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2010


2010 年普通高等学校招生全国(全国卷 II) (数学理)
【教师简评】 按照“保持整体稳定,推动改革创新,立足基础考查,突出能力立意”命题指导思想, 本套试卷的总体印象是:题目以常规题为主,难度较前两年困难,得高分需要扎扎实实的数学 功底. 1.纵观试题,小题起步较低,难度缓缓上升,除了选择题 11、12、16 题有一定的难度之 外,其他题目难度都比较平和. 2.解

答题中三角函数题较去年容易,立体几何难度和去年持平,数列题的难度较去年有 所提升,由去年常见的递推数列题型转变为今年的数列求极限、数列不等式的证明,不易拿 满分,概率题由去年背景是“人员调配”问题,转变为今年的与物理相关的电路问题,更体 现了学科之间的联系.两道压轴题以解析几何和导数知识命制,和去年比较更有利于分步得 分. 3.要求考生有比较强的计算能力,例如立体几何问题,题目不难,但需要一定的计算技 巧和能力.不管题目难度如何变化, “夯实双基(基础知识、基本方法)” ,对大多数考生来说, 是以不变应万变的硬道理.

?3?i ? (1)复数 ? ? ? ? 1? i ?
(A) ?3 ? 4i (B) ?3 ? 4i (C) 3 ? 4i (D) 3 ? 4i

2

【答案】A 【命题意图】本试题主要考查复数的运算. 【解析】 ?

? (3 ? i)(1 ? i) ? ?3?i ? ? (1 ? 2i)2 ? ?3 ? 4i . ? ?? ? 2 ? ? ? 1? i ?
1 ? ln( x ? 1) ( x ? 1) 的反函数是 2
(B) y ? e2 x?1 ? 1( x ? 0) (D) y ? e2 x?1 ? 1( x ? R)

2

2

(2).函数 y ? (A)

y ? e2 x?1 ? 1( x ? 0)

(C) y ? e2 x?1 ?1( x ? R)

【答案】D 【命题意图】本试题主要考察反函数的求法及指数函数与对数函数的互化。 【解析】由原函数解得 ,即 ∴在反函数中 ,故选 D. ,又 ;

? x≥ ? 1, ? (3).若变量 x, y 满足约束条件 ? y≥x, 则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ?3x ? 2 y≤5, ?
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(A)1 (B)2 (C)3 【答案】C 【命题意图】本试题主要考查简单的线性规划问题.

(D)4

【解析】可行域是由 A(?1, ?1), B(?1, 4),C(1,1) 构成的三角形,可知目标函数过 C 时最大, 最大值为 3,故选 C. (4).如果等差数列 ?an ? 中, a3 ? a4 ? a5 ? 12 ,那么 a1 ? a2 ? ... ? a7 ? (A)14 (B)21 (C)28 【答案】C 【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质. 【解析】 a3 ? a4 ? a5 ? 3a4 ? 12, a4 ? 4,? a1 ? a2 ? ? ? a7 ? (D)35

7(a1 ? a7 ) ? 7a4 ? 28 2

(5)不等式

x2 ? x ? 6 >0 的解集为 x ?1

(A) x x< ? 2, 或x>3 (C)

?

?

(B) x x< ? 2,或1<x<3

?

? ?

? x ?2<x<1,或x>3?

1,或1<x<3 (D) x ?2<x<

?

【答案】C 【命题意图】本试题主要考察分式不等式与高次不等式的解法.

【解析】 解得-2<x<1 或 x>3,故选 C

利用数轴穿根法

(6)将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中.若每个信封放 2 张, 其中标号为 1,2 的卡片放入同一信封,则不同的方法共有 (A)12 种 (B)18 种 (C)36 种 (D)54 种

【答案】B 【命题意图】本试题主要考察排列组合知识,考察考生分析问题的能力. 【解析】标号 1,2 的卡片放入同一封信有 种方法;其他四封信放入两个信封,每个信封两

个有

种方法,共有

种,故选 B.

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(7)为了得到函数 y ? sin(2 x ?

?
3

) 的图像,只需把函数 y ? sin(2 x ?
(B)向右平移

?
6

) 的图像

? 个长度单位 4 ? (C)向左平移 个长度单位 2
(A)向左平移

? 个长度单位 4 ? (D)向右平移 个长度单位 2

【答案】B 【命题意图】本试题主要考查三角函数图像的平移.

2? 【 解 析 】 y ? s i n (x y ? s i n (x 2?

?
6

=) sin 2( x ?

? ? 个长度单位得到 y ? sin(2 x ? ) 的图像,故选 B. 6 3 4 u u r uur (8)V ABC 中,点 D 在 AB 上,CD 平方 ?ACB .若 CB ?a ,CA ? b , a ? 1 , b ? 2 ,

?

) , y ? sin(2 x ? ) = ? sin 2( x ? ) , 所 以 将 12 3 6

?

?

?

) 的图像向右平移

则 CD ? (A) a ?

uuu r

1 3

2 b 3

(B)

2 1 a? b 3 3

(C)

3 4 a? b 5 5

(D)

4 3 a? b 5 5

【答案】B 【命题意图】本试题主要考查向量的基本运算,考查角平分线定理. 【解析】因为 CD 平分 ?ACB ,由角平分线定理得 点,且 AD ? B. (9)已知正四棱锥 S ? ABCD 中, SA ? 2 3 ,那么当该棱锥的体积最大时,它的高为 (A)1 (B) 3 (C)2 (D)3

AD DB

=

CA

2 ? ,所以 D 为 AB 的三等分 CB 1

????

? 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? 2 ??? ? 1 ??? ? 2? 1? 2 ??? AB ? (CB ? CA) ,所以 CD ? CA+AD ? CB ? CA ? a ? b ,故选 3 3 3 3 3 3

【答案】C 【命题意图】本试题主要考察椎体的体积,考察告辞函数的最值问题.

【解析】设底面边长为 a,则高

所以体积





,则

,当 y 取最值时,

,解得 a=0 或 a=4

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时,体积最大,此时
? 1 2

,故选 C.

1 ? ? ? (10)若曲线 y ? x 在点 ? a , a 2 ? 处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为 18,则 a ? ? ?

(A)64 (B)32 (C)16 (D)8 【答案】A 【命题意图】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式, 考查考生的计算能力.. 【解析】 y ' ? ?
1 ? 1 ?3 1 ?3 1 ?3 x 2 ,? k ? ? a 2 , 切 线 方 程 是 y ? a 2 ? ? a 2 ( x ? a) , 令 x ? 0 , 2 2 2

3 ?1 1 3 ?1 y ? a 2 ,令 y ? 0 , x ? 3a ,∴三角形的面积是 s ? ? 3a ? a 2 ? 18 ,解得 a ? 64 .故选 2 2 2
A.

AB 、 CC1 、 A1D1 所在直线的距离相等的点 (11)与正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的三条棱
(A)有且只有 1 个 (C)有且只有 3 个 (B)有且只有 2 个 (D)有无数个

【答案】D 【解析】直线 上取一点,分别作 垂直于 于 则 分别作 ,垂足分别为 M,N,Q,连 PM,PN,PQ,由三垂线 定理可得, PN ⊥ PM ⊥ ; PQ ⊥ AB ,由于正方体中各个表面、对等角全等,所以 ,∴PM=PN=PQ,即 P 到三条棱 AB、CC1、A1D1.所在直线的距 离相等所以有无穷多点满足条件,故选 D. (12)已知椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a>b>0) 的离心率为 ,过右焦点 F 且斜率为 k (k>0) 的 2 a b 2

直线与 C 相交于 A、B 两点.若 AF ? 3FB ,则 k ? (A)1 (B) 2 (C) 3 (D)2

??? ?

??? ?

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【答案】B 【命题意图】本试题主要考察椭圆的性质与第二定义. 【解析】设直线 l 为椭圆的有准线,e 为离心率,过 A,B 分别作 AA1,BB1 垂直于 l,A1,B 为

垂足,过 B 作 BE 垂直于 AA1 与 E,由第二定义得,

,由









即 k=

,故选 B.

第Ⅱ卷 注意事项: 1.用 0.5 毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上作答。 2.本卷共 10 小题,共 90 分。 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. (13)已知 a 是第二象限的角, tan(? ? 2a ) ? ? 【答案】 ?

4 ,则 tan a ? 3



1 2

【命题意图】本试题主要考查三角函数的诱导公式、正切的二倍角公式和解方程,考查考生 的计算能力.

4 2 t a? n 4 2? ? ? ,解得 , 又 t a na 2 3 1? t a n ? 3 1 1 tan ? ?? 或 t? an ? ,又 2 a 是第二象限的角,所以 tan ? ? ? . 2 2 a 9 3 (14)若 ( x ? ) 的展开式中 x 的系数是 ?84 ,则 a ? . x

?(? a 2 ?) ? 得 tan 2a ? ? 【解析】由 tan

4 3

【答案】1 【命题意图】本试题主要考查二项展开式的通项公式和求指定项系数的方法.
3 【解析】展开式中 x 的系数是 C9 (?a)3 ? ?84a3 ? ?84,?a ? 1 .
3

(15)已知抛物线 C : y 2 ? 2 px( p>0) 的准线为 l ,过 M (1,0) 且斜率为 3 的直线与 l 相交于 点 A ,与 C 的一个交点为 B .若 AM ? MB ,则 p ?
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???? ?

????



【答案】2 【命题意图】本题主要考查抛物线的定义与性质. 【解析】过 B 作 BE 垂直于准线 l 于 E,∵ AM ? MB ,∴M 为中点,∴ BM ? 率为 3 ,?BAE ? 300 ,∴ BE ?

???? ?

????

1 AB ,又斜 2

1 AB ,∴ BM ? BE ,∴M 为抛物线的焦点,∴ p ? 2. 2 (16)已知球 O 的半径为 4,圆 M 与圆 N 为该球的两个小圆, AB 为圆 M 与圆 N 的公共弦, AB ? 4 .若 OM ? ON ? 3 ,则两圆圆心的距离 MN ? .
【答案】3 【命题意图】本试题主要考查球的截面圆的性质,解三角形问题. 【解析】设 E 为 AB 的中点,则 O,E,M,N 四点共面,如图,∵ AB ? 4 ,所以

? AB ? OE ? R 2 ? ? ? ? 2 3 ,∴ ME= 3 ,由球的截面性质,有 OM ? ME,ON ? NE ,∵ ? 2 ?

2

OM ?ON ? 3 ,所以 ?MEO 与 ?NEO 全等,所以 MN 被 OE 垂直平分,在直角三角形中,由
面积相等,可得, MN=2

ME?MO ?3 OE

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 10 分)

?ABC 中, D 为边 BC 上的一点, BD ? 33 , sin B ?

5 3 , cos ?ADC ? ,求 AD . 13 5

【命题意图】本试题主要考查同角三角函数关系、两角和差公式和正弦定理在解三角形中的 应用,考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况. 【参考答案】

由 cos∠ADC=

>0,知 B<

.

由已知得 cosB=

,sin∠ADC=

.

从而 sin∠BAD=sin(∠ADC-B)=sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB=

=

.

由正弦定理得

,所以

=

.

【点评】三角函数与解三角形的综合性问题,是近几年高考的热点,在高考试题中频繁出现. 这类题型难度比较低,一般出现在 17 或 18 题,属于送分题,估计以后这类题型仍会保留, 不会有太大改变.解决此类问题,要根据已知条件,灵活运用正弦定理或余弦定理,求边角或
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将边角互化. (18) (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? (n2 ? n)? 3n . (Ⅰ)求 lim

an ; n ?? S n

(Ⅱ)证明:

a a1 a2 ? 2 ?…? n >3n . 2 2 1 2 n

【命题意图】本试题主要考查数列基本公式 an ? ?

?

s1 (n ? 1)

? sn ? sn?1 (n ? 2)

的运用,数列极限和数列不

等式的证明,考查考生运用所学知识解决问题的能力. 【参考答案】

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【点评】2010 年高考数学全国 I、Ⅱ这两套试卷都将数列题前置,一改往年的将数列结合不等 式放缩法问题作为押轴题的命题模式,具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方 法基本技能,重视两纲的导向作用,也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心. 估计以后的高考,对数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、递推数列、数列求和、 数列极限、简单的数列不等式证明等,这种考查方式还要持续.

AC ? BC ,AA1 ? AB ,D 为 BB1 的中点,E 为 AB1 (19) 如图, 直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,
上的一点, AE ? 3EB1 . (Ⅰ)证明: DE 为异面直线 AB1 与 CD 的公垂线; (Ⅱ)设异面直线 AB1 与 CD 的夹角为 45°,求二面角

A1 ? AC1 ? B1 的大小.
【命题意图】本试题主要考查空间的线面关系与空间角的求 解,考查考生的空间想象与推理计算的能力. 【参考答案】 (19)解法一: (I)连接 A1B,记 A1B 与 AB1 的交点为 F. 因为面 AA1BB1 为正方形,故 A1B⊥AB1,且 AF=FB1,又 AE=3EB1,所以 FE=EB1,又 D 为 BB1 的中点, 故 DE∥BF,DE⊥AB1. ??????3 分 作 CG⊥AB,G 为垂足,由 AC=BC 知,G 为 AB 中点. 又由底面 ABC⊥面 AA1B1B.连接 DG,则 DG∥AB1,故 DE⊥DG,由三垂线定理,得 DE⊥CD. 所以 DE 为异面直线 AB1 与 CD 的公垂线. (II)因为 DG∥AB1,故∠CDG 为异面直线 AB1 与 CD 的夹角,∠CDG=45° 设 AB=2,则 AB1= ,DG= ,CG= ,AC= .

作 B1H⊥A1C1,H 为垂足,因为底面 A1B1C1⊥面 AA1CC1,故 B1H⊥面 AA1C1C.又作 HK⊥AC1,K 为垂 足,连接 B1K,由三垂线定理,得 B1K⊥AC1,因此∠B1KH 为二面角 A1-AC1-B1 的平面角.

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【点评】三垂线定理是立体几何的最重要定理之一,是高考的的热点,它是处理线线垂直问 题的有效方法,同时它也是确定二面角的平面角的主要手段.通过引入空间向量,用向量代数 形式来处理立体几何问题,淡化了传统几何中的“形”到“形”的推理方法,从而降低了思 维难度,使解题变得程序化,这是用向量解立体几何问题的独到之处. (20) (本小题满分 12 分) 如图,由 M 到 N 的电路中有 4 个元件,分别标为 T1,T2,T3,T4,电流能通过 T1,T2,T3 的概率都是 p,电流能通过 T4 的概率是 0.9.电流能否通过各元件相互独立.已知 T1,T2,T3 中至少有一个能通过电流的概率为 0.999. (Ⅰ)求 p; (Ⅱ)求电流能在 M 与 N 之间通过的概率; (Ⅲ) ? 表示 T1,T2,T3,T4 中能通过电流的元件个数,求 ? 的期望.

【命题意图】本试题主要考查独立事件的概率、对立事件的概率、互斥事件的概率及数学期 望,考查分类讨论的思想方法及考生分析问题、解决问题的能力. 【参考答案】

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【点评】概率与统计也是每年的必考题,但对考试难度有逐年加强的趋势,已经由原来解答 题的前 3 题的位置逐渐后移到第 20 题的位置,对考生分析问题的能力要求有所加强,这应引 起高度重视. (21) (本小题满分 12 分)

x2 y 2 己知斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C: 2 ? 2 ? 1? a>0,b>0 ? 相交于 B、D 两点,且 BD a b
的中点为 M ?1,3? . (Ⅰ)求 C 的离心率; (Ⅱ)设 C 的右顶点为 A,右焦点为 F, DF ?BF ? 17 ,证明:过 A、B、D 三点的圆与 x 轴相切. 【命题意图】本题主要考查双曲线的方程及性质,考查直线与圆的关系,既考查考生的基础 知识掌握情况,又可以考查综合推理的能力. 【参考答案】

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【点评】高考中的解析几何问题一般为综合性较强的题目,命题者将好多考点以圆锥曲线为 背景来考查,如向量问题、三角形问题、函数问题等等,试题的难度相对比较稳定. (22) (本小题满分 12 分) 设函数 f ? x ? ? 1 ? e .
?x

(Ⅰ)证明:当 x>-1 时, f ? x ? ? (Ⅱ)设当 x ? 0 时, f ? x ? ?

x ; x ?1

x ,求 a 的取值范围. ax ? 1

【命题意图】本题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式,考查考生综合运用知识的能 力及分类讨论的思想,考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力. 【参考答案】

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【点评】导数常作为高考的压轴题,对考生的能力要求非常高,它不仅要求考生牢固掌握基 础知识、基本技能,还要求考生具有较强的分析能力和计算能力.估计以后对导数的考查力度 不会减弱。作为压轴题,主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题,利用导数证明不等式 等,常伴随对参数的讨论,这也是难点之所在.

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