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等比数列的概念课件


旧知回顾
名称 概念 通项公 式 等差中 项 等差数 列前n 项和公 式 等差数列

创设情景,引入新课
(1)“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”

(2) 一位数学家说过:你如果能将一张 纸对折38次,我就能顺着它在今天晚上爬 上月球。

以上两个实例所包含的数学问题:

1

1 1 1 (1) 1 , , , , ,… 4 8 2 16
(2) 1 ,2 ,4 ,8 ,16 ,32 ,…

等比数列概念
等比数列
?

一般地,如果一个数列从第2项起,每一 项与它的前一项的 比 等于同一个常数, 那么这个数列就叫做等比数列 ,这个常数叫 做等比数列的公比(q)。

等差数列
?

一般地,如果一个数列从第2项起,每一 项与它的前一项的 差 等于同一个常数, 那么这个数列就叫做等差数列 ,这个常数叫 做等差数列的公差(d)。

等比数列的例题 例1已知

?an ?, ?bn ?是项数相同的等比数列, 求证 ?an ? bn ? 是等比数列.

证明:设数列 ?an ?首项为a1,公比为q1? ;bn ?首项为b1,公比为q 2 那么数列 ?an ? bn ?的第n项与第n+1项 分别为:

an?1 ? bn?1 ? ? q1q2 . an ? bn
它是一个与n无关的常数, 所以 ?an ? bn ? 是一个以 q1q2 为公比的等比数列

等差数列通项公式的推导:
方法一:(叠加法)

a2 ? a1 ? d a3 ? a2 ? d a4 ? a3 ? d … … an?1 ? an?2 ? d

an ? an?1 ? d

?

an ? an?1 ? d
a2 ? a1 ? d a3 ? a2 ? d

方法二:(归纳法)

(n-1)个 式子

? a1 ? 2d

? (a1 ? d ) ? d

a4 ? a3 ? d ? (a1 ? 2d ) ? d

? a1 ? 3d

an ? a1 ? (n ? 1)d

an ? a1 ? (n ? 1)d

… …

等比数列的通项公式
等比数列 an ,首项为 a1,公比为q,则通项公式为
当q=1时,这是 一个常函数。

? ?

an ? 0

an ? a1 ? q

n ?1

变形结论:
在等差数列 ?an ? 中

an ? am ? (n ? m)d
(n, m ? N * )
试问:在等比数列 ?an ? 中,如果知道 am 和公 比q,能否求 an ?如果能,请写出表达式。

典型例题
例2 一个等比数列的第3项与第4项分别 是12与18,求它的第1项与第2项,并求通项
解:设这个等比数列的第1项是

a q ? 12 a q ? 18
2 1 3 1

a

1

,公比是q ,那么

解得, 因此

3 q? 2
2 1

16 , a ? 3
1

16 3 n ?1 an ? ( ) 3 2

16 3 a ? aq ? ? ?8 3 2

6.3 等比数列
例3 在等比数列

a5 ? ?1 ,a8 ? ? ?an ? 中,
1 8

1 ,求a13. 8

解 由 a5 ? ?1, a8 ? ? 有

巩 固 知 识 典 型 例 题

?1 ? a1 ? q4,

(1)

1 ? ? a1 ? q 7, (2) 8 (2)除以(1)得
1 1 ? q3,q ? ; 8 2 1 将q ? 代人(1),得 2

本例题求解过程 中,通过两式相除求 a1 ? ?2 4 出公比的方法是研究 所以,数列的通项公式为 等比数列问题的常用 方法. 1 n ?1 4 an ? ?2 ? ( ) 12 2

1 ?1? a13 ? a1 ? q12 ? ?24 ? ? ? ? ?2?8 ? ? . 256 ?2?

回顾小结
等比数列 从第2项起,每一项与它前 一项的比等同一个常数 公比(q) q可正可负,但不可为零
名称 概念

等差数列 从第2项起,每一项与它前 一项的差等同一个常数 公差(d) d可正可负,且可以为零

常数

性质
通项 通项 变形

an ? a1 ? q n? k an ? akq

n ?1

(n, k ? N )
*

an ? a1 ? (n ? 1)d a n ? a k ? (n ? k )d *

(n, k ? N )

作业
?

课后练习2


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