当前位置:首页 >> 数学 >> 高中数学选修2-3精讲精练第一章

高中数学选修2-3精讲精练第一章


高中数学选修 2-3 精讲精练

第一章

计数原理

第一讲、第二讲、第三讲............................................................................................................... 3 第一练 [基础

训练 A 组] ....................................................................................................... 10 第二练 [综合训练 B 组] ......................................................................................................... 12 第三练 [提高训练 C 组] ........................................................................................................... 14 第四、五讲 二项式定理 ........................................................................................................... 16 第一练 二项式定理............................................................................................................... 21 第二练 二项式定理..................................................................................................................... 23 第三练 二项式定理................................................................................................................... 24 数学选修 2-3 第一章 计数原理 [基础训练 A 组] 答案 .................................................. 26 数学选修 2-3 第一章 计数原理 [综合训练 B 组] 答案 .................................................. 28 数学选修 2-3 第一章 计数原理 [提高训练 C 组] 答案 ................................................ 29 数学选修 2-3 第一章 二项式定理 [基础训练 A 组] ........................................................ 31 数学选修 2-3 第一章 计数原理 [综合训练 B 组] ............................................................ 32 数学选修 2-3 第一章 二项式定理 [提高训练 C 组] ............................................................ 33

2

高中数学选修 2-3 精讲精练

第一章

计数原理

第一讲、第二讲、第三讲
排列组合问题联系实际生动有趣,但题型多样,思路灵活,因此解决排列组合问题,首 先要认真审题,弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题;其次要抓住问题的 本质特征,采用合理恰当的方法来处理。 教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解 决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事,有 n 类办法,在第 1 类办法中有 m1 种不同的方法,在第 2 类办法中有 m2 种 不同的方法,…,在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有:

N ? m1 ? m2 ? ? ? mn
种不同的方法. 2.分步计数原理(乘法原理) 完成一件事,需要分成 n 个步骤,做第 1 步有 m1 种不同的方法,做第 2 步有 m2 种不同的 方法,…,做第 n 步有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有:

N ? m1 ? m2 ??? mn
种不同的方法. 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立,任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存,每步中的方法完成事件的一个阶段,不能完成整个事件. 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少 步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少 个元素. 4.解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例 1.由 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.
1 先排末位共有 C3 1 然后排首位共有 C4

最后排其它位置共有 A4

3

1 1 3 由分步计数原理得 C4C3 A4 ? 288

C4

1

A4

3

C3

1

位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需 先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位 置。若有多个约束条件,往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件 练习题:7 种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间, 也不种在两端的花盆 里,问有多少不同的种法? 二.相邻元素捆绑策略 例 2. 7 人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.

3

高中数学选修 2-3 精讲精练

第一章

计数原理

解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再 与其它元素进行排列,同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有
5 2 2 A5 A2 A2 ? 480 种不同的排法

甲 乙

丙 丁

要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并 为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列. 练习题:某人射击 8 枪,命中 4 枪,4 枪命中恰好有 3 枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例 3.一个晚会的节目有 4 个舞蹈,2 个相声,3 个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场 顺序有多少种? 解:分两步进行第一步排 2 个相声和 3 个独唱共有 A 5 种, 第二步将 4 舞蹈插入第一步排好的 5
4 6 个元素中间包含首尾两个空位共有种 A 6 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺 4 序共有 A5 A 6 5



元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两 端 练习题:某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果 将这两个新节目插入原节目单中,且两个新节目不相邻,那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略 例 4.7 人排队,其中甲乙丙 3 人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行 排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数 是: A 7 / A 3 7 3
4 (空位法)设想有 7 把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 A 7 种方法,其余的三个位置 4 甲乙丙共有 1 种坐法,则共有 A 7 种方法。

思考:可以先让甲乙丙就坐吗? (插入法)先排甲乙丙三个人,共有 1 种排法,再把其余 4 四人依次插入共有 法



定序问题可以用倍缩法,还可转化为占位插 空模型处理 练习题:10 人身高各不相等,排成前后排,每排 5 人,要求从左至右身高逐渐增加,共有多少 排法?
5 C10

五.重排问题求幂策略 例 5.把 6 名实习生分配到 7 个车间实习,共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车 间也有 7 种分依此类推,由分步计数原理共有 7 种不同的排法 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象,元素不受位置的约束,可以逐一安排各个元素 的位置,一般地 n 不同的元素没有限制地安排在 m 个位置上的排列数为 m 种 练习题: 1. 某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这 两个节目插入原节目单中,那么不同插法的种数为 42
n
6

4

高中数学选修 2-3 精讲精练

第一章

计数原理
8

2. 某 8 层大楼一楼电梯上来 8 名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法 7 六.环排问题线排策略 例 6. 8 人围桌而坐,共有多少种坐法?

解:围桌而坐与坐成一排的不同点在于,坐成圆形没有首尾之分,所以固定一人 A 4 并从此 4 位置把圆形展成直线其余 7 人共有(8-1) !种排法即 7 ! C D B

E F G H

A A B C D E F G H A

一般地,n 个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从 n 个不同元素中取出 m 个元素作圆 形排列共有

1 m An n

练习题:6 颗颜色不同的钻石,可穿成几种钻石圈 120 七.多排问题直排策略 例 7.8 人排成前后两排,每排 4 人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法 解:8 人排前后两排,相当于 8 人坐 8 把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有 A 2 种, 4 再排后 4 个位置上的特殊元素丙有 A1 种,其余的 5 人在 5 个位置上任意排列有 A 5 种, 4 5 则共有 A 2 A1 A 5 种 4 4 5

前 排

后 排

一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研 究. 练习题:有两排座位,前排 11 个座位,后排 12 个座位,现安排 2 人就座规定前排中间的 3 个座位不能坐,并且这 2 人不左右相邻,那么不同排法的种数是 346 八.排列组合混合问题先选后排策略 例 8.有 5 个不同的小球,装入 4 个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.
2 解:第一步从 5 个球中选出 2 个组成复合元共有 C5 种方法.再把 4 个元素(包含一个复合 2 元素)装入 4 个不同的盒内有 A 4 种方法,根据分步计数原理装球的方法共有 C5 A 4 4 4

解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗? 练习题: 一个班有 6 名战士,其中正副班长各 1 人现从中选 4 人完成四种不同的任务,每人完 成一种任务,且正副班长有且只有 1 人参加,则不同的选法有 192 种 九.小集团问题先整体后局部策略 例 9.用 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹 1,5在两个奇数之间, 这样的五位数有多少个? 解:把1,5,2,4当作一个小集团与3排队共有 A 2 种排法,再排小集团内部共有
2

A 2 A 2 种排法,由分步计数原理共有 A 2 A 2 A 2 种排法. 2 2 2 2 2

5

高中数学选修 2-3 精讲精练

第一章

计数原理

1524
小集团排列问题中,先整体后局部,再结合其它策略进行处理。 练习题: 1.计划展出 10 幅不同的画,其中 1 幅水彩画,4幅油画,5幅国画, 排成一行陈列,要求同一 品种的必须连在一起,并且水彩画不在两端,那么共有陈列方式的种数为 A 2 A 5 A 4 2 5 4 2. 5 男生和5女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有 A 2 A 5 A 5 种 2 5 5 十.元素相同问题隔板策略 例 10.有 10 个运动员名额,分给 7 个班,每班至少一个,有多少种分配方案? 解:因为 10 个名额没有差别,把它们排成一排。相邻名额之间形成9个空隙。在9个空 档中选6个位置插个隔板,可把名额分成7份,对应地分给7个班级,每一种插板
6 方法对应一种分法共有 C9 种分法。

3

一 班

二 班

三 班

四 班

五 班

六 班

七 班

将 n 个相同的元素分成 m 份(n,m 为正整数),每份至少一个元素,可以用 m-1 块隔板,
m 插入 n 个元素排成一排的 n-1 个空隙中,所有分法数为 Cn??1 1

练习题: 1. 10 个相同的球装 5 个盒中,每盒至少一有多少装法? 2 . x ? y ? z ? w ? 100 求这个方程组的自然数解的组数

C94
3 C103

十一.正难则反总体淘汰策略 例 11.从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 这十个数字中取出三个数,使其和为不小于 10 的偶数,不同 的 取法有多少种? 解:这问题中如果直接求不小于 10 的偶数很困难,可用总体淘汰法。这十个数字中有
3 5 个偶数 5 个奇数,所取的三个数含有 3 个偶数的取法有 C5 ,只含有 1 个偶数的取法有

1 1 2 3 C5C52 ,和为偶数的取法共有 C5C5 ? C5 。再淘汰和小于 10 的偶数共 9 种,符合条件的 1 2 3 取法共有 C5C5 ? C5 ? 9

有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出 它的反面,再从整体中淘汰. 练习题:我们班里有 43 位同学,从中任抽 5 人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的 抽法有多少种? 十二.平均分组问题除法策略 例 12. 6 本不同的书平均分成 3 堆,每堆 2 本共有多少分法? 解: 分三步取书得 C6 C4 C2 种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记 6 本书为 ABCDEF,若第一步取 AB,第二步取 CD,第三步取 EF 该分法记为(AB,CD,EF),则
2 2 2 C6 C4 C2 中 还 有 (AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD) 共 有 2 2 2

6

高中数学选修 2-3 精讲精练

第一章

计数原理

2 2 2 A 3 种取法 ,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有 C6 C4 C2 / A 3 种分法。 3 3

平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以 A n ( n 为均分的 n 组数)避免重复计数。 练习题:
5 4 4 1 将 13 个球队分成 3 组,一组 5 个队,其它两组 4 个队, 有多少分法?( C13C8 C4 / A 2 ) 2

2.10 名学生分成 3 组,其中一组 4 人, 另两组 3 人但正副班长不能分在同一组,有多少种不 同的 分组方法 (1540) 3.某校高二年级共有六个班级, 现从外地转 入 4 名学生, 要安排到该年级的两个班级且每 班安
2 2 2 2 排 2 名,则不同的安排方案种数为______( C4 C2 A 6 / A 2 ? 90 )

十三. 合理分类与分步策略 例 13.在一次演唱会上共 10 名演员,其中 8 人能能唱歌,5 人会跳舞,现要演出一个 2 人唱歌 2 人伴舞的节目,有多少选派方法 解:10 演员中有 5 人只会唱歌,2 人只会跳舞 3 人为全能演员。选上唱歌人员为标准进 行研究
2 2 只会唱的 5 人中没有人选上唱歌人员共有 C3 C3 种,只会唱的 5 人中只有 1 人选上

1 1 2 2 2 唱歌人员 C5C3C4 种,只会唱的 5 人中只有 2 人选上唱歌人员有 C5 C5 种, 由分类计

数原理共有
2 1 1 2 2 2 C C3 ? C5C3C4 ? C5 C5 种。 2 3

解含有约束条件的排列组合问题,可按元素的性质进行分类,按事件发生的连续过程分步,做 到标准明确。分步层次清楚,不重不漏,分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。 练习题: 1.从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加某个座 谈会, 若这 4 人中必须既有男生又有女 生,则不同的选法共有 34 2. 3 成人 2 小孩乘船游玩,1 号船最多乘 3 人, 2 号船最多乘 2 人,3 号船只能乘 1 人,他们任 选 2 只船或 3 只船,但小孩不能单独乘一只船, 这 3 人共有多少乘船方法. (27) 本题还有如下分类标准: *以 3 个全能演员是否选上唱歌人员为标准 *以 3 个全能演员是否选上跳舞人员为标准 *以只会跳舞的 2 人是否选上跳舞人员为标准 都可经得到正确结果 十四.构造模型策略 例 14. 马路上有编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的九只路灯,现要关掉其中的 3 盏,但不能关掉 相邻的 2 盏或 3 盏,也不能关掉两端的 2 盏,求满足条件的关灯方法有多少种? 解:把此问题当作一个排队模型在 6 盏亮灯的 5 个空隙中插入 3 个不亮的灯有 C5 种 一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型,如占位填空模型,排队模型,装盒 模型等,可使问题直观解决 练习题:某排共有 10 个座位,若 4 人就坐,每人左右两边都有空位,那么不同的坐法有多 少种?(120) 十五.实际操作穷举策略 例 15.设有编号 1,2,3,4,5 的五个球和编号 1,2,3,4,5 的五个盒子,现将 5 个球投入这五个
3

7

高中数学选修 2-3 精讲精练

第一章

计数原理

盒子内,要求每个盒子放一个球,并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投 法
2 解: 5 个球中取出 2 个与盒子对号有 C5 种还剩下 3 球 3 盒序号不能对应, 从 利用实际操

作法,如果剩下 3,4,5 号球, 3,4,5 号盒 3 号球装 4 号盒时,则 4,5 号球有只有 1
2 种装法, 同理 3 号球装 5 号盒时,4,5 号球有也只有 1 种装法,由分步计数原理有 2C5



5
3 号盒

3
4 号盒

4
5 号盒

对于条件比较复杂的排列组合问题,不易用公式进行运算,往往利用穷举法或画出树状图会收 到意想不到的结果 练习题: 1.同一寝室 4 人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡, 则四张贺年 卡不同的分配方式有多少种? (9) 2.给图中区域涂色,要求相邻区 域不同色,现有 4 种可选颜色,则不同的着色方法有 72 种

1 3 2 5 4

十六. 分解与合成策略 例 16. 30030 能被多少个不同的偶数整除 分析:先把 30030 分解成质因数的乘积形式 30030=2×3×5 × 7 ×11×13 依题意可知偶因数必先取 2,再从其余 5 个因数中任取若干个组成乘积,
1 2 3 4 5 所有的偶因数为: C5 ? C5 ? C5 ? C5 ? C5

练习:正方体的 8 个顶点可连成多少对异面直线
4 解: 我们先从 8 个顶点中任取 4 个顶点构成四体共有体共 C8 ? 12 ? 58 ,每个四面体有

3 对异面直线,正方体中的 8 个顶点可连成 3 ? 58 ? 174 对异面直线 分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题 逐一解决,然后依据问题分解后的结构,用分类计数原理和分步计数原理将问题合成,从而得到 问题的答案 ,每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略 十七.化归策略 例 17. 25 人排成 5×5 方阵,现从中选 3 人,要求 3 人不在同一行也不在同一列,不同的选法 有多少种? 解:将这个问题退化成 9 人排成 3×3 方阵,现从中选 3 人,要求 3 人不在同一行也不 在同一列,有多少选法.这样每行必有 1 人从其中的一行中选取 1 人后,把这人所在 的行列都划掉,如此继续下去.从 3×3 方队中选 3 人的方法有 C3C2C1 种。再从 5
3 3 ×5 方阵选出 3×3 方阵便可解决问题.从 5×5 方队中选取 3 行 3 列有 C5 C5 选法 3 3 1 1 1 所以从 5×5 方阵选不在同一行也不在同一列的 3 人有 C5 C5 C3C2C1 选法。
1 1 1

8

高中数学选修 2-3 精讲精练

第一章

计数原理

处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简 要的问题, 通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法, 从而进下一步解决原来的问题 练习题:某城市的街区由 12 个全等的矩形区组成其中实线表示马路, A 走到 B 的最短路径 从
3 有多少种?( C7 ? 35 )

B

A
十八.数字排序问题查字典策略 例 18.由 0,1,2,3,4,5 六个数字可以组成多少个没有重复的比 324105 大的数?
5 4 3 2 1 解: N ? 2 A5 ? 2 A4 ? A3 ? A2 ? A1 ? 297

数字排序问题可用查字典法,查字典的法 应从高位向低位查,依次求出其符合要求 的个数,根据分类计数原理求出其总数。 练习:用 0,1,2,3,4,5 这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起来, 第 71 个数是 3140 十九.树图策略 3 例 19. 人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过 5 次传求后,球仍回到甲的手中, N ? 10 则不同的传球方式有______ 对于条件比较复杂的排列组合问题,不易用 公式进行运算,树图会收到意想不到的结果 练习: 分别编有 1,2,3,4,5 号码的人与椅,其中 i 号人不坐 i 号椅( i ? 1,2,3,4,5 )的不 同坐法有多少种? N ? 44 二十.复杂分类问题表格策略 例 20.有红、黄、兰色的球各 5 只,分别标有 A、B、C、D、E 五个字母,现从中取 5 只,要求 各字母均有且三色齐备,则共有多少种不同的取法 解:

红 黄 兰

1 1 3

1 2 2

1 3 1

2 1 2

2 2 1

3 1 1

取法

1 1 C5 C 4

1 2 C5 C 4

1 3 C5 C 4

1 C52 C3

2 2 C5 C3

3 1 C5 C 2

一些复杂的分类选取题,要满足的条件比较多, 无从入手,经常出现重复遗 漏的情况,用表格法,则分类明确,能保证题中须满足的条件,能达到好的效 果. 小结 本节课, 我们对有关排列组合的几种常见的解题策略加以复习巩固。 排列组合历来是学习中 的难点,通过我们平时做的练习题,不难发现排列组合题的特点是条件隐晦,不易挖掘,题 目多变,解法独特,数字庞大,难以验证。同学们只有对基本的解题策略熟练掌握。根据它 们的条件,我们就可以选取不同的技巧来解决问题.对于一些比较复杂的问题,我们可以将几 种策略结合起来应用把复杂的问题简单化,举一反三,触类旁通,进而为后续学习打下坚实 的基础。

9

高中数学选修 2-3 精讲精练

第一章

计数原理

第一练 一、选择题

[基础训练 A 组]

1.将 3 个不同的小球放入 4 个盒子中,则不同放法种数有( ) A. 81 B. 64 C. 12 D. 14 2.从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台,其中至少有甲型与乙型电视机 各 1 台,则不同的取法共有( ) A. 140 种 B. 84 种 C. 70 种 D. 35 种 3. 5 个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有( )
3 A. A3 3 B. 4A3 5 2 3 C. A5 ? A3 A3 2 3 1 1 3 D. A2 A3 ? A2 A3 A3

4. a, b, c, d , e 共 5 个人,从中选 1 名组长 1 名副组长,但 a 不能当副组长, 不同的选法总数是( ) A. 20 B. 16 C. 10 D. 6 5.现有男、女学生共 8 人,从男生中选 2 人,从女生中选 1 人分别参加数学、 物理、化学三科竞赛,共有 90 种不同方案,那么男、女生人数分别是( ) A.男生 2 人,女生 6 人 B.男生 3 人,女生 5 人 5 人,女生 3 人 C.男生 D.男生 6 人,女生 2 人.

二、填空题
1.从甲、乙,??,等 6 人中选出 4 名代表,那么(1)甲一定当选,共有 种 选法. (2)甲一定不入选,共有 种选法.(3)甲、乙二人至少有一人当选,共有 种选法.14 2. 4 名男生, 4 名女生排成一排,女生不排两端,则有 种不同排法. 3.由 0,1,3,5,7,9 这六个数字组成___ __个没有重复数字的六位奇数.

4.在 1, 2,3,...,9 的九个数字里,任取四个数字排成一个首末两个数字是奇数的四位数,这 样的四位数有_____________个? 5. 1, 4,5, x 四个不同数字组成四位数,所有这些四位数中的数字的总和为 288 ,则 x 用 .

6.从 1,3,5,7,9 中任取三个数字,从 0, 2, 4,6,8 中任取两个数字,组成没有重复数字的五位 数,共有____________个? 三、解答题 1.判断下列问题是排列问题还是组合问题?并计算出结果. (1)高三年级学生会有 11 人:①每两人互通一封信,共通了多少封信?②每两人互握了一 次手,共握了多少次手? (2)高二年级数学课外小组 10 人:①从中选一名正组长和一名副组长,共有多少种不同的 选法?②从中选 2 名参加省数学竞赛,有多少种不同的选法? (3)有 2,3,5,7,11,13,17,19 八个质数:①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的

10

高中数学选修 2-3 精讲精练

第一章

计数原理

商?②从中任取两个求它的积,可以得到多少个不同的积?

2. 7 个排成一排,在下列情况下,各有多少种不同排法? (1)甲排头, (2)甲不排头,也不排尾,

(3)甲、乙、丙三人必须在一起, (4)甲、乙之间有且只有两人,

(5)甲、乙、丙三人两两不相邻,

(6)甲在乙的左边(不一定相邻) ,

(7)甲、乙、丙三人按从高到矮,自左向右的顺序,

(8)甲不排头,乙不排当中。

3.解方程

A 4 ?1 ? 140A3 2x x

2 1 2 C2 ? 3 ? Cn ?1 ? Cn ?1 ? Cn n

11

高中数学选修 2-3 精讲精练

第一章

计数原理

第二练
一、选择题

[综合训练 B 组]

1.由数字 1 、 2 、 3 、 4 、 5 组成没有重复数字的五位数, 其中小于 50000 的偶数共有( ) A. 60 个 B. 48 个 C. 36 个 D. 24 个 2. 3 张不同的电影票全部分给 10 个人,每人至多一张,则有 不同分法的种数是( ) A. 1260 B. 120 C. 240 D. 720 3. n ? N 且 n ? 55 ,则乘积 (55 ? n)(56 ? n)?(69 ? n) 等于
55? n A. A69?n 15 C. A55?n 15 B. A69?n 14 D. A69?n

4.从字母 a, b, c, d , e, f 中选出 4 个数字排成一列,其中一定要选出 a 和 b , 并且必须相邻( a 在 b 的前面) ,共有排列方法( )种. A. 36 B. 72 C. 90 D. 144 5.从不同号码的 5 双鞋中任取 4 只,其中恰好有 1 双的取法种数为( A. 120 B. 240 C. 280 D. 60



二、填空题
1. n 个人参加某项资格考试,能否通过,有 种可能的结果? 1, 3?,这几个数中任取 4 个数,使它们的和为奇数,则共有 2, 9 2.以 种不同取法.

3. 已知集合 S ? ??1,0,1? , P ? ?1, 2,3, 4? ,从集合 S , P 中各取一个元素作为点的坐标,可作 出不同的点共有_____个.
n n n 4. n, k ? N 且 n ? k , 若 Ck ?1 : Ck : Ck ?1 ? 1: 2 : 3, 则 n ? k ? ______.

5.在 50 件产品 n 中有 4 件是次品,从中任意抽了 5 件,至少有 3 件是次品的抽法共有 ______________种(用数字作答). 6.A ? ?1,2,3,4,5,6,7,8,9? , 则含有五个元素, 且其中至少有两个偶数的子集个数为_____. 三、解答题 1.集合 A 中有 7 个元素,集合 B 中有 10 个元素,集合 A ? B 中有 4 个元素,集合 C 满足 (1) C 有 3 个元素; (2) C

A? B

(3) C ? B ? ? , C ? A ? ? 求这样的集合 C 的集合个数.

12

高中数学选修 2-3 精讲精练

第一章

计数原理

2 97 3 2.计算: (1) C100 ? C100 ? A101 ;

?

?

3 3 3 (2) C3 ? C4 ? ? ? C10 .

(3)

m n Cn ?1 Cn ? m ?1 ? n?m Cm Cn n

m m 3.证明: A m ?mAn ?1 ? An?1 . n





4.从 ??3, ?2, ?1,0,1,2,3,4? 中任选三个不同元素作为二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的系数,问 能组成多少条图像为经过原点且顶点在第一象限或第三象限的抛物线?

5. 8 张椅子排成,有 4 个人就座,每人 1 个座位,恰有 3 个连续空位的坐法共有多少种?

13

高中数学选修 2-3 精讲精练

第一章

计数原理

第三练
一、选择题
3 4 1.若 An ? 6Cn ,则 n 的值为(

[提高训练 C 组]



A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 2.某班有 30 名男生, 30 名女生,现要从中选出 5 人组成一个宣传小组, 其中男、女学生均不少于 2 人的选法为( )
2 2 1 A. C30 C20 C46 5 1 4 4 1 C. C50 ? C30C20 ? C30C20 5 5 5 B. C50 ? C30 ? C20 3 2 2 3 D. C30C20 ? C30C20

3. 6 本不同的书分给甲、乙、丙三人,每人两本,不同的分法种数是(
2 2 A. C6 C4



B.

2 2 C62C4 C2 A3 3

C. 6A 3 3

3 D. C 6

4.设含有 10 个元素的集合的全部子集数为 S ,其中由 3 个元素 组成的子集数为 T ,则

T 的值为( S



20 128 16 C. 128
A.

5.不共面的四个定点到平面 ? 的距离都相等,这样的平面 ? 共有( A. 3 个 B. 4 个 C. 6 个 D. 7 个 6.由 0,1, 2,3,...,9 十个数码和一个虚数单位 i 可以组成虚数的个数为( A. 100 C. 9 二、填空题 B. 10 D. 90

15 128 21 D. 128
B.





1.将数字 1, 2,3, 4 填入标号为 1, 2,3, 4 的四个方格里,每格填一个数字,则每个方格的标号 与所填的数字均不同的填法有 种? 2.在△ AOB 的边 OA 上有 5 个点,边 OB 上有 6 个点,加上 O 点共个点,以这 12 个点为 顶点的三角形有 个. 3.从 0 , 1, 2,3, 4,5,6 这七个数字中任取三个不同数字作为二次函数 y ? ax ? bx ? c 的系数
2

a, b, c 则可组成不同的函数_______个,其中以 y 轴作为该函数的图像的对称轴的函数有
______个. 4.若 C3 ? C4 ? C5 ? ? ? Cn ? 363, 则自然数 n ? _____.
2 2 2 2

14

高中数学选修 2-3 精讲精练

第一章

计数原理

5.若

1 1 7 m ,则 C8 ? __________ . ? m ? m C5 C6 10C7m

三、解答题 1. 6 个人坐在一排 10 个座位上,问(1)空位不相邻的坐法有多少种?(2) 4 个空位只有 3 个相 邻的坐法有多少种?(3) 4 个空位至多有 2 个相邻的坐法有多少种?

2.有 6 个球,其中 3 个黑球,红、白、蓝球各 1 个,现从中取出 4 个球排成一列,共有多少种 不同的排法?

15

高中数学选修 2-3 精讲精练

第一章

计数原理

第四、五讲

二项式定理

16

高中数学选修 2-3 精讲精练

第一章

计数原理

17

高中数学选修 2-3 精讲精练

第一章

计数原理

18

高中数学选修 2-3 精讲精练

第一章

计数原理

19

高中数学选修 2-3 精讲精练

第一章

计数原理

20

高中数学选修 2-3 精讲精练

第一章

计数原理

第一练
[基础训练 A 组] 一、选择题
?x 1 ? 1.在 ? ? ? 的展开式中的常数项是( ?2 3 x?
A. 7 B. ?7 C. 28 D. ?28
3

二项式定理

8



2. (1 ? 2 x)5 (2 ? x) 的展开式中 x 的项的系数是( A. 120 3. ? x ? A. 180 B. ?120
n



C. 100

D. ?100 )

? ?

2? ? 展开式中只有第六项二项式系数最大,则展开式中的常数项是( x2 ?
B. 90 C. 45 D. 360

二、填空题
1.在 ( x ? 3)10 的展开式中, x 的系数是
6

.

2.在 (1 ? x 2 )20 展开式中,如果第 4r 项和第 r ? 2 项的二项式系数相等, 则r ? 三、解答题 , T4r ? .

1? ? 1. 已知 ? x 2 ? ? 展开式中的二项式系数的和比 (3a ? 2b)7 展开式的二项式系数的和大 128 , x? ?
求 ? x2 ?

n

? ?

1? ? 展开式中的系数最大的项和系数量小的项. x?

n

(1+x)的展开式中,若第 3 项与第 6 项系数相等,且 n 等于多少? 2. (1)在

n

1 ? ? (2) ? x x ? ? 的展开式奇数项的二项式系数之和为 128 , 3 x? ?

n

21

高中数学选修 2-3 精讲精练

第一章

计数原理

则求展开式中二项式系数最大项。

3 . 已 知 (2 ? 3x)50 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ??? a50 x50 , 其 中 a0 , a1 , a2 ?, a50 是 常 数 , 计 算

(a0 ? a2 ? a4 ? ?? a50 )2 ? (a1 ? a3 ? a5 ? ?? a49 )2

22

高中数学选修 2-3 精讲精练

第一章

计数原理

第二练
[综合训练 B 组]
一、选择题

二项式定理

1.把 ( 3i ? x)10 把二项式定理展开,展开式的第 8 项的系数是( A. 135 C. ?360 3i 2. ? 2 x ? 则 B. ?135 D. 360 3i
2n



? ?

1 ? 2 ? 的展开式中, x 的系数是 224 , 2x ?


1 的系数是( x2 A. 14 B. 28 C. 56 D. 112

3.在 (1 ? x3 )(1 ? x)10 的展开中, x 的系数是(
5



A. ?297 C. 297

B. ?252 D. 207

二、填空题
1 ? ? 1. ? x ? ? 1? 展开式中的常数项有 x ? ?
2.在 50 件产品 n 中有 4 件是次品,从中任意抽了 5 件,至少有 3 件是次品的抽法共有 ______________种(用数字作答). 3. ( x ?1) ? ( x ?1) ? ( x ?1) ? ( x ?1) ? ( x ?1) 的展开式中的 x 的系数是___________
2 3 4 5
3

5

三、解答题 1、求 ( x ?

1 ? 2)3 展开式中的常数项。 x

23

高中数学选修 2-3 精讲精练

第一章

计数原理

第三练
[提高训练 C 组]
一、选择题 1.若 (2x ? 3)4 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? a3 x3 ? a4 x4 , 则 (a0 ? a2 ? a4 )2 ? (a1 ? a3 )2 的值为( A. 1 C. 0 B. ?1 D. 2 )

二项式定理

2.在 ( x ? y)n 的展开式中,若第七项系数最大,则 n 的值可能等于( A. 13,14 C. 12,13 二、填空题 B. 14,15 D. 11,12,13



?a 9 x? 3 1.若 ? ? ? 的展开式中 x 的系数为 ,则常数 a 的值为 ?x ? 4 2? ?
2. 0.991 的近似值(精确到 0.001 )是多少?
5

9

.

3.已知 (1 ? 2x)7 ? ao ? a1 ? a2 x2 ? ?? a7 x 7 ,那么 a1 ? a2 ? ? ? a7 等于多少? 三、解答题 1.求 (1 ? 2 x) (1 ? 3x) 展开式中按 x 的降幂排列的前两项.
5 4

2.用二次项定理证明 C

2n?2

? 8n ? 9 能被 64 整除 ? n ? N ? .

3.求证: Cn ? 2Cn ? ?? (n ? 1)Cn ? 2 ? n ? 2
0 2 n n

n?1

.

24

高中数学选修 2-3 精讲精练

第一章

计数原理

4.(1)若 (1 ? x) n 的展开式中, x 的系数是 x 的系数的 7 倍,求 n ;
3

(2)已知 (ax ? 1)7 (a ? 0) 的展开式中, x 的系数是 x 的系数与 x 的系数的等差中项,求 a ;
3 2 4

(3)已知 (2 x ? xlg x )8 的展开式中,二项式系数最大的项的值等于 1120 ,求 x .

25

高中数学选修 2-3 精讲精练

第一章

计数原理

数学选修 2-3

第一章

计数原理

[基础训练 A 组] 答案

一、选择题 1.B 每个小球都有 4 种可能的放法,即 4 ? 4 ? 4 ? 64 2.C
1 2 2 1 分两类: (1)甲型 1 台,乙型 2 台: C4C5 ; (2)甲型 2 台,乙型1 台: C4 C5 1 2 2 1 C4C 5 ? C C ? 70 4 5 5 2 3 5 2 3 不考虑限制条件有 A5 ,若甲,乙两人都站中间有 A3 A3 , A5 ? A3 A3 为所求 2 1 2 1 不考虑限制条件有 A5 ,若 a 偏偏要当副组长有 A4 , A5 ? A4 ? 16 为所求 2 1 3 设男学生有 x 人,则女学生有 8 ? x 人,则 Cx C8? x A3 ? 90,

3.C 4.B 5.B

8 ) 即 x( x? 1 ) ( ? x ?
二、填空题 1. (1) 10 2. 8640 3. 480 4. 840 5. 2

3? ? ? x 5 , 0 2 3 ?

3

3 (2) 5 C5 ? 10 ;

(3) 14 C54 ? 5 ;

4 4 C6 ? C4 ? 14

4 4 4 4 先排女生有 A6 ,再排男生有 A4 ,共有 A6 ? A4 ? 8640 1 5 1 5 0 既不能排首位,也不能排在末尾,即有 A4 ,其余的有 A5 ,共有 A4 ? A5 ? 480 2 2 2 2 先排首末,从五个奇数中任取两个来排列有 A5 ,其余的 A7 ,共有 A5 ? A7 ? 840

4 x 当 x ? 0 时,有 A4 ? 24 个四位数,每个四位数的数字之和为 1 ? 4 ? 5 ?

2 4 ( ? ? ?5x ? ) 1 4
6. 11040

x 2x8?8 , ;当2 ? 0 时, 288 不能被 10 整除,即无解

3 2 5 3 1 4 不考虑 0 的特殊情况,有 C5 C5 A5? 1 2 0 0 0 , 0 在首位,则 C5 C4 A4? 9 6 0 , 若 3 2 5 3 1 4 C5 C5 A5? C5 C4 A41 2 0 0 0 9 6? ? ? 0

11040

三、解答题 1.解: (1)错误!未找到引用源。是排列问题,共通了 A2 ? 110 封信;错误!未找到引用 11 源。是组合问题,共握手 C11 ? 55 次。
2

(2)错误!未找到引用源。是排列问题,共有 A ? 90 种选法;错误!未找到引用 10
2

源。是组合问题,共有 C10 ? 45 种选法。
2

(3)错误!未找到引用源。是排列问题,共有 A8 ? 56 个商;错误!未找到引用源。
2

26

高中数学选修 2-3 精讲精练

第一章

计数原理

2 是组合问题,共有 C8 ? 28 个积。 6 6 2.解: (1)甲固定不动,其余有 A6 ? 720 ,即共有 A6 ? 720 种; 6 1 6 1 (2)甲有中间 5 个位置供选择,有 A5 ,其余有 A6 ? 720 ,即共有 A5 A6 ? 3600 种; 3 (3)先排甲、乙、丙三人,有 A3 ,再把该三人当成一个整体,再加上另四人,相当 5 5 3 于 5 人的全排列,即 A5 ,则共有 A5 A3 ? 720 种; 2 2 (4)从甲、乙之外的 5 人中选 2 个人排甲、乙之间,有 A5 ,甲、乙可以交换有 A2 ,

把该四人当成一个整体,再加上另三人,相当于 4 人的全排列,
2 2 4 则共有 A5 A2 A4 ? 960 种; 4 (5)先排甲、乙、丙之外的四人,有 A4 ,四人形成五个空位,甲、乙、丙三人排 3 3 4 这五个空位,有 A5 ,则共有 A5 A4 ? 1440 种; 7 (6)不考虑限制条件有 A7 ,甲在乙的左边(不一定相邻) ,占总数的一半,



1 7 A7 ? 2520 种; 2

4 (7)先在 7 个位置上排甲、乙、丙之外的四人,有 A7 ,留下三个空位,甲、乙、 4 丙三人按从高到矮,自左向右的顺序自动入列,不能乱排的,即 A7 ? 840 7 6 6 (8)不考虑限制条件有 A7 ,而甲排头有 A6 ,乙排当中有 A6 ,这样重复了甲排头, 5 7 6 5 乙排当中 A5 一次,即 A7 ? 2 A6 ? A5 ? 3720

?2 x ? 1 ? 4 ?x ? 3 ? 4 3 3.解: (1) A2 x ?1 ? 140 Ax ? ? ?x ? N ?(2 x ? 1)2 x(2 x ? 1)(2 x ? 2) ? 140 x( x ? 1)( x ? 2) ?
?x ? 3 ? ? ?x ? N ?(2 x ? 1)(2 x ? 1) ? 35( x ? 2) ? ?x ? 3 ? ? ?x ? N ?4 x 2 ? 35 x ? 69 ? 0 ?

27

高中数学选修 2-3 精讲精练

第一章

计数原理

得x ?3
2 2 (2)Cn ?3 ? Cn2 1? Cn ?1 1 Cn ,2 n ? 2? Cn ? 1? Cn ? ?2Cn ? C 2 ? 2 1 2 Cn ? 2 ? Cn , n ? 2 ? 2

n(n ? 1) ,n ? 4 2

数学选修 2-3
一、选择题 1.C 2.D 3.B 4.A

第一章

计数原理

[综合训练 B 组] 答案

1 3 1 1 3 1 个位 A2 ,万位 A3 ,其余 A3 ,共计 A2 A3 A3 ? 36

相当于 3 个元素排 10 个位置, A3 ? 720 10
15 从 55 ? n 到 69 ? n 共计有 15 个正整数,即 A69?n 2 3 从 c, d , e, f 中选 2 个,有 C4 ,把 a , b 看成一个整体,则 3 个元素全排列, A3 2 3 共计 C4 A3 ? 36 1 2 先从 5 双鞋中任取 1 双,有 C5 ,再从 8 只鞋中任取 2 只,即 C8 ,但需要排除 2 1 2 4 种成双的情况,即 C8 ? 4 ,则共计 C5 (C8 ? 4) ? 120

5.A

二、填空题 1. 2
n

每个人都有通过或不通过 2 种可能,共计有 2 ? 2 ? . . ? n个 . 2(

2) ?n

2

2. 60 3. 23 4. 3 5. 4186 6. 105

1 3 3 1 四个整数和为奇数分两类:一奇三偶或三奇一偶,即 C5C 4 ? C C ? 60 5 4 1 1 2 ,其中 ( 1 , 1 ) 重复了一次 C3 C4 A?1 ? 2 3 2

n ? 1 ,k ? 2
3 2 3 件次品,或 4 件次品, C4 C 4 6 C C 14 64186 ? 44 ?

直接法:分三类,在 4 个偶数中分别选 2 个, 3 个, 4 个偶数,其余选奇数,
2 3 3 2 1 5 5 4 1 C4 C 5 ? C C 5 C C4 ?5105 ;间接法: C9 ? C 5 ? C C ? 105 ? 4 4 5 4

三、解答题 1.解: A ? B 中有元素 7 ? 10 ? 4 ? 13 。 C13 3? C36 ? C33 ? 8 6 ? 2 0 ? 1 ? 2 6 5 2 2.解: (1)原式 ? (C100 ? C100 ) ? A101 ? C101 ? A101 ?
2 3 3 3 3 3 A101 1 3 3 ? A101 ? 1 ? A3 ? 。 3 A3 6

3 4 4 4 4 4 4 4 (2)原式 ? C3 ? C5 ? C4 ? C6 ? C5 ? ?? C11 ? C10 ? C11 ? 330 。

28

高中数学选修 2-3 精讲精练

第一章

计数原理

4 3 3 3 3 3 另一方法: 原式 ? C4 ? C4 ? C5 ? ?? C10 ? C5 ? ?C10 4 3 3 4 ? C6 ? C 6 ? ?? C 13? ? ? C 4 0C ?1C ? 330 ? 0 1 0 11
m m m m m Cn ? Cn ?1 Cn ?1 Cn ?1 Cn ?1 (3)原式 ? ? m ? 1? m ? m ? 1 Cm Cn Cn Cn n

3.证明:左边 ?

n! m ? n! (n ? m ? 1) ? n !? m ? n ! ? ? (n ? m)! (n ? m ? 1)! (n ? m ? 1)!

?

(n ? 1)! m ? An ?1 ? 右边 [(n ? 1) ? m]!

所以等式成立。 4.解:抛物线经过原点,得 c ? 0 , 当顶点在第一象限时, a ? 0, ?

?a ? 0 b 1 1 ,则有 C3C4 种; ? 0,即? 2a ?b ? 0 ?a ? 0 b 2 ,则有 A4 种; ? 0,即? 2a ?b ? 0

当顶点在第三象限时, a ? 0, ?
1 1 2 共计有 C3C4 ? A4 ? 24 种。

4 5.解:把 4 个人先排,有 A4 ,且形成了 5 个缝隙位置,再把连续的 3 个空位和 1 个空位 2 4 2 当成两个不同的元素去排 5 个缝隙位置,有 A5 ,所以共计有 A4 A5 ? 480 种。

数学选修 2-3
一、选择题 1.B

第一章

计数原理

[提高训练 C 组]

答案

n! n! ? 6? , n ? 3 ? 4, n ? 7 (n ? 3)! (n ? 4)!? 4!
2 3 3 2 男生 2 人,女生 3 人,有 C30C20 ;男生 3 人,女生 2 人,有 C30C20

2.D

共计 C3 0C 2 ? C 3 C 0 0
2 3 3

2 20 2 2 2 2

3.A 4.B

甲得 2 本有 C6 ,乙从余下的 4 本中取 2 本有 C4 ,余下的 C2 ,共计 C6 C4 含有 10 个元素的集合的全部子集数为 S ? 2 ,由 3 个元素组成的子集数
10

2

3 为 T ? C10 ,

3 T C10 15 ? 10 ? S 2 128

29

高中数学选修 2-3 精讲精练

第一章

计数原理

5.D

1 四个点分两类: (1)三个与一个,有 C4 ; (2)平均分二个与二个,有

C 42 2

共计有 C4 ?
1

2 C4 ?7 2

6.D

复数 a ? bi, (a, b ? R) 为虚数,则 a 有 10 种可能, b 有 9 种可能,共计 90 种可能

二、填空题 1. 9
1 分三类:第一格填 2 ,则第二格有 A3 ,第三、四格自动对号入座,不能自由排列; 1 第一格填 3 ,则第三格有 A3 ,第一、四格自动对号入座,不能自由排列; 1 第一格填 4 ,则第撕格有 A3 ,第二、三格自动对号入座,不能自由排列; 1 共计有 3A3 ? 9

2. 165 3. 180,30 4. 13

C13 2 ? C 36? C 37 165 ?
1 1 1 2 a ? 0 , C6C6C5 ? 180 ; b ? 0 ,A6 ? 3 0 2

3 2 2 2 2 2 2 C3 ? C 3 ? C 4? C 5 ?? Cn ? 3 6 3 1, ?3C ?4C ? ?? Cn ? ? ? C 4 5 3 2 C5 ? C 5 ??? Cn 2? . . ? Cn? 31? 3 6n ? . 4,

364,

13
0

5. 28

5! ? m! ( 5 m ) ! m ?

6! 7 7! ? ? , m2 ? 2 3 ? 4 ? m 2 !? m (6 ) ! m 0 ? m! ( 7 1 )!

m 2 而 0 ? m ? 5 ,得 m ? 2, C8 ? C8 ? 28

三、解答题
6 1.解: 6 个人排有 A6 种, 6 人排好后包括两端共有 7 个“间隔”可以插入空位. 4 (1)空位不相邻相当于将 4 个空位安插在上述 7 个“间隔”中,有 C7 ? 35 种插法,

故空位不相邻的坐法有 A6 ? 7 ? 25200 种。 C
6 4

(2)将相邻的 3 个空位当作一个元素,另一空位当作另一个元素,往 7 个“间隔”里插 有 A7 种插法,故 4 个空位中只有 3 个相邻的坐法有 A6 A7 ? 30240 种。
2 6 2

(3) 4 个空位至少有 2 个相邻的情况有三类: ① 4 个空位各不相邻有 C7 种坐法; ② 4 个空位 2 个相邻,另有 2 个不相邻有 C7C6 种坐法;
1 2 4

30

高中数学选修 2-3 精讲精练

第一章

计数原理

2 ③ 4 个空位分两组,每组都有 2 个相邻,有 C7 种坐法. 6 4 1 2 2 综合上述,应有 A6 (C7 ? C7C6 ? C7 ) ? 118080 种坐法。 4 2.解:分三类:若取 1 个黑球,和另三个球,排 4 个位置,有 A4 ? 24 ;

若取 2 个黑球,从另三个球中选 2 个排 4 个位置, 2 个黑球是相同的,
2 2 自动进入,不需要排列,即有 C3 A4 ? 36 ;

若取 3 个黑球,从另三个球中选 1 个排 4 个位置, 3 个黑球是相同的,
1 1 自动进入,不需要排列,即有 C3 A4 ? 12 ;

所以有 24 ? 36 ? 12 ? 72 种。

数学选修 2-3
一、选择题 1.A

第一章

二项式定理

[基础训练 A 组]

1 4 8? r ? r 8? r x 8? r 1 r r 1 8? r r r 1 8? r r 3 3 Tr ?1 ? C ( ) (? 3 ) ? (?1) ( ) C8 x ? (?1) ( ) C8 x 2 2 2 x r 8

令8? 2.B

4 1 ? 6 6 r ? 0, r ? 6, T7 ? (?1)6 ( ) 8 C8 ? 7 3 2

3 2 (1 ? 2x)5 (2 ? x) ? 2(1 ? 2x)5 ? x(1 ? 2x)5 ? ... ? 2C5 (?2x)3 ? xC5 (?2x)2 ? ... 2 3 ? (4C5 ?16C53) x 3 ... ? ?120x ? ... ?

3.A

只有第六项二项式系数最大,则 n ? 10 ,
r Tr ?1 ? C10 ( x )10? r ( 5 5? r 5 2 r 2 r , C ) ? 2r C10 x 2 ,令 5 ? r ? 0 ,r ? 2 T ? 4 0 ? 1 8 0 3 1 2 2 x

二、填空题 1. 1890
4 6 r , 9 x Tr ?1 ? C10 x10?r (? 3)r ,令 1 0? r ? 6 r ? 4T ? C0 6x ? 1 8 9 0 5, 1

15 2. 4, ?C20 x30

4 C2 r0? 1 ? Cr ? 01 4 ? 1 r ? ? ? 1 2 , r

5 5 2r0? T 4 1, 6C 1 ?x ( 2 ?1 ?C x , ? ) 20

15 20

30

三、解答题

1 r 1? ? r 2 8? r r r 16 ?3 r 1.解: 2 ? 2 ? 128, n ? 8 , ? x 2 ? ? 的通项 Tr ?1 ? C8 ( x ) (? ) ? (?1) C8 x x x? ?
n 7

8

4 当 r ? 4 时,展开式中的系数最大,即 T5 ? 70x 为展开式中的系数最大的项;

当 r ? 3, 或5 时,展开式中的系数最小,即 T2 ? ?56x , T6 ? ?56x 为展开式中
7

的系数最小的项。 2.解: (1)由已知得 Cn ? Cn ? n ? 7
2 5

31

高中数学选修 2-3 精讲精练

第一章

计数原理

1 3 5 (2)由已知得 Cn ? Cn ? Cn ? ... ? 128, 2n?1 ? 128, n ? 8 ,而展开式中二项式

系数最大项是 T4?1 ? C8 ( x x ) (
4 4

3

1 4 ) ? 70 x 4 3 x 2 。 x

3.解:设 f ( x) ? (2 ? 3x)50 ,令 x ? 1 ,得 a0 ? a1 ? a2 ? ?? a50 ? (2 ? 3)50 令 x ? ?1 ,得 a0 ? a1 ? a2 ??? a50 ? (2 ? 3)50

(a0 ? a2 ? a4 ? ?? a50 )2 ? (a1 ? a3 ? a5 ? ?? a49 )2 ?

(a0 ? a1 ? a2 ??? a50 )(a0 ? a1 ? a2 ??? a50 ) ? (2 ? 3)50 (2 ? 3)50 ? 1

数学选修 2-3
一、选择题 1.D 2.A

第一章

计数原理

[综合训练 B 组]

7 T8 ? C10 ( 3i)3 (?x)7 ? 360 3ix7 ,系数为 360 3i
r Tr ?1 ? C2 n (2 x) 2 n ?r (

1 r r ) ? 22 n ?r C2 n x 2 n ?2 r ,令 2n ? 2r ? 2, r ? n ? 1 2x
3 C8 ?2 14 x ? 2 4 x

n? n? 则 22 C2n 1 ? 224, C2n 1? 56, n ? 4 ,再令 8 ? 2r ? ?2, r ? 5, T6 ?

3.D

5 2 (1 ? x3 )(1 ? x)10 ? (1 ? x)10 ? x3 (1 ? x)10 ? (C10 ? C10 ) x5 ? ... ? 207 x5 ? ...

二、填空题

1 ? 1. ?51 ? ( x ? )? x ?
'

1 1 ? 1 的通项为 Cr5 ( x ? )5?r (?1) r , 其中 ( x ? )5? r 的通项为 ? x x ?
' ' '

5

r C5r?r x5?r ?2 r ,所以通项为 (?1)r C5r C5r?r x5?r ?2r ,令 5 ? r ? 2 ' ? 0
得r ?
'

5?r ' ' ,当 r ? 1 时, r ? 2 ,得常数为 ?30 ;当 r ? 3 时, r ? 1 ,得常数为 ?20 ; 2

' 当 r ? 5 时, r ? 0 ,得常数为 ?1 ;??30 ? (?20) ? (?1) ? ?51

2. 4186

3 2 3 件次品,或 4 件次品, C4 C 4 6 C C 14 64186 ? 44 ?

3. 15

( x ? 1)[1 ? ( x ? 1)5 ] ( x ? 1) ? ( x ? 1)6 4 6 原式 ? , ( x ? 1 )中含有 x 的项是 ? 1 ? ( x ? 1) x
2 C6 x4(? 1 )2? 1 5 ,所以展开式中的 x3 的系数是15 x4

三、解答题

32

高中数学选修 2-3 精讲精练

第一章

计数原理

(1 ? x ) 1 3 3 ? 2)3 ? 1.解: ( x ? ,在 (1 ? x )6 中, x 的系数 C6 (?1)3 ? ?20 3 x x
6

就是展开式中的常数项。 另一方法: 原式 ? (

x ?

1 x

3 )6 , T4 ? C6 (?1)3 ? ?20

数学选修 2-3
一、选择题 1.A

第一章 二项式定理

[提高训练 C 组]

(a0 ? a2 ? a4 )2 ? (a1 ? a3 )2 ? (a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 )(a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 )
? (2 ? 3)4 ? (2 ? 3)4 ? 1

2.D

分三种情况: (1)若仅 T7 系数最大,则共有 13 项, n ? 12 ; (2)若 T7 与 T6 系数相 等且最大,则共有 12 项, n ? 11 ; (3)若 T7 与 T8 系数相等且最大,则共有 14 项,

n ? 13 ,所以 n 的值可能等于 11,12,13
二、填空题 1. 4
3r ?9 3r a x 2 , Tr ?1 ? C9r ( )9?r (? )r ? (?1)r ( )r a9?r C9r x 2 ,令 ? 9 ? 3 r ? 8 2 x 2 2

2 9 9 (? 18) ( 8a C 8 ? ) 9 a? a? 4 , 2 16 4
2. 0.956

0.9915 ? (1 ? 0.009)5 ? 1 ? 5 ? 0.009 ? 10 ? (0.009)2 ? ... ? 1 ? 0.045 ? 0.00081 ? 0.956
3. ?2 设 f ( x)? ( ? 1

2n ,令 x ? 1 ,得 a0 ? a1 ? a2 ? ? a7 ( 1 ?7) x ) ? ? 2

?1 ?

令 x ? 0 ,得 a0 ? 1 , a1 ? a 2 ? ? ? a 7? ?1 ? a ? ?2 0 三、解答题 1.解: (1 ? 2 x) (1 ? 3x) ? ?(2 x ?1) (3x ? 1)
5 4 5 4

4 1 ? ?[(2x)5 ? C51(2x) 4? ...][(3x) ? C4 (3x) ?3...]

? ? 3 2 5 ? 8 x4 ? . . . )x48 1 ( x 0 ( ?

3 x1 0 8 ?

...)

? ?(2592 x9 ? 81? 80 x 8? 32 ?108 x 8? ...) ? ?2592 x9 ? 3024 x8 ? ...

33

高中数学选修 2-3 精讲精练

第一章

计数原理

2.解: 32n?2 ? 8n ? 9 ? 9n?1 ? 8n ? 9 ? (8 ? 1)n?1 ? 8n ? 9
0 1 n ?1 n n ?1 ? Cn ?1 8n ?1 ? Cn ?1 8n ? ? ? Cn ?1 82 ? Cn ?1 8 ? Cn ?1 ? 8n ? 9 0 1 n ?1 ? 64(Cn ?1 8n ?1 ? Cn ?1 8n ?2 ? ? ? Cn ?1 ) ? 8(n ? 1) ? 1 ? 8n ? 9 0 1 n ?1 ? M ? 64(记M ? Cn ?1 8n ?1 ? Cn ?1 8n ?2 ? ? ? Cn ?1 )

? M 为整数 ,?64M 能被64整除.
0 1 2 n 3.证明: Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ... ? (n ? 1)Cn 0 2 ? (Cn ? Cn1? Cn 2? . .? Cn ? Cn ? Cn2? ? . . .n . n ) (1 nC n

)

? 2n ? n ( 1 Cn?1 ? Cn2 1? .? Cn? ? 1 . . n? ? ? 2n ? n ? 2n?1
4.解: (1) Cn ? 7Cn ,
3 1

1 1

)

n(n ? 1)(n ? 2) ? 7n, n 2 ? 3n ? 40 ? 0,由n ? N * ,得n ? 8 ; 6

5 3 4 (2) C7 a2 ? C7 a4 ? 2C7 a3 , 21a2 ? 35a4 ? 70a3 , a ? 0

得 5a ? 10a ? 3 ? 0 ? a ? 1 ?
2

10 ; 5

4 (3) C8 (2x)4 ( xlg x )4 ? 1120, x4(1?lg x) ? 1,lg2 x ? lg x ? 0

得 l gx ? 0 ,或 l gx ? ? 1 所以 x ? 1, 或x ?

1 。 10

34


更多相关文档:

高中数学选修2-3精讲精练第一章

3 高中数学选修 2-3 精讲精练 第一章 计数原理 解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再 与其它元素进行排列,同时...

高中数学选修2-3精讲精练第二章

高中数学选修 2-3 第二章 概率 第一讲 离散型随机变量的分布列... 3 第 1.1 练 ......

高中数学选修2-3第一章测试题

高中数学选修2-3第一章测试题_高二数学_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 高中数学选修2-3第一章测试题_高二数学_数学_高中教育_...

数学选修2-3第一章测试

数学选修2-3第一章测试_数学_高中教育_教育专区。第一章测试 (时间:120 分钟...· 重庆)(12 分)在甲、乙等 6 个单位参加的一次“唱读讲 传”演出活动中...

高中选修2-3第一章计数原理知识点总结与训练

高中选修2-3第一章计数原理知识点总结与训练_高二数学_数学_高中教育_教育专区。很好很好的资料,不信自己看看吧,你肯定会满意的啊第...

高二数学 选修2-3 第一章 计数原理

(精)高中数学选修2-3教案 91页 免费 高中数学选修2-3计数原理测... 6页 ...高二数学 选修2-3 第一章 计数原理高二数学 选修2-3 第一章 计数原理隐藏>...

高中数学选修2-3知识点总结

高中数学选修2-3知识点总结_数学_高中教育_教育专区。第一章 计数原理 1、分类加法计数原理:做一件事情,完成它有 N 类办法,在第一类办法中有 M1 种不同的 ...

数学选修2-3第一章导学案

数学选修2-3第一章导学案_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 数学选修2-3第一章导学案_数学_高中教育_教育专区。1.1 分类加法计数...

新课标高中数学必修1精讲精练

《新课标高中数学必修精讲精练》——精讲 第一章 集合与函数概念 第1讲 ...解: (1)用描述法表示为: {x ? R | x( x2 ? 2 x ? 3) ? 0} ;...
更多相关标签:
精讲精练选修1 1 | 高中英语语法精讲精练 | 高中数学精讲精练 | 高中化学选修四第一章 | 高中化学选修五第一章 | 高中化学选修三第一章 | 高中化学选修4第一章 | 高中物理选修31第一章 |
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com