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1.1.1-算法的概念


1.1 算法与程序框图
1.1.1 算法的概念

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第一步:把冰箱打开 第二步:把大象放进冰箱 第三步:关上冰箱门 3:一个猎人带一条狗,一只鸡,一袋米过河,每 次只能带一样东西过河,如果鸡狗被剩在一起,狗 就会吃鸡;如果鸡米被剩在一起,鸡就会吃米。求猎 人带这三样东西过河的顺序
2016/11/26 3

我们做任何事情都是在一定条件下按某种 顺序执行的一系列操作。解决数学问题也是如 此。例如用加减消元法解二元一次方程组时, 就可以按照某一步骤进行操作。

请你写出解下面二元一次方程组的详细过程. ? x ? 2 y ? ?1 ①

② ③ 解:第一步, ① +②×2得 5x=1; 1 第二步, 解③得 x ? ; 5 第三步, ② -① ×2得 5y=3; ④ 3 第四步, 解④得 y ? ; 1 ? x? , 5 ? ? 5 第五步, 得到方程组的解为 ?
?y ? 3. ? 5 ?

? ?2 x ? y ? 1

你能写出解一般的二元一次方程组的步骤吗?

?a1 x ? b1 y ? c1 ? ?a2 x ? b2 y ? c2
第一步,

(1) (2)

? a1b2 ? a2b1 ? 0?

c1b2 ? c2b1 . 第二步,解(3)得 x ? a1b2 ? a2b1

第三步,

? a2b1 ? a1b2 ? y ? a2c1 ? a1c2.
第四步,解(4)得

(1) ? a2 ? (2) ? a1 得:

(4)

a2c1 ? a1c2 y? . a2b1 ? a1b2
c1b2 ? c2b1 ? ?x ? a b ? a b , ? 1 2 2 1 ? a c ? a c 2 1 1 2 ?y ? . ? a2b1 ? a1b2 ?

第五步,得到方程组的解为

探究新知

算法:在数学中,现代意义上的“算法”通常是指可以
用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤, 这些程序和步骤必须是明确和有效的,而且能 够在有限步之内完成。 算法的特点: 1.有序性 而不应该是模棱两可的;

2.明确性:每一步都应该是能有效执行且有确定的结果,

3.有限性:应能在有限步内解决问题.
2016/11/26 8

例1.(1)设计一个算法判断7是否为质数.
第一步, 用2除7,得到余数1.因为余数不为0, 所以2不能整除7. 第二步, 用3除7,得到余数1.因为余数不为0, 所以3不能整除7. 第三步, 用4除7,得到余数3.因为余数不为0, 所以4不能整除7. 第四步, 用5除7,得到余数2.因为余数不为0, 所以5不能整除7. 第五步, 用6除7,得到余数1.因为余数不为0, 所以6不能整除7.因此,7是质数.

例1.(2)设计一个算法判断35是否为质数.
第一步, 用2除35,得到余数1.因为余数不为0, 所以2不能整除35. 第二步, 用3除35,得到余数2.因为余数不为0, 所以3不能整除35. 第三步, 用4除35,得到余数3.因为余数不为0, 所以4不能整除35. 第四步, 用5除35,得到余数0.因为余数为0, 所以5能整除35.因此,35不是质数.

(3)设计一个算法,判断53是否为质数

例题
设计一个算法,判断整数n(n>2)是否为质 数。
第一步:给定大于2的整数n;
第二步:令i=2. 第三步:用i除n,得到余数r 第四步:判断“r=0”是否成立,若是,则n不是 质数,结束算法;否则,将i的值增加1,仍用i表 示 第五步:判断“i>(n-1)”是否成立,若是,则n是 质数,结束算法;否则,返回第三步。
13

例2:用二分法设计一个求方程 x2 ? 2 ? 0 ? x ? 0? 的近似根的算法 分析:
2 2

令f ( x) ? x ? 2, 则方程x ? 2 ? 0的解就是函数f ( x)的零点。

二分法的基本思想:

对于区间[a,b ]上连续不断、且f(a)f(b)<0 的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在 的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点, 进而得到零点或其近似值的方法叫做二分法。

算法步骤:
第一步, 令 f ( x) ? x ? 2 ,给定精确度d.
2

第二步, 给定区间[a,b],满足f(a) · f(b )< 0 . a?b 第三步, 取中间点 m ? . 2 第四步, 若f(a) · f(m) < 0,则含零点的区间为 [a,m];否则,含零点的区间为[m, b]. 将新得到的含零点的仍然记为[a,b]. 第五步,判断f(m)是否等于0或者[a,b]的长 度是否小于d,若是,则m是方程的近似解;否 则,返回第三步.

当d=0.005时,按照以上算法,可得下面表和图. a 1 1 1.25 1.375 1.375 1.406 25 1.406 25 1.414 625 1.414 062 5 b 2 1.5 1.5 1.5 1.437 5 1.437 5 1.421 875 1.421 875 1.417 968 75 |a-b| 1 0.5 0.25 0.125 0.062 5 0.031 25 0.015 625 0.007 812 5 0.003 906 25

y=x2-2

1

1.25 1.375

1.5

2

于是,开区间(1.4140625,1.41796875)中 的实数都是当精确度为0.005时的原方程的近 似解.

课堂小结 1.算法的概念
算法通常指可以用来解决的某一类问题的 步骤或程序,这些步骤或程序必须是明确的和 有效的,而且能够在有限步之内完成的.

2.算法的特征是什么?
明确性 有效性 有限性

课后练习 1. 任意给定一个正实数,设计一个算法求 以这个数为半径的圆的面积.

算法步骤:
第一步:给定一个正实数r; 第二步:计算以r为半径的圆的面积S=πr2; 第三步:得到圆的面积S.


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