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山东省实验中学2016届高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题 扫描版含答案


山东省实验中学 2013 级第一次模拟考试

数学试题答案(理科)
1-10 BDBDC CBAAD

2016.4

1 11. 9

16 12. 3

) 13. 280 14. 9 15. ( ,1

1 2

sin A+sin B 16.解 (Ⅰ)因为 tan C= , cos A+cos B sin C sin A+sin B 即cos C= , cos A+cos B 所以 sin Ccos A+sin Ccos B=cos Csin A+cos Csin B, 即 sin Ccos A-cos Csin A=cos Csin B-sin CcosB. 得 sin(C-A)=sin (B-C). 所以 C-A=B-C,或 C-A=π -(B-C)(舍). π 即 2C=A+B,得 C= 3 . …………6 分 …………4 分 …………2 分

π π π 2π π π (Ⅱ)由 C= 3 ,设 A= 3 +α,B= 3 -α,0<A,B< 3 ,知- 3 <α< 3 . 又 a=2Rsin A=2sin A,b=2Rsin B=2sin B, 1-cos 2A 1-cos 2B 故 a2+b2=4(sin2A+2sin2B)=4( + ) 2 2 …………8 分

? ? 2π ? ? 2π ?? =4-2 cos 3 +2α +cos 3 -2α ? ? ? ? ??
=4+2cos 2α . π π 2π 2π 1 由- 3 <α < 3 ,知- 3 <2α < 3 ,-2<cos 2α ≤1, 故 3<a2+b2≤6. 所以 a2+b2 的取值范围是 (3,6] . 17.(Ⅰ)证明(方法一):由 PA ⊥ 底面 ABCD ,得 PA ⊥ AB .
又 PA ? AB ,故 △PAB 为等腰直角三角形, 而点 E 是棱 PB 的中点,所以 AE ⊥ PB . 由题意知 BC ? AB ,又 AB 是 PB 在底面 ABCD 内的射影, 由三垂线定理得 BC ? PB , 从而 BC ? 平面 PAB ,故 BC ? AE .

…………10 分

…………12 分

…………2 分

…………4 分

因 AE ⊥ PB , AE ? BC , 所以 AE ⊥ 平面 PBC .

…………5 分

(Ⅰ)证明(方法二) :如图,以 A 为坐标原点,射线 AB、AD、AP 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴正半轴,建立空间 直角坐标系 A ? xyz .
z

设 D(0,a, 0) ,则 B(

2, 0,, 0) C( 2,a, 0) ,

P

P(0, 0,2),E ( ??? ?

2 2 , 0, ) . 2 2

E

于是 AE

?(

? ??? ? 2 2 ??? , 0, ), BC ? (0,a,, 0) PC ? ( 2,a, ? 2) , 2 2
B

A

D

y
C

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 则 AE ? BC ? 0, AE ? PC ? 0 ,
因而, AE ? BC ,所以 AE ? 平面 PBC. (Ⅱ)解:设平面 BEC 的法向量为 n1 ,由(Ⅰ)知,

x

…………5 分

??? ? ? 2 2? AE ⊥ 平面 BEC ,故可取 n1 ? EA ? ? ? , 0 , ? ?. ? 2 2 ? ? ?
设平面 DEC 的法向量 n2 由|

…………7 分

???? ??? ? ? ( x2,y2,z2 ) ,则 n2 ?DC ? 0,n2 ?DE ? 0 .

???? AD |? 1 ,得 D(01 , ,, 0) C( 21 , , 0) ,

? x2 ? 0, ???? ???? 2 2 ? 从而 DC ? ( 2, 0,, 0) DE ? ( , ? 1, ) ,故 ? 2 2 2 2 x2 ? y2 ? z2 ? 0. ? ? 2 2
所以 x2

? 0,z2 ? 2 y2 ,可取 y 2 ? 1 ,则 n2 ? (01 , ,2) .
?? n1 ?n1 3 . ?? | n1 |? | n2 | 3
3 .---------------12 分 3

…………10 分

从而 cos ? n1,n2

所以二面角 B ? EC ? D 的平面角的余弦值为 ?

18.解: (Ⅰ) ? 的可能取值为 3, 4, 5

………………1 分

P (? ? 3) ?

2 2 4 1 4 1 2 ? ? , P(? ? 4) ? C 2 ? ? , 3 3 9 3 3 9

P (? ? 5) ?

1 1 1 ? ? 3 3 9

………………4 分

? 的分布列为

?
p

3
4 9

4

5
1 9
………………7 分

4 9

4 4 1 11 E? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? ? 9 9 9 3
(Ⅱ)小王恰好到达 6 有三种情形 ①抛掷骰子五次,出现点数全部小于 5,概率 P 1 ?? ? ?

?2? ?3?

5

32 ; 243
1 4

……………8 分
3

? 2 ? 1 32 ②抛掷骰子四次,出现点数三次小于 5,一次大于等于 5,概率为 P ;…9 分 ? 2 ?C ? ? ? 3 ? 3 81 ?1? 2 2 ③抛掷骰子三次,出现点数一次小于 5,两次大于等于 5,概率 P ? 3 ?C ? ? ? 3? 3 9
2 3 2

……10 分

所以 P ?

32 32 2 182 ? ? ? 243 81 9 243 182 . 243
……………12 分

即小王恰好到达正整数 6 的概率为 19.解

Sn+1 Sn 1 (Ⅰ)由 2nSn+1-2(n+1)Sn=n(n+1),得 - = . n+1 n 2

Sn 1 所以数列{ }是以首项为 1,公差为 的等差数列. n 2 n?n+1? Sn 1 1 1 1 因此 =S1+(n-1)× =1+(n-1)× = n+ ,即 Sn= . n 2 2 2 2 2 ?n+1? ? n+2? n?n+1? 于是 an+1=Sn+1-Sn= - =n+1. 2 2 因为 a1=1,所以 an=n. 又因为 bn+2-2bn+1+bn=0,所以数列{bn}是等差数列. 9?b3+b7? 9-5 由 S9= =63,b3=5,得 b7=9.所以公差 d= =1. 2 7-3 所以 bn=b3+(n-3)× 1=n+2. bn an n+2 n 1 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 cn= + = + =2+2( - ), an bn n n n+2 n+2 …………6 分 …………7 分 …………4 分

1 1 1 1 1 1 1 1 1 所以 Tn=c1+c2+…+cn=2n+2× (1- + - + - +…+ - + - ) 3 2 4 3 5 n-1 n+1 n n+2

1 1 1 1 1 =2n+2(1+ - - )=3-2( + )+2n. 2 n+1 n+2 n+1 n+2 1 1 所以 Tn-2n=3-2( + ). n+1 n+2 1 1 设 An=Tn-2n=3-2( + ). n+1 n+2 1 1 1 1 因为 An+1-An=3-2( + )-[3-2( + )] n+2 n+3 n+1 n+2 1 1 4 =2( - )= >0, n+1 n+3 ?n+1? ? n+3? 4 所以{An}单调递增,故(An)min=A1= . 3 1 1 4 因为 An=3-2( + )<3,所以 ≤An<3. 3 n+1 n+2

…………8 分

…………9 分

…………11 分

4 4 因为对任意正整数 n,Tn-2n∈[a,b],所以 a≤ ,b≥3,即 a 的最大值为 ,b 的最小值为 3,所以(b 3 3 4 5 -a)min=3- = . 3 3
2 20.(I)设 N (4, y1 ) ,代入 x ? 2 py ,得 y1 ?

…………12 分

8 8 p p 8 ,所以 | MN |? , | NF |? ? y1 ? ? .由题设 p p 2 2 p



p 8 5 8 ? ? ? ,解得 p ? ?2 (舍去)或 p ? 2 , 2 p 4 p

∴C 的方程为 x2 ? 4 y ;---------5 分 (II)点 A、B 均在抛物线 x ? 4 y 上,
2

假设存在点 P(0,t)(t<0)满足条件, t-1 1-t 则直线 PA 的方程是 y= x+t,直线 PB 的方程是 y= x+t. 2 2 曲线 C 在 Q 处的切线 l 的方程是 y ? 由于–2<m<2,因此 ? 1 ? ①当–1<t<0 时, ? 1 ?
---------------6 分

m2 m m2 x? ,它与 y 轴的交点为 F(0, ? ). 4 2 4

m ?1. 2

t ?1 1 m t ?1 ? ? ,存在 m∈(–2,2),使得 ? , 2 2 2 2

即 l 与直线 PA 平行,故当-1<t<0 时不符合题意.---------------7 分 t-1 m 1-t m ②当 t≤-1 时, ≤-1< , ≥1> ,所以 l 与直线 PA,PB 一定相交. 2 2 2 2

分别联立方程组

t ?1 ? y? x?t ? ? 2 ? 2 ?y ? m x ? m ? 2 4 ?

1? t ? y? x?t ? ? 2 ,? 2 ?y ? m x ? m ? 2 4 ?

解得 D,E 的横坐标分别是

m2 ? 4t m2 ? 4t , xE ? xD ? 2(m ? 1 ? t ) 2(m ? t ? 1)
则 xD ? xE ? (1 ? t ) 又|FP|= ?

m2 ? 4t m2 ? (t ? 1) 2

---------------9 分

m2 1 ? t (m2 ? 4t )2 1 ? t ,有 S△PDE=2· |FP|· |xE-xD|= , ? 4 8 (t ? 1)2 ? m2
2

m 4?m 1 又 S△QAB= · 4· (1- )= , 2 4 2
S△QAB 4 m4 ? [4 ? (t ? 1) 2 ]m2 ? 4(t ? 1) 2 4 (m2 ? 4)[m2 ? (t ? 1) 2 ] ? 于是 = = .----11 分 ? S△PDE 1 ? t 1? t m4 ? 8tm2 ? 16t 2 (m2 ? 4t ) 2

? S△QAB ?? 4 ? (t ? 1) ? 8t 对任意 m(-2,2),要使 为常数,即只需 t 满足 ? S△PDE ?4(t ? 1) 2 ? 16t 2
2

?

S△QAB 解得 t=-1.此时 =2,故存在 t=-1,使得△QAB 与△PDE 的面积之比是常数 2.----13 分 S△PDE 21.解: (Ⅰ)由 x ? 1 ? 0 ,得 x ? ?1 .∴ f ?x ? 的定义域为 ?? 1,??? . …………1 分

因为对 x∈ ?? 1,??? ,都有 f ?x ? ? f ?1? ,∴ f ?1? 是函数 f ?x ? 的最小值,故有 f ??1? ? 0 .…2 分

f / ( x) ? 2 x ?

b b ,? 2 ? ? 0, 解得 b ? ?4 . x ?1 2

……3 分

经检验, b ? ?4 时, f ( x) 在 (?1,1) 上单调减,在 (1,? ?) 上单调增. f (1) 为最小值.故得证. ………4 分 (Ⅱ)∵ f / ( x) ? 2 x ?

b 2x 2 ? 2x ? b ? , 又函数 f ?x ? 在定义域上是单调函数, x ?1 x ?1

∴ f ??x ? ? 0 或 f ??x ? ? 0 在 ?? 1,??? 上恒成立.

b ? 0 在 ?? 1,??? 上恒成立, x ?1 1 2 1 1 2 即 b ? ?2 x ? 2 x = ? 2( x ? ) ? 恒成立,由此得 b ? ; 2 2 2 b ? 0 在 ?? 1,??? 上恒成立, 若 f ??x ? ? 0 ,则 2 x ? x ?1
若 f ??x ? ? 0 ,则 2 x ?

即 b ? ?2 x 2 ? 2 x = ? 2( x ? 因 ? 2( x ?

1 2 1 ) ? 恒成立. 2 2

1 2 1 ) ? 在 ?? 1,??? 上没有最小值,∴不存在实数 b 使 f ??x? ? 0 恒成立. 2 2 ?1 ? 综上所述,实数 b 的取值范围是 ? ,?? ? . ………………………8 分 ?2 ? (Ⅲ)当 b ? ?1 时,函数 f ?x? ? x 2 ? ln?x ? 1? .
令 h?x? ? f ?x? ? x 3 ? ? x 3 ? x 2 ? ln?x ? 1? , 则 h??x ? ? ?3x 2 ? 2 x ? 1
2

当 x ? ?0,???时, h??x ? ? 0 ,所以函数 h?x ? 在 ?0,??? 上单调递减. 故当 x ? ?0,???时,有 f ?x? ? x 3 . 而 k ? N ,?
?

x ?1

??

3x 3 ? ?x ? 1? . x ?1

又 h?0? ? 0 ,? 当 x ? ?0,??? 时,恒有 h?x ? ? h?0? ? 0 ,即 x 2 ? ln?x ? 1? ? x 3 恒成立.

1 1 ?1? 1 ? ?0,?? ? .取 x ? ,则有 f ? ? ? 3 . k k ?k? k
……………………………14 分

n 1 1 1 ?1? ? ? f ? ? ? 1 ? 3 ? 3 ? ? ? ? ? 3 .所以结论成立. 2 3 n k ?1 ? k ?


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