…+xn) (n≥2)恒成立. 构造 f(x)=xlnx,知 xf ?(x) -f(x)=x(lnx+1)-xlnx=x>0 符合条件, 则当 xi>0(i=1,2,3,…,n)时 有 x1lnx1+x2lnx2+…+xnlnxn<(x1+x2+…+xn)ln(x1+x2+…+xn)(n≥2) (*)恒成立. 1 1 1 1 令 xn= 2 ,记 Sn=x1+x2+…+xn= 2 + 2 +…+ 2 , (n+1) 2 3 (n+1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 则 Sn< + +…+ =(1- )+( - )+…+( - )=1- , n n+1 1·2 2·3 n(n+1) 2 2 3 n+1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Sn> + …+ =( - )+( - )+…+( - )= - 2·3 3·4 (n+1)(n+2) 2 3 3 4 n+1 n+2 2 n+2 1 (x1+x2+…+xn)ln(x1+x2+…+xn)<(x1+x2+…+xn)ln(1) n+1 f(x) 在(0,+?)上是单调增函数, f(x1+x2)> f(x1)+f(x2) x

9

1 <- ( x1+x2+…+xn) (∵ln(1+x)<x) n+1 1 1 1 n <- ( - )=- n+1 2 n+2 2(n+1)(n+2) 由(**)及(*)可知: 1 1 1 1 1 1 n . 2 ln 2 + 2 ln 2 +…+ 2 ln 2 <2 2 3 3 (n+1) (n+1) 2(n+1)(n+2) 1 1 n 2 1 2 1 2 2 于是 2 ln2 + 2 ln3 + 2 ln4 +…+ . 2 ln(n+1) > 2 3 4 (n+1) 2(n+1)(n+2) (**)

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