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1、集合
1、设集合 U ? {x ? N | 0 ? x ? 8} , S ? {1, 2, 4,5} , T ? {3,5,7} ,则 S ? (CU T ) ? 。

{1, 2, 4}
2 2 2、 已知集合 A ? -3, x , x ? 1 , B ? x ? 3, 2 x ? 1, x ? 1 , 若A

?

?

?

?

则A B? B ? ??3? ,



{?3, ?4, 0,1, 2}
2 3 、 已 知 集 合 A ? x x ? 2 x ? 3 ? 0 , B ? x mx ? 1 ? 0 , 若 B ? A , 则 m 的 值 构 成 的 集 合

?

?

?

?





1 {0, ?1, } 3
4、已知全集 U ? ?1, 2,3, 4,5,6,7,8,9? , 集合 A, B 满足 ? UA

?

?

B ? ?1,9?, A B ? ?2?,

?痧A? ?
U

U

B? ? ?4,6,8? ,则 A ? _____, B ? ______ 。

A ? {2,3,5,7}, B ? {1, 2,9}
5、设集合 M ? {x | y ? 2 ? x} ,集合 N ? { y | y ? x2 , x ? R} ,则 M

N?



[0, 2]
{( x ,y ) y ?x ? b} 6、已知集合 M ? {( x, y) y ? 9 ? x }, N ?
2

,且 M

N ? ? ,则实数 b 的取值范

围是



b ? (??, ?3) (3 2, ??)
2 7、设集合 M ? {x | x ? m ? 0}, N ? {x | x ? 2x ? 8 ? 0} ,若 U ? R ,且 (CU M )

N ? ? ,则实

数 m 的取值范围是



m?2
2 8、设全集 U 是实数集 R , M ? x ? x ? 4 , N ? ?x ??? x ? 3? ,则图

?

?

U

N M

中阴影部分所表示的集合是



?x ??? x ? 2?
9、设函数的集合 P ? ? f ( x) ? log 2 ( x ? a) ? b a ? ? ,0, ,1; b ? ?1,0,1? ,平面上点的集合

? ?

1 2

1 2

? ?

? ? 1 1 Q ? ?( x, y) x ? ? ,0, ,1; y ? ?1,0,1? ,则在同一直角坐标系中, P 中函数 f ( x) 的图象恰好经 2 2 ? ?
过 Q 中两个点的函数的个数是 。

6
10、设 A 是整数集的一个非空子集,对于 k ? A ,如果 k ? 1 ? A 且 k ? 1 ? A ,那么 k 是 A 的一个 “孤立元” ,给定 S ? {1, 2,3, 4,5,6,7,8,} ,由 S 的 3 个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的 集合共有 个。

6
2 2 2 11 、已 知全集 U ? R ,且集合 A ? x | x ? ax?12 ? 0 , B ? x | x ? bx ? b ? 28 ? 0 , 若

?

?

?

?

A ? U B ? ?2? ,求 a, b 的值。
解:由题意, 2 ? A ,得 2 ? 2a ? 12 ? 0 ? a ? 4 ,∴ A ? {?6, 2} 。
2

2 ? CU B ,得 22 ? 2b ? b2 ? 28 ? 0 ? b ? ?6, b ? 4
当 b ? ?6 时, B ? {x | x ? 2, x ? 4} ,符合题意, 当 b ? 4 时, B ? {x | x ? ?6, x ? 2} ,不符合题意,舍去。 ∴ a ? 4, b ? ?6 。

2、简易逻辑
1、若非空集合 A, B, C 满足 A

B ? C ,且 B 不是 A 的子集,则“ x ? C ”是“ x ? A ”的

条件。 (填“充分不必要” , “必要不充分” , “既不充分又不必要” , “充要” ) 必要不充分 2、已知 p 是 r 的充分不必要条件, q 是 r 的充分条件, s 是 r 的必要条件, q 是 s 的必要条件, 则以下命题: ① s 是 q 的充要条件; ② p 是 q 的充分不必要条件; ③ r 是 q 的必要不充分条件; ④ ? p 是 ?s 的必要不充分条件; ⑤ r 是 s 的充分不必要条件。 其中正确的有 ①②④
2



3、命题“ ?x ? R, x ? 2x ? 2 ? 0 ”的否定是



?x ? R, x2 ? 2x ? 2 ? 0.

4、下列四个命题:其中不正确的是 。 ①一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真;
2 2

②“ a ? b ”与“ a ? c ? b ? c ”不等价;
2 2

③“ a ? b ? 0 ,则 a , b 全为 0 ”的逆否命题是“若 a , b 全不为 0 , 则 a ? b ? 0 ” ; ④一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真。 ①②③ 5、已知 a , b 是实数,则“ a ? 0 且 b ? 0 ”是“ a ? b ? 0 且 ab ? 0 ”的 (填“充分不必要” , “必要不充分” , “既不充分又不必要” , “充要” ) 充要 6、已知 p : ?4 ? x ? a ? 4, q : ( x ? 2)(3 ? x) ? 0 ,若 ? p 是 ? q 的充分条件,则实数 a 的取值范围 是 。 条件。

?1 ? a ? 6
7、若 k ? R ,试写出方程

y2 x2 ? ? 1 表示双曲线的一个充分不必要条件是 k ?3 k ?3



答案不惟一,如 k ? 3 ,或 k ? ?3 等 8、已知命题 p1 :函数 y ? 2x ? 2? x 在 R 为增函数, p2 :函数 y ? 2x ? 2? x 在 R 为减函数, 则在命题 q1 : p1 ? p2 ;q2 : p1 ? p2 ;q3 :? ?p1 ? ? p2 和 q4 : p1 ? ? ?p2 ? 中, 真命题是 。

q1 , q4
9、下列三个命题:① ?n ? R, n 2 ? n ;② ?n ? R, n 2 < n ;③ ?n ? R, ?m ? R, m ? n ? m ; 其中真命题的序号是 ③ 10、已知命题 p : “a ? 。

a ?1 1 ? 0” ” ,命题 q: “ 。 若“ p 且 q ”是假命题, “ p 或 q ”是真命 2 a

题,求实数 a 的取值范围。 解:命题 q 为真命题 ? 0 ? a ? 1 若 p 真 q 假,则 a ? 1 ;若 p 假 q 真,则 0 ? a ? 1 。 2

1 故实数 a 的取值范围是 0, ? 2? ?

?

(1, ? ?) 。
n

11、已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? p ? q( p ? 0, p ? 1) ,求数列 {an } 是等比数列的充要条件。 解: q ? ?1 。

3、函数的概念及定义域
1、 已知集合 A ? x 0 ? x ? 4 ,B ? y 0 ? y ? 2 。 则从 A 到 B 的对应 f 表示映射的是 ① f :x? y?

?

?

?

?



1 1 2 1 x ;② f : x ? y ? x ;③ f : x ? y ? x ;④ f : x ? y ? x 2 2 3 3 8

①②④ 2、给出三个命题: ①映射 f : A ? B 是函数,则 A 叫做函数的定义域, B 叫做函数的值域; ② f ( x) ? x ? 4 ? 3 ? x 是函数; ③函数 y ? 3x( x ? Z ) 的图象是一条直线. 其中正确的有 个。

0
3、已知函数 f ( x), g ( x) 分别由右表给出: 则 f ? g (1)? 的值 ;满足 f ? g ( x)? ? g ? f ( x)? 的 x 的值 。

x
f ( x)

1 1

2

3
1

x
g ( x)

1

2 2

3
1

3

3

1, 2
4、函数 y ?

x(x ?1) ? x 的定义域为



?x | x ? 1? ?0?
5、定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x) ? ?

? log 2 (4 ? x),???????????x ? 0 ,则 f (3) ? ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x ? 0



?2
6、已知函数 f ( x) 的定义域为 [?1, 2) ,则 f (| x |) 的定义域是 。

(?2, 2)
7、已知函数 f ( x) ? ?

? 2 x ? 1,??? x ? 1
2 ? x ? ax, x ? 1

,若 f ( f (0)) ? 4a ,则实数 a ?



2
8、函数 f ( x) ?

x ? 2 ?1 log 2 ( x ? 1)

的定义域为



[3, ??)

9、 已知函数 f ( x) 的定义域为 ?a, b? , 且a ? b ? 0, 函数 g ( x) ? f ( x) ? f (? x) 的定义域为



[ a, ? a ]
10、已知 f ( x ) 满足 f (ab) ? f (a) ? f (b) ,且 f (2) ? p, f (3) ? q ,那么 f (72) ? 。

3 p ? 2q
11、函数 f ( x) ?

(1 ? a 2 ) x 2 ? 3(1 ? a ) x ? 6

⑴若 f ( x ) 的定义域为 R ,求实数 a 的取值范围; ⑵若 f ( x ) 的定义域为 [?2,1] ,求实数 a 的值。 解:⑴ ?

5 ? a ? 1 ;⑵ a ? 2 。 11

4、解析式
1、已知 f ( x ) 为一次函数,且 f [ f ( x)] ? 4 x ? 1 ,则 f ( x ) 的解析式为 。

1 f ( x) ? 2 x ? 或 f ( x) ? ?2 x ? 1 3
2、已知函数 f ( x ) 的图象如图所示,则它的一个解析式是____ _。

? x ? 1, (?1 ? x ? 0) f ( x) ? ? ?? x, (0 ? x ? 1)
2 3、已知 f ( x ? 1) ? 2 x ?1 ,则 f ( x ? 1) 的表达式为



f ( x ?1) ? 2x2 ? 8x ? 9
4、一个等腰三角形的周长是 20 ,底边 y 是关于腰长 x 的函数,它的解析式为 。

y ? 20 ? 2 x(5 ? x ? 10)
5、已知函数 f ( x ) 满足 3 f ( x) ? f ( ) ? x ,则 f ( x ) 的解析式为
2

1 x



1 3x 2 ? ( ) 2 x f ( x) ? 2

6、 已知二次函数 y ? f ( x) 满足条件 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x, f (0) ? 1 , 则 f ( x ) 的表达式为



f ( x) ? x2 ? x ? 1 c
7 、已知在 x 克 a % 的盐水中,加入 y 克 b % 的盐水,浓度变为 c % ,则 y 关于 x 的函数表达式 是 。

f ( x) ? x2 ? x ? 1
8、已知 f ( ? 1) ? lg x ,则则 f ( x ) 的解析式为

2 x 2 f ( x) ? lg ( x ? 1) x ?1



9、已知等式 f ( x ? y) ? f ( x) ? y(2 x ? y ? 1) 对一切实数 x, y 都成立,且 f (0) ? 1 ,则 f ( x ) 的解 析式为 。
2

f ( x) ? x ? x ? 1

? x 2 ? bx ? c, x ? 0 ? 10、设函数 f ( x) ? ? ,若 f (?4) ? f (0) , f (?2) ? ?2 。 x?0 ? ?2, ⑴求函数 f ( x ) 的解析式;
⑵求方程 f ( x) ? x 的解。 解:⑴由 f (?4) ? f (0) 得 (?4)2 ? b(?4) ? c ? c ,∴ b ? 4 。
2 ? ? x ? 4 x ? 2, x ? 0 f ( x ) ? ∴ f (?2) ? (?2) ? 4(?2) ? c ? ?2 得 c ? 2 。∴ , ? x?0 ? ?2,

2

⑵当 x ? 2 时,显然有 f ( x) ? x 成立。 当 x ? 0 时, x ? 4 x ? 2 ? x 得 x ? ?1 或 x ? ?2 。
2

∴方程 f ( x) ? x 的解为 x ? 2 或 x ? ?1 或 x ? ?2 。

B 为直角顶点, ?ABC 为等腰直角三角形, 11、 腰长为 1, 动点 P 从点 A 开始, 沿A? B?C ? A 运动,求 PA 的长与点 P 所走路程的函数关系式。
解:设 PA 的长 y ,点 P 所走路程为 x ,则当点 P 在 AB 上时, y ? x ;当点 P 在 BC 上时,

y ? 1 ? ( x ? 1) 2 ;当点 P 在 CA 上时, y ? 2 ? 2 ? x ;

?x (0 ? x ? 1) ? ? 2 ∴所求的函数关系式是 y ? f ( x ) ? ? 1 ? ( x ? 1) (1 ? x ? 2) 。 ? ? ?2 ? 2 ? x (2 ? x ? 2 ? 2)

5、函数的值域和最值
1、函数 y ? x ? 2 x ? 1 的最小值是______________。

?1
2、函数 y ?

1 的值域是 3 ?1
x



(??, ?1) (0, ??)
3、已知函数 f ? x ? ? x ?

a ( x ? 2) 的图象过点 A(3, 7) ,则此函的最小值是 x?2



6
4、 已知函数 y ? x ? 2 x ? 3 在区间 [0, m] 上有最大值 3 , 最小值 2 , 则 m 的取值范围是
2



[1, 2]
5、在函数① y ? 的是_________。 ④
x 6、用 min{a, b, c} 表示 a, b, c 三个数中的最小值,设 f ( x) ? {2 , x ? 2,10 ? x}( x ? 0) ,则 f ( x ) 的

1 1 1? x 1 x ;② y ? 1 ? 2 x ;③ y ? ( ) ? 1 ;④ y ? ( ) 中,值域是 (0, ??) 3 5 ?1 2
?x

最大值为



6
7、已知函数 y ? 1 ? x ? x ? 3 的最大值为 M ,最小值为 m ,则

m 的值为 M



2 2
8、已知函数 f ( x) ? x ln x ,则 f ( x ) 在 ? a, 2a? (a ? 0) 上的最小值为 。

f ( x) min

1 ? ?2a ln 2a, (0 ? a ? 2e ) ? 1 1 ? 1 ? ? ? ,???????( ? a ? ) 2e e ? e 1 ? ? a ln a,????????????(a ? e ) ?
x 3 ( a ? 0 )在 ?1, ?? ? 上的最大值为 ,则 a 的值为 x ?a 3
2

9、若函数 f ( x ) ?



3 ?1
10、已知函数 f ( x) ? ⑴当 a ?

x 2 ? 2x ? a , x ? [1,??) 。 x

1 时,求函数 f ( x) 的最小值 ; 2

⑵若对任意 x ? [1,??) , f ( x) ? 0 恒成立,试求实数 a 的取值范围。 解:⑴

7 ; 2

⑵ f ( x) ?

x2 ? 2x ? a ? 0 ,∵ x ? [1, ??) 即 x2 ? 2x ? a ? 0 ? a ? ?( x2 ? 2x) x

∴ a ? (?( x2 ? 2x))Max ,∴ a ? ?3 。 11、已知函数 f ( x) ?

x ?1? a ( a ? R 且 x ? a) a?x

⑴当 x ? [ a ? 1, a ? ] 时,求函数 f ( x) 的值域; ⑵设函数 g ( x) ? x | ( x ? a) f ( x) ? 1| ,求 g ( x) 在 [1, 2] 上的最小值。 解:⑴ [0,1] ; ⑵当 1 ? a ? 2 时, g ( x) 最小值为 0 ; 当 a ? 1 时, g ( x) 最小值为 1 ? a ; 当 2 ? a ? 3 时, g ( x) 最小值为 2a ? 4 ; 当 a ? 3 时, g ( x) 最小值为 1 ? a 。

1 2

6、函数的奇偶性和单调性
1、已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 3a ? b(a ?1 ? x ? 2a) 为偶函数,则 a ? ,b ? 。

1 ,0 3
2、设函数 f ( x) ? x(e x ? ae? x )( x ? R) 是偶函数,则实数 a ? 。

?1
3、函数 f ( x) ? ( x ? 3)e x 的单调递增区间是 。

(2, ??)
4、已知函数 f ( x) 是减函数,且 f ( x) ? 0 ,则在函数① y ? ④ y ? log 1 f ( x) 中为增函数的是
2

1 ;② y ? 2 f ( x ) ;③ y ? [ f ( x)]2 ; f ( x)



①④ 5、定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足:对任意的 x1 , x2 ?[0, ??)( x1 ? x2 ) ,有 则 f (?2), f (1), f (3) 的从小到大的排列顺序是 。

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0, x2 ? x1

f (3) ? f (?2) ? f (1)
6、 已知函数 f ( x ) 对一切实数 x, y 都有 f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y) , 则 f ( x) 是 (填“奇” , “偶” ) 奇 函数。

? ?) 上为增函数, 7、 设奇函数 f ( x ) 在 (0, 且 f (1) ? 0 , 则不等式 (?1, 0) (0, 1)

f ( x) ? f (? x) ? 0 的解集为 x



8、已知 f ( x) 是 R 上的增函数, A(0, ?1), B(3,1) 是其图象上的两点,则不等式 | f ( x ? 1) |? 1 的 解集为______ ____。

{x | ?1 ? x ? 2}
9、设函数 f ( x) ? ?

?(3 ? a ) x ? a, x ? 1 在 R 上递增,则 a 的取值范围是 ? log a x,????????? x ? 1



3 [ ,3) 2
10、已知函数 f ( x) ? 是

3 ? ax (a ? 1) ,若 f ( x) 在区间 ? 0,1? 上是减函数,则实数 a 的取值范围 a ?1


? ??,0? ? ?1,3?
11、已知函数 f ( x) ? x ?
2

a ( x ? 0, a ? R) x

⑴判断函数 f ( x ) 的奇偶性; ⑵若函数 f ( x ) 在区间 [2, ??) 是增函数,求实数 a 的取值范围。 解:⑴当 a ? 0 时, f ( x) ? x2 是偶函数;当 a ? 0 时, f ( x ) 既不是奇函数也不是偶函数。∵。 ⑵方法一:设 x2 ? x1 ? 2, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ?
2

a a x ?x 2 ? x2 ? ? 1 2 [ x1 x2 ( x1 ? x2 ) ? a] , x1 x2 x1 x2

由 x2 ? x1 ? 2 得, x1 x2 ( x1 ? x2 ) ? 16, x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 0 。要使 f ( x ) 在区间 [2, ?? ) 是增函数, 只需 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 x1 x2 ( x1 ? x2 ) ? a ? 0 恒成立,则 a ? 16 。 方法二: f ?( x ) ? 2 x ? 立,即 2 x ? 数。

a ,要使 f ( x ) 在区间 [2, ??) 是增函数,只需当 x ? 2 时, f ?( x) ? 0 恒成 x2

a ? 0 ,则 a ? 2 x3 ?[16, ?? ) 恒成立,故当 a ? 16 时, f ( x) 在区间 [2, ?? ) 是增函 2 x

7、函数的图像
1、某班四个同学在同一坐标系中,作了两个函数的图象,

y

y

y

y

x ① ②

x ③

x ④ 。

x

2 其中能够作为函数 y ? ax ? bx 与 y ? ax ? b(a ? 0, b ? 0) 的图象的是

② 2、函数 y ? 1 ? 1 ? x 的图象与 x 轴所围成的封闭图形的面积为__ 面积为 1 3、 为了得到函数 y ? lg ___。

x?3 的图像, 只需把函数 y ? lg x 的图像上所有的点向 10

平移



单位长度,再向 平移 个单位长度。 左, 3 ,下, 1 4、图中的图象所表示的函数的解析式为



?3 x (0 ? x ? 1) ? ?2 f ( x) ? ? ?? 3 x ? 3(1 ? x ? 2) ? ? 2
5、函数 y ? f ( x)( x ?[?2, 2]) 的图象如图所示,则 f ( x) ? f (? x) ? 。

0
6、二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的图像如图,则其中① a ? b ? c ? 0 ; ② 2a ? b ? 0 ;③ abc ? 0 ;④ b ? a ? c 。成立的是 y -2 -1 1 O 1 2 -1 x 。

y

-1

o

1 2 3

x

(第 5 题图) ②④ 7、直线 y ? 1 与曲线 y ? x ? x ? a 有四个交点,则 a 的取值范围是
2

(第 6 题图)



1? a ?

5 4

8、函数 y ?

e x ? e? x 的图像大致为 e x ? e? x



① 9、分别作出函数 f ( x), g ( x) 的图像,并利用图像回答问题。 ⑴ f ( x) ? ?

? 4 x ? 4, x ? 1 , g ( x) ? log 2 x ,求方程 f ( x) ? g ( x) 的解的个数; 2 ? x ? 4 x ? 3, x ? 1

⑵ f ( x) ? x ? 1, g ( x) ? log2 (? x) ,求不等式 f ( x) ? g ( x) 的解集。 解:图略⑴ 3 ;⑵ {x | ?1 ? x ? 0}。

8、二次函数
1、设 abc ? 0 ,二次函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c 的图象可能是
2



① ④
2





④ 。

2、二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) ,若 f ( x1 ) ? f ( x2 )(x1 ? x2 ) ,则 f ( x1 ? x2 ) ?

c
3、 若函数 f ( x) ? x ? 2(a ? 1) x ? 2 在区间 (??,4] 上是减函数, 则实数 a 的取值范围是__
2

__。

? ??, ?3?
4、若函数 y ? x ? 3x ? 4 的定义域为 [0, m] ,值域为 [ ?
2

25 , ? 4] ,则 m 的取值范围是_________。 4

3 [ , 3] 2
5、某商品在近 30 天内每件的销售价格 p (元)与时间 t (天)的函数关系是

? t ? 20,0 ? t ? 25, t ? N 。该商品的日销售量 Q (件)与时间 t (天)的函数关系是 p?? ? t ? 100, 25 ? t ? 30, t ? N ?
Q ? ?t ? 40(0 ? t ? 30, t ? N ) ,这种商品的日销售金额的最大值为__________。
1125
6 、已知 f ( x) ? ( x ? a)( x ? b) ? 2,(a ? b) 并且 ? , ? 是方程 f ( x) ? 0 的两根 (? ? ? ) ,则实数

a, b, ? , ? 的大小关系是



? ?a?b??
7、已知方程 x ? 2mx ? 2m ? 3 ? 0 的一根大于 2 ,另一根比 2 小,则实数 m ?
2 2



?1 ?

2 2 ? x ? ?1 ? 2 2

8、已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的导数为 f ?( x ) ,且 f ?(0) ? 0 ,对于任意实数 x 都有

f ( x) ? 0 ,则
2

f (1) 的最小值为 f '(0)



9、已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx( a , b 是常数,且 a ? 0 )满足条件 f (2) ? 0 ,且方程 f ( x) ? x 有等根。 ⑴求 f ( x) 得解析式 ⑵是否存在实数 m, n(m ? n) 使 f ( x) 得定义域和值域分别为 [m, n] 和 [2m, 2n] , 若存在, 求出 m, n 的值;若不存在,说明理由。 解:⑴ f ( x ) ? ?

1 2 x ? x ;⑵ m ? ?2, n ? 0 。 2

9、幂函数、指数函数、对数函数
4

1、函数 y ? x 3 的图象是



① 2、下列命题中正确的是

。 ②幂函数的图象都经过 (0, 0) 和 (1,1) 点

? ①当 ? ? 0 时函数 y ? x 的图象是一条直线;

③若幂函数 y ? x ? 是奇函数,则 y ? x ? 是定义域上的增函数 ④幂函数的图象不可能出现在第四象限 ④ 3、已知 lg x ? lg y ? 2lg( x ? 2 y) ,则 log
2

x ? y



4
4、 已知 a ?

5 ?1 , 函数 f ( x) ? a x , 若实数 m 、 则m、 n 满足 f (m) ? f (n) , n 的大小关系为 2
? 1 2



m? n
5、设 a ? log3 2, b ? ln 2, c ? 5 ,则 a, b, c 从小到大的顺序是 。

c?a?b
6、若指数函数 y ? a x 在 [?1,1] 上的最大值和最小值的差是 1 ,则底数 a ? 。

5 ?1 2
7、已知 f ( x) ? log a (2 ? ax) 在 [0,1] 上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是 。

1? a ? 2
8、设函数 f ( x) ? ? log (? x), x ? 0 ,若 f (a) ? f (?a) ,则实数 a 的取值范围是 1

log x,??????x ? 0 ? ? 2 ? ?
2



(?1,0) (1, ??) () ? fb () 9、 已知函数 F ( x) ?| lg x | , 若0 ? a ? b, 且 fa (3, ??)
10、若函数 f ( x) ? a (a ? 1) 的定义域和值域均为 [m, n] ,则 a 的取值范围是
x

, 则 a ? 2b 的取值范围是



___。

(1 , e )
11、已知函数 f ( x) ? lg(a ? b )(a ? 1 ? b ? 0) ,
x x

1 e

⑴求 y ? f ( x) 的定义域; ⑵在函数 y ? f ( x) 的图像上是否存在不同的两点,使得过这两点的直线平行于 x 轴; ⑶当 a , b 满足什么条件时, f ( x ) 在 (1, ??) 上恒取正值。

解:⑴ (0, ??) ;⑵不存在;⑶当 a ? b ? 1 时, f ( x ) 在 (1, ??) 上恒取正值。

10、函数与方程
1、函数 f ( x) ? 2x ? 3x 的零点所在的区间是 。

(?1, 0)
2、若函数 f ( x) ? ax ? b 有一个零点为 2 ,则 g ( x) ? bx2 ? ax 的零点是 。

0, ?

1 2


? x 2 ? 2 x ? 3, x ? 0 3、函数 f ( x) ? ? 的零点个数为 ??2 ? ln x,????x ? 0
2

4 、 若 方 程 lg | x |? ? | x | ?5 在 区 间 (k , k ? 1)(k ? z ) 上 有 解 , 则 所 有 满 足 条 件 的 k 的 值 的 和 为 。
2

?1
5、 设方程 x ? mx ? 1 ? 0 的两个根为 ? , ? , 且 0 ? ? ?1? ? ? 2 , 则实数 m 的取值范围为 。

2?m?

5 2

1 x ? ln x( x ? 0) ,则关于 y ? f ( x) ,下列说法不正确的是 。 3 1 1 ①在区间 ( ,1), (1, e) 内均有零点; ②在区间 ( ,1) 内有零点,在区间 (1, e) 内无零点; e e 1 1 ③在区间 ( ,1), (1, e) 内均无零点; ④在区间 ( ,1) 内无零点,在区间 (1, e) 内有零点。 e e
6、设函数 f ( x) ? ①②③ 7、关于 x 的方程 x ? ax ? 2 ? 0 至少有一个小于 ?1 的实根,则 a 的取值范围是
2



a?2 2
8、已知函数 f ( x ) 是周期为 2 的偶函数,当 x ? [0,1] 时, f ( x) ? x ,若在区间 [?1,3] 内,关于 x 的 方程 f ( x) ? kx ? k ? 1 (其中 k 为不等于 1 的实数) 有四个不同的实根, 则 k 的取值范围是 。

1 (? , 0) 3

9、若函数 f ( x) ? a x ? x ? a(a ? 0 且 a ? 1) 有两个零点,则实数 a 的取值范围是



a ?1
10 、 设 x1 与 x2 分 别 是 实 系 数 方 程 ax 2 ? bx ? c ? 0 和 ?ax 2 ? bx ? c ? 0 的 一 个 根 , 且

a x1 ? x2 , x1 ? 0, x2 ? 0 ,求证:方程 x 2 ? bx ? c ? 0 有仅有一根介于 x1 和 x2 之间。 2 a 2 解:令 f ( x) ? x ? bx ? c ,由题意可知 2

ax12 ? bx1 ? c ? 0 , ?ax22 ? bx2 ? c ? 0 ∴ bx1 ? c ? ?ax12 , bx2 ? c ? ax22 ,
a 2 a a x1 ? bx1 ? c ? x12 ? ax12 ? ? x12 , 2 2 2 a a 3a 2 f ( x2 ) ? x2 2 ? bx2 ? c ? x2 2 ? ax2 2 ? x2 ,因为 a ? 0, x1 ? 0, x2 ? 0 , 2 2 2 a 2 ∴ f ( x1 ) f ( x2 ) ? 0 ,即方程 x ? bx ? c ? 0 有仅有一根介于 x1 和 x2 之间。 2 f ( x1 ) ?
11、设函数 f ( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c ,若 a ? b ? c ? 0, f (0) ? 0, f (1) ? 0 ,求证: ⑴ a ? 0 且 ?2 ?

b ? ?1 ; a

⑵方程 f ( x) ? 0 在 (0,1) 内有两个实根。 证略。

11-12 、函数综合测试
一、填空题: 1 、设 P 和 Q 是两个集合,定义集合 P ? Q ? {x x ? P, 且x ? Q} ,如果 P ? {x log2 x ? 1 },

Q ? {x x ? 2 ? 1} ,那么 P ? Q ?
{x 0 ? x ? 1}



| 4,x? R },B? { x |x? a }则” a ? 5 ”是“ A ? B ” 2、集合 A ?{x || x ? ,
的 。 (填“充分不必要” , “必要不充分” , “充要” , “既不充分又不必要” )

充分不必要 3、已知函数 y = log a ( x + b) 的图象如图所示,则 a ?
b



27
4、函数 y ?

3x 2 ? 1 1? x

? lg(3x ? 1) 的定义域为



1 ( ? ,1) 3
5、若 a ? 0, a 3 ?
2

4 ,则 log 2 a ? 9 3



3
6、方程 lg x ? 8 ? 2 x 的根 x ? (k , k ? 1) , k ? Z ,则_____ _。

k ?3

k ? 2x 7、若函数 f ( x) ? 在定义域上为奇函数,则 k ? 1 ? k ? 2x
?1



2 8、已知二次函数 f ( x) ? x ? x ? a(a ? 0) ,若 f (m) ? 0 ,则 f (m ? 1)

0。

(填“ ? ”或“ ? ”或“ ? ”符号)

?

9、若函数 y ? f ( x) 的值域是 [ , 3] ,则函数 F ( x) ? f ( x) ?

1 2

1 的值域是 f ( x)



[2,

10 ] 3

10 、 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 f ( x) , 满 足 f ( x? 1) ? ? f ( x ) , 且 在 区 间 [?1, 0] 上 递 增 , 则

f ( 2), f (2), f (3) 的大小关系是__ f (3) ? f ( 2) ? f (2)
11、已知函数 f ( x ) ? ?

____。

? x 2 ? 1, x ? 0 ?1, x?0

,则满足不等式 f (1 ? x ) ? f (2 x) 的 x 的范围是__ 。
2

(?1, 2 ?1)
12、若函数 f ? x ? ?

1 3 x ? a 2 x 满足:对于任意的 x1 , x2 ??0,1? 都有 | f ? x1 ? ? f ? x2 ? |? 1恒成立, 3

则 a 的取值范围是



2 ? ? 2 ? 3, 3 ? 3 ? ? 3 ?
13、函数 y ? 2 x ? x 2 的图像大致是 。

① 14、已知函数 f ( x ) ? ? 数 a 的取值范围为

? 2? x ? 1,??? x ? 0 ? f ( x ? 1), x ? 0

,若方程 f ( x) ? x ? a 有且只有两个不相等的实数根,则实 。

a ?1
二、解答题:

? 1? x ? ? 0? , B ? x x 2 ? 2 x ? a 2 ? 2a ? 0 。 ? x?7 ? ⑴当 a ? 4 时,求 A B ; ⑵若 A ? B ,求实数 a 的取值范围。
15、已知集合 A ? ? x

?

?

解:⑴ A ? ?x |1 ? x ? 7? ,
2 当 a ? 4 时, B ? x | x ? 2 x ? 24 ? 0 ? x ? 4 ? x ? 6 ,

?

? ?

?

∴A

B ? ?x |1 ? x ? 6? ;

⑵ B ? x ( x ? a )( x ? a ? 2) ? 0 ①当 a ? ?1 时,

?

?

B ? ?,? A ? B 不成立;

②当 a ? 2 ? ?a, 即 a ? ?1 时, B ? (?a, a ? 2),

??a ? 1 ,解得 a ? 5; A ? B,? ? ?a ? 2 ? 7
③当 a ? 2 ? ?a, 即 a ? ?1 时, B ? (a ? 2, ?a),

?a ? 2 ? 1 解得 a ? ?7; A ? B,? ? ??a ? 7
综上,当 A ? B ,实数 a 的取值范围是 (??, ?7] ? [5, ??) 。

16、已知函数 f ( x) ? x2 ? 2ax ? 5(a ? 1) 。 ⑴若 f ( x ) 的定义域和值域均是 [1, a] ,求实数 a 的值; . ⑵若 f ( x ) 在区间 (??, 2] 上是减函数,且对任意的 x1 , x2 ?[1, a ? 1] ,总有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 4 , 求实数 a 的取值范围。 解:⑴ a ? 2 ; (2) ∵ f ( x ) 在区间 ?? ?, 又 x ? a ? ?1,

2? 上是减函数,∴ a ? 2 ,

a ? 1?,且, (a ? 1) ? a ? a ? 1
2

∴ f ( x) max ? f (1) ? 6 ? 2a , f ( x) min ? f (a) ? 5 ? a . ∵对任意的 x1 , x2 ? ?1,

a ? 1? ,总有 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 4 ,
2

∴ f ( x) max ? f ( x) min ? 4 ,即 (6 ? 2a) ? (5 ? a ) ? 4 , 解得 ? 1 ? a ? 3 , 又 a ? 2 , ∴ 2 ? a ? 3。

17、设函数 f ( x) ? log2 (a ? b ) ,且 f (1) ? 1, f (2) ? log 2 12 。
x x

⑴求 a , b 的值; ⑵当 x ? [1, 2] 时,求 f ( x ) 的最大值。 解:⑴由 f (1) ? 1, f (2) ? log 2 12 , 得?

? a ?b ? 2 ,∴ a ? 4, b ? 2 。 2 2 ?a ? b ? 12

x x x 2 x x ⑵∴ f ( x) ? log2 (4 ? 2 ) ,令 t ? 2 ?[2, 4],则 4 ? 2 ? t ? t ? [2,12],∴ f ( x ) 的最大值为

f ( x) ? log 2 12 。

18、围建一个面积为 360m 的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修) ,其它 三面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2 m 的进出口,如图所示,已知旧墙的维 修费用为 45 元 / m ,新墙的造价为 180 元 / m ,设利用的旧墙的长度为 x (单位: m ),修建此矩 形场地围墙的总费用为 y (单位:元)。 ⑴将 y 表示为 x 的函数; ⑵试确定 x , 使修建此矩形场地围墙的总费用最小, 并求出最小总费用。 解:⑴如图,设矩形的另一边长为 am , 则 y ? 45x ? 180( x ? 2) ? 180 ? 2a ? 225x ? 360a ? 360( x ? 0) , 由已知

2

xa ? 360 ,得 a ?

360 , x

3602 ? 360( x ? 0) ; 所以 y ? 225 x ? x
⑵因为 x ? 0 ,所以 225 x ?

3602 ? 2 225 ? 3602 ? 10800 , x

所以 y ? 225 x ?

3602 3602 ? 360 ? 10440 ,当 225 x ? 时,等号成立,即 x ? 24m 时,修建围墙 x x

的总费用最小,最小总费用是 10440 元。
?1 ?2 19、已知函数 f ( x) ? ax ? 3, g ( x) ? bx ? cx (a, b ? R) 且 g (? ) ? g (1) ? f (0) 。

1 2

⑴试求 b, c 所满足的关系式; ⑵若 b ? 1, F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,在 x ? [ , ??) 为增函数,求 a 的取值范围。 解:⑴由 g (? ) ? g (1) ? f (0) ,得 (?2b ? 4c) ? (b ? c) ? ?3 所以 b、c 所满足的关系式为 b ? c ? 1 ? 0 . ⑵由 b ? 1 , b ? c ? 1 ? 0 ,可得 c ? 0 , 因为 F ( x) 在 x ? [ ,?? ) 上递增 所以 g ( x) ?

1 2

1 2

1 x

F ( x ) ? ax ?

1 ?3 x

1 2

所以 F ( x) ? a ?

/

1 1 1 1 ? 0 在 x ? [ ,?? ) 上恒成立 即: a ? 2 在 x ? [ ,?? ) 上恒成立 2 2 2 x x

所以 a ? (

1 ) max x2
所以 (

而y?

1 1 在 x ? [ ,?? ) 上单调递减 2 2 x

1 ) max ? 4 , x2

所以 a ? 4 。

20、已知函数 f ( x) ?

ln x 。 x

⑴求函数 f ( x ) 的单调区间; ⑵若关于 x 的不等式 ln x ? mx 对一切 x ?? a, 2a? (其中 a ? 0 )都成立,求实数 m 的取值范围;
b a ⑶某同学发现:总存在正实数 a 、 b(a ? b) ,使 a ? b 。试问:他的判断是否正确?若不正确,请

说明理由;若正确,请写出 a 的取值范围(不需要解答过程) 解:⑴定义域为 (0, ??) , f ?( x) ?

1 ? ln x 1 ? ln x ? 0 ,则 x ? e , ,令 f ?( x) ? 2 x x2

当 x 变化时, f '( x) , f ( x) 的变化情况如下表:

x
f '( x) f ( x)

(0, e)
+ ↗

e
0

(e, ??)

?


1 e

∴ f ( x ) 的单调递增区间为 (0, e) ; f ( x ) 的单调递减区间为 (e, ??) 。 ⑵∵不等式 ln x ? mx 对一切 x ?? a, 2a? (其中 a ? 0 )都成立,

ln x 对一切 x ?? a, 2a? (其中 a ? 0 )都成立, x ln x ∴下面即求 f ( x) ? 在 x ?? a, 2a? (其中 a ? 0 )上的最大值; x
∴分离 m 得, m ? ∵ a ? 0, 由(2)知: f ( x ) 在 (0, e) 上单调递增,在 (e, ??) 上单调递减. 当 2a ? e 时,即 0 ? a ?

e ln 2a ; 时, f ( x ) 在 ? a, 2a? 上单调递增,∴ f ( x) max ? f (2a) ? 2 2a

当 a ? e 时, f ( x ) 在 ? a, 2a? 上单调递减,∴ f ( x) max ? f ( a ) ? 当 a ? e ? 2a 时,即

ln a ; a

e ? a ? e 时, f ( x) 在 ? a, e? 上单调递增, f ( x) 在 ?e, 2a? 上单调递减, 2 1 ∴ f ( x) max ? f (e) ? 。 e

综上得:

e ln 2a ; 时, m ? f (2a ) ? 2 2a ln a ; 当 a ? e 时, m ? f (a ) ? a e 1 当 ? a ? e 时, m ? f (e) ? . 2 e
当0 ? a ? ⑶正确 , a 的取值范围是 1 ? a ? e 。 注:理由如下,考虑函数 f ( x) 的大致图像. 当 x ? ?? 时,

y

f ( x) ? 0 .又∵ f ( x) 在 (0, e) 上单调递增,在 (e, ??) 上单调
递减,∴ f ( x) 的图象如右图所示. ∴总存在正实数 a、 b 且 1 ? a ? e ? b ,使得 f (a) ? f (b) , 即 O a 1 a e b x

ln a ln b ? ,即 a b ? b a ,此时 1 ? a ? e 。 a b


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