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山东省德州市跃华学校2014-2015学年高二上学期1月月考数学试卷(理科)(解析版)


2014-2015 学年山东省德州市跃华学校 高二(上)1 月月考数学试卷(理科)
一、选择题(10 个题目,每小题 5 分,共 50 分) 1. (5 分)已知 ① a<b ② a+b<ab ③ |a|>|b| ④ ab<b 其中正确结论的序号是( ) A. ① ② B. ② ④ C. ② ③ D. ③ ④ 【考点】 : 命题的真假判断与应用. 【专题】 : 不等式的

解法及应用. 【分析】 : 由条件可 b<a<0,然后根据不等式的性质分别进行判断即可. 【解析】 : 解:∵ ,∴b<a<0.
2

,给出下列四个结论:

① a<b,错误. ② ∵b<a<0,∴a+b<0,ab>0,∴a+b<ab,正确. ③ ∵b<a<0,∴|a|>|b|不成立. 2 ④ ab﹣b =b(a﹣b) ,∵b<a<0, 2 ∴a﹣b>0,即 ab﹣b =b(a﹣b)<0, 2 ∴ab<b 成立. ∴正确的是② ④ . 故选:B. 【点评】 : 本题主要考查不等式的性质,利用条件先判断 b<a<0 是解决本题的关键,要求 熟练掌握不等式的性质及应用.

2. (5 分) 若关于 x 的不等式 A. 1 B. ﹣2 C. ﹣3 D. 3

的解集为{x|0<x<2}, 则实数 m 的值为 (



【考点】 : 一元二次不等式的应用. 【专题】 : 计算题. 【分析】 : 由一元二次方程与对应不等式关系可知,一元二次不等式解集边界值,就是所对 应一元二次方程两根,然后将根代入方程即可求出 m 的值. 【解析】 : 解:∵不等式
2

的解集为{x|0<x<2},

∴0、2 是方程﹣ x +(2﹣m)x=0 的两个根, ∴将 2 代入方程得 m=1.

∴m=1; 故答案为:1. 【点评】 : 本题考查一元二次不等式与所对应的二次方程关系, 同时转化能力, 属于基础题. 3. (5 分)下面命题中假命题是( ) x A. ?x∈R,3 >0 B. ?α,β∈R,使 sin(α+β)=sinα+sinβ C. ?m∈R,使
2

是幂函数,且在(0,+∞)上单调递增
2

D. 命题“?x∈R,x +1>3x”的否定是“?x∈R,x +1>3x” 【考点】 : 命题的否定;命题的真假判断与应用. 【专题】 : 规律型. 【分析】 : 根据含有量词的命题的真假判断方法和命题的否定分别进行判断. x 【解析】 : 解:A.根据指数函数的性质可知,?x∈R,3 >0,∴A 正确. B.当 α=β=0 时,满足 sin(α+β)=sinα+sinβ=0,∴B 正确. C.当 m=1 时,幂函数为 f(x)=x ,且在(0,+∞)上单调递增,∴C 正确. 2 2 D.命题“?x∈R,x +1>3x”的否定是“?x∈R,x +1≤3x”,∴D 错误. 故选:D. 【点评】 : 本题主要考查含有量词的命题的真假判断和命题的否定,比较基础.
3

4. (5 分)已知条件 p:x≤1,条件 q: <1,则 p 是?q 成立的( A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 不充分也不必要条件



【考点】 : 命题的否定;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】 : 规律型. 【分析】 : 先求出条件 q 和?q 的等价条件,利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【解析】 : 解:由 <1,得 x<0 或 x>1,即 q:x<0 或 x>1, ∴?q:0≤x≤1. ∴p 是?q 成立必要不充分条件. 故选 B.

【点评】 : 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,对于条件 q,要先解出不等式成立的 等价条件,然后再求?q,否则容易出错. 5. (5 分)顶点在原点,关于坐标轴对称,且过点(2,﹣3)的抛物线的方程是( A. y = x B. x =﹣ y
2 2



C. y = x 或 x =﹣ y D. 以上都不对

2

2

【考点】 : 抛物线的标准方程. 【专题】 : 圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 2 【分析】 : 由已知设抛物线方程为 y =2px,p>0 或 x =﹣2py,p>0,把(2,﹣3)分别代 入,能求出抛物线方程. 【解析】 : 解:由已知设抛物线方程为 y =2px,p>0 或 x =﹣2py,p>0, 把(2,﹣3)代入 y =2px,p>0,得 9=4p,解得 p= ,∴抛物线方程为 y =
2 2 2 2 2 2



把(2,﹣3)代入 x =﹣2py,p>0,得 4=6p,解得 p= ,∴抛物线方程为 x =﹣ y. 故选:C. 【点评】 : 本题考查抛物线方程的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意抛物线性质的 合理运用. 6. (5 分)已知一个等差数列的前四项之和为 21,末四项之和为 67,前 n 项和为 286,则项 数 n 为( ) A. 24 B. 26 C. 27 D. 28 【考点】 : 等差数列的前 n 项和. 【专题】 : 计算题. 【分析】 : 由等差数列的定义和性质可得首项与末项之和等于 =22,再由前 n 项和为

286= n 的值.

=11n,求得

【解析】 : 解:由等差数列的定义和性质可得首项与末项之和等于

=22,

再由前 n 项和为 286=

=11n,n=26,

故选 B. 【点评】 : 本题主要考查等差数列的定义和性质,前 n 项和公式的应用,求得首项与末项之 和等于 =22,是解题的关键,属于基础题.

7. (5 分)已知双曲线 C: 程为( A. ) B. C.

的离心率为

,则 C 的渐近线方

D. y=±x

【考点】 : 双曲线的简单性质. 【专题】 : 圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 : 由题意可得 = ,由此求得 = ,从而求得双曲线的渐近线方程.

【解析】 :解: 已知双曲线 C:

的离心率为

, 故有

= ,



= ,解得

= .

故 C 的渐近线方程为



故选 C. 【点评】 : 本题主要考查双曲线的定义和标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,属于中 档题. 8. (5 分)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcosC+ccosB=asinA,则 △ABC 的形状为( ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定 【考点】 : 正弦定理. 【专题】 : 解三角形. 【分析】 : 由条件利用正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA,再由两角和的正弦公 式、诱导公式求得 sinA=1,可得 A= ,由此可得△ABC 的形状.

【解析】 : 解:△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, ∵bcosC+ccosB=asinA,则由正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA, 即 sin(B+C)=sinAsinA,可得 sinA=1,故 A= ,故三角形为直角三角形,

故选 B. 【点评】 : 本题主要考查正弦定理以及两角和的正弦公式、诱导公式的应用,根据三角函数 的值求角,属于中档题.

9. (5 分)设变量 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=y﹣2x 的最小值为(



A. ﹣

B. ﹣11 C. ﹣

D. 3

【考点】 : 简单线性规划. 【专题】 : 不等式的解法及应用.

【分析】 : 作出不等式组对应的平面区域,利用数形结合即可得到结论. 【解析】 : 解:由 z=y﹣2x,得 y=2x+z, 作出不等式对应的可行域, 平移直线 y=2x+z, 由平移可知当直线 y=2x+z 经过点 A 时, 直线 y=2x+z 的截距最小,此时 z 取得最值, 由 ,解得 ,

即 A(4,﹣3) 将(4,﹣3)代入 z=y﹣2x,得 z=﹣3﹣2×4=﹣11, 即 z=y﹣2x 的最小值为﹣11. 故选:B

【点评】 : 本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学 思想是解决此类问题的基本方法.

10. (5 分)已知双曲线



=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线 y =2px(p>0) ,

2

的准线分别交于 O、 A、 B 三点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为 2, △AOB 的面积为 则 p=( ) A. 1 B. C. 2 D. 3

【考点】 : 双曲线的简单性质. 【专题】 : 圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 : 求出双曲线 的渐近线方程与抛物线 y =2px(p>0)的准线方程,进 ,列出方程,由
2

而求出 A,B 两点的坐标,再由双曲线的离心率为 2,△AOB 的面积为 此方程求出 p 的值. 【解析】 : 解:∵双曲线 ,

∴双曲线的渐近线方程是 y=± x 又抛物线 y =2px(p>0)的准线方程是 x=﹣ , 故 A,B 两点的纵坐标分别是 y=± ,双曲线的离心率为 2,所以 ,
2







A,B 两点的纵坐标分别是 y=± 又,△AOB 的面积为 ∴

=



,x 轴是角 AOB 的角平分线 ,得 p=2.

故选 C. 【点评】 : 本题考查圆锥曲线的共同特征, 解题的关键是求出双曲线的渐近线方程, 解出 A, B 两点的坐标,列出三角形的面积与离心率的关系也是本题的解题关键,有一定的运算量, 做题时要严谨,防运算出错. 二、填空题(5 个题,每小题 5 分,共 25 分) 11. (5 分)在数列{an}中,a1=1,a2=5,an+2=an+1﹣an(n∈N ) ,则 a2014= ﹣1 【考点】 : 数列递推式. 【专题】 : 等差数列与等比数列. 【分析】 : 利用递推公式依次求出前 8 项,得到该数列是周期数列,由此能求出 a2014. 【解析】 : 解:∵a1=1,a2=5,an+2=an+1﹣an(n∈N*) , ∴a3=5﹣1=4, a4=4﹣5=﹣1, a5=﹣1﹣4=﹣5, a6=﹣5﹣(﹣1)=﹣4, a7=﹣4﹣(﹣5)=1, a8=1﹣(﹣4)=5, ∴数列{an}是周期为 6 的周期数列, ∵2014=6×335+4, ∴a2014=a4=﹣1. 故答案为:﹣1. 【点评】 : 本题考查数列的递推公式的应用, 是基础题, 解题时要注意递推思想的灵活运用. 12. (5 分)已知 F 是抛物线 y =4x 的焦点,M 是这条抛物线上的一个动点,P(3,1)是一 个定点,则|MP|+|MF|的最小值是 4 . 【考点】 : 抛物线的简单性质. 【专题】 : 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
2 *



【分析】 : 设点 M 在准线上的射影为 D,则根据抛物线的定义可知|MF|=|MD|进而把问题转 化为求|MP|+|MD|取得最小,进而可推断出当 D,M,P 三点共线时|MP|+|MD|最小,答案可 得. 【解析】 : 解:设点 M 在准线上的射影为 D,则根据抛物线的定义可知|MF|=|MD| ∴要求|MP|+|MF|取得最小值,即求|MP|+|MD|取得最小, 当 D,M,P 三点共线时|MP|+|MD|最小,为 3﹣(﹣1)=4. 故答案为:4. 【点评】 : 本题考查抛物线的定义、标准方程,以及简单性质的应用,判断当 D,M,P 三 点共线时|PM|+|MD|最小,是解题的关键. 13. (5 分)过抛物线 y =4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1) ,B(x2,y2)两点,若 x1+x2=6,则|AB|= 8 . 【考点】 : 直线与圆锥曲线的关系. 【专题】 : 计算题. 2 【分析】 : 抛物线 y =4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1)B(x2,y2)两点,故 |AB|=x1+x2+2,由此易得弦长值. 【解析】 : 解:由题意,p=2,故抛物线的准线方程是 x=﹣1, 2 ∵抛物线 y =4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1)B(x2,y2)两点 ∴|AB|=x1+x2+2, 又 x1+x2=6 ∴∴|AB|=x1+x2+2=8 故答案为 8. 【点评】 : 本题考查抛物线的简单性质, 解题的关键是理解到焦点的距离与到准线的距离相 等,由此关系将求弦长的问题转化为求点到线的距离问题,大大降低了解题难度.
2

14. (5 分)设 a+b=2,b>0,则当 a= ﹣2 时,

取得最小值.

【考点】 : 基本不等式. 【专题】 : 不等式的解法及应用. 【分析】 : 由于 a+b=2, b>0, 从而 = , (a<2) , 设( f a) = ,

(a<2) ,画出此函数的图象,结合导数研究其单调性,即可得出答案. 【解析】 : 解:∵a+b=2,b>0, ∴ 设 f(a)= = , (a<2) , (a<2) ,画出此函数的图象,如图所示.

利用导数研究其单调性得, 当 a<0 时,f(a)=﹣ + ,

f′ (a)=

=

,当 a<﹣2 时,f′ (a)<0,当﹣2

<a<0 时,f′ (a)>0, 故函数在(﹣∞,﹣2)上是减函数,在(﹣2,0)上是增函数, ∴当 a=﹣2 时, 取得最小值 . 取得最小值 .

同样地,当 0<a<2 时,得到当 a= 时, 综合,则当 a=﹣2 时, 故答案为:﹣2. 取得最小值.

【点评】 : 本题考查导数在最值问题的应用,考查数形结合思想,属于中档题.

15. (5 分) 对于函数 y=lg|x﹣3|和 y=sin

(﹣4≤x≤10) , 下列说法正确的是 (2) (3) (4) .

(1)函数 y=lg|x﹣3|的图象关于直线 x=﹣3 对称; (2)y=sin (﹣4≤x≤10)的图象关于直线 x=3 对称;

(3)两函数的图象一共有 10 个交点; (4)两函数图象的所有交点的横坐标之和等于 30; (5)两函数图象的所有交点的横坐标之和等于 24. 【考点】 : 命题的真假判断与应用. 【专题】 : 作图题;函数的性质及应用. 【分析】 : 在同一坐标系中画出函数 y=lg|x﹣3|和 y=sin (2) 、 (3) 、 (4) 、 (5)5 个选项逐一分析即可. (﹣4≤x≤10) 的图象, 据此对 (1) 、

【解析】 : 解:在同一坐标系中画出函数 y=lg|x﹣3|和 y=sin 所示:

(﹣4≤x≤10)的图象如下图

由图可知: 函数 y=lg|x﹣3|的图象关于直线 x=3 对称,故(1)错误; 当 x=3 时,y=sin 取最小值﹣1,即直线 x=3 为函数 y=sin 的一条对称轴,又由定义

域关于 x=3 对称,故(2)正确; 两函数的图象一共有 10 个交点,故(3)正确; 由图知,两曲线的 10 个交点关于直线 x=3 对称,即这些交点的平均数为 3,故所有交点的 横坐标之和等于 30,故(4)正确, (5)错误, 故正确的命题有: (2) (3) (4) . 故答案为: (2) (3) (4) . 【点评】 : 本题考查命题的真假判断与应用, 着重考查对数函数与正弦型函数的图象与性质, 作图是关键,也是难点,属于难题. 三.解答题 16. (12 分)已知椭圆 C1: + =1, (a>b>0)的两个焦点分别为 F1(﹣1,0) ,F2(1,

0) ,且椭圆 C1 经过点 P( , ) . (1)求椭圆 C1 的方程; (2)双曲线 C2 以椭圆 C1 的顶点为焦点,以椭圆 C1 的焦点为顶点,求曲线 C2 的方程; (3)双曲线 C3 与双曲线 C2 以拥有相同的渐近线,且双曲线 C3 过(1,2)点,求曲线 C3 的方程. 【考点】 : 双曲线的标准方程;椭圆的标准方程. 【专题】 : 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 : (1)求出椭圆的 c=1,再由 a,b,c 的关系和点代入椭圆方程,解方程即可得 到 a,b,进而得到椭圆方程; (2)求出双曲线的 c,a,再由 a,b,c 的关系,得到 b,进而得到双曲线方程; 2 2 (3)求出双曲线 C2 的渐近线方程,设出双曲线 C3 的方程为 y ﹣x =λ(λ≠0) ,代入点的坐 标,即可得到双曲线方程. 2 2 【解析】 : 解: (1)由条件可得,椭圆 C1 的 c=1,即有 a ﹣b =1, 代入点 P 的坐标,得 解得,a= ,b=1. =1,

则有椭圆 C1 的方程为

+y =1;

2

(2)双曲线 C2 以椭圆 C1 的顶点( ,0)为焦点, 以椭圆 C1 的焦点(±1,0)为顶点, 则双曲线的 c= ,a=1,即有 b=1, 2 2 则双曲线 C2 的方程为 x ﹣y =1; (3)双曲线 C3 与双曲线 C2 有相同的渐近线, 即为 y=±x, 2 2 可设双曲线 C3 的方程为 y ﹣x =λ(λ≠0) , 双曲线 C3 过(1,2)点,则有 λ=4﹣1=3, 2 2 则有双曲线 C3 的方程为 y ﹣x =3. 【点评】 : 本题考查椭圆和双曲线的方程和性质, 考查双曲线的渐近线方程和双曲线方程的 关系,考查运算能力,属于基础题和易错题.
x x

17. (12 分)设命题 p:函数

的定义域为 R;命题 q:3 ﹣9

<a 对一切的实数 x 恒成立,如果命题“p 且 q”为假命题,求实数 a 的取值范围. 【考点】 : 复合命题的真假. 【专题】 : 规律型. 【分析】 : 分别求出命题 p,q 成立的等价条件,利用 p 且 q 为假.确定实数 k 的取值范围. 【解析】 : 解:要使函数 x+ 对于一切 x∈R 恒成立, 的定义域为 R,则不等式 ax ﹣
2

若 a=0,则不等式等价为﹣x>0,解得 x<0,不满足恒成立. 若 a≠0,则满足条件 ,



,解得

,即 a>2,所以 p:a>2.

∵g(x)=3 ﹣9 =﹣(
x x

x

x





∴要使 3 ﹣9 <a 对一切的实数 x 恒成立, 则a ,即 q:a .

要使 p 且 q 为假,则 p,q 至少有一个为假命题. 当 p,q 都为真命题时,满足 ,即 a>2,

∴p,q 至少有一个为假命题时有 a≤2, 即实数 a 的取值范围是 a≤2.

【点评】 : 本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系,利用条件先求出 p,q 成立的等 价条件是解决此类问题的关键. 将 p 且 q 为假, 转化为先求 p 且 q 为真是解决本题的一个技 巧. 18. (12 分)在锐角△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2asinB= (1)求角 A 的大小; (2)若 a=4,b+c=8,求△ABC 的面积. 【考点】 : 余弦定理;正弦定理. 【专题】 : 计算题;解三角形. 【分析】 : (1) 由正弦定理将已知等式化成角的正弦的形式, 化简解出 sinA= , 再由△ABC b.

是锐角三角形,即可算出角 A 的大小; 2 2 2 2 2 (2)由余弦定理 a =b +c ﹣2bccosA 的式子,结合题意化简得 b +c ﹣bc=16,与联解 b+c=8 得到 bc 的值,再根据三角形的面积公式加以计算,可得△ABC 的面积. 【解析】 : 解: (1)∵△ABC 中, , ∴根据正弦定理,得 , ∵锐角△ABC 中,sinB>0, ∴等式两边约去 sinB,得 sinA= ∵A 是锐角△ABC 的内角,∴A= (2)∵a=4,A=
2 2




2 2 2

∴由余弦定理 a =b +c ﹣2bccosA,得 16=b +c ﹣2bccos 化简得 b +c ﹣bc=16, 2 2 ∵b+c=8,平方得 b +c +2bc=64, ∴两式相减,得 3bc=48,可得 bc=16. 因此,△ABC 的面积 S= bcsinA= ×16×sin =4 .
2 2



【点评】 : 本题给出三角形的边角关系,求 A 的大小并依此求三角形的面积,着重考查了 正余弦定理的运用和三角形的面积公式等知识,属于中档题. 19. (12 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 an+2Sn?Sn﹣1=0(n≥2,且 n∈N) ,a1= . (1)求证:{ }是等差数列;

(2)若 bn=Sn?Sn+1,求数列{bn}的前 n 项和为 Tn. 【考点】 : 数列的求和;等差关系的确定. 【专题】 : 等差数列与等比数列.

【分析】 : (1)当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1,由于满足 an+2Sn?Sn﹣1=0(n≥2,且 n∈N) ,可得 Sn﹣Sn﹣1+2SnSn﹣1=0,两边同除以 SnSn﹣1,化为 (2)由(1)可得 bn=Sn?Sn+1= =2+2(n﹣1)=2n, = .可得 .利用“裂项求和”即可得出. =2,即可证明;

【解析】 : (1)证明:当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1, ∵满足 an+2Sn?Sn﹣1=0(n≥2,且 n∈N) , ∴Sn﹣Sn﹣1+2SnSn﹣1=0, 化为 ∴{ =2, }是等差数列. =2+2(n﹣1)=2n, =2,

(2)解:由(1)可得 ∴ .

∴bn=Sn?Sn+1=

=

. +…+

∴数列{bn}的前 n 项和为 Tn= = = .

【点评】 : 本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”方法、递推式的应用,考查了推理 能力与计算能力,属于中档题. 20. (12 分)已知等差数列{an}的首项为 a,公差为 b,方程 ax ﹣3x+2=0 的解为 1 和 b. (1)求数列{an}的通项公式; n (2)若数列{bn}满足 bn=an?2 ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 【考点】 : 数列的求和;等差数列的性质. 【专题】 : 计算题;等差数列与等比数列. 【分析】 :(1) 由方程 ax ﹣3x+2=0 的两根为 x1=1, x2=b, 利用韦达定理, 得 1+b= , 1×b= , 由此能求出 an. n (2)由(1)得 bn=(2n﹣1)?2 ,由此利用错位相减法能够求出数列{bn}的前 n 项和 Tn. 2 【解析】 : 解: (1)∵方程 ax ﹣3x+2=0 的两根为 x1=1,x2=b, ∴1+b= ,1×b= , 解得 a=1,b=2. 所以 an=2n﹣1.
2 2

(2)由(1)得 bn=(2n﹣1)?2 , 2 n 所以 Tn=b1+b2+…+bn=1?2+3?2 +…+(2n﹣1)?2 ,① 2 3 n n+1 2Tn=1?2 +3?2 +…+(2n﹣3)?2 +(2n﹣1)?2 ,② ② ﹣① 得 2 n n+1 Tn=﹣2(2+2 +…+2 )+(2n﹣1)?2 +2 n+1 =(2n﹣3)?2 +6. 【点评】 : 本题考查数列的通项公式的求法,考查数列的前 n 项和公式的应用,解题时要认 真审题,注意韦达定理和错位相减法的合理运用. 21. (15 分)已知椭圆 C 的两个焦点分别为 F1(﹣1,0) 、F2(1,0) ,短轴的两个端点分别 为 B1、B2, (1)若△F1B1B2 为等边三角形,求椭圆 C 的方程; (2)若椭圆 C 的离心率为 ,直线 l 与椭圆相交于 A、B 两点,弦 AB 的中点为( ,1) , 求直线 l 的方程; (3)若椭圆 C 的短轴长为 2,过点 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 P、Q 两点,且 求直线 l 的方程. 【考点】 : 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 【专题】 : 平面向量及应用;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 : (1)先得到 c=1,根据 Rt△F1OB1 中∠B1F1O=30°便可得到 这样即可求出 b,a,从而得出椭圆 C 的方程; (2)先由椭圆的离心率求出椭圆的方程
2 2 2

n





,所以

,可设直线 l 的方程为 y=kx+b,带入椭

圆的方程便得到(3+4k )x +8kbx+4b ﹣12=0.设 A(x1,y1)B(x2,y2) ,所以由韦达定 理即可表示出 AB 中点的坐标,所以根据所给弦 AB 中点的坐标即可建立关于 k,b 的方程 组,解方程组即得 k,b,从而得出直线 l 的方程; (3)先由椭圆的短轴长得出椭圆的方程
2 2 2 2

,设出直线 l 的方程为 y=k(x﹣1) ,联

立椭圆方程便得到(1+2k )x ﹣4k x+2k ﹣2=0,设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,则由韦达定 理即可求出 x1+x2,x1x2,y1y2,所以根据 得到直线 l 的方程. 【解析】 : 解: (1)如图, 根据已知条件可知:c=1, ∴ ; ; ,b= ; 即可建立关于 k 的方程,解出 k 便可

∴椭圆 C 的方程为

(2)设直线 l 的方程为 y=kx+b;

由条件知

,∴a=2,b =4﹣1=3;

2

∴椭圆 C 的方程为



将直线 l 的方程带入椭圆 C 的方程并整理得: (3+4k )x +8kbx+4b ﹣12=0; 若设 A(x1,y1) ,B(x2,y2)则: , 根据 AB 的中点坐标,所以: ;
2 2 2



解得 ∴直线 l 的方程为

; ;
2

(3)由条件知 b=1,a =2,椭圆方程为 直线 l 过 F2(1,0) ,方程可设为: y=k(x﹣1) ; ∴带入椭圆方程并整理得: 2 2 2 2 (1+2k )x ﹣4k x+2k ﹣2=0; 若设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,则: , ,



=



由条件



= (x1+1, y1) ? (x2+1, y2) =x1x2+x1+x2+1+y1y2=



∴解得 k=

; .

∴直线 l 的方程为

【点评】 : 考查椭圆的焦点、短轴、离心率的概念,椭圆的标准方程,系数 a,b,c 的关系, 以及韦达定理,中点坐标公式,直线的点斜式方程、斜截式方程,以及两非零向量垂直的充 要条件,由点的坐标求向量的坐标.


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