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第三讲 三角函数 2


仰角是向与眼睛水平向上看所产生的夹角,叫仰角。 俯角是向与眼睛水平向上看所产生的夹角,叫俯角。 例 3,如图所示。 (1)求证: BD ? AB ; (2)求 DB 的值。

解:由题意得; (1)利用三角形全等
?A ? 30 , ?PCA ? 60 ? ?P ? ? ? ?A ? ?PCA ? 90 ? ?PCD ? 60 , ?CDP ? 30 , PC ? PC ? APC ? DPC , ( HL) ? AP ? DP, BP ? BP, ?BPA ? ?BPD ? 90 ? BPA ? BPD, ( HL) AB ? DB

(2)直接利用正弦定理
AC AB AC ? ? AB ? sin ?BCA sin ?ABC sin ?BCA sin ?ABC

AB ?

0.05 3 0.2 3 ? ? 0.05( 6 ? 3 2) sin15 6? 2

例 4: 如图所示; 已知 AB=a, A, B 关于 M, N 的俯角分别为?1, ?1,?2 , ?2 。 求 MN 的长度。

解:由题意得; 由正弦定理
?AMB ? ? ? ?1 ? ? 2 AB AM AB ? ? AM ? ? sin ?ABM sin ?AMB sin ?ABM sin ?AMB a sin ? 2 ? AM ? sin(?1 ? ? 2 ) ? ?ANB ? ? ? ?1 ? ? 2 AB AN AB ? ? AN ? ? sin ?ABN sin ?ANB sin ?ABN sin ?ANB a sin ? 2 ? AN ? sin( ?1 ? ? 2 ) ?

由余弦定理得
?MAN ? ?1 ? ?1 MN 2 ? AM 2 ? AN 2 ? 2 AM ? AN cos ?MAN a sin ? 2 2 a sin ? 2 2 a sin ? 2 a sin ? 2 ? MN 2 ? [ ] ?[ ] ?2 cos(?1 ? ?1 ) sin(?1 ? ? 2 ) sin( ?1 ? ? 2 ) sin(?1 ? ? 2 ) sin( ?1 ? ? 2 )

例 5 已知 OSM 是三角函数的一部分,s 是最高点为 2 3 , ?MNP ? 120 E 是 OP 的中点。求: (1) OSM 的表达式 (2)PM 的值 (3)MN+PN 的最大值

解:由题意得; (1)
T 2? ? ? 3 ? T ? 12 ? w ? ? 4 T 6 又A ? 2 3 得OSM的函数表达式为y ? 2 3 sin

?
6

x, (0 ? x ? 4)

(2)E 是 OP 的中点
OP ? 4 Rt MEP ? MP ? ME 2 ? EP2 ? 5

(3)利用余弦定理

设 MN=m,NP=n.
MP 2 ? MN 2 ? NP 2 ? 2MN ? NP cos120 1 m2 ? n2 ? 25 ?? ? ? ?mn ? m2 ? n2 ? 25 2 2mn
2 有完全平方公式得; ? mn ? (m ? n) ? 25

又因为算术平均数与几何平均数的不等关系; 得
? (m ? n)2 ? 25 ? ? ( m ? n) 2 ? m?n ? 0 ? m?n ? 10 3 ...(当且仅当m=n时,取等号) 3 100 3 ( m ? n) 2 4

mn ?

( m ? n) 2 4

(m ? n)max ?

10 3 3

总结:均值不等式的应用
m ? n ? 2 mn ? mn ? ( m ? n) 2 (当且仅当m=n时,取等号) 4

例6

x2 y2 ? ?1 已知椭圆 9 2 焦点是 F1,F2,点 P

在椭圆上|PF1|=4

求|PF2|的值及 ?F1PF2 的大小。

解:由题意得;

| F1P | ? | PF2 |? 2a | F1P |? 4, a ? 3 ?| PF2 |? 2

应用余弦定理
| F1F2 |? 2c ? 2 7 | F1F2 |2 ?| F1P |2 ? | PF2 |2 ?2 | F1 P || PF2 | cos ?F1 PF2 1 2 ? ?F1 PF2 ? 120 cos ?F1 PF2 ? ?

例 7,已知 b ? ac ,求
2

y?

1 ? sin 2 B sin B ? cos B 的取值范围。

解:利用余弦定理
1 ? sin 2 B (sin B ? cos B) 2 y? ? ? sin B ? cos B sin B ? cos B sin B ? cos B ? 2 sin( B ? ) 4

?

b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? cos B ? a 2 ? c 2 ? 2ac ? cos B ?

a 2 ? c2 ? b2 2ac

a 2 ? c 2 ? b 2 2ac ? b 2 1 ? ? 2ac 2ac 2 ? ? ? 7? 0? B? ? ? B? ? 3 4 4 12 3 ?1 y? ? 1 ? y 7? ? ? 2 2 4 12

? y ? (1, 2)

练习 3 已知 A(6,5) ,B(-2,8) ,C(4,1) 。求角 A 的大小。

解:利用向量的夹角公式
cos A ? AB ? AC | AB | ? | AC | AB ? AC 2 365 ? 365 | AB | ? | AC |

AC ? (?2, ?4), AB ? (?8,3) cos A ?


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