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2012年湖南省高中数学竞赛试卷(版)


2012 年湖南省高中数学竞赛试卷(B 卷)
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 6 分,共 60 分,每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1.已知集合 M ? ?? x, y ? x ? y ? 2? , N ? ?? x, y ? x ? y ? 4? 那么集合 M
N 为(



?x

? 3 A. ? ? y ? ?1

B. ? 3, ?1?

C. ?3, ?1?

D. ?? 3, ?1??

? x ? 1 ( x ? 0), ? 2.已知 f ( x) ? ?? ? x ? 0? , 则 f f ? ? f ? ?1? ? ? ? ? ? x ? 0?. ?0 A. ?? B. ? C. ?? ? 1

?

?



) D. ? ? 1 )

3.周长相同的正三角形、正方形、正六边形的面积分别是 S3 , S4 , S6 ,则 ( A. S3 ? S4 ? S6 B. S6 ? S4 ? S3
1?? ?1? 2
n

C. S6 ? S3 ? S4 的值 ( )

D. S3 ? S6 ? S4

4.若 n 是自然数,则 k ? n ? ? n ? 1?
2

A.一定是偶数

B.一定是奇数 C.是偶数但不是 2

D.可以是偶数也可以是奇数

5.设全集 U ? ? x 1 ? x ? 6, x ? N? , A ? ? 2, 3, 4? ,若 CU ( A ? B) ? {1,2,3,5,6} ,则集合 B 可以为 ( ) B. ?3,4,5? C. ?4,5,6? D. ?2,6,7? A. ?2,3,4?

6.函数 y ? f ? x ? 4? 的图象过点 ? ?2,3? ,则函数 y ? f ? x ? 的图象关于 y 轴对称的 图形一定过点 A. ? 2, ?3? ( B. )

? ?2,3?
1 3 ? 17 2

C.

? ?3, ?3?


D.

? ?3,3?


7.方程 x2 ? 3 x ? 2 ? 0 的最小根的负倒数是 A. ?1 B.

8.已知 M ? y y ? x 2 A. ?? 0,1? , ?1, 2 ??

?

1 3 ? 17 ? D. ? 3 ? 17 ? ? C. 1 ? 2 4 ? 1, x ? R? , N ? ? y y ? x ? 1, x ? R? ,则 M N 等于 (

?



B. ?0,1?

C. ?1, 2?

D. ?1, ?? ?

9. 设 定 义 在 R 上 的 函 数 f ? x ? 满 足 f ? x? f? x 且 f ?1? ? 503 , 则 ? 2? ? ? 2 0 1 2,
高中数学竞赛试卷(B) 1(共 4 页)

f ? 2013? 的值等于 (
A. 503 B. ?503

) C. 4 D. ?4

* 10. 函 数 f ? x ? 是 ? 0, ??? 上 的 单 调 递 增 函 数 , 当 n ? N * 时 , f ? n? ? N ,且

f

? f ? n? ? ? 3 n,则 f ?1? 的值等于





A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题(本大题 4 个小题,每小题 6 分,共 24 分,请将正确的答案填在横 线上) 11.设
1 的整数部分是 a ,小数部分是 b ,则 a 2 ? 1 ? 7 ab 的值为 3? 7

?

?

12.在正实数集上定义一个运算 ? ,其规则为:当 a ? b 时,a ? b ? ba ;当 a ? b 时,
a ? b ? b2 .根据这个规则,方程 4 ? x ? 16 的解是
1 ? 2 的最小值是 x 14.如图所示,一次移动是指:从某一格开始只能移动到 邻近的一格,并且总是向右或右上或右下移动,而一条 移动路线由若干次移动构成,如: 1 ? 2 ? 3 ? 5 ? 7 就是一条移动路线,则从 1 到 7 共有移动路线 条.

13.设 x 为正实数,则函数 y ? x 2 ? x ?

三、解答题(本大题 5 个小题,共 66 分,要求解答有必要的过程.) 15.(本小题满分 12 分)

? x ? 2 ? x ? ?1? , ? ? f ? x ? ? ? x2 ? ?1 ? x ? 2 ? , 且 f ? a? ? 3, 求 a . 已知函数 ? ? ?2 x ? x ? 2 ? .

高中数学竞赛试卷(B) 2(共 4 页)

16. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,已知 AD 是 BC 边上的中线,求证: AD ?
1 ? AB ? AC ? . 2

17. (本小题满分 14 分)
8 天,需支付 18000 元;若由乙、 11 3 11 丙两队共同承建需要 3 天, 支付费用 16800 元; 由甲、 丙两队共同承建需要 2 13 12 天,支付费用 16100 元.在保证一周内完成工程任务的前提下,选择哪个队单独 承建所需费用最少?

某项工程,由甲、乙两队共同承建需要 2

18. (本小题满分 14 分)

高中数学竞赛试卷(B) 3(共 4 页)

设 f ? x ? ? x2 ? px ? q , A ? x x ? f ? x ? , B ? x f ? ? f ? x ?? ??x , (1)求证: A ? B ; (2)如果 A ? ??1,3?,求 B .

?

?

?

?

19. (本小题满分 14 分)

? y ? x3 ? ax2 ? bx 已知 a , b 是实数, 关于 x, y 的方程组 ? 有整数解 ? x, y ? , 求 a, b 满 ? y ? ax ? b
足的关系式.

高中数学竞赛试卷(B) 4(共 4 页)


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