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高考试卷浙江省浙大附中2015届高三高考全真模拟数学(理)试卷


免费在线作业标准 100 分答案

浙大附中 2015 年高考全真模拟试卷

数学(理科)试题卷
本试题卷分选择题和非选择题两部分,考试时间为 120 分钟. 参考公式:
柱体的体积公式 V ? Sh 锥体的体积公式 V ? 1 Sh 其中 S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高 其中 S 表示锥体的底面积,h 表示锥体

的高 其中 S1,S2 分别表示台体的上,下底面积 其中 R 表示球的半径,h 表示台体的高 其中 R 表示球的半径

3

台体的体积公式 V ? 1 h( S ? S S ? S ) 1 1 2 2 3 球的表面积公式 S 球的体积公式 V ?

? 4? R2
4 ? R3 3

选择题部分(共 40 分)
一、选择题 1.设集合 A ? {x | ?2 ? x ? 3} , B ? {x | x ? 1 ? 0} ,则集合 A ? B 等于 (A){x | ?2 ? x ? ?1} ( ▲ )

(B){x | ?2 ? x ? ?1} (C){x | ?1 ? x ? 3} (D){x |1 ? x ? 3} ( ▲ ) (D) y ? lg | x ? 1| ( ▲ )

2. 下列函数中,其图象既是轴对称图形又在区间 (0, ??) 上单调递增的是 (A) y ?

1 x

(B) y ? ? x ? 1
2

(C) y ? 2

x

3. 已知 a , b 为实数,则“ a ? b ? 2 ”是“ a ? 1 且 b ? 1 ”的 (A)充分不必要条件 (C)充要条件 4. 下列命题中错误 的是 .. (A) 如果平面 ? ? 平面 ? ,平面 ? ? 平面 ? , ? ? ? ? l ,那么 l ? ? (B) 如果平面 ? ? 平面 ? ,那么平面 ? 内一定存在直线平行于平面 ? (C)如果平面 ? 不垂直于平面 ? ,那么平面 ? 内一定不存在直线垂直于平面 ? (D) 如果平面 ? ? 平面 ? ,过 ? 内任意一点作交线的垂线,那么此垂线必垂直于 ? (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

( ▲ )

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5.

如图所示的是函数 f ( x) ? sin 2 x 和函数 g ( x) 的部分图象,则函数

y

g ( x) 的解析式是
(A) g ( x) ? sin(2 x ? )

( ▲ )

?

3 5? (C) g ( x) ? cos(2 x ? ) 6
6. 已 知 双 曲 线
2

(B) g ( x) ? sin(2 x ?

2? ) 3

(D) g ( x) ? cos(2 x ? )

?

O π
8

17π 24

x

6

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2
2





(第 5 题图)

x2 ?
率是

y2 ?

?c

2

? c

B、C、D 四点,若四边形 ABCD 是正方形,则双曲线的离心 a ? A、 b ? 交于 ( ▲ ) ( B) 2 ? 2 2 ( C) 1 ? 2 (D )

(A) 2 ? 2

1? 2 2
7.用餐时客人要求:将温度为 10 C 、质量为 0.25kg 的同规格的某种袋装饮料加热至 30? C ? 40? C . 服务员将 x 袋该种饮料同时放入温度为 80 C 、质量为 2.5kg 的热水中, 5 分钟后立即取出.设经 过 5 分钟饮料与水的温度恰好相同,此时, m1 kg 该饮料提高的温度 ?t1?C 与 m2 kg 水降低的温度
? ?

?. 8 ? m2 ?t2?C 满 足 关 系 式 m1 ? ?t1 0
( ▲ ) (A) 4 (B) 10

?, t2 ?则 符 合 客 人 要 求 的 x 可 以 是

(C) 16
B

(D) 22

8. 如图,在 Rt△ ABC 中,AC=1,BC=x,D 是斜边 AB 的中点,将 △ BCD 沿直线 CD 翻折,若在翻折过程中存在某个位置,使得 CB⊥AD,则 x 的取值范围是 (A) (0, 3] (C) ( 3, 2 3] (B) ( ( ▲ )

B D C C A D

2 , 2] 2

A

(D) (2,4]

(第 8 题图)

非选择题部分(共 110 分)
二、填空题

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9.

已知等比数列 ?an ? 的公比为 q ,前 n 项和为 S n ,若 Sn?1 , Sn , Sn?2 成等差数列,且 S1 ? 1 , 则q ? ▲ , a2 ? ▲ , an ? ▲ .

( ? 10. 已 知 点 P(cos ? ,sin ? ) 在 直 线 y ? ?3x 上 , 则 t a n ?
▲ .

π )? 4





1 ? cos 2? = sin 2?

?x ? y ? 2 ? 0 ? 11. 若不等式组 ? x ? 5 y ? 10 ? 0 所表示的平面区域被直线 y ? kx ? 2 分为 ?x ? y ? 8 ? 0 ?
面积相等的两部分, 则 k 的值为 ▲ ; 若该平面区域存在点 ( x0 , y0 ) 使 ▲ ▲ . ,其外接球的表
(第 12 题图)

x0 ? ay0 ? 2 ? 0 成立,则实数 a 的取值范围是
12. 一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的体积为 面积为 ▲ .
?

13. 非 零 向 量 a, b 夹 角 为 60 , 且 a ? b ? 1 , 则 a ? b 的 取 值 范 围 为 ▲ .
2 2 2 2

? ?

? ?

? ?

14. 实数 x, y 满足 4 x ? 5xy ? 4 y ? 5 ,设 S ? x ? y ,则

1 Smax

?

1 ? Smin





15. 已知关于 x 的方程 | x ? k |? 值范围是 ▲ .

2 k x 在区间 [k ? 1, k ? 1] 上有两个不相等的实根,则实数 k 的取 2

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答请写在答卷纸上,应写出文字说明,证明过程或演算 步骤.

a n i 16. (本题 15 分) 在 ?ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c , 且2 3 s
(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)设 BC 边的中点为 D , AD ?

B 5 ?c ,cos B ?

11 . 14

19 ,求 ?ABC 的面积. 2

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17. (本题 15 分) 如图, 已知平面 QBC 与直线 PA 均垂直于 Rt ?ABC 所在平面, 且 PA ? AB ? AC . (Ⅰ)求证: PA ∥平面 QBC ; (Ⅱ)若 PQ ? 平面QBC ,求二面角 Q ? PB ? A 的余弦值.

Q

P

C B
(第 17 题图)

A

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18. (本题 15 分) 已知直线 (1 ? 3m) x ? (3 ? 2m) y ? (1 ? 3m) ? 0 ( m ? R ) 所经过的定点 F 恰好是椭圆 C 的一个焦点,且椭圆 C 上的点到点 F 的最大距离为 3. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)设过点 F 的直线 l 交椭圆于 A 、 B 两点,若 值范围.

12 18 ?| FA | ? | FB |? ,求直线 l 的斜率的取 5 7

19. (本题 15 分)已知数列 {an } 中, a1 ? 1, a 2 ? (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;

(n ? 1)an 1 ,且 a n ?1 ? 4 n ? an

(n ? 2,3,4,?) .

* (Ⅱ)求证:对一切 n ? N ,有 a1 ? a2 ? ? ? an ?
2 2 2

7 . 6

20. (本题 14 分)已知函数 f ( x) ? x ? (a ? 1) x ? 4(a ? 5), g ( x) ? ax ? x ? 5 ,其中 a ? R.
2 2

(Ⅰ)若函数 f ( x) 、 g ( x) 错误!未找到引用源。存在相同的零点,求 a 的值; (Ⅱ)若存在两个正整数 m 、 n ,当 x0 ? (m, n) 错误!未找到引用源。时,有 f ( x0 ) ? 0 错误!未找 到引用源。与 g ( x0 ) ? 0 错误!未找到引用源。同时成立,求 n 的最大值及 n 取最大值时 a 的取值范 围.

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数学(理科)答案
1.C 2.D 3.B 4.D 9. ?2 , ?2 , (?2)
n ?1

5.C 6.A 7.C 8.A 10. 2 , ?

1 3

11.

1 , a ? ?1 2

12. 24 ,

289? 4

13. (1, 3]

14.

8 5

15. 0 ? k ? 1

16.解: (Ⅰ)由 cos B ?

11 5 3 ,得 sin B ? , 14 14 又 2 3a sin B ? 5c ,代入得 3a ? 7c , a c ? 由 ,得 3sin A ? 7 sin C , sin A sin C 3sin A ? 7sin( A ? B) , 3sin A ? 7sin A cos B ? 7 cos A sin B 2? 得 tan A ? ? 3 , A ? 3 19 2 2 (Ⅱ) AB ? BD ? 2 AB ?BD cos B ? , 4 7 7 11 19 c 2 ? ( c) 2 ? 2c ? c ? ? , c ? 3 ,则 a ? 7 6 6 14 4 1 1 5 3 15 3 S ? ac sin B ? ? 3 ? 7 ? 2 2 14 4

17.方法一: (Ⅰ)证明:过点 Q 作 QD ? BC 于点 D , ∵平面 QBC ⊥平面 ABC 又∵ PA ⊥平面 ABC ∴ QD ∥ PA 又∵ QD ? 平面 QBC ∴ PA ∥平面 QBC (Ⅱ)解:∵ PQ ? 平面 QBC ∴ QD ? 平面 ABC

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∴ ?PQB ? ?PQC ? 90 ∴ ?PQB ? ?PQC ∴ AD ? 平面 QBC 设 PA ? 2a

?

又∵ PB ? PC , PQ ? PQ

∴ BQ ? CQ ∴ PQ ∥ AD , AD ? QD

∴点 D 是 BC 的中点,连结 AD ,则 AD ? BC ∴四边形 PADQ 是矩形 ∴ PQ ? AD ? 2a , PB ? 2 2a 过 Q 作 QR ? PB 于点 R , ∴ BQ ? 6a

2a ? 6a 6 PQ2 2a 2 2 ∴ QR ? ? a , PR ? ? ? a 2 PB 2 2a 2 2 2a 取 PB 中点 M ,连结 AM ,取 PA 的中点 N ,连结 RN 1 1 1 ∵ PR ? PB ? PM , PN ? PA ∴ MA ∥ RN 4 2 2 ∵ PA ? AB ∴ AM ? PB ∴ RN ? PB ∴ ?QRN 为二面角 Q ? PB ? A 的平面角
连结 QN ,则 QN ?
2

QP 2 ? PN 2 ? 2a 2 ? a 2 ? 3a
2 2

又∵ RN ?

2 a 2

3 2 1 2 a ? a ? 3a 2 QR ? RN ? QN 3 2 ∴ cos ?QRN ? ?2 ?? 2QR ? RN 3 6 2 2? a? a 2 2 3 即二面角 Q ? PB ? A 的余弦值为 ? 3
方法二: (I)证明:同方法一 (Ⅱ)解:∵ PQ ? 平面 QBC ∴ ?PQB ? ?PQC ? 90 ,又∵ PB ? PC , PQ ? PQ
?

∴ ?PQB ? ?PQC ∴ AD ? 平面 QBC

∴ BQ ? CQ ∴ PQ ∥ AD , AD ? QD

∴点 D 是 BC 的中点,连结 AD ,则 AD ? BC ∴四边形 PADQ 是矩形 分别以 AC , AB, AP 为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系 O ? xyz 设 PA ? 2a ,则 Q(a, a, 2a) , B(0, 2a, 0) , P(0, 0, 2a) , 设平面 QPB 的法向量为 n ? ( x, y, z) ∵ PQ ? (a, a,0) , PB ? (0, 2a, ?2a)

?

??? ?

??? ?

? ? ax ? ay ? 0 ? n ? (1, ?1, ?1) ?2ay ? 2az ? 0 ?? 又∵平面 PAB 的法向量为 m ? (1,0,0) ……12 分 设二面角 Q ? PB ? A 为 ? ,则
∴?

?? ? ?? ? m?n 3 | cos ? |?| cos ? m, n ?|? ?? ? ? 3 | m |?| n |
又∵二面角 Q ? PB ? A 是钝角 ∴ cos ? ? ?

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3 3
3 。 3

即二面角 Q ? PB ? A 的余弦值为 ?

18.(Ⅰ)由 (1 ? 3m) x ? (3 ? 2m) y ? (1 ? 3m) ? 0 得 ( x ? 3 y ? 1) ? m(3x ? 2 y ? 3) ? 0 ,

?x ? 3y ?1 ? 0 由? ,解得 F (1,0) . ?3x ? 2 y ? 3 ? 0
?c ? 1 x2 y 2 ? 设椭圆 C 的标准方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,则 ?a ? c ? 3 解得 a ? 2, b ? 3, c ? 1 , a b ? 2 2 2 ?a ? b ? c
从而椭圆 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

(Ⅱ) 过 F 的直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,

? y ? k ( x ? 1) ? 由 ? x2 y 2 ,得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 ,因点 F 在椭圆内部必有 ? ? 0 , ? ? 1 ? 3 ?4

? 8k 2 x ? x ? ? ? 1 2 3 ? 4k 2 有? , 2 ? x x ? 4k ? 12 1 2 ? 3 ? 4k 2 ?
2 2 所以|FA|· |FB| =(1 + k )|(x1 – 1)(x2 – 1 )| ? (1 ? k ) | x 1 x 2 ?( x 1 ? x 2 ) ? 1| ?

9(1 ? k 2 ) 3 ? 4k 2



12 9(1 ? k 2 ) 18 ? ? , 得1 ? k 2 ? 3 , 2 5 3 ? 4k 7

解得 ? 3 ? k ? ?1 或 1 ? k ? 3 ,

? ? ? 所以直线 l 的斜率的取值范围为 ? ? ? 3, ?1? ? ?1, 3 ? .
19.解(Ⅰ)由已知,对 n ? 2 有

n ? an 1 n 1 , ? ? ? an?1 (n ? 1)an (n ? 1)an n ? 1

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两边同除以 n,得

1 1 1 , ? ? nan ?1 (n ? 1)a n n(n ? 1)



1 1 1 1 ? ? ?( ? ), nan ?1 (n ? 1)a n n ?1 n
n ?1 ? 1 ? 1 1? 1 ? 1 ? ? ? ? ? ? ?(1 ? ), ? ? ? ? ? (k ? 1)a k ? k? n ?1 k ? 2 ? ka k ?1 k ?2 ? k ? 1 n ?1

于是,



1 1 1 ? ? ?(1 ? ), n ? 2 , (n ? 1)an a2 n ?1
1 1 1 1 3n ? 2 ,n ? 2. , an ? ? ? (1 ? )? 3n ? 2 (n ? 1)an a2 n ?1 n ?1

所以

又 n ? 1 时也成立,故 a n ? (Ⅱ)当 k ? 2 ,有
2 ak ?

1 ,n? N*. 3n ? 2

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), 2 (3k ? 4)(3k ? 1) 3 3k ? 4 3k ? 1 (3k ? 2)

所以 n ? 2 时,有

?a
k ?1

n

2 k

n 1? 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 1 ? ? ak ? 1 ? ?( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) 3? 2 5 5 8 3n ? 4 3n ? 1 ? ? k ?2

1?1 1 ? 1 7 ? 1? ? ? ? ? 1? ? . 3 ? 2 3n ? 1 ? 6 6
2 又 n ? 1 时, a1 ? 1 ?

7 . 6

故对一切 n ? N ,有
*

?a
k ?1

n

2 k

?

7 . 6

20.解(Ⅰ) f ( x) ? x ? (a ? 1) x ? 4(a ? 5) = ( x ? 4)[ x ? (a ? 5)]
2

? x1 ? ?4, x2 ? a ? 5
g (?4) ? 16a ? 9 ? 0,? a ? ? 9 2 , g (a ? 5) ? a[(a ? 5) ?1] ? 0 16

? a ? 0或a ? ?4或a ? ?6 ,

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经检验上述 a 的值均符合题意,所以 a 的值为 ?6, ?4, ?

9 ,0 16

……5 分

(Ⅱ)令 f ( x) ? 0, 则 ?4 ? x ? a ? 5 ,? m, n 为正整数,? a ? 5 ? 0,即a ? ?5 , 记 N ? (0, a ? 5) , 令 g( x) ? 0,即ax
2

……6 分

? x ? 5 ? 0 的解集为 M , 则由题意得区间 (m, n) ? M ? N . ……7 分

2 ①当 a ? 0 时,因为 g(0) ? 5 ? 0 ,故只能 g(a ? 5) ? a[(a ? 5) ?1] ? 0 ,

即 a ? ?4 或 a ? ?6 ,又因为 a ? ?5 ,故 ?4 ? a ? 0 ,此时 n ? a ? 5 ? 5 . 又 m , n ?Z ,所以 m ? n ? 4 . ………9 分

??4 ? a ? 0, 2 ? 当且仅当 ? 4 ? a ? 5 ? 5, 即 ? 1 ? a ? ? 时, n 可以取 4, 9 ? g (3) ? 9a ? 2 ? 0, ?
所以, n 的最大整数为 4; ②当 a ? 0 时, M ? N ? ? ,不合题意; ③当 a ? 0 时,因为 g(0) ? 5 ? 0 , g(a ? 5) ? a[(a ? 5)
2

………11 分 ………12 分

?1] ? 0 ,

1 ? ? a ? 5, ?0 ? 故只能 ? 无解; 2a ? ?? ? 1 ? 20a ? 0,
综上, n 的最大整数为 4,此时 a 的取值范围为 ? 1 ? a ? ?

2 . ………14 分 9

-END-

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