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江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学2014-2015学年高一上学期暑期检测数学试卷(创新班) Word版含解析


2014-2015 学年江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学高一(上) 暑期检测数学试卷(创新班)
一、填空题: (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,把答案填写在题中横线上) 1.如果 U={0,1,2,3,4},A={0,2,3},B={1,3,4},那么(CUB)∩A=__________. 2.已知角 α 的终边经过点 P(﹣6m,8m) (m<0

) ,则 2sinα+cosα 的值是__________.

3.若函数 a0+a2+a4+…+a2014=__________.

是奇函数,则

4.设 P 和 Q 是两个集合,定义集合 P﹣Q={x|x∈P,且 x?Q},如果 P={x|log2x<1},Q={x|1 <x<3},那么 P﹣Q 等于__________.

5. f x) f 1+x) =f f 2) f 1) f π) 已知 ( 是二次函数, 且满足 ( (1﹣x) , 若( >( , 那么 ( 、 f(3)按由小到大的次序为__________.



6.lg20+log10025

的值为__________.

7.已知函数 f(x)是奇函数,且当 x>0 时, 解析式为__________.

,则当 x∈R 时,f(x)的

8.f(x)=x2+2(m﹣1)x+2 在区间(﹣∞,4]上单调递减,则 m 的取值范围是__________.

9.若

=2,则 2sinθcosθ=__________.

10.集合 A={a,b,c},B={﹣1,0,1},映射 f:A→B 满足 f(a)﹣f(b)=f(c)那么映 射 f:A→B 的个数是__________. 11.定义在 R 上的函数 f(x)满足:对任意 x,y∈R,均有 f(x+y)=f(x)+f(y) ,且当 x >0 时,f(x)>0,f(2)=2,则 f(x)在[﹣3,3]上的最大值为__________.

12.函数



上为增函数,则 p 的取值范围为__________.

二、解答题: (本大题共 5 小题,共 90 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) 13.已知集合 A={1,2},集合 B={x|x<a},集合 M={x|x2﹣(1+m)x+m=0}. (Ⅰ)若 A∩B=A,求 a 的取值范围; (Ⅱ)若 m>1,求 A∪M.

14. (24 分)已知 (1)求 sin3θ+cos3θ 的值; (2)求 cosθ﹣sinθ 的值; (3)求 tanθ 的值.



15. (14 分)已知函数 (1)求实数 a 使函数 f(x)为偶函数? (2)对于(1)中的 a 的值,求证:f(x)≤0 恒成立.



16.已知 x、y 为锐角,



,求 tan(x+2y)的值.

17.某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为 3 元,并且每件产品需向总公司交 a 元(2≤a≤5)的管理费,预计当每件产品的售价为 x 元(9≤x≤11)时,一年的销售量为(12 ﹣x)万件. (Ⅰ)求分公司一年的利润 L(万元)与每件产品的售价 x 的函数关系式; (Ⅱ) 当每件产品的售价为多少元时, 分公司一年的利润 L 最大, 并求出 L 的最大值 Q (a) .

2014-2015 学年江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学高 一(上)暑期检测数学试卷(创新班)
一、填空题: (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,把答案填写在题中横线上) 1.如果 U={0,1,2,3,4},A={0,2,3},B={1,3,4},那么(CUB)∩A={0,2}. 【考点】交、并、补集的混合运算. 【专题】计算题. 【分析】求出集合 B 的补集,然后求解交集即可. 【解答】解:因为 U={0,1,2,3,4},B={1,3,4},那么 CUB={0,2}, 所以(CUB)∩A={0,2,3}∩{0,2}={0,2}. 故答案为:{0,2}. 【点评】本题考查集合的基本运算,考查计算能力. 2.已知角 α 的终边经过点 P(﹣6m,8m) (m<0) ,则 2sinα+cosα 的值是﹣1. 【考点】任意角的三角函数的定义. 【专题】三角函数的求值. 【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义,求得 sinα、cosα 的值,可得 2sinα+cosα 的 值. 【解答】解:根据角 α 的终边经过点 P(﹣6m,8m) (m<0) , 可得 cosα= = ,sinα= =﹣ ,

∴2sinα+cosα=﹣ + =﹣1, 故答案为:﹣1. 【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义,属于基础题.

3.若函数

是奇函数,则

a0+a2+a4+…+a2014=0. 【考点】函数奇偶性的性质. 【专题】计算题;函数思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】由奇函数的性质得 f(1)+f(﹣1)=a0+a2+a4+…+a2014=0. 【解答】解:∵函数 ∴f(﹣x)+f(x)= ∴f(1)+f(﹣1)=a0+a2+a4+…+a2014=0. 故答案为:0. 【点评】 本题考查函数值的求法, 是基础题, 解题时要认真审题, 注意函数性质的合理运用. + 是奇函数, =0,

4.设 P 和 Q 是两个集合,定义集合 P﹣Q={x|x∈P,且 x?Q},如果 P={x|log2x<1},Q={x|1 <x<3},那么 P﹣Q 等于(0,1]. 【考点】交、并、补集的混合运算. 【专题】计算题;新定义. 【分析】解对数不等式求出 P,再利用 P﹣Q 的定义求出 P﹣Q. 【解答】解:∵P={x|log2x<1}={x|0<x<2},Q={x|1<x<3}, ∴P﹣Q={x|0<x≤1}. 故答案为 (0,1]. 【点评】本题主要考查对数不等式的解法,集合的表示方法,P﹣Q 的定义,属于基础题.

5. f x) f 1+x) =f f 2) f 1) f π) 已知 ( 是二次函数, 且满足 ( (1﹣x) , 若( >( , 那么 ( 、 f(3)按由小到大的次序为 .



【考点】二次函数的性质. 【专题】计算题. 【分析】根据 f(x)是二次函数,且满足 f(1+x)=f(1﹣x) ,可知 f(x)的对称轴为 x=1, 然后研究函数的单调性,根据函数的单调性可得 f(π) 、 、f(3)的大小关系.

【解答】解:∵f(x)是二次函数,且满足 f(1+x)=f(1﹣x) , ∴f(x)的对称轴为 x=1 根据二次函数的单调性可知在(﹣∞,1)上单调,在(1,+∞)上单调 而 f(2)>f(1) , ∴函数 f(x)在(﹣∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增 因 f(1+x)=f(1﹣x) ,令 x=﹣ 得 f(﹣ )=f( ) 而 3<π< ,在(1,+∞)上单调递增 ∴f(3)<f(π)<f( ) ∴ 故答案为: 【点评】本题主要考查了二次函数的性质,以及转化的思想,同时考查了运算求解的能力, 属于基础题.

6.lg20+log10025

的值为﹣6.

【考点】对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 【专题】计算题. 【分析】利用对数的运算性质 = logab 与有理数指数幂的运算性质化简即可.

【解答】解:∵ ∴原式=lg20+lg5﹣8 =lg100﹣8 =2﹣8 =﹣6. 故答案为:﹣6.

=log105=lg5,

=24×0.75=23=8,

【点评】 本题考查对数的运算性质与有理数指数幂的运算性质的应用, 掌握这些运算性质是 化简的关键,属于基础题. 7.已知函数 f(x)是奇函数,且当 x>0 时, ,则当 x∈R 时,f(x)的

解析式为 f(x)=



【考点】函数奇偶性的性质. 【专题】计算题;函数的性质及应用. 【分析】要求函数的解析式,已知已有 x>0 时的函数解析式,只要根据题意求出 x<0 及 x=0 时的即可,根据奇函数的性质容易得 f(0)=0,而 x<0 时,由﹣x>0 及 f(﹣x)=﹣f (x)可求. 【解答】解:设 x<0,则﹣x>0 ∵当 x>0 时, ,∴f(﹣x)=﹣

由函数 f(x)为奇函数可得 f(﹣x)=﹣f(x) ∴f(x)=﹣f(﹣x)= ∵f(0)=0 ,x<0

∴f(x)=



故答案为:f(x)=



【点评】 本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数的解析式, 解题中要注意函数的定义域 是 R,不用漏掉对 x=0 时的考虑. 8.f(x)=x2+2(m﹣1)x+2 在区间(﹣∞,4]上单调递减,则 m 的取值范围是(﹣∞,﹣ 3]. 【考点】二次函数的性质. 【专题】计算题. 【分析】由二次函数的性质可求 f(x)的单调递减区间为(﹣∞,1﹣m],由 f(x)在区间 (﹣∞,4]上单调递减,结合二次函数的性质可求 m 的范围.

【解答】解:f(x)=x2+2(m﹣1)x+2 的对称轴为 x=1﹣m 故函数 f(x)的单调递减区间为(﹣∞,1﹣m] 又∵f(x)在区间(﹣∞,4]上单调递减, ∴(﹣∞,4]为(﹣∞,1﹣m]子区间 ∴1﹣m≥4 ∴m≤﹣3 故答案为: (﹣∞,﹣3] 【点评】 本题主要考查了二次函数的性质的简单应用, 解题的关键是由对称轴确定二次函数 的单调递减区间

9.若

=2,则 2sinθcosθ= .

【考点】同角三角函数基本关系的运用. 【专题】计算题;三角函数的求值. 【分析】先求出 tanθ=3,再利用 2sinθcosθ= 结论. 【解答】解:∵ ∴tanθ=3, ∴2sinθcosθ= 故答案为: 【点评】本题考查同角三角函数基本关系的运用,考查学生计算能力,利用 2sinθcosθ= = 是关键. = = , =2, = ,代入即可得出

10.集合 A={a,b,c},B={﹣1,0,1},映射 f:A→B 满足 f(a)﹣f(b)=f(c)那么映 射 f:A→B 的个数是 7. 【考点】映射. 【专题】计算题. 【分析】根据条件可知 f(b)+f(c)=f(a) , 所以分为 3 种情况:0+0=0 或者 0+1=1 或者 0+ (﹣1)=﹣1 或者﹣1+1=0,然后找出满足条件的映射即可. 【解答】解:因为:f(a)∈B,f(b)∈B,f(c)∈B,且 f(b)+f(c)=f(a) , 所以分为 3 种情况:0+0=0 或者 0+1=1 或者 0+(﹣1)=﹣1 或者﹣1+1=0. 当 f(a)=f(b)=f(c)=0 时,只有一个映射; 当 f(a)为 0,而另两个 f(b) 、f(c)分别为 1,﹣1 时,有 A22=2 个映射. 当 f(a)为﹣1 或 1 时,而另两个 f(b) 、f(c)分别为 1(或﹣1) ,0 时,有 2×2=4 个映射. 1+2+4=7 因此所求的映射的个数为 . 故答案为:7 【点评】 本题主要考查了映射的概念和分类讨论的思想. 这类题目在高考时多以选择题填空 题的形式出现,较简单属于基础题.

11.定义在 R 上的函数 f(x)满足:对任意 x,y∈R,均有 f(x+y)=f(x)+f(y) ,且当 x >0 时,f(x)>0,f(2)=2,则 f(x)在[﹣3,3]上的最大值为 3. 【考点】奇偶性与单调性的综合;函数的最值及其几何意义. 【专题】计算题. 【分析】先设 x1<x2,通过 f(x2)=f[(x2﹣x1)+x1]=f(x2﹣x1)+f(x1)来判断 f(x2) 与 f(x1)的大小关系;得到其单调性,再通过赋值即可得到结论. 【解答】解:设 x1,x2∈R,且 x1<x2,则 f(x2)=f[(x2﹣x1)+x1]=f(x2﹣x1)+f(x1) ∴f(x2)﹣f(x1)=f(x2﹣x1) , ∵x2﹣x1>0,由题意得 f(x2﹣x1)>0,即 f(x2)>f(x1) ∴f(x)在 R 是增函数; 又∵f(2)=2?f(1)+f(1)=f(2)=2f(1)?f(1)=1 ∴f(3)=f(1)+f(2)=3. ∵f(x)在[﹣3,6]上是增函数, ∴f(x)max=f(3)=3 故答案为:3. 【点评】本题主要考查了函数奇偶性、单调性的判断,对于抽象函数奇偶性的判断一般采取 取特殊值的方法.

12.函数



上为增函数,则 p 的取值范围为



【考点】函数单调性的性质. 【专题】计算题. 【分析】由题意可得,当 x≥ 时,f′(x)=1﹣ ≥0 恒成立,即 ≤1 恒成立.p≤0 时显然

满足此条件,当 p 为正实数时,应有 x2≥p.再由 x≥ 可得 【解答】解:∵函数 ≥0 恒成立. 即 ≤1 恒成立. ≤1 成立. 在

≥p.综上可得,p 的取值范围.

上为增函数,则有当 x≥ 时,f′(x)=1﹣

显然当 p≤0 时,

当 p 为正实数时,x2≥p.再由 x≥ 时 x2 得最小值为 ,∴ ≥p. 综上可得,p 的取值范围为 故答案为 . ,

【点评】本题主要考查函数的单调性的应用,函数的单调性与它的导数的关系,函数的恒成 立问题,属于中档题.

二、解答题: (本大题共 5 小题,共 90 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) 13.已知集合 A={1,2},集合 B={x|x<a},集合 M={x|x2﹣(1+m)x+m=0}. (Ⅰ)若 A∩B=A,求 a 的取值范围; (Ⅱ)若 m>1,求 A∪M. 【考点】交集及其运算;集合关系中的参数取值问题. 【专题】计算题;分类讨论. 【分析】 (Ⅰ) 直接根据 A∩B=A 的等价结论 A?B 即可得到结果; (Ⅱ)先根据一元二次方程的解法求出集合 M,再结合并集的定义即可得到答案(注意分 情况求出集合 M) . 【解答】解(Ⅰ)因为集合 A={1,2},集合 B={x|x<a}, ∵A∩B=A ∴A?B?a>2; (Ⅱ)∵集合 M={x|x2﹣(1+m)x+m=0}={x|(x﹣1) (x﹣m)=0}. 当 m≠2 时,集合 M={1,m}; 当 m=2 时,集合 M={1,2}; ∴当 m≠2 时,A∪M={1,2,m}; 当 m=2 时,A∪M={1,2}. 【点评】本题主要考查集合的交并运算以及一元二次方程的求解,是对基础知识的考查,本 题的易错点在于集合 M 的写法.

14. (24 分)已知



(1)求 sin3θ+cos3θ 的值; (2)求 cosθ﹣sinθ 的值; (3)求 tanθ 的值. 【考点】同角三角函数基本关系的运用. 【专题】三角函数的求值. 【分析】 (1)原式利用立方和公式变形,利用同角三角函数间的基本关系化简,将已知等式 代入计算即可求出值; (2)原式平方后,利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系化简,将 sinθcosθ 的值代 入,开方即可求出值; (3)联立求出 sinθ 与 cosθ 的值,即可确定出 tanθ 的值. 【解答】解: (1)∵sinθ+cosθ= ①, , ;

∴(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ= ,即 sinθcosθ=﹣ 则原式=(sinθ+cosθ) (1﹣sinθcosθ)= (2)∵0<θ<π, ∴sinθ﹣cosθ>0, ∵(sinθ﹣cosθ)2=1﹣2sinθcosθ= , × =

∴sinθ﹣cosθ= , 则 cosθ﹣sinθ=﹣ ②; (3)联立①②,解得:sinθ= ,cosθ= ,

则 tanθ=

=﹣



【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用,熟练掌握基本关系是解本题的关键.

15. (14 分)已知函数 (1)求实数 a 使函数 f(x)为偶函数? (2)对于(1)中的 a 的值,求证:f(x)≤0 恒成立.



【考点】函数恒成立问题;函数奇偶性的性质. 【专题】综合题. 【分析】 (1)由题意可得, (﹣x)=f(x)对于任意的 x 都成立,代入可求 a (2)证明:当 a=﹣1 时,f(x)=x( ) ,分(i)x=0 时,f(x)=0, (ii)当 x>0

时,f(x)<0(iii)当 x<0 时,f(x)>0,综上可证 【解答】解: (1)∵ ∴f(﹣x)=f(x)对于任意的 x 都成立 ∴﹣x( )=x( ) 为偶函数

整理可得, (2+2a)?x=0 对于任意 x 都成立 ∴a=﹣1 (2)证明:当 a=﹣1 时,f(x)=x( (i)当 x=0 时,f(x)=0 (ii)当 x>0 时,2x+1>2 ∴ <0 )

∴f(x)<0 (iii)当 x<0 时,0<2x+1<2 ∴ >0

∴f(x)<0 综上可得,f(x)≤0 【点评】 本题主要考查了函数的奇偶性的定义的应用, 指数函数的性质在不等式的证明中的 应用

16.已知 x、y 为锐角,



,求 tan(x+2y)的值.

【考点】两角和与差的正切函数. 【专题】三角函数的求值. 【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式求得 tany、tan2y 的值,再利用 两角和的正切求得 tan(x+2y)的值. 【解答】解:∵x、y 为锐角, , ,∴cosy= = ,

tany=

= ,tan2y=

=

= ,

tan(x+2y)=

=

=



【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和的正切的应用,以及 三角函数在各个象限中的符号,属于基础题. 17.某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为 3 元,并且每件产品需向总公司交 a 元(2≤a≤5)的管理费,预计当每件产品的售价为 x 元(9≤x≤11)时,一年的销售量为(12 ﹣x)万件. (Ⅰ)求分公司一年的利润 L(万元)与每件产品的售价 x 的函数关系式; (Ⅱ) 当每件产品的售价为多少元时, 分公司一年的利润 L 最大, 并求出 L 的最大值 Q (a) . 【考点】函数模型的选择与应用. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】 (1)通过利润=销售量×售价,代入计算即可; (2)通过配方,考查对称轴的位置即可. 【解答】解: (1)L(x)=(x﹣3﹣a) (12﹣x) (9≤x≤11) ; (2) ∵2≤a≤5, ∴当 当 <9 即 2≤a<3 时,Q(a)=L(9)=18﹣3a, ≥9 即 3≤a≤5 时,Q(a)=L( )= , ,

∴Q(a)=



【点评】本题考查函数模型的选择与应用,分类讨论的思想,注意解题方法的积累,属于中 档题.


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