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高一数学培优拔高讲义第四讲


高一数学培优拔高讲义 第四讲 函数的奇偶性与图像的对称性 【知识方法导航】 1.奇、偶函数的概念 如果对于 f(x)定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=-f(x),则 f(x)就叫做___函数. 如果对于 f(x)定义域内任意一个 x,都有 f(-x)= f(x), 则 f(x)就叫做___函数. 奇函数的图象关于_____对称;偶函数的图象关于_____对称. 2.奇、偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的两区间上的单调性______, 偶函数在关于原点对称的两区间上的单调性______. (2)若奇函数 f(x)在 x=0 处有定义,则 f(0)=_____; (3)设 f(x),g(x)的定义域分别是 D1,D2,那么在它们的公共定义域上: 奇+奇=____, 奇×奇=____, 偶+偶=_____, 偶×偶=_____, 奇×偶=______. 一条规律 奇、偶函数的定义域关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的__________; 两条引申结论 (1) 若对于函数定义域 D 上的任意的 x 都有 f(a-x)=f(a+ x),则 y=f(x)的图象关于_________对称. 特别地,当 a = 0 时,该函数为________, 图象关于_____对称。 (2) 若对于函数定义域 D 上的任意的 x 都有 f(a-x)=-f(a+ x),则 y=f(x)图象关于_________对称. 特别地,当 a = 0 时,该函数为________, 图象关于_____对称。 三种方法 判断函数奇偶性,一般有三种方法:(1)定义法(直接、间接);

(2)图象法; (3)性质法.

【抬眼看路】 1 1.(2012· 福州一中月考)f(x)= x -x 的图象关于( A.y 轴对称 B.直线 y=-x 对称 ). D.直线 y=x 对称

C.坐标原点对称

? 5? 2.(2011· 全国)设奇函数 f(x)满足 f(x+2)= f(x),当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1-x),则 f?-2?=_____ ? ? 3.(2011· 广东)设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是( A.f(x)+|g(x)|是偶函数 B.f(x)-|g(x)|是奇函数 C.|f(x)|+g(x)是偶函数 ).

D.|f(x)|-g(x)是奇函数

4.(2011· 福建)对于函数 f(x)=ax3+bx+c(其中,a,b∈R,c∈Z),选取 a,b,c 的一组值计算 f(1)和 f(-1),所得出的正确结果一定不可能是( A.4 和 6 B.3 和 1 ). D.1 和 2

C.2 和 4

5.(2011· 浙江)若函数 f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数 a=________.
【低头做题】 1. 已知函数 y= f ( x) 是偶函数,y= f ( x ? 2) 在[0,2]上是单调减函数,则( A. f (0) < f (?1) < f (2) B. f (?1) < f (0) < f (2)

) D. f (2) < f (?1) < f (0) )

C. f (?1) < f (2) < f (0)

变式:1. 定义在 R 上的奇函数 f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数,又 f (?3) ? 0 ,则不等式 xf ( x) ? 0 的解集为: ( A. (?3, 0) ? (0,3) B. (??, ?3) ? (3, ??) C. (?3,0) ? (3, ??) D. (??, ?3) ? (0,3) ) 2. 定义在 (?2, 2) 上的偶函数 f ( x) 在 (?2,0] 上是减函数,若 f (2 x ? 1) ? f (1) ,则 x? _____ 。 3.若 f (x) 在 (4,??) 上为减函数,且对任意实数 x ,都有 f ( x ? 4) ? f (4 ? x) ,则(

A. f (2) ? f (3)

B. f (2) ? f (5)

C. f (3) ? f (5)
-1-

D. f (3) ? f (6)

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第四讲
2

函数的奇偶性与图像的对称性

2. 奇函数 f ( x) 的定义域是 R, 当 x>0 时, f ( x) ? ? x ? 2 x ? 2 ,求 f ( x) 的表达式; 变式:1.设函数 f ( x) 是 R 上的偶函数,并且当 x ? [0, ??) 时, f ( x) = x 1 ?
x

?

3

x ,求 f ( x) 的表达式;


?

2.设 f (x) 是 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 ? 2 x ? b ,则 f (?1) ? (

A. 3
2

B. 1

C. ? 1

D. ? 3
,b ? 。

3. 已知 f ( x) ? ax ? bx ? 3a ? b 是偶函数,且其定义域为 [a ? 1, 2a] ,则 a ? 变式:1.已知函数 f ( x) = a ?

1 ,若 f ( x) 为奇函数,则 a ? 2 ?1 5 3 2 2. 已知 f ( x ) ? x ? ax ? bx ? x ,且 (-2) , f (2) 的值。 f =10 求
x

4. 已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) = ? f ( x) ,则 f (6) ? ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 变式:1. 设 f ( x) 是 R 上奇函数, f ( x ? 2) = ? f ( x) ,当 0 ? x ? 1 时, f ( x) =x,则 f (7.5) ? 2. 设 f ( x) 是 R 上奇函数, f ( x ? 2) = ? f ( x) ,当 x ? [0,1] 时, f ( x) = 2 x ? 1 ,求 x ? [7, 时,f ( x) ? 8] 5. 设函数 f ( x) ? x ? 1 ? x ? a 的图像关于 x ? 1对称,则 a 的值为( A..1 B..2 C..3 D..-1 )

变式:1. 已知 f ( x) 为 R 上的奇函数,则 y ? f ( x ? 1) ? 2 的图像必过定点 2. 若函数 y ? f ( x ? 2) ? 2 为奇函数,且函数 y ? f (x) 的图像关于点 M (a, b) 对称,则 2a ? b ? 对于 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的值推断正确为 。①恒小于 0 ;②恒大于 0 ;③可能为 0 ;④可正可负。



( 3. f (x) 是 R 上单调函数,f (? x) ? ? f ( x ? 4) , x ? 2 时 f (x) 单调增, x1 ? x2 ? 4 时, x1 ? 2)( x2 ? 2) ? 0 , 当 若

6. 已知函数 f (x) 的图像与函数 h( x) ? x ?

1 ? 2 的图像关于点 A(0,1) 对称。 x (1)求 f (x) 解析式; (2)若 g ( x) ? f ( x) ? x ? ax ,且 g (x) 在区间 ?0,2? 上为减函数,求实数 a 的取值范围。

变式:1.函数 f ( x) ? 1 ? ( x ? a)( x ? b) , a ? b ), m, n 是方程 f ( x) ? 0 的两个根,且 m ? n ,则实数 a , b , ( ) m , n 的大小关系是(

A. m ? a ? b ? n B. a ? m ? n ? b C. a ? m ? b ? n D. m ? a ? n ? b 2 2.直线 y ? 1 与曲线 y ? x ? | x | ? a 有四个交点,则实数 a 的取值范围是 。

7. 设 f (x) 对任意 x, y ? R , f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) , (1)试判断 f (x) 的奇偶性; (2)若 f (x) 在 (0,??) 上单调递减,且 f (16) ? 4 ,解不等式 f ( x ? 1) ? 1 。 变式:1. 设 f (x) 对任意 x, y ? R , ,都有 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) , f (x) 在 (0,??) 上单调递增,若 f (4) ? 1 , 解不等式 f (3x ? 1) ? f (2 x ? 6) ? 3 。 2.设 f (x) 是 R 上的函数,对任意实数 x, y , f ( x ? y) ? f ( x ? y) ? 2 f ( x) f ( y) ,且 f (0) ? 0 , (1)试判断 f (x) 的奇偶性; (2)若 f (x) 在 [0,??) 上单调递增,解不等式 f ( x ? x ? 1) ? f (3) 。
2

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第四讲

函数的奇偶性与图像的对称性

例 1.判断下列各函数的奇偶性:

?1?
? 3?
例 2.

1? x f ( x) ? ( x ? 1) ; 1? x

? 2? ? 4?

? x2 ? x ( x ? 0) ? f ( x) ? ? 2 ( x ? 0) ?? x ? x ?

?1 ? 2 ? f ( x) ?
2
x

x 2



f ( x) ?

1 1 ? ; 2 ?1 2
x

( x ? 1)( x ? a) 为奇函数,则 a ? x 2 (2)函数 F ( x) ? (1 ? x ) f ( x)( x ? 0) 是偶函数,且 f (x) 不恒等于零,则 f (x) . 2 ?1 是奇函数 A. B. 是偶函数 C. 可能是奇函数也可能是偶函数 D. 不是奇函数也不是偶函数

(1) f ( x) ? .

ax 2 ? 1 ( a 、 b 、 c ? Z )为奇函数,又 f (1) ? 2 , f (2) ? 3 ,求 a 、 b 、 c 的值 . ? 3? 已知函数 f ( x) ? bx ? c

? 4 ? 已知定义域为 R 的函数 f ( x) ?
(Ⅰ)求 a, b 的值;

?2 x ? b 是奇函数。 2 x ?1 ? a

(Ⅱ)若对任意的 t ? R ,不等式 f (t ? 2t ) ? f (2t ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围;
2 2

例 3.若函数 f ( x), g ( x) 分别是 R 上的奇函数、偶函数,且满足 f ( x) ? g ( x) ? e x ,则有(
A. f (2) ? f (3) ? g (0) C. f (2) ? g (0) ? f (3) B. g (0) ? f (3) ? f (2) D. g (0) ? f (2) ? f (3)



例 4.设 f (x) 是定义在 R 上的奇函数,且 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,又当 ?1≤ x ≤1时, f ( x) ? x 3 ,

?1? 证明:直线 x ? 1是函数 f (x) 图象的一条对称轴;
? 2 ? 当 x ? [1,5] 时,求 f (x) 的解析式

-3-


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