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2.3.1变量之间的相互关系


2.3.1
变量间的相关关系

问题提出
1.函数是研究两个变量之间的依存关系的一

种数量形式.对于两个变量,如果当一个变 量的取值一定时,另一个变量的取值被惟一 确定,则这两个变量之间的关系就是一个函 数关系.

函数关系:两个变量之间是一种确定的关系

2.在中学校园里,

有这样一种说法:“如果你的数学成绩 好,那么你的物理学习就不会有什么大问题.”按照这种 说法,似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着某种关 系,我们把数学成绩和物理成绩看成是两个变量,那么这 两个变量之间的关系是函数关系吗?

不是
由学习经验可知:物理成绩确实与数学成绩有一定的关 系,除此之外,学习兴趣、学习时间、教学水平等,也 是影响物理成绩的一些因素,但这两个变量是有一定关 系的,它们之间是一种不确定性的关系.类似于这样的两 个变量之间的关系,我们称之为相关关系。有必要从理 论上作些探讨,如果能通过数学成绩对物理成绩进行合 理估计,将有着非常重要的现实意义.

? 事例 1〉商品销售收入与广告支出经费 之间的关系。商品销售收入与广告支出 经费之间有着密切的联系,但商品收入 不仅与广告支出多少有关,还与商品质 量、居民收入等因素有关。

?

2〉粮食产量与施肥量之间的关系。在 一定范围内,施肥量越大,粮食产量就越 高。但是,施肥量并不是决定粮食产量的 唯一因素,因为粮食产量还要受到土壤质 量、降雨量、田间管理水平等因素的影响。

?

3〉人体内脂肪含量与年龄之间的关 系。在一定年龄段内,随着年龄的增长, 人体内的脂肪含量会增加,但人体内的 脂肪含量还与饮食习惯、体育锻炼等有 关,可能还与个人的先天体质有关。

知识探究(一):变量之间的相关关系 思考1:考察下列问题中两个变量之间的关系: (1)商品销售收入与广告支出经费; (2)粮食产量与施肥量; (3)人体内的脂肪含量与年龄. 这些问题中两个变量之间的关系是函数关 系吗? 均不是!

上述两个变量之间的关系是一种非确定 性关系,称之为相关关系,那么相关关 系的含义如何?

一、相关关系的概念
自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机 性的两个变量之间的关系,叫做相关关系. 1、对相关关系的理解
相关关系—当自变量取值一定,因变量的取值带有一定 的随机性( 非确定性关系) 函数关系---函数关系指的是自变量和因变量之间的关 系是相互唯一确定的.

2、相关关系与函数关系的异同点
相同点:均是指两个变量的关系 不同点:函数关系是一种确定的关系;

相关关系是一种非确定关系。

练习:

1、探究下面变量间的关系:
1.球的体积与该球的半径; 2.粮食的产量与施肥量; 3.小麦的亩产量与光照; 4.匀速行驶车辆的行驶距离与时间; 5.角α 与它的正切值A

2、下列两变量中具有相关关系的是( D )
A、角度和它的余弦值 B、正方形的边长和面积

C、成人的身高和视力

D 、身高和体重

3.下列两个变量之间的关系哪个不是函数关 系( D ) A.角度和它的余弦值 B. 正方形边长和面积 C.正n边形的边数和它的内角和 D. 人的年龄和身高

在现实生活中存在着大量的相关关系,如 何判断和描述相关关系,统计学发挥着非常 重要的作用,变量之间的相关关系带有不确 定性,这需要通过大量的数据,对数据进行 统计分析,发现规律,才能作出科学的判断。 对具有相关关系的两个变量进行统计分 析的方法叫回归分析

相关关系是进行回归分析的基础,同时, 也是散点图的基础。

知识探究(二):散点图 【问题】在一次对人体脂肪含量和年龄 关系的研究中,研究人员获得了一组样 本数据:
年龄 23
脂肪 9.5 年龄 53

27

39

41

45

49

50

17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 54 56 57 58 60 61

脂肪 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6

其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄 人群脂肪含量的样本平均数.

年龄 23
脂肪 9.5 年龄 53

27
54

39
56

41
57

45
58

49
60

50
61

17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2

脂肪 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6
思考1:对某一个人来说,他的体内脂肪含量不一定随年 龄增长而增加或减少,但是如果把很多个体放在一起, 就可能表现出一定的规律性.观察上表中的数据,大体上 看,随着年龄的增加,人体脂肪含量怎样变化? 思考2:为了确定年龄和人体脂肪含量之间的更明确的关 系,我们需要对数据进行分析,通过作图可以对两个变量 之间的关系有一个直观的印象.以x轴表示年龄,y轴表示 脂肪含量,你能在直角坐标系中描出样本数据对应的图形 吗?

下面我们以年龄为横轴,脂肪含量为纵轴建立直角坐标系,

作出各个点,称该图为散点图。 如下图:

在平面直角坐标系中,表示具有相关关系的两个变量 的一组数据图形,称为散点图. 散点图是用来判断两个变量是否具有相关关系。
脂肪含量

从刚才的散点图发现: 年龄越大,体内脂肪 含量越高,点的位置 散布在从左下角到右 上角的区域。称它们 成正相关。

40 35 30 25

20 15 10 5

年龄 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

O

又如高原含氧量与 海拔高度的相关关系, 海平面以上,海拔高度 越高,含氧量越少。 作出散点图发现, 它们散布在从左上角到 右下角的区域内。又如 汽车的载重和汽车每消 耗1升汽油所行使的平 均路程,称它们成负

相关.

O

我们再观察它的图像发现这些点大致分布在一条 直线附近,像这样,如果散点图中点的分布从整体上 看大致在一条直线附近,我们就称这两个变量之间 具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线,该直线 叫回归方程。 脂肪含量
40

那么,我们该 怎样来求出这个 回归方程?请同 学们展开讨论, 能得出哪些具体 的方案?

35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 年龄

45 50 55 60 65

方案1、先画出一条直线,测量出各点与 它的距离,再移动直线,到达一个使距离的和 最小时,测出它的斜率和截距,得回归方程。
脂肪含量

.

40 35
30 25 20 15 10 5 0 年龄

20

25

30 35 40

45 50 55 60 65

. 方案2、在图中选两点作直线,使直线
两侧的点的个数基本相同。
脂肪含量 40 35

30
25 20 15 10 5 年龄 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

0

方案3、如果多取几对点,确定多条直线,再求
出这些直线的斜率和截距的平均值作为回归直线 的斜率和截距。而得回归方程。
脂肪含量 40 35

30 25
20

15
10 5 0 年龄

20

25

30 35 40

45 50 55 60 65

我们还可以找到更多的方法,但
这些方法都可行吗?科学吗?准确吗?

怎样的方法是最好的?
我们把由一个变量的变化去推测另

一个变量的方法称为回归方法。

我们上面给出的几种方案可靠性都不是很 强,人们经过长期的实践与研究,已经找到了 计算回归方程的斜率与截距的一般公式:

?

b?
?

?

? ( x ? x)( y ? y) ? x y ? nx y
i ?1 i i

n

n

? ( x ? x)
i ?1 ? i

n

?

2

i ?1 n

i i 2 i

?x
i ?1

? nx

2

,

a ? y ?b x

y ? b x ? a

?

?

?

回归方程

以上公式的推导较复杂,故不作推导,
但它的原理较为简单:即各点到该

直线的距离的平方和最小,这一方法叫
最小二乘法。(参看如书P88)

一、相关关系的判断 例1:5个学生的数学和物理成绩如下表:
A 80 70 B 75 66 C 70 68 D 65 64 E 60 62

数学 物理

画出散点图,并判断它们是否有相关关系。

解:
物理成绩 80 75 70 65 60 55 50 40 50 60 70 80

数学成绩
90

由散点图可见,两者之间具有正相关关系。

二、求线性回归方程的方法 例2:观察两相关变量得如下表:
x -1 -2 -3 -4 -5 5 y -9 -7 -5 -3 -1 1 3 5 4 3 2 7 1 9

求两变量间的回归方程

解1: 列表:
x y xy
i

i

1 -1

2 -2

3 -3

4 -4

5 -5

6 5

7 3

8 4

9 2

10 1

i

-9
i

-7
14

-5
15

-3
12

-1
5
10

1
5
2 i

5
15

3
12
10

7
14

9
9

i

9

计算得:
10

x ? 0, y ? 0
i i

?x
i ?1
2

? 110 ,?
i ?1

x y
i

i

? 110

^ b ?

?x y
i ?1 10

? 1 0x y ?

?x
i ?1

2 i

? 10 x

1 1 0? 1 0 ? 0 ?1 1 1 0? 1 0 ? 0

a ? y ? bx ? 0 ? b? 0 ? 0
^ ^ ^

∴所求回归直线方程为 y=x

^

小结
1、散点图
A、定义;B、正相关、负相关。 2、回归直线方程 (1)回归直线:观察散点图的特征,如 果各点大致分布在一条直线的附近,就称 两个变量之间具有线性相关的关系,这条 直线叫做回归直线。

(2)最小二乘法

最小二乘法求回归方程的一般方法: 1、列表 2、计算
^

x , y, ? x
i ?1

n

2 i

, ? xi yi
i ?1

n

3、求 a , b

^

b?
?

?

? ( x ? x)( y
i ?1 i n i ?1 ? i

n

i

? y) ?
2

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y ? nx
2

? ( x ? x)
?

?x
i ?1

,

2 i

a ? y ?b x

4、代入回归直线方程:y ? b x ? a

?

?

巩固练习
一、选择题(每题5分,共15分) 1.下列关系中为相关关系的有( )

①学生的学习态度和学习成绩之间的关系;

②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系;
③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系; ④某个人的年龄与本人的知识水平之间的关系.

(A)①②

(B)①③

(C)②③

(D)②④

【解析】选A.据相关性的定义可知①②为相关关系,③④无相 关关系.

3.在下列各变量之间的关系中: ①汽车的重量和百公里耗油量.②正n边形的边数与内角度数之 和.③一块农田的小麦产量与施肥量.④家庭的经济条件与学生 的学习成绩.

是相关关系的有(
(A)①②

)
(C)②③ (D)③④

(B)①③

二、填空题(每题5分,共10分)

4.(2010·广东高考)某市居民2005~2009年家庭平均收入
x(单位:万元)与年平均支出y(单位:万元)的统计资料 如表所示:

根据统计资料,居民家庭年平均收入的中位数是 ______,家
庭年平均收入与年平均支出有 ______的线性相关关系.(填 “正相关”、“负相关”) 【解析】收入数据按大小排列为:11.5、12.1、13、13.5、 15,所以中位数为13.

答案:13

正相关

三、解答题(6题12分,7题13分,共25分)

6.某品牌服装的广告费支出x(单位:万元)与销售额y(单位:
万元)之间有如下的对应数据:

试画出散点图,并判断广告费x与销售额y是否具有线性相关关 系.

【解析】根据题中数据画出散点图如下:

观察散点图,可以发现5个样本点从整体上看大致在一条直线 附近,所以变量x、y之间具有线性相关关系.

例2 以下是某地搜集到的新房屋的销 售价格和房屋的面积的数据:
房屋面积
(平方米)

61

70

115

110

80

135

105

销售价格
(万元)

12.2 15.3 24.8 21.6 18.4 29.2

22

画出数据对应的散点图,并指出销售 价格与房屋面积这两个变量是正相关 还是负相关.

售价

35 30 25 20 15 10 5 0 0 50 100 面积 150

售价随房屋面积的变大而增加,散点图中的点散 布在从左下角到右上角的区域.


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