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立足基础






小学教

课堂 教学研 究





月 下旬 高 中



立 足基 础 注重 转 化 提 升 复 习 效益
, ,


三 角 函 数值 域 问 题 的 变

式 教学
江 苏省徐 州 高等 师 范 学校

朱允 洲

三 角 函 数 的 值 域 是 三 角 函 数 的 重 要性 质 之








所 以 函 数 的 值域 为
稍 许 学 生 开 始 有质 疑的 议 论 声




是研 究 三 角 函 数 其 他 性 质 和 处 理 三 角 函 数 综 合 问 题
的 基 础 面对 灵 活 多 样 的 三 角 函 数 的 值 域 问 题 学 生




学生


不对



应对





进 行讨论 当






常 常 因 为 三 角 公式 的 庞 杂 三 角 恒 等 变 换 的 灵 活 及 运









算 的 复 杂 等 而 不 知 该 如 何 人 手 或 者 会解 而 算 不 对




时 值域为




所 以综 上 得

因 此 在 高 三 的复 习 教


学 中 不 仅让 学 生 能 对 众多 的
, ,

公式 灵 活 运 用 更 重 要 的 是 要 有 解 题 策 略 笔 者 通 过
多 年 的 教 学 实 践认 为 变式 训 练 是 训 练 学 生 解 题 策 略


教 师 很好 他 对



的 取 值 分 的 细致 准 确 这 位 同


学 的 回 答告 诉我 们 什 么
生 众
( )




的 重要 方法之



遇 到 参 数 问 题要 分 类 讨 论 分类 应 不 重


本 课通 过

的 蘇性




二次形式




分式 型 组

不漏

合 的 函 数 为 背 景 设计变 式 训 练 其


的 是引 导 学生在

评注 教 师 通过




导 让 学 生意 识 到 简 单的 问题
, ,

不 同 的 问 题 背 景 中 将 形 式 多 样 的三 角 函 数 值 域 问 题

可以抽 象 出



般的形式

而对于




般 形 式 的 讨论





转 化 为 常见 的 基 本 函 数 如



二次

函数 反 比 例 函 数 对



学 生 亲 身 体 验 分 类 的 过 程 怎 样 分 及分 类 的 标 准 是 什




勾 函 数 等 的 值域 来 处 理 本 节 课 教 学 目 的 是 让 学 生 意

此 处 的 关 键 是它 为 问 题





类 问 题 的 转化提 供

识 到 当 面 对陌 生 的 问 题时 能 够 联 想 等 价 转 化
: ,












思 想 将 生 疏 的 问 题等 价 地 转 化 为 常 见 的 基 本 问 题

师 如 果所给 的题





中 不 具有


在 转 化 中 尝试 思 考 解 决 问 题 的 方 法 笔 者 现 将
三 函 数 值域 复 习



节高


这种 形 式 那 又 如 何 来 处 理 变式教学
问题 已 知 函数 ⑴


课的课 堂实录 及 所思 所想整理 出 来

以期 与同 行探讨

课 堂实录



提 出 问题
上 课伊 始 老 师 先 给 出 题 目






幻 在区间





上的 最大值与 最小值
题第



年江 西 卷 理科 学生







求 函数



先展 开 再 利 用 辅 助 角 公 式 将 其化 为
的形式


值域
学 生 纷纷 动 手 教 师 结 果是 什 么
, :









学生 众
教 师 对 该 题的
: !











般 形 式 是 什 么 ?它 的 值域 又 如
因为


何呢







发学 生 思 考



所以







学生



因为

教 师 不 错 先展 开 成




的 线 性 组合形 式



2 0

1

5



月 下旬 高 中

课 堂教 学 研 究




学教 今

再化 为 厂

的形 式 如 果 题




不是

教师 此 题 与 问 题 有什 么 不 同 ? 还 能 采 用 它 的 思


的线 性组 合 形 式 呢 ? 进 而 继 续 将 学 生 的 思 路引 向深 处
问题


路 吗 你有 什 么 想 法





学 生 讨 论 教 师 巡视 过 了




会儿 请




位学生

已 知 函数





去板 演




学生






求 ⑷ 在 闭区间


则厂 在










大 值 和 最小 值

年 天 津 卷 理 科 ⑷ 题第

因为

上为 增 函 数 所 以




学生


将第



个 式子 展 开 砰将所有 二 次 降 職


次 最后 利 用 辅助 角 公 式 将 其化 为
的形式




上 为 减 函 数 于是 得

































°




由 函 数 的 单调











教师 非 常 好



性求 出



的 取值 范

围 然 后 通 过 换 元 化 归 为 定 区 间 动 轴 的 二 次 函 数值 域
问 题 再看 下 面






— 子
因为


问题


求 函数


的值域
学 生 稍 许 沉 默后


教 师 能 否 直 接换 元 ?

开始讨

卜丁 丁




论 交流



所以









学生
的解 法

将 原 函 数 展 开 再利 用
, ,



积与 和

教 师 嗯 不错 谁 能 总 结



下 问题

的 关系迸行 换 元 即

学生
于 “似


把所 给 的 函 数 式 运 用 三 角 公 式化 简 成关
的 线 性 组 合 的 形 式 再 由 辅 助 角 公 式化 为




及及










⑶故




— 求 出 最值



的 形 式 最 后 脏 弦 函 細 性质


所 以 值域 为




师 对 了 利用



的 积 与 和 的 关 系 是本 题

教 师 很好 有 些 问 题 可 以 化 为

的 关 键 通 过换 元 转化 为 二 次 函 数 的 值域 问 题


式 但 是 下 面 的 问 题还 可 以 吗





激发 学 生 的 好奇

评注 通过 换 元转 化 为




元 二 次 函 数 的 最值 问



发 他 们 进 行探 究 兴 趣




题 使 学 生意 识 到 二 次 函 数 与 三 角 函 数 的 紧 密 联 系
的 线 性 组合

评 注 函 数的 表 达 式 是 关 于
或 者是 非 线 性 组 合 的 形 式


这里 不 仅 用 到 换元 的 方 法 分 类 与 整合 的 思 想










的是让学 生运 用化 归与


训练



学生对

的 积 与 和 相 互 表 示 的 知识 通


转化 的 思 想 借 助 辅 助

角 公式 将 其 转 化 为

过 学 生 的 讨论 交 流 提 高

他们 分 析 解决 综 合 问 题 的

的 形 式 从而 使 问 题 得 以 求 解 其 中 涉 及 到 诱

能力

导公 式 两 角 和 与 差 的 正 余 弦 公 式




二倍

角 公式 等 训


教师 以 上 是关 于 多 项式 型 的 三 角 函 数 的 值 域 问


练 了 学 生对 公式 的 灵 活 运 用 能 力
主题 问题



直接 突 出

本 课的

题 那 么 对 于 分 式 型 的 三 角 函 数 如 何解 决 他 们 的 值 域


问题 呢



将 学 生 的 思 路继 续 引 向 深 入




若 函数
上 是减 纖 求 ⑷ 贿域


在区


问题

求 函数
因 为 函 数 的定 义 域 为

的 值域


纲 卷 理科





年大


学生



将 分式 变 形 为 整




题 改编



式 运 用 三 角 函 数 的 有界 性 求 解



■■


中 小 学教

课堂教学研究



月 下旬

髙中



利 用 辅助 角公式 得


少)

》广







增 当










: !








⑶ 递减 所 以







时 函数 ⑷ 有




教 师 可 以 还 有其 它 方法 吗 学生




最小 值 无 最大值 所 以

的值 域 为



数形 结 合 把
与 定点

看成 是 动 点 连线 的 斜率 只 要 求


教师 很 好 导 数 法求 函 数 的 值 域是 基 本 方 法 但 是 求 出 的 导 数 不 能 太 复 杂 要 便 于 判 断 函 数 单调 性


动 直线
的 方程 为
圆上


斜 率的 取 值 范 酬 可 細



设直


細 的 问 题 哪 些 也 能 用导 数法 请 大家课后 思 考


动点 财








在单位

评注 对 于 分 子 分 母 都 是




次的 分式型函 数 通
’ ,

过教 师 的 恰


当引

导 学 生 的探 究 让他 们 意识 到 处理
, :

直线 与 单 位 圆 相 切 得

这类 问 题 的 通 性与 通 法


分离 常数 利 用


三 角 函数 的



±
一 一

有界 性 斜 料 贿 意 义 及 导 数 法 等 収


题多 法









所以



幽奴



训 练 学 生 的 发散 思 维 提 高




他 们 对基 本 知 识 与 方 法



的 值 域为

的 整 合运用 能 力
—“ — “ —



教 师 如 果 分 式 型 函 数 的 分 子分母 不 是 那 又该 如何 处 理 呢




次的





问题

求函数

如、


的值

域 学生





换成




所 以








°




将分 子 配 方 令 故 函 数 的 值域 为







教 师 此 法 较 为 ■ 这 ■学 实 际 上■ 了 此


教 师 有 不 同 意 见 的吗


学生 斜 率 的 取 值 范 围 借 助 直 线 与 圆 始终有 公 共 点 这



我 觉 得他 的 做 法 有 问 题 不 能 用 基 本 不



何 关 系 求 出 斜 率的 两 个 界 最 后 得 出 函 数 的 值 域 可
见 善 于 观 察 联 想是




学 习 数学 的 重要 品 质

的 值域

学生

因为




所山





问题


求函 数



数有 上 界

所 以 根据对 勾 函 数 的 单调性 可 求得

学生 众

与上



题的 解法相 似

禱 非 餅 在将



个 城 翻 鮮 化为


学生
因为

分 离常抛 ⑷


的 形式后 如不 能 用 基 本 不 等 式

由反



定要

运 用 对 勾 赚 鮮 调 性 来解 决

评 注 此 题通 过 换元 转 化 为 函 数


教师 嗯 可 以


学 生 容 易 忽 略新 元
°
; ;



的 范围



直 接运 用 基 本

学生


还 可 以用导 数 法

不 等 式 求 解 而 导致 了 错 误 的 结 论 此 处 的 问 题 设 计 比
问题

要复 杂 再




次 让 学 生 感 受 三 角 函 数与 常 用














⑷ 递

的 基本 函 数 间 的 相 融 关 系

但 问 题 的 解决 仍 需要有转

2 0

1

5





月 下旬 高 中



课堂 教 学 研 究
立 足 基 础 注重 转 化

中小

教兮





化 的 意识

课堂小结

高 考数学 《 考试 说 明 》 指 出
、 、




考试 旨 在 测 试 中 学



教师 哪 位 同 学 能把 这 节课 的 内 容 进 行 归 纳 总 结


数 学 的 基 础 知 识 基 本 技 能 基 本方 法
、 、



考査逻辑 思



维 能 力 运 算 能 力 空 间 想 象 能 力 以 及 运 用 所学 的 数 学生
这 节 课我 们 学 习 了 三 角 函 数 值 域 的 求 解


学 知 识解决 问 题 的 能 力




因 此 立 足 基 础 知 识 与 方法

方 法 并有 了 全 丽 絲 的 认识
题 通 常可 以 转 化 为 如下 类 型
卡 细山 她

三細
——


聽 賴问




道 简 单 的 三 角 函 数 的 值 域 陋 出 发 通 过 变 式探






究 让 学生 体 会 三 角 函 数 与 二 次 函 数 反 比 例 函 数 对






化 分类 与 整




数形 ⑷ 口 等




想 方法 还


用了





勾 赚 等基 础 函 数 的 纵横联 系 这 种 知 识 的 纵横 交 汇

赚 反


赚 购 赚 等函 羅 翻 求 麵的



往 往 是 高 考 命题 的 热 点 如 问 题


在探究 中 运 用 了 换

碰 膨 结 合 分 类 与 整 合 化 归 与 转化 等 思 想 方





法 着 眼于 学 生 对 基 础 知 识 技 能 与 思 维 能 力 的 熟 练


师 很 好 在 整个解 题 过 程 中 转 化 的 思 想 贯 穿 始 终 对 于 各 种 各样 的 三 角 函 数 的 值 域 问 题 能 发 现 其


把握 基 础 熟 练 了 才 有 可 能 生 出
, ,








来 在 值 域这
次到

不 变 的 主 题 下 进 行 着 各 种 题 型 与 解题 方 法 的 变
, :

式 子 的 结 构 特 点 并 进行有 效 的 转 化 是 关 键 抓住 了 这
些 本质 的 东 西 就 可 以 灵 活 地 处 理 常 见 的 三 角 函 数 的

化 不 断地 激 起 学 生 对 问 题 的 探 究 兴 趣 如





二 次 怎 么 转 化 不 同 的 二 次 解决 的 方 法 又 不 同 等 遇

值域 问题 了
感 悟课 堂
高 三 数 学 的 复 习 涉及 知 识 面 较 广 是 学 生 对 数 学


到 分 式 型 怎 么 办 学 生 在 积极 的 探 究 中 不 仅 厘 清 了 基

知 丨只 方 法 而



数 学 思 维能 力 在 变 化 中 也 获 得
方 面 在 问 题 的 变 化 中 保持 不 变
式巾

了 很好 的 发 展 另



知 识 再认 知 的过 程 作 为 教 师 力 求 使 学 生 获 得 清


的东

■与 转

的 知 删 络 结 构 雜 聽 想 方 法 从 藤进 学 顿




惯 如 本 课 中 将 形 式 各异 的 三 角 函 数 值 域 问 题都 转 化 無悉 的 赚 麵 抓住 问 题 的 本 质 以 不 变 应 万 变






吉 拔









克 服 了 学生 对于 三 角 函 数 问 聽 灵活 多 变 的 复 杂 性 学生的
有知
只 经验

的 心 理 障碍

本课 的 例 题 几 乎 所 有 的 学 生 都 能 给 予 解 决 但
是 在遇到复杂
, ,


师生互动适 度





实现 高 效 课 堂


些 的 三 角 函 数值 域 时 学 生 不 知 道 用


哪 个公 式 更 不 知 化 向 何 方 ? 他 们 找 不 到
固 着 点 感觉与


己 思 考的

课堂 上 教 师 引 导 学 生 多 方 位 多 角 度 的 思 考 问 题 让 学 生 探 索求 解 三 角 函 数 值 域 的 方 法 与 规律 经
过教 师 的 适 时 引 导 点 拨 学 生 探究 出




己巳

有 的 知 识 经验脱 节 这 节课 的


题多 解 如 问

设 计 起 点 低 考 虑 到 学生 巳 经 会 用 诱 导 公 式 两 角 和
与 差 的 正余 弦公式 二 倍 角 公 式 等 能 处 理 二 次 函 数
、 、


激发 了 他 们 的学 习 兴 趣 与 热 情 从 中 获 得 了 成 功 的 喜 悦 自 然
题 或 多题


问题

解 如问题


问题



反 比例 函 数 对勾 函 数的值 域 问 题 由 基础 题 开 始 随

地提升 了 他 们 的 数 学 思 维 能 力 通 过 学 生 的




述 板



着 问 题 的 逐 步 提 出 其类 型 由




次 到二次 再到分式

演 讨 论 等形 式 学 生 的 思 考 过程 得 以 充 分 地 展示 体

等 所设 计 醜 个 顺 雜 不 大 顏 腳 及 動 知
识 点 都 是基

■巾 —





■駄多 是 碰 与 学生



的 问 题 教师绝 不 越 俎 代 庖 学 生 能 说 的 内 容 教 师








定 不 说 在 学生 思 维 受


教 师进 行科 学地 引 导 点






拨 和 讲解 体 现 教 师 的 主 导 作 用 本 课既 不 是 完 全




学 生 掌 控 的 热 热 讓 的 课 堂 表 演 也 不 是 教师 的 教 学 思 路 驗学 生 賴 賴 糊 题 与 学 生 胆 动





酣解 赃 脏

隨 隨 麵 步 深人



实现 了

中 引 起 思 维 的 碰 撞 与 共 鸣 使 其 知 识 结 构更加 系 统

种 动 态 的 平衡 教 师 通 过 追 问 反 问 补 问 等 方 式 引 导

化 同 时他 们 思 维 能 力 也 会 潜 移 默 化 地 得 以 提 升 本
课 为学 生 的 数学 学 习 打 开 了


学 生 用 数学 的 方式 思 考 问 题 让学 生 在 变 式 中 积 极 探 索 将 知 识 方法 进 行 了 内 化 实 现 了



扇 门 尤其是 给 基 础 较




主认 知 从而


薄 弱 的 学 生 增 加 了 学 习 的 信心

有 效 地 提 高 课 堂教 学效 果


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