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竞赛课件8:功与能


? 方法 A
利用图象求功之方法适用于当力对位移的关 系为线性时;或在表示力对位移关系的F-s示功图 中F(s)图线与s轴围成的图形“面积”有公式可 依时;因为在F-s示功图中,这种“面积”的物理 意义就是功的大小. F

W 0

x

s

锤子打木桩,锤每次从同一高度落下,每次均有

80%的能 量传给木桩,且木桩所受阻力f与插入深度x成正比,试求木桩每次打入的深度 比.若第一次打击使木桩插入了全长的1/3,全部插入须锤击多少次?

专题8-例1

本题中的阻力f为一与位移x成正比的变力,即f=kx

图中各阴影“面积” 表示第1、2、F 3……次锤击中,木桩克服阻力作 的功,数值上等于锤传给木桩的 能量,设为W0.
由图

示功图

0

W0

W0 W0

……
l x

2 2 2 2 x1 : x2 : x3 : : xn ? W0 : 2W0 : 3W0 : nW0 x1 : x2 : x3 : : xn ? 1: 2 : 3 : n ?x1 : ?x2 : ?x3 : : ?xn ? 1: 2 - 1 : 3 ? 2 : n ? n ? 1 l 当xn=l时,由 3? 1 n ? 9 ? 次? x1 : xn ? 1: n l n

x1 x2 x3

?

??

? ?

?

2的力的作用,从x=0处移 某质点受到 F =6 x 专题8-例2 到x=2.0 m处,试求力F做了多少功?

本题中的变力F与位移x成F=6x2关系,F-x图线为抛物线

图中 “面积” 表示F力作的功 “面积” 由阿基米德公式

示功图
F/N
24

S弓

由示功图得F力作的功

2 ? ? 底? 高 3 1 ? S弓 2

W 0
2

W ? S矩

x/m

1 2 ? ? ? ? 2 ? 24 ? ? ? 4 ? 24 ? J 2 3 ? ?

? 16 J

如图所示,一质量为m,长为l的柔软绳索,一部分平直地放在 桌面上,另一部分跨过桌面边缘的光滑定滑轮下垂,柔绳与桌面间的摩擦因数为 μ.⑴柔绳能由静止开始下滑,求下垂部分长度至少多长?⑵由这一位置开始运动, 柔绳刚离开桌面时的速度多大?

x0

⑴设柔绳恰由静止开始下滑时下垂部分长度为x0,则由 ? m m x

1 2 2 2 WG ? W f ? mv mg ll ? m x0 x0 m 2 lg ? x0 g 其中,重力功等于绳重力势能减少 WG ? 2l l l 2 2 m 摩擦力为线性变力: F f ? ? xg 示功图 ? mg 2l Ff Wf ? l ? x0 ? ? 2l2 m 2 2 ? ? l ? x0 ? g g l ? x0 ? g l ? x ? ? 0 l 2

⑵柔绳恰由静止开始下滑至以v离开桌面,由动能定理

l

g ? ? ? l ? x0 ?

l

g x0min ?

1? ?

l

?

?

v ?

?

l

??

v?

gl l 1? ?

Wf

0

l-x0

x

一质点的质量为m,被固定中心排斥,斥力的大小 F=μmr ,其中 r 为质点离开此中心的距离.在开始时, r0=a , v0=0 , 求质点经过位移a时所达到的速度大小. 斥力为线性变化力!

2 ? ma

F

示功图

对示功图求梯形阴影“面积” ?ma 1 3 W ? ? m ? a ? 2a ? ? a ? ? ma 2 0 2 2
对质点经过位移a的过程,由动能定理

WF a 2a

r

3 1 2 2 ? ma ? mv 2 2

v ? a 3?

跳水运动员从高于水面H=10 m的跳台自由落下,运动员的质 量m=60 kg,其体形可等效为长度l=1.0 m、直径d=0.30 m的圆柱体,略去空气 阻力,运动员入水后水的等效阻力F作用于圆柱体下端面,F量值随入水深度y变化 如图,该曲线近似为椭圆的一部分,长轴和短轴分别与OY和OF重合,为了确保运 动员绝对安全,试计算水池中水的h至少应等于多少?

其中阻力功根据示功图为四分之一个椭圆 1 5mg “面积” :

mg ? H ? h? ? W浮 ? W阻 ? 0 ? 0 5mg/2

对全过程运用动能定理:

F

示功图
W阻
Y

W阻 ?

入水过程中,浮力随入水深度y作线性变化 F浮 ?

4

??

2

?h

0

? W浮 ? ? gl ? ? h? l? ? ? g? ld 2 4 ?2 ? 4 ?d2 ? 1 ? 5? m ? 10 ? h ? ? ? l h? ?? mh ? 0 ? 4 ? 2? 8

?d2 ? l

?g

?d2
4

y

h

F浮

示功图
1 ? gl? d 2 ?? ? W浮 ?l 2 4

160 ? 3? h? m? 16 ? ? ? 1?

4.9 m

0

Y

l

? 方法 B
如果在某一位移区间,力随位移变化的关系 为F=f(s) ,求该变力的功通常用微元法,即将位 移区间分成n(n→∞)个小区间s/n,在每个小 区间内将力视为恒定,求其元功Fi· s/n ,由于功 是标量,具有“可加性”,那么总功等于每个 小区间内元功之代数和的极限,即变力在这段 n 位移中所做的功为:

W ? lim

Wi ? n ??
i ?1

在数学上,确定元功相当于给出数列通项 式,求总功即求数列n项和当n→∞时的极限.

半径等于r的半球形水池,其中充满了水,把池内 的水完全吸尽,至少要做多少功? 沿着容器的竖直直径,我们将水池内的水均匀细分成n 层,每一元层水的高度 ?h ? r

专题8-例3

每一层水均可看作一个薄圆柱,水面下第i层 2 r 水柱底面的半径 ? ? 2
ri ? r ? ? i ? ? n?

n

1 2

r
i

r ri

这层水的质量

将这层水吸出至少应做的元功是 Wi 将池水吸尽至少要做的功是
? i W ? lim ?Wi ? ? g? r ? 2 ? 4 ? n?? n ? ? i ?1 ?n ?
n 4

? 2 ? r ?2 ? r mi ? ?? ? r ? ? i ? ? ? ? n? ? ? ? ? n

? 2 ? r ?2 ? r r ? ?? ? r ? ? i ? ? ? g ? i n ? n? ? ? ? ? n 3 ? i

? ? g? r lim

?1 ? ? g? r lim ? 2 ? 1 ? 2 ? 3 ? n ?? ? n ? 1 n ? n ? 1? 4 ?
4
n ?? ? n 2

? n? ?

1 n
4

?1

3

?2 ?3 ?

3

3

?

?

2

2 n2 ? n ? 1? ? ? ? 4? 4 ? n ?

1

1 4 ? ? g? r 4

? ?n ? ?
3

?

一个质量为m的机动小车,以恒定速度v在半径为 R的竖直圆轨道绕“死圈”运动.已知动摩擦因数为μ,问在小车从 最低点运动到最高点过程中,摩擦力做了多少功? y 小车沿竖直圆内轨匀速率运动到最 高点的过程中,由于轨道支持力是变力, B ? NB 故而摩擦力为一随位置变化的力! n ? ? N 2 A 当小车运动在A处元圆弧段时 x v ? O? N A ? mg sin? A ? m mg n 2 A

专题8-例4

B

B

A

?v R ? ? g sin ? f A ? ? N A ? ?m ? ? A? ? R ? ? 摩擦力在A处元功为

?A

当小车运动在与A关于x轴对称的B处元圆弧段时 2

? v2 ? ? R ? WA ? ? m ? g sin ? ? ? ? ? i ? ? A i ? ? n R n ? ?

mg

v N B ? mg sin? B ? m R

续解

摩擦力在B处元功为

? v2 ? fB ? ? N B ? ?m ? ? R ? g sin ? B ? ? ? ?

查阅

v2 ? R Wi ? WA ? WB ? 2 ? ? m ? R n 摩擦力在半圆周轨道上的总功 n / 2 1 W ? lim ? ? 2 ?? mv 2 ? n ?? i ?1 n
计算水平直径以下段摩擦力的功:
n/ 2

小车在关于水平直径对称的轨道两元段上摩擦力元功之和为

? v2 ? ?R WB ? ? m ? ? g sin ? ? ? B ? R ? n ? ?

?? mv

2

? v2 ? ? ?R W下 ? lim ? ? m ? ? g sin i ? ? ? ? n?? R n? n i ?1 ? n/ 2 n/ 2 v2 ? R ? ? ?R ? ? ? ?m ? ? lim ? ? ? mg sin i ? ? R n n?? i ?1 ? n? n i ?1

续解

n/ 2 v2 ? R ? ? ?R ? W下 ? ? ? m ? ? lim ? ? ? mg sin i ? ? n?? R n n? n i ?1 i ?1 ? 2 n ?? mv 2 ? n ?? ? ? n? /2 n ?? mv ? ? ? sin 2 ? ? ? ? ? mgR lim ? sin ? ? ? sin ? ? ? ? ? ? mgR sin i n ? ? n??lim 2 ? n n 2 n n ? ? ? ? n?? n ? ? 2 n n n? n?? 2 i ?1 sin ? ? sin ? 2 n ?? mv ? 4 n 4 n ? ? ? ? mgR lim ? ? n?? n 2 n n/ 2

W下 ?

2n n ? n? 2 ? 2sin ? ? sin ? n ?? mv 2 4 n 4 n ? ? ? ? mgR lim ? n?? 2 n sin 三角数列a ? sin n? 前n项和 2 n 2n

sin

?? mv
2

? ? mgR

水平直径以上段摩擦力的功:

W上 ?

? n n?1 sin ? sin ? 2 2nS ? 2 2 n

?? mv sin ?
2

2 ? mgR ?

将木板在水平地面上绕其一端转动角α,求所需要 做的功.木板长度为 L,质量为M,木板与地面之间的动摩擦因数 为μ.

M L Wi ? ? g?i ? n n n 则对木板的功 n 1 M L W ? lim ? ? ? g ? i ? ? ? MgL? lim ? i 2 n?? n ?? n n i ?1 i ?1 n 1 1 n ? n ? 1? ? ?? MgL ? ? MgL? lim ?
n ??

F fi ? ? g n L 元摩擦力做功的位移为 xi ? i ? ? n 摩擦力对i段做的元功为

将板沿板长均分为n(n→∞)等份 M 各元段摩擦力为
i
1 2

L n

?

i

xi

n2

2

从一个容器里向外抽空气,直到压强为p.容器上 有一小孔,用塞子塞着.现把塞子拔掉,问空气最初以多大速率冲 进容器?设外界大气压强为p0,大气密度为ρ.

设小孔截面积为s,打开塞子 后孔外侧厚度为Δx的一薄层空气 在内、外压强差作用下冲入容器, 获得速度v0,由动能定理:

p0
p

s
Δx

1 2 ? P0 ? P ? S ? ?x ? 2 ? S ? ?x ? v
v0 ? 2 ? p0 ? p ?

?

? 方法 C

这种求功方法依据功对能量变化的量度关系, 只须了解初、未能量状态,得到能量的增量便 是相应的功量.

W ? ?E

专题8-例5

如图所示,一质量分布均匀的粗绳长2a,质量为2m, 两端悬于水平天花板上相距为a的两点而悬垂静止,其重心位于 天花板下方b处.现施一力于绳之最低点C并将绳拉直至D点,求拉 力所做的功.

由于拉力做功,使绳之重心高度变化因而重力势 能变化,重力势能的增量即为所求拉力功量.
由几何关系拉直后两段绳的重心位置距天花

由功能原理,拉力功为

? 3 ? ?E p ? 2mg ? b ? h? ? 2mg ? ?b? 4 a? ? ? ?

重力势能增加了

a 3 h ? ? cos 30 ? a 2 4
C

h h D

? 3 ? W ? ?E p ? 2mg ? b ? a? ? ? 4 ? ?

专题8-例6 一质量为m的皮球,从高为h处自由下落(不计空气
阻力),反弹起来的高度为原来的3/4,要皮球反弹回h高处,求 每次拍球需对球做的功 在球与地面接触期间,地面对球的弹力对球做负功, 使球的动能减少.地面对球的弹力功是变力功! 3 1 从h高度自由下落再反弹 W1 ? mgh ? mgh ? mgh 的全过程,地面弹力功W1: 4 4 从h高度拍下再反弹原高 的全过程,地面弹力功W2:

W2 ? W拍 ? mgh ? mgh ? W拍

牛顿碰撞定律:若两球碰撞前速度依次为v10、v20,碰 撞后速度为v1、v2,则碰撞后两者的分离速度v2- v1与 碰撞前两者的接近速度v20- v10成正比,比值e称恢复 系数(或反弹系数),比值由两者的质料决定,即

v 2 ? v1 e? v 20 ? v10

续解

从h高下落未速度即与地接近速度:

1 2 由mgh ? mv自接近 2
1 2 由W拍 ? mgh ? mv拍接近 2

v自接近 ? 2 gh
v拍接近 ? 2W拍 m
3 gh 2

? 2 gh

从地面反弹的起跳速度即与地分离速度:

3h 1 2 由mg ? mv自分离 v自分离 ? 4 2

同一球与同一地面碰撞,恢复系数相同: 3 gh 2 gh v自分离 v拍分离 2 ? e? ? 2W拍 v自接近 v拍接近 2 gh ? 2 gh m

1 2 由mgh ? mv拍分离 v拍分离 ? 2 gh 2

1 W拍 ? mgh 3

如图所示,有两个薄壁圆筒.半径为R的圆筒绕自己的轴以角速 度ω转动,而另一个圆筒静止.使两圆筒相接触并且它们的转轴平行,过一会儿, 由于摩擦两圆筒开始作无滑动的转动.问有多少机械能转换成内能?(两圆筒的 质量分别为m1、m2)

这种变化是因为两者间有大小 相等的一对力作用,这对力做功使 系统机械能(动能)转换成内能 !
对系统,由动能定理: 1 2 Q ? m1 R? ?

根据题意,一段时间内m1线速度从 ωR→ ω1R,而m2线速度从0 → ω2r= ω1 R

ω R

ω1

m1

m2

又,由牛顿第二、三定律,一对力大小相等:

2

?

?

m1 m2 1 2 2 2 ? m1 ? m2 ?? R?1 ? ? 2 m ? m R ? 2 ? 1 2?

F21 ? m1 ?

?? R ? ?1 R?
t

?1 R ? ? m1 ? ? F12 ? m2 1 m1 ? m2 t

功是力的空间积累作用,能是对物体运动的一种量 度.功的作用效应是使物体的能量状态发生变化,做功 的过程就是物体能量转化的过程,转化了的能量都可以 由做功的多少来量度,这是我们对功与能之间关系的基 本认识,是我们从能量角度解决运动问题的依据.

? 功能关系基本认识

功能关系的具体认识 ?借助功与能的具体对应关系,对运
⑴选定研究的对象与过程;

功能对应 规律

动的功的量度问题作出正确的操作.
⑵确定有哪些力对研究对象做了正功或负功,以代数 和的形式完成定理中等号左边对合外力的功的表述; ⑶分析所研究过程的初、未两状态的动能,完 示例 成等号右边对动能变化的表述 ;

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※外力(可以是重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力或其它 力)做的总功量度动能的变化: ?W ? Ekt ? Ek 0 动能定理

※重力功量度重力势能的变化:Wg ? E pg 0 ? E pgt
※弹力功量度弹性势能的变化:WQ ? E pq 0 ? E pqt ※引力功量度引力势能的变化: WG ? E pG 0 ? E pGt ※电场力功量度电势能的变化: WQ ? E pe 0 ? E pet ※非重力弹力功量度机械能的变化:

势能定理

W非 ? Et ? E0

功能原理

(W非可以是摩擦力功、电场力功、安培 力功或其它非重力、弹簧弹力的功)

如图示,一水塔的蓄水箱底离地面的高度H0=20 m, 其横断面是半径R=2 m的圆.储水深h=1 m,如果用装在高H1=5 m 处、截面积为2 cm2的水龙头放水,问需要多久才能将水放完? 根据题意,水箱中的水从底部截面积为S的 n 小孔流出,若流速为vi,则时间ti内的水流量 Qi= vi ti S;总储水全部流尽的时间应为

专题8-例7

t?
2 h ??R ? n

? ti ? ?
i ?1

n

n

i ?1

Qi vi Sv

i

速? 每层水放出时间的通项式为

h? ? 小孔流 ? 2 gh ? 2 g ? H0 ? ih? H 1 ?i ? 2
?R h
n

2 1

n?

hi

h? ? 2 g ? H 0 ? h ? H1 ? i ? ? S n? ? 2 全部水箱储水放尽的总需时为

t ? lim ?
n?? i ?1

n

?R h n

h? ? 2 g ? H 0 ? h ? H1 ? i ? ? ? S n? ?

续解

1 ? lim ? ? S 2 g n?? i ?1 n
?

? R2 h

n

1 h? ? ? H 0 ? h ? H1 ? i ? n ? ? n ?
1
1 2

查阅

? R2 h
S 2 g ? H 0 ? h ? H1 ?

1 lim ? ? n?? i ?1 n
?

n ? 1 ? 1 ? ? lim ? ? ? 1 ? i ? ? n ?? 16n ? S 2g i ?1 n ?

? ? h ? ?1 ? i ? n? H ? h ? H ? ? ? 0 1 ? ?

n ? 1 ? 1 1 ? ? lim ? ? ? 1 ? i ? ? n ?? 2 16n ? S 2g i ?1 n ? n ? ? ? 1 1 n ?1 ? n? ? lim ? 2 ? 1 ? 2 ? ? n?? ? ?1 ? 2 S 2 g ? 32 n?? i ?1 n ?

?1 ? x ? ? ?1

?

? 1?? x x
3

1?

? ? S 2g

? 65 1? ? ? ? 1 ? ? 4 ? 64 ? 2 ? 10 20 64 ? ?

3.6 ? 10 s
示例

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1 2 P水 S ? ?x ? ? 水 S ? ?x ? v 2 P水 ? ? 水 gH
v ? 2 gH

设小孔处一小片厚Δx、面积S的液 片,在内外压力之合力作用下获得 速度v而离开小孔,由动能定理:

PP 0

P+ PP P水 0+ 水

P0

1 2 ? P ? P0 ? S ? ?x ? ? 水 gH ? S ? ?x ? 2 ? 水 S ? ?x ? v ? P ? P0 ? 1 2 v ? 2? ? gH ? P ? P0 ? ? 水 gH ? ? 水 v ? ? ? ? 水 ? 2

质量为m的小球以某一初速度竖直上抛,若运动中所 受阻力Ff=kv ,最大阻力为重力的0.44倍,试求小球上升的最大高度 H及落回抛出点时的速度vt.

专题8-例8 2

本题通过元过程的动能定理,用微元法求得终解! 本题研究过程中有重力功与阻力功,其中阻力功 为耗散功,且为一按指数规律变化的力!
取上升过程中的某一元过程:该过程小球上升了高度H/n(n→ ∞),速度 从vi减少为vi+1,各元过程中的阻力可视为不变为 合外力
2 F ? mg ? kv ? i i

F fi ? kvi2

根据动能定理,对该元过程有

?

mg ? kvi2 ?

2kH 1? ? 2 即 nm mg ? kvi 2 2 ? mg ? kv 22 mg ? kv ? ? 2kH i ?1 mg ? kvi ? mg ? kv 2kH i ?1 i ?1 ? 1? 对该式变形有 ? 2 nm 续解 nm mg ? kvi mg ? kv 2

H 1 ? m vi2 ? vi2?1 n 2 2 2 vi ? vi ? 1 2H ? 2 nm mg ? kv i

?

?

?

1? ? lim ? 1 ? ? ? e x ??? ? x?
mg ? vi2?1

x



mg ? kvi2?1 mg ? kvi2

2kH ? 1? 知 在各相同的上升高度H/n微元中,合外 nm 力大小成等比数列递减、因而动能的增 量是成等比数列递减的,其公比为

对上式两边取极限:

? 则? ? ?

mg ? kvi2?1 mg ? kvi2
? lim ? n ?? ? ?
2 kH m

? 2kH ? ? ? 2kH ? ?1? ? ? ? ?1? ? ? nm ? ? nm ? ? ?
n

n

? nm ? ? 2 kH ??

? ? 2 kH ? ? ?? ? m ? ?? ?

e

?

m 6 m 1 ln1.44 ? ln 0.44 mg H ? ? 2k k 5 1.44

2 0 mg ? kv i ?1 mg ? kvi2

? 2kH ? ? lim ? 1 ? ? ? ? n?? ? nm ? ?

n

? nm ?? ?? 2 kH

? ? 2 kH ? ? ?? ? ? m ? ??

同理,对下落过程由 mg ? kv 2 ? i

?

?

2kH ? 1? 对此式两边取n次方当n→∞极限: 2 nm nm 2 kH mg ? kv n i ? 2 ? ? mg ? kv0 2 kH m 2kH ? ? i ?1 lim ? ? lim ? 1 ? ? ? 2 2 ? ? 续解 n ?? n ?? nm ? kv t mg ? kv ?

mg ? kvi ?1

H 1 ? m vi2 ? vi2?1 n 22

?

?

mg mg ? kvt2

?

2 kH e m

查阅

m mg H ? ln 2k mg ? kv t2

mg mg ?
vt ?
由题给条件
2 kv t

? 1.44

0.44 mg 1.44 k

2 kv0

? 0.44mg
5 vt ? v0 6

小球落回抛出点时的速度是抛出时速度的六分之五

一质点在光滑的固定半球面上距球心高度为H的任意 点P,在重力作用下由静止开始往下滑,从Q点离开球面,求PQ两 点的高度差h.

专题8-例9

本题除重力外无非保守力的功,机械能守恒! 设球半径为R P
由机械能守恒:
h

v2 mg sin ? ? m R 由几何关系: H ?h sin ? ? R

Q点动力学方程为:

1 mgh ? mv 2 2

R

H?

Q v
?

H ? R 2mgh mg ? R R

mg

若质点从球顶部无初速滑下,则可沿球面滑下R/3的高度,释放高 度H越小,沿球面滑下的高度越短.这是一个有趣又有用的模型.

H h? 3

如图甲所示,把质量均为m的两个小钢球用长为2L的线连接, 放在光滑的水平面上.在线的中央O作用一个恒定的拉力,其大小为F,其方向沿 水平方向且与开始时连线的方向垂直,连线是非常柔软且不会伸缩的,质量可忽 略不计.试求:⑴当两连线的张角为 2θ时,如图乙所示,在与力F垂直的方向上 钢球所受的作用力是多少?⑵钢球第一次碰撞时,在与力F垂直的方向上,钢球 ⑴在如示坐标中分解力F 的对地速度为多少?⑶经过若干次碰撞,最后两个钢球一直处于接触状态下运动, 试求由于碰撞而失去的总能量为多少? 在与F垂直方向上线对钢球的力大小为

F F y ? tan ? 2 ⑵设钢球第一次碰撞时沿F方向速度为vx, O 垂直于F方向速度为vy,设力F的位移为x, 由动能定理

y F

θ θ

O F F x

在x方向上:

vx FL F x ? L ? ? 2 vy ? F ? 2ma ? 2m v ? x 2 ? x ? L? m m ⑶达到终态时,两球vy=0,F总位移X,有 FX ? 2 ? 1 mv 2 ? ?E X

1 2 2 2 Fx ? 2 ? m v 2 ? v ? mv ? mv x y x y 2 2

?

?

Fy




F FX ? m ? 2 ? X ? L? ? ?E 2m

?E ? FL

2

军训中,战士距墙S0以速度v0起跳,如图所示,再用脚蹬墙面一 次使身体变为竖直向上的运动以继续升高,墙面与鞋底之间的静摩擦因数为μ.求 能使人体重心有最大总升高Hmax的起跳角θ.

1 2 2 2 2 mgh1 ? m ? v0 ? v2 ? ? v0 ? v ? v θ 2 1 H ? 2g mgh2 ? mv ?2 2 2 2 2 ? ?v ? ? v0 cos? ? ? ? v0 sin? ? gt ? 由矢量图所示关系: ? s0 ? ? v? ? ?v0 cos? ? ? v0 sin? ? gt ?
其中 t ?
? 1 ? 2 2 2? ?1 1 ? ? ?? 1 ? ? ? v0 cos ? ? ? tan ? ? 2? gs0 ? 2g ? ?? ? ? 2 2

设抵达墙时战士速度为v,蹬墙后速 度为v′,各矢量间关系如示, 从起跳至上升至最高H处,由机械能守恒:

v?

v0

v

S0

v0
gt v θ

v0 cos ? 1 2 2 ? H? v0 ? sin ? ? ? cos ? ? ? 2? gs0 ? ? 2g ?
1

当? ? tan

?1

?

时 H max

1? ? ?v ? ? 2g

tan?1 ?

v?

0

? ? s0

质量为M、长为l的板放在冰面上,在板的一端坐着质量为m的 小猫它要跳到板的另一端,问小猫对冰面的最小速度 v0min 应为多少?小猫为使跳 到板的另一端所消耗的能量最少, 问它的初速度v0应该与水平面成多大角α?

猫消耗能量E耗,使猫及木板获得初动能: E耗 ?
v0 cos ? V m ?M t t m cos ? ?V ? v0 M

起跳时间Δt内m与M间水平方向相互作用力大小相等,故有

1 1 2 mv0 ? MV 2 2 2

2v0 sin ? 猫从跳离板一端到落至板另一端历时由竖直方向分运动得 t ? g 这段时间内猫对板的位移应满足 l ? ? v0 cos ? ? V ? t

2v0 sin ? 0? M g 2 2 Mgl 2 m cos ? Mgl 2 v0 ? V ? ? ? M ? m ? 2sin ? cos ? M2 ? M ? m ? 2sin ? cos ? mgl E耗 ? ?? ? M ? m ? cot ? ? M tan ? ? ? ? 4? M ? m?
利用基本不 当 tan ? ? 等式性质 :
M?m 时 M

M ? m ? cos ? ? ? v

E耗 min

mgl M ? 2 M?m

如图所示,厚度不计的圆环套在粗细均匀、长度为L的棒的上端 两者质量均为m,圆环与棒间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力,大小为一常数,为 kmg(k>1).棒能沿光滑的竖直细杆AB上下滑动,棒与地碰撞时触地时间极短, 且无动能损失.设棒从其下端距地高度为H处由静止自由下落,与地经n次碰撞后 圆环从棒上脱落⑴分析棒第二次碰地以前的过程中,环与棒的运动情况,求出棒 ⑴由机械能守恒,棒第一次碰地以前速度 2 gH 与环刚达到相对静止时,棒下端距地高度h;⑵求出 n、k、L、H四个量应满足的 关系. 棒与地相碰后瞬时速度大小不变、方向向上,加速度为 ? k ? 1? g 向下 环速度 2 gH 环加速度 ? k ? 1? g 向上

棒与环相对初速度 v相 ? 2 2 gH

向下相对加速度 a相 ? 2kg 向上
2 v相

A

棒与环相对静止时相对位移x1 ?
环与棒的共同速度

从棒从地面向上到与环相对静止的过程中,一对摩擦 力做负功,重力分别对环、棒做负功,由动能定理:
? 2 gH 2H 2H ? 1 ? ? kmg ? ? mgh ? mg ? h ? ? ? ? 2m ? ? k k k ? 2 ? ?

v相 2H 2H 历时 t ? ? 2a相 k a相 k2g 2 gH V1 ? 2 gH ? ? k ? 1? gt ? k ?

kmg

L

1 1 2 ? kmg ? x1 ? mgh ? mg ? h ? x1 ? ? ? 2mV1 ? ? 2m 2 2 2

?

2 gH

?

2

k ?1 h? 2 H k

? 1 ? ? 2m ? ? 2 ?

mg
2 gH

H B 2 gH

?

?

2

? k ? 1? mg 2 gH

续解

查阅 ⑵棒与环一起以V1自由下落h至第二次落地时速度仍由机械能守恒

1 k ?1 1 2 2 2mV1 ? 2mg 2 H ? 2mv 2 ? v2 ? 2 2 k 2
此后棒与环相对滑动

x2

2v2 ? ? ? 2a相

2

? 2 gH ? ? ?2 k ? ? ? ? 2H ?? 2 ? 2kg k2

2 gH k

2H xi ? i k 则若在碰n次后环脱离棒,n、k、L、H四个量应满足的关系:

1 ?1 1 2H ? ? 2 ? 3 ? k ?k k

1 ? 1 ?1 1 < L < 2H ? ? 2 ? 3 ? n ?1 ? k k ? ?k k

1 ? n ? k ?

k n ?1 ? 1 L kn ? 1 ? < n ?1 n n n ?1 2H k ? k k ?k

钢球沿着光滑的长梯弹跳,在每一级台阶上仅跳一次,如图所 示.每次与台阶碰撞时,球要损失η=50%的机械能.试求小球抛出时的初速度 v 及其与竖直线的夹角φ.(梯子台阶的高度h=10cm,宽l=20cm) 根据题意,第一次与平台碰撞前后有

h 1 ? 2 2 mgh ? m ? v落 ? v起 ? 2 2 v起 ? 2 gh v落 l 1 1 2 2 mv落 ? 50% ? mv起 2 2 v ? 4 gh ? 2 m/s l 由水平方向的匀速运动得钢球每一次飞行时间 t ? ? v落 sin ? v起 cos ? ? v落 cos ? ? gt v落 2 说明起跳速度 gt ? 2 v t cos ? ? 2 h ? 0 1 2 落 变为水平,除 ? h ? v起 t cos ? ? gt ?1 钢球落在拐点 1 另 ? ? tan 1 2 ? 1 代入数据整理后得

每次跳起到落到下一台阶的过程中,有

1 1 2 2 2 mv ? 50% ? mv 起 ? v起 ? v 2 2 2

v

φ ? v起

v起 v起

3 tan ? ? 4 tan ? ? 1 ? 0
2

? ? tan

3

情况外,应舍 去此解

? 元功法
取元功作微元,以功能原理为基本依据求 得一类物理问题解答的方法,我们称之为“元 功法”.这种解法所循基本原理是分析力学中 的“虚功原理”,由伯努利首先提出的.用元 功法可以处理某些平衡问题,且颇为简单.

? 元功法处理平衡问题基本思路

取与原平衡状态逼近的另一平衡状态,从 而虚设一个元过程,此过程中所有元功之和为 零,以此为基本关系列出方程,通过极限处理, 求得终解.

如图所示,质量为m、长度为l的均匀柔软粗绳, 穿过半径R的滑轮,绳的两端吊在天花板上的两个钉子上,两钩间 距离为2R,滑轮轴上挂一重物,重物与滑轮总质量为M,且相互间 无摩擦,求绳上最低点C处的张力.

专题8-例10

分析粗绳、滑轮和重物构成的系统的受力情况 分析绳之一半的受力情况 设想在A处以力TA将ABC段绳竖直向上拉过一极小距离Δx

本题用元功法求解!

TA A

1 TA ? ? m ? M ? g 2

Δx O

?W A ? TA ? ?x m ? l ?? R ? ?E ? ?x ? g ? ? R ? ? l 2 ? ?

?WC ? ?TC ? ?x

l ??R ?R 2

由功能原理

B

R
TC

1 m l ?? R? ? ? m ? M ? g ? ?x ? Tc ? ?x ? ? ?xg ? R ? ? 2 l 2 ? ?

C

Tc ?

Ml ? m ?? ? 2? R 2l

g

(M+m)g

三足置于一光滑水平面上,且恒成一正三角形,现用一绳圈套在三足支架的三足上, 使其不能改变与竖直线间的夹角,设三足支架负重为G,试求绳中张力FT.

专题8-例11如图示,一轻三足支架每边长度均为l,每边与竖直线成同一角度,
本题用元功法求解!
分析支架的受力情况 a? 设想支架各边足部在绳合力作用下向正 Δy ?? a 三角形中心移动一极小位移 Δx: a 支架每个足部绳合力元功 θ

?WT ? 3FT ? ?x

负重重力势能增量 ?E p ? G ? ?y Δx与Δy几何关系如示 : 当Δx→0, Δθ →0, a??b? ? ab??
b??

FN
??

G Δy
3FT

FT

?x sin? ? ?y cos? ?y ? ?x ? tan? b b? 由功能原理 Δx 3 ? 3FT ? ?x ? G ? ?x ? tan ?

3FT

FT ?

G 3 3

tan?

如图所示的曲柄连杆机构中,设曲柄端A上所受的竖 直力为Q,由活塞D上所受的水平力P维持平衡,试用元功法求P与Q 的比值.图中α、β为已知. 设想设活塞D(即连杆的B端) 以速度v通过一微小位移Δx, 与此同时,连杆A端以速度vAΔyA 绕C点通过一小段弧 Q α

D

vA 与v杆约束相关关系如示 C vA v cos ? 由 ? 得v A ? v sin ? 90? ? ? ? sin ?? ? ? ? sin ?? ? ? ? vn 在力P发生水平位移Δx的时间内,力Q发生的竖

β

v

Δx
90 ? ?

B

P

v

?cos y ? cos ? ? cos ? ?y ? v A ?t ? cos ? ? ? v? ?? t ? cos ? x si? nx ?? ? ?sin ? ?? ? ? ? 由元功法得 P cos ? ? cos ?

直位移为

A

α -β
α C1

vA方向与曲柄 CA垂直,且是与B 相同的水平速度v 及对B点的转动速 度vn的矢量和

P ? ?x ? Q ? ?y Q ? sin ?? ? ? ? ? tan ? ? tan ?

β

v
B

如图所示,均匀杆OA重G1,能在竖直面内绕固定轴O转动, 此杆的A端用铰链连住另一重G2的均匀杆AB,在AB杆的B端施一水平力F,试用元 功法求二杆平衡时各杆与水平所成的角度α及β. O x

l1 cos ? l1 sin ? x1 ? y1 ? 2 2 l2 cos ? l2 sin ? x2 ? l1 cos ? ? y2 ? l1 sin ? ? 2 2 x3 ? l1 cos ? ? l2 cos ? y3 ? l1 sin ? ? l2 sin ?
设想水平力使AB杆的B端移动极小位移Δx3

分析连杆的受力情况

?

? x1 , y1 ?
A

?

G1 G2

? x 2 , y2 ?
Bx , y ? 3 3?

F

y?? ? ? cos ? ? 则?x3 ? l1 ? ?cos ?? ? ?? ? ? cos? ? ? ? l2 ? ?cos ? ? ? ? l1 sin ? ? ?? ? l2 sin ? ? ?? l l 同时,G1、 ?y ? 1 ?sin ? ? sin ?? ? ?? ? ? 1 cos ? ? ?? 1 ? 2 2? G2力沿力方 l2 向的极小位 ?y2 ? l1 ? ?sin ? ? sin ?? ? ?? ? ? ?? 2 ? ?sin ? ? sin ? ? ? ?? ? ? ? l2 移各为: l1 cos ? ? ?? ? cos ? ? ?? 续解

由元功法得

查阅

F ? ?x3 ? G1 ? ?y1 ? G2 ? ?y2

F ? ? l1 sin ? ? ?? ? l2 sin ? ? ?? ? ?

将各力的微小位移代入:

l1 ? ? ? l2 ? ? Fl1 sin ? ? G1 2 cos ? ? G2 l1 cos ? ? ? ?? ? ?G2 2 cos ? ? Fl2 sin ? ? ? ?? ? ? ? ?

l1 l2 ? ? G1 ? cos ? ? ?? ? G2 ? ? l1 cos ? ? ?? ? cos ? ? ?? ? 2 2 ? ?

该等式成立须 l1 Fl1 sin? ? G1 cos ? ? G2 l1 cos ? ? 0
l2 G2 cos ? ? Fl2 sin ? ? 0 2

2

G1 ? 2G2 ? tan ? ? ? ? 2F ? ?tan ? ? G2 ? ? 2F


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