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广东省2015年高考一轮复习备考试题:数列


广东省 2015 年高考一轮复习备考试题:数列
一、选择题: 1、(2014 茂名二模)已知数列{an}是等差数列,a2=2,a5=8,则公差 d 的值为( A. )

1 2

B. ?

1 2

C.2

D.-2

2、(2014 揭阳二模)已

知等差数列 ?an ? 中, a2 ? 6 ,前 7 项和 S7 ? 84 ,则 a6 等于 A.18 B. 20 C.24 D. 32

3、(2015 广州海珠区综合测试一)设等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S2 ? 3, S4 ? 15, 则 S6 ? A.31 B.32 C.63 D.64 ) 4.(2015 珠海 9 月摸底)等比数列 {an } 中, a3 ? ?3 ,则前 5 项之积是( A. 3
5

B. ? 3

5

C. 3

6

D. ? 3

6

5.(珠海一中等六校 2014 高三第三次联考)若一个等差数列前 3 项和为 3,最后 3 项和为 30,且 所有项的和为 99,则这个数列有( ) A.9 项 B.12 项 C.15 项 D.18 项 6. 如图 2 所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”, 它们是由整数的倒数组成的, 第 n 行有 n 个

1 ? n≥2? ,每个数是它下一行左右相邻两数的 数且两端的数均为 n

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? 和,如 1 2 2 , 2 3 6 , 3 4 12 ,…,
则第 10 行第 4 个数(从左往右数)为( )

1 A. 1260
二、填空题:

1 B. 840

1 C. 504

1 D. 360

7 、 ( 2014 广 东 高 考 ) 若 等 比 数 列 ?a

n

? 的各项均为正数,且
? ln a20 ?

a10 a11 ? a9 a12 ? 2e 5 ,则

ln a1 ? ln a2 ?

8. (2013 广东高考)在等差数列 ?an ? 中,已知 a3 ? a8 ? 10 ,则 3a5 ? a7 ? _____.
2 9. (2012 广东高考)已知递增的等差数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , a3 ? a2 ? 4 ,则 an ? ______________.

10.(2011 广东高考)等差数列 {an } 前 9 项的和等于前 4 项的和.若 a1 ? 1 , ak ? a4 ? 0 ,则

k?
三、解答题



11、(2014 广东高考)设数列 ?an ? 的前 n 和为 Sn ,满足 Sn ? 2nan?1 ? 3n2 ? 4n, n ? N * ,且 S3 ? 15 . (1)求 a1 , a2 , a3 的值; (2)求数列 ?an ? 的通项公式.

12、(2013 广东高考)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn .已知 a1 ? 1 , (Ⅰ) 求 a2 的值; (Ⅱ) 求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ) 证明:对一切正整数 n ,有

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N* . n 3 3

1 1 ? ? a1 a2

?

1 7 ? . an 4

13、 (2012 广东高考) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 满足 2Sn ? an?1 ? 2n?1 ? 1 ,n ? N* , 且 a1 、a2 ? 5 、

a 3 成等差数列.
(Ⅰ )求 a1 的值; (Ⅱ )求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ )证明:对一切正整数 n ,有

1 1 ? ? a1 a2

?

1 3 ? . an 2

14、(2015 广州六中第一次质检)已知数列 ?an ? 中, a1 ? 3 ,前 n 项和 S n ? (Ⅰ)设数列 {bn } 满足 bn ?

1 (n ? 1)(an ? 1) ? 1 . 2

an ,求 bn ?1 与 bn 之间的递推关系式; n

(Ⅱ)求数列 ?an ? 的通项公式.

15. (2015 广州海珠区综合测试一)已知公差不为 0 的等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S5 ? 25 , 且 S1 , S2 , S4 成等比数列. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2) bn ?

1 n ? N ? ? ,证明:对一切正整数 n ,有 b1 ? b2 ? ? Sn

? bn ?

7 . 4

2 16、(2015 广东七校摸底考试)已知各项均为正数的数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 an ? an ? 2Sn .

(1)求 a1 (2) 求数列 {an } 的通项; (3) 若 bn ?

1 an

2

(n ? N ? ) , Tn ? b1 ? b2 ? ........? bn ,求证: Tn <

5 3

答案 1、C 2、A 3、C 4、B 7、50 8、20

5、D

6、B 10、10

9、 an ? 2n ? 1

11、解:(1)当 n ? 1 时, a1 ? 2a2 ? 7 ① 当 n ? 2 时, a1 ? a2 ? 4a3 ? 20 ②

S3 ? a1 ? a2 ? a3 ? 15 ③
由①②③解得 a1 ? 3, a2 ? 5, a3 ? 7 (2)当 n ? 1 时, Sn ? 2nan?1 ? 3n2 ? 4n ①

Sn?1 ? 2 ? n ?1? an ? 3? n ?1? ? 4 ? n ?1? ②
2

①—②化简得 2nan?1 ? ? 2n ?1? an ? 6n ?1 (当 n ? 1 时也成立) 方法 1:(凑配) 令 2n ? ? an ?1 ? A ? n ? 1? ? B? ? ? ? 2n ? 1? ? an ? An ? B ? ,求得 A ? ?2,B ? ?1 即

2n ? ? an ?1 ? 2 ? n ? 1? ? 1? ? ? ? 2n ? 1? ? an ? 2n ? 1?
令 bn ? an ? 2n ?1 ,则 2nbn?1 ? ? 2n ?1? bn ,即 bn ?1 ?

2n ? 1 bn 2n

因为 b1 ? 0, b2 ? 0, b3 ? 0 ,故必有 bn ? 0 ,即 an ? 2n ? 1 方法 2:(数学归纳法)由(1) a1 ? 3, a2 ? 5, a3 ? 7 ,猜想 an ? 2n ? 1, 下面用数学归纳法证明对 ?x ? N ? , an ? 2n ? 1 : 当 n ? 1, n ? 2, n ? 3 时,成立 假设当 n ? k 时成立,即有 ak ? 2k ? 1 , 2kak ?1 ? ? 2k ?1? ak ? 6k ?1 当 n ? k +1 时, 2kak ?1 ? ? 2k ?1?? 2k ?1? ? 6k ?1 ? 4k ? 6k
2

所以 ak ?1 ?

4k 2 ? 6k ? 2k ? 3 ? 2 ? k ? 1? ? 1 ,成立 2k

综上所述,对 ?x ? N ? , an ? 2n ? 1

1 2 2 S1 ? a2 ? ? 1 ? 3 3 ,又 S1 ? a1 ? 1 ,所以 a2 ? 4 ; 12、(Ⅰ) 依题意,

1 2 2Sn ? nan ?1 ? n3 ? n 2 ? n 3 3 , (Ⅱ) 当 n ? 2 时,
2Sn ?1 ? ? n ? 1? an ? 1 2 3 2 ? n ? 1? ? ? n ? 1? ? ? n ? 1? 3 3
1 2 3n 2 ? 3n ? 1? ? ? 2n ? 1? ? ? 3 3 an ?1 an a2 a1 ?1 ? ?1 n 1 ,又 2

两式相减得

2an ? nan ?1 ? ? n ? 1? an ?

? n ?1? an ? nan?1 ? n ? n ?1? ,即 n ? 1 ? 整理得

? an ? an a1 ?1 ? 1 ? ? n ? 1? ? 1 ? n ? ? a ? n2 . 故数列 ? n ? 是首项为 1 ,公差为 1 的等差数列,所以 n ,所以 n 1 7 1 1 1 5 7 ?1? ? ? 1? ? ? a 4 ;当 n ? 2 时, a1 a2 4 4 4; (Ⅲ) 当 n ? 1 时, 1
当 n ? 3 时,

1 1 1 1 1 ? 2? ? ? an n ? n ? 1? n n ? 1 n


1 1 ? ? a1 a2 1 1 1 1 ? ? 1? ? 2 ? ? an 4 3 4 1 1 ?1 1? ?1 1? ? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n 4 ? 2 3? ? 3 4? 1? ? 1 ?? ? ? ? 1? 1 ? ? n ?1 n ? 4
? n ? ? n ?
2



1 1 ? ? a a2 n 1 综上,对一切正整数 ,有

?

1 7 ? an 4 .

13、解析:(Ⅰ )由

?2a1 ? a2 ? 3 ? ?2 ? a1 ? a2 ? ? a3 ? 7 ? ?2 ? a2 ? 5 ? ? a1 ? a3

,解得 a1 ? 1 .

n n ?1 n (Ⅱ )由 2Sn ? an?1 ? 2 ? 1 可得 2Sn?1 ? an ? 2 ? 1 ( n ? 2 ),两式相减,可得 2an ? an?1 ? an ? 2 , n a ?2 即 an?1 ? 3an ? 2 ,即 n ?1

n ?1

? 3? an ? 2n ?

,所以数列

?a

n

? 2n ?

( n ? 2 )是一个以 a2 ? 4 为首项,

n n?2 n n 3 为公比的等比数列.由 2a1 ? a2 ? 3 可得, a2 ? 5 ,所以 an ? 2 ? 9 ? 3 ,即 an ? 3 ? 2 ( n ? 2 ), n n a 当 n ? 1 时, a1 ? 1 ,也满足该式子,所以数列 ? n ? 的通项公式是 an ? 3 ? 2 .

( Ⅲ) 因 为 3 ? 3
n

? n1

? 2? 3

? n1

? 2? 2
n

? n1

? ,2 所 以 3 ? 2?
n n n

?1n

3 , 所 以

1 1 ? an 3n ?1

, 于 是

1 1 ? ? a1 a2

?

1 1 ?1? ? an 3

?1? 1? ? ? n 1 3 ? ?1? ? 3 3 ? n ?1 ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? 1 3 2? ? 2 ? ?3? ? 1? 3 .

下面给出其它证法. 当 n ? 1 时,

1 3 ?1? a1 2

;当 n ? 2 时,

1 1 1 3 ? ?1? ? a1 a2 5 2

;当 n ? 3 时,
n ?3

1 1 1 1 1 3 ? ? ?1? ? ? a1 a2 a3 5 19 2

.

当 n ? 4 时,

1 ? bn an

1 1 ? ? a1 a2

?

1 1 1 ?1? ? ? an 5 19

3 ? ?1? ?1 ? ? ? 32 ? ? ?2? 1 1? 2

? ? ? ?

? 1?

1 1 3 3 ? ? ? 5 19 16 2

,所以

.

综上所述,命题获证.

下面再给出

1 1 ? ? a1 a2

?

1 3 ? an 2

的两个证法.

法 1:(数学归纳法) ① 当 n ? 1 时,左边

?

1 ?1 a1

,右边

?

3 2 ,命题成立.

② 假设当 n ? k ( k ? 2 , k ? N )时成立,即

?3
i ?1

k

i

1 3 ? i ? 2 2 成立.为了证明当 n ? k ? 1 时命题也成立,

1 1 1 ? ? i i ?1 3 3 ? 2i ( i ? 1 , i ? N ). 我们首先证明不等式: 3 ? 2
i ?1

1 1 1 1 1 ? ? i ? i ?1 i ?1 i ?1 i ?1 i i ?1 i i ?1 i ?1 3 3 ? 2 ,只需证 3 ? 2 3 ? 3 ? 2i ,只需证 3 ? 2 ? 3 ? 3 ? 2 ,只需证 要证 3 ? 2
i ?1

1 1 1 ? ? ?2i ?1 ? ?3 ? 2i ,只需证 ?2 ? ?3 ,该式子明显成立,所以 3i ?1 ? 2i ?1 3 3i ? 2i .
于是当 n ? k ? 1 时, i ?1 立. 综合① ② ,由数学归纳法可得,对一切正整数 n ,有

?3

k ?1

i

k ?1 1 1 1 1 k 1 1 3 3 ? ?? i ?1? ? i ?1? ? ? i i ? 2 3 ? 2 i ?2 3 ? 2 3 i ?1 3 ? 2i 3 2 2 ,所以命题在 n ? k ? 1 时也成

1 1 ? ? a1 a2

?

1 3 ? an 2

.

备注:不少人认为当不等式的一边是常数的时候是不能用数学归纳法的,其实这是一个错误的认识. 法 2:(裂项相消法)(南海中学钱耀周提供) 当 n ? 1 时,

1 3 ?1? a1 2

显然成立.当 n ? 2 时,
n

1 1 1 3 ? ?1? ? a1 a2 5 2

显然成立.

1 2 a ? 3n ? 2n ? ?1 ? 2? ? 2n ? 1 ? Cn ? 2 ? Cn ? 22 ? 当 n ? 3 时, n

n ?1 ? Cn ? 2n?1 ? 2n ? 2n

1 2 ? 1 ? Cn ? 2 ? Cn ? 22 ?

n ?1 2 ? Cn ? 2n?1 ? Cn ? 22 ? 2n ? n ? 1?

,又因为

a2 ? 5 ? 2 ? 2? ? 2 ? ? 1 ,所以

an ? 2n ? n ? 1?
1 1 1 ? ? ? a1 a2 a3

( n ? 2 ),所以

1 1 1? 1 1? ? ? ? ? ? an 2n ? n ? 1? 2 ? n ? 1 n ?
?

( n ? 2 ),所以

?

1 1? 1 1 1 ? 1 ? ?1 ? ? ? ? an 2? 2 3 4

1 1? 1? 1? 3 ? ? ? 1 ? ?1 ? ? ? n ?1 n ? 2? n? 2

.

综上所述,命题获证.

14、解: (1) ∵ S n ? ∴ an?1 ? Sn ?1 ? Sn ?

1 (n ? 1)(an ? 1) ? 1 2

∴ S n ?1 ?

1 (n ? 2)(an ?1 ? 1) ? 1 2
----------4 分

1 [(n ? 2)(an ?1 ? 1) ? (n ? 1)(an ? 1)] 2

整理得 nan?1 ? (n ? 1)an ?1 , 等式两边同时除以 n( n ? 1) 得

an ?1 an 1 ? ? , ----7 分 n ? 1 n n(n ? 1)

即 bn ?1 ? bn ?

1 n(n ? 1)

-------8 分

由(1)知 bn ?1 ? bn ? 所以

a a 1 1 即 n ?1 ? n ? n(n ? 1) n ? 1 n n(n ? 1)

an an an ?1 an ?1 an ? 2 a a a ? ? ? ? ? ? 2? 1? 1 n n n ?1 n ?1 n ? 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ?1? 3 n n ?1 n ?1 n ? 2 n ? 2 n ? 3 2 1 ? ?2 n
得 an ? 2n ? 1 ---------14 分

15、

2 16.解:(1)令 n ? 1 ,得 a1 ? a1 ? 2S1 ? 2a1 ,? a1 ? 0 ? a1 ? 1 ………2 分

2 (2)又 an ? an ? 2S n ………① 2 有 an ?1 ? an?1 ? 2S n?1 ………… ②……………………3 分

②-①得 an?1 ? S n?1 ? S n …………………4 分

(an?1 ? an )(an?1 ? an ? 1) ? 0 ? an ? 0 ? an?1 ? an ? 0 ∴ an?1 ? an ? 1 ……………………6 分 ∴ an ? 1 ? 1? (n ? 1) ? n …………………………8 分 5 (3)n=1 时 b1 =1< 符合………………………9 分 3
n ? 2 时,因为 1 ? 2
n
所以

1 1 n2 ? 4

?

4 1 ? ,………………………………11 分 ? 1 ? 2? ? ? 2 n ? 1 2 n ?1? 4n 2 ? 1 ?

?k
k ?1

n

1
2

1 1 ? 2 5 ?1 1 ? 1 ? 2? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ………….13 分 2n ? 1 2n ? 1 ? 3 3 ?3 5
5 …………………………14 分 3

∴ Tn ? b1 ? b2 ? ........? bn <


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