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高中数学必修5新教学案:3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域(1)


3.3.1

二元一次不等式(组)与平面区域
(第 1 课时)

(学案)

【知识要点】 1.二元一次不等式; 2.二元一次不等式的解集及其表示的图形. 【学习要求】 1.了解二元一次不等式组的相关概念,并能画出二元一次不等式(组)来表示的平面 区域; 2.培养画图能力和解决问题的能力.

>【预习提纲】 (根据以下提纲,预习教材第 82 页~第 85 页) 1.不等式 ?3 ? x ? 4 在数轴上的图形为 ,可见 一元一次不等式的解集可以表示为数轴上的区间. 2.(1) 二元一次不等式为 . (2)二元一次不等式组称为 (3)二元一次不等式(组)的解集称为 .有序实数对可以看成直角坐标平面内点的坐标.可见二元一 次不等式(组)的解集可以看成 . 3. 根据课本给出的实例,试用不等式来刻画资金分配的问题. 设用于企业贷款的资金为 x 元,用于个人贷款的资金为 y 元,则得不等式组为: . 【基础练习】 分别画出满足下列条件的点的集合. 1.

? x x ? 1? ; 2. ? x x ? 2?

; 3.

? x 1 ? x ? 3? ; 4. ?( x, y) 1 ? x, y ? R? ; 5.

?( x, y) x ? y ? 6? ;6. ?( x, y) x ? y ? 6? .
【典型例题】 例 1 画出 x ? 4 y ? 4 表示的平面区域. 例 2 如何确定 m 的范围使点 (1,2), (1,1) 在 3x ? y ? m ? 0 的异侧? 例 3 用平面区域表示不等式组 ?

? y ? ?3x ? 12 的解集. ? x ? 2y

1

? x ? y ? 5 ? 0, ? 【变式练习】1。画出不等式组 ? x ? y ? 0, 表示的平面区域. ? x?3 ?
2.画出不等式 ( x ? 2 y ? 1)(x ? y ? 4) ? 0 表示的平面区域.

1.已知 P (0,0), P2 (1,1), P3 ( , ) ,则在不等式 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 表示的平面区域内的点是 1

1 4 2 3

? ?.
? A?
P1 , P2

?B ?

P2

?C ?

P2 , P3

?D ?

P3 .

2.不等式 3x ? 2 y ? 6 ? 0 表示的区间在直线 3x ? 2 y ? 6 ? 0 的 ?

?.

? ? 右上方

?B ? 右下方

?C ?

左下方

?D ? 左上方

3.若点 O(0,0) 和 P(1,3) 在直线 x ? y ? a ? 0 的两侧,则 a 的取值范围为 ?

?.

? A?

?? 4,0?
2 2

?B ?

?? 3,1?

?C ?

?? 4,0?

?D ? ?? 4,0?

4.不等式 x ? y ? 0 表示的平面区域是 ?

?.

? A?

?B ?

?C ?
5.不等式组 ?

?D ?
?x ? y ? 1 ? 0 表示的平面区域的面积是 ? ? x ? 0, y ? 0.

?.

2

? A?

1 2

?B ? 1

?C ? 2

?D ? 4 .

6.如果函数的图象与轴有两个交点,则点在平面上的区域为下图的 ?

?.

? A?

?B ?

?C ?

?D ?

.

7. 已 知 点 P(2,?3), Q(3,2), 直 线 ax ? y ? 2 ? 0 与 射 线 PQ 相 交 , 则 实 数 的 取 值 范 围 是 .

? x ? y ? 0, ? 8.不等式组 ? x ? y ? 0 表示的平面区域的面积是 ?0 ? x ? 1, ?
9.写出表示下列平面区域的二元一次不等式组.

.

(1)

(2)

(3)

10. 在 ?ABC 中, A(3,?1), B(?1,1), C (1,3), ,写出区域所表示的二元一次不等式组. 11.试用不等式组表示由直线 x ? y ? 2 ? 0 ,错误!链接无效。和 2 x ? y ? 1 ? 0 围成的三角 形区域(包括边界). 12.求不等式 x ? y ? 1表示的平面区域的面积.

3

?x ? y ? 2 ? 0 ?5 x ? y ? 10 ? 0 ? 1. (2008 山东高考变式)设满足的约束条件 ? ,画出该不等式组所表示的平 ?x ? 0 ?y ? 0 ?
面区域.

4

必修 5 3.3 二元一次不等式(组)与平面区域
(第 1 课时)

(教案)

【教学目标】 1.了解二元一次不等式组的相关概念,并能画出二元一次不等式(组)来表示的平面 区域; 2.培养画图能力和解决问题的能力. 【重点】灵活运用二元一次不等式(组)来表示的平面区域 【难点】如何确定不等式 Ax ? By ? C ? 0(或<0)表示 Ax ? By ? C ? 0 的哪一侧区域

【预习提纲】 (根据以下提纲,预习教材第 82 页~第 85 页) 1.不等式 ?3 ? x ? 4 在数轴上的图形为 ,可见 一元一次不等式的解集可以表示为数轴上的区间. 2.(1) 二元一次不等式为含有两个未知数,并且未知数的次数为 1 的不等式. (2)二元一次不等式组称为 (3)二元一次不等式(组)的解集称为满足二元一次不等式(组)的 x 和 y 的取值构成有 序数对(x,y),所有这样的有序数对(x,y)构成的集合.有序实数对可以看成直角坐标平面内 点的坐标.可见二元一次不等式(组)的解集可以看成直角坐标系内的点构成的集合. 3. 根据课本给出的实例,试用不等式来刻画资金分配的问题. 设用于企业贷款的资金为 x 元,用于个人贷款的资金为 y 元,则得不等式组为:

, ? x ? y ? 25000000 ?12x ? 10 y ? 3000000 ? . ? x ? 0, ? ? y?0 ?
【基础练习】 分别画出满足下列条件的点的集合. 1.

? x x ? 1? ; 2. ? x x ? 2? ; 3. ? x 1 ? x ? 3? ; 4. ?( x, y) 1 ? x, y ? R? ; 5.

?( x, y) x ? y ? 6? ;6. ?( x, y) x ? y ? 6? .

解:1.

2.

5

3.

4.

5.

6.

【典型例题】 例 1 画出 x ? 4 y ? 4 表示的平面区域. 【审题要津】画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界,特殊点定域”的方 法.特别是,当 C ? 0 时,常把原点(0,0)作为测试点. 解:先作边界 x ? 4 y ? 4 (虚线) ,再取点(0,0)带入 x ? 4 y 得 x ? 4 y ? 0, 所以点 (0,0)满足 x ? 4 y ? 4 表示的平面区域. 【方法总结】画平面区域的基本步骤:先由直线定界,再由特殊点确定所求区域为直线 的哪侧;画平面区域时一定要注意边界是实线还是虚线. 例2 如何确定 m 的范围使点 (1,2), (1,1) 在 3x ? y ? m ? 0 的异侧?

【审题要津】由于直线 3x ? y ? m ? 0 把平面分成三部分,在它的同侧的区域所有点的 坐标代入 3x ? y ? m 后符号相同,因此要使两点在它的异侧,则代入后符号相异,由此得 关于 m 的不等式解之即可. 解 : 把 (1,2), (1,1) 代 入 3x ? y ? m 得 m ? 1, m ? 2, 因 为 两 点 在 它 的 异 侧 , 所 以

(m ? 1)(m ? 2) ? 0 即可,解之得 ? 2 ? m ? ?1, 故所求 m 的范围为 ? 2 ? m ? ?1.
【方法总结】直线 l : Ax ? By ? C ? 0 将平面分成两部分,则有“同正异负” , 即 ( 1 )

A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 )



l : Ax ? By ? C ? 0







? ? Ax1 ? By1 ? C ?? Ax2 ? By2 ? C ? ? 0 ;

6



2



A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 )



l : Ax ? By ? C ? 0







? ? Ax1 ? By1 ? C ?? Ax2 ? By2 ? C ? ? 0 ;
( 3 )

A( x1 , y1 )或B( x2 , y 2 )



l : Ax ? By ? C ? 0



? ? Ax1 ? By1 ? C ?? Ax2 ? By2 ? C ? ? 0 .
例 3 用平面区域表示不等式组 ?

? y ? ?3x ? 12 的解集. ? x ? 2y

【审题要津】 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集, 因而是 各个不等式所表示的平面区域的公共部分. 解:不等式 y ? ?3x ? 12 表示直线 y ? ?3x ? 12 下方的区域;不等式 x ? 2 y 表示直 线 x ? 2 y 上方的区域,取两区域重叠的部分即得原不等式组的解集.

? x ? y ? 5 ? 0, ? 【变式练习】1.画出不等式组 ? x ? y ? 0, 表示的平面区域. ? x?3 ?

解:

2、画出不等式 ( x ? 2 y ? 1)(x ? y ? 4) ? 0 表示的平面区域.

7

解:

1.已知 P (0,0), P2 (1,1), P3 ( , ) ,则在不等式 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 表示的平面区域内的点是 1

1 4 2 3

?C ? .

? A?

P1 , P2

?B ?

P2

?C ?

P2 , P3

?D ?

P3 .

2.不等式 3x ? 2 y ? 6 ? 0 表示的区间在直线 3x ? 2 y ? 6 ? 0 的 ?C ? .

? A? 右上方

?B ? 右下方

?C ?

左下方

?D ? 左上方

3.若点 O(0,0) 和 P(1,3) 在直线 x ? y ? a ? 0 的两侧,则 a 的取值范围为 ? D ? .

? A?

?? 4,0? ?B ?
2 2

?? 3,1?

?C ?

?? 4,0?

?D ? ?? 4,0?

4.不等式 x ? y ? 0 表示的平面区域是 ?B ? .

? A?

?B ?

?C ?
5.不等式组 ?

?D ?
?x ? y ? 1 ? 0 表示的平面区域的面积是 ? A ? . ? x ? 0, y ? 0.

8

? A?

1 2

?B ? 1

?C ? 2

?D ? 4 .

6.如果函数的图象与轴有两个交点,则点在平面上的区域为下图的 ?C ? .

? A?

?B ?

?C ?

?D ?

.

7. 已知 点 P(2,?3), Q(3,2), 直 线 ax ? y ? 2 ? 0 与 射线 PQ 相 交 ,则 实数 的取 值范 围是

4 1 ? 5 ? a或 ? 5 ? a ? ? 或 ? a . 3 2

? x ? y ? 0, ? 8.不等式组 ? x ? y ? 0 表示的平面区域的面积是 ?0 ? x ? 1, ?
9.写出表示下列平面区域的二元一次不等式组.

1

.

(1)

(2)

(3)

解: (1) x ? y ? 1 ? 0; (2) x ? 2 y ? 2 ? 0; (3)2 x ? y ? 0 . 10. 在 ?ABC 中, A(3,?1), B(?1,1), C (1,3), ,写出区域所表示的二元一次不等式组. 解 : 由 A(3,?1), C (1,3) 得 AC 方 程 为 2 x ? y ? 5 ? 0, 由 B(?1,1), C (1,3) 得 BC 方 程 为

x ? y ? 2 ? 0, 由 A(3,?1), B(?1,1) 得 AB 方 程 为 x ? 2 y ? 1 ? 0. ? ?ABC 的 区 域 表 示 为
9

? x ? 2 y ? 1 ? 0, ? ?2 x ? y ? 5 ? 0, . ? x ? y ? 2 ? 0. ? .
11.试用不等式组表示由直线 x ? y ? 2 ? 0 ,错误!链接无效。和 2 x ? y ? 1 ? 0 围成的三角 形区域(包括边界). 12.求不等式 x ? y ? 1表示的平面区域的面积.

?x ? y ? 1 ?x ? y ? 1 ?? x ? y ? 1 ? ? ? 解 : 不 等 式 x ? y ? 1 等 价 于 不 等 式 ?x ? 0 或 ?x ? 0 或 ?x ? 0 或 ? y ? 0, ? y ? 0, ? y ? 0, ? ? ? ?? x ? y ? 1 ? ,作出上述不等式组所表示的平面区域,易于求出面积为 2 . ?x ? 0 ? y ? 0, ?

?x ? y ? 2 ? 0 ?5 x ? y ? 10 ? 0 ? 1. (2008 山东高考变式)设满足的约束条件 ? ,画出该不等式组所表示的平 x?0 ? ?y ? 0 ?
面区域.

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