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高考新课标数学(理)课时作业:7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题


7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

为 1.故选 B. x+2y-19≥0, ? ? 4 . 设二元一次不等式组 ?x-y+8≥0, 所表示 ? ?2x+y-14≤0

天津 ) 设 变 量 x , y 满 足 约 束 条 件 1 . ( 2012· 2 x + y - 2≥0 , ?

? ?x-2y+

4≥0, 则目标函数 z = 3x - 2y 的最小值为 ? ?x-1≤0,
( ) A.-5 B.-4 C.-2 D.3

的平面区域为 M,则使函数 y=ax(a>0,a≠1)的图象 过区域 M 的 a 的取值范围是( ) A.[1,3] B.[2, 10] C.[2,9] D.[ 10,9]

解:不等式组表示的平面区域是如图所示的阴影 部分,作辅助线 l0:3x-2y=0,结合图形可知,当直 线 3x-2y=z 平移到过点(0,2)时,z=3x-2y 的值最 小,最小值为-4,故选 B. ?y≥0, 2.设变量 x,y 满足约束条件?x-y+1≥0,则 z

解:如图,阴影部分为平面区域 M,显然 a>1, 只需研究过(1,9),(3,8)两种情形,a1≤9 且 a3≥8 即 2≤a≤9,故选 C. x-y≥0,

?

? ?2x+y≤2, 5.若不等式组? 表示的平面区域是一 y≥0, ? ?x+y≤a

? ?x+y-3≤0,

=2x+y 的最大值为( ) A.-2 B.4

C.6

D.8

个三角形,则 a 的取值范围是( ) 4 A.a≥ B.0<a≤1 3 4 4 C.1≤a≤ D.0<a≤1 或 a≥ 3 3

解:不等式组表示的平面区域如图所示,当直线 y=-2x+z 过点 B(3,0)时,z 取得最大值 6.故选 C. 福建)若函数 y=2x 图象上存在点(x,y) 3.(2012· ?x+y-3≤0, 满足约束条件 ?x-2y-3≤0, 则实数 m 的最大值为

?

? ?x≥m,

解:如图,由条件可知,当直线 x+y=a 在直线 4 x+y= 右上方时,可行域可以组成一个三角形,即 3 4 a≥ 时,可行域可以组成一个△ OAB;当 0<a≤1,可 3 4 以组成一个三角形,所以 0<a≤1 或 a≥ ,故选 D. 3 ?x+3y-3≥0, 6.若实数 x,y 满足不等式组?2x-y-3≤0,且 x

(

) 1 A. 2 B.1 3 C. 2 D.2

?

? ?x-my+1≥0

+y 的最大值为 9,则实数 m=( ) A.-2 B.-1 C.1

D.2

解:可行域如图阴影部分所示,函数 y=2x 的图 x ? ? ?y=2 , ?x=1, 象经过可行域上的点,由? 得? 即函 ?x+y-3=0 ? ?y=2, ? 数 y=2x 的图象与直线 x+y-3=0 的交点坐标为(1, 2),当直线 x=m 经过点(1,2)时,实数 m 取到最大值

解:如图,令 z=x+y,则 y=-x+z,平移可知 可行域只可能是△ ABC, 且 x+y 的最大值只在点 C 处 取得,

?2x-y-3=0, ? 联立方程组? ?x-my=-1 ? 5 1 得 y= ( 若 m= ,则与 2x-y-3=0 平行, 2 2m-1

不可能), 因为 x + y = y+3 3 + y = (y+1) = 9 ? y = 5 ,即 2 2

5 =5?m=1,故选 C. 2m-1 7. 若点 P(m, 3)到直线 4x-3y+1=0 的距离为 4, 且点 P 在不等式 2x+y<3 表示的平面区域内,则 m = . |4m-9+1| ? ? =4, 5 解:由题意可得? 解得 m=-3,

y (2)z2 = 表示可行域内的点与原点连线的斜率大 x 2 小,显然直线 OC 斜率最小.故 z2 的最小值为 . 5 2 2 (3)z3=x +y 表示可行域内的点到原点距离的平 方,而 2=OB2<OA2<OC2=29.故 z3∈[2,29]. 10.某工厂生产甲、乙两种产品,已知生产每吨 甲、乙两种产品所需煤、电、劳力、获得利润及每天 资源限额(最大供应量)如下表所示: 甲产品 (每吨) 煤(t) 电(kw· h) 劳力(个) 利润(万元) 9 4 3 乙产品 (每吨) 4 5 10 资源限额 (每天) 360 200 300

? ?2m+3<3,

故填-3. 浙江)设 z=kx+y,其中实数 x,y 满足 8.(2013· ?x+y-2≥0,

? ?x-2y+4≥0, 若 z 的最大值为 12 ,则实数 k = ? ?2x-y-4≤0,
________.

6 12 问:每天生产甲、乙两种产品各多少吨,获得利 润总额最大? 解:设此工厂应分别生产甲、乙两种产品 x 吨、y 吨,获得利润 z 万元.依题意可得约束条件 9x+4y≤360,

? ?4x+5y≤200, ?3x+10y≤300,利润目标函数 z=6x+12y. x≥0, ? ?y≥0.

解: 先作出可行域, 而目标函数就是 y=-kx+z, 当 k>0 时,将直线 y=-kx 平行移动发现,过图中点 A(4,4)时,直线在 y 轴上的截距最大,故 4k+4=12, 即 k=2.当 k<0 时,发现 z 不可能等于 12.故填 2. ?x-4y+3≤0, 9.变量 x,y 满足?3x+5y-25≤0,

?

? ?x≥1.

(1)假设 z1=4x-3y,求 z1 的最大值; y (2)设 z2= ,求 z2 的最小值; x (3)设 z3=x2+y2,求 z3 的取值范围.

如图,作出可行域,作直线 l:6x+12y=0,把直 线 l 向右上方平移至 l1 位置,直线经过可行域上的点 M, 且与原点距离最大, 此时 z=6x+12y 取最大值. 解 ?3x+10y=300, ? 方程组? 得 M(20,24).所以生产甲种 ? ?4x+5y=200 产品 20t, 乙种产品 24t, 才能使此工厂获得最大利润. 11.若关于 x 的实系数方程 x2+ax+b=0 有两个 根,一个根在区间(0,1)内,另一根在区间(1,3)内, 记点(a,b)对应的区域为 S. (1)设 z=2a-b,求 z 的取值范围; (2)过点(-5,1)的一束光线,射到 x 轴被反射后 经过区域 S,求反射光线所在直线 l 经过区域 S 内的 整点(即横纵坐标为整数的点)时直线 l 的方程.

解:作出可行域如图中阴影部分,联立易得 22? A? ?1, 5 ?,B(1,1),C(5,2). 4 z1 4 (1)z1=4x-3y?y= x- ,易知平移 y= x 至过 3 3 3 点 C 时,z1 最大,z1 最大值为 4× 5-3× 2=14.

解:(1)方程 x2+ax+b=0 的两根分别在区间(0, 1)和(1,3)上的几何意义是:函数 y=f(x)=x2+ax+b 与 x 轴的两个交点的横坐标分别在区间(0,1)和(1,3) ?f(0)>0, 内 , 由 此 可 得 不 等 式 组 ?f(1)<0,

?

? ?f(3)>0



b>0, ? ? ?a+b+1<0, 则在坐标平面 aOb 内, 点(a, b)对应 ? ?3a+b+9>0, 的区域 S 如图阴影部分所示,易得图中 A,B,C 三点 的坐标分别为(-4,3),(-3,0),(-1,0). (1)令 z=2a-b,则直线 b=2a-z 经过点 A 时,z 取得最小值, 经过点 C 时, z 取得最大值, 即 zmin=-11, zmax=-2,又 A,B,C 三点不在可行域内,所以-11 <z<-2. (2)过点(-5,1)的光线经 x 轴反射后的光线所在 直线必过点(-5,-1),由图可知,区域 S 内满足条 件的整点为(-3,1),所以所求直线 l 的方程为:y+1 1-(-1) = · (x+5),即 y=x+4. -3-(-5) 江苏)已知正数 a,b,c 满足 5c- (2012· b 3a≤b≤4c-a, clnb≥a+clnc, 则 的取值范围是_______. a 解:条件 5c-3a≤b≤4c-a,clnb≥a+clnc, a b 3· + ≥5, c c 3a+b≥5c, ? ? a b 即?a+b≤4c, 可化为 c +c≤4, ? ?a≤clnb-clnc b a ≥ec. c a b 设 x= ,y= ,则题目转化为 c c 3x+y≥5, b x+y≤4, y b c y 已知 x, y 满足 求 a=a=x 的取值 x x y≥e , c x>0,y>0, 范围. 作出(x,y)所在平面区域(如图).

过原点作 y=ex 的切线, 可求得切线方程为 y=ex, y ? 切点 P(1,e)在区域内,故? ?x?min=e. 当(x,y)对应点 C 时, ? ? ?y=4-x, ?5y=20-5x, ? ?? ? ? ? ?y=5-3x ?4y=20-12x y? y y=7x? =7,∴? ?x?max=7. x y b ∴ 的取值范围为 [e, 7],即 的取值范围是 [e , x a 7].故填[e,7].

? ? ? ? ?

? ? ? ? ?

? ? ?

? ? ?


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