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数学选修2-2导数及其应用测试(2)


广东省吴川市第一中学 11-12 学年下学期数学选修 2-2 导数及 其应用测试(2)
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是最符合题目要求的.)
1、函数 f ?x ? ? a ln x ? x 在 x ? 1 处取到极值,则 a 的值为 A

. ( D. ? )

1 2 2 2、若函数 f ( x) ? x ? bx ? c 的图象的顶点在第四象限,则函数 f ?( x) 的图象是(
B. ? 1 C. 0

1 2

)

3、已知函数 f ( x) ? ? x 3 ? ax2 ? x ? 1 在 (??,??) 上是单调函数,则实数 a 的取值范围 是( ) A. (??,? 3] ? [ 3,??) B. [? 3, 3] C. (??,? 3) ? ( 3,??) D. (? 3, 3) )

4、对于 R 上可导的任意函数 f ( x ) ,若满足 ( x ? 1) f ?( x ) ? 0 ,则必有( A. f (0) ? f (2) ? 2 f (1) C. f (0) ? f (2) ? 2 f (1) B. f (0) ? f (2) ? 2 f (1) D.

f (0) ? f (2) ? 2 f (1)

5、已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 的导数为 f ?( x ) , f ?( x) ? 0 ,对于任意实数 x 都有

f ( x) ? 0 ,则
A. 3

f (1) 的最小值为( f ?(0)
B.

)

5 2

C. 2

D.

3 2
y

6、函数 f ( x) 的定义域为开区间 ( a, b) ,导函数 f ?( x) 在

y ? f ?( x)

( a, b) 内的图象如图所示,则函数 f ( x) 在开区间 ( a, b) 内有极

b

a

O

x

小值点( A. 4 个

) B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个

7、作为对数运算法则 : lg(a ? b) ? lg a ? lg b ( a ? 0, b ? 0 )是不正确的.但对一些特 殊值是成立的,例如: lg(2 ? 2) ? lg 2 ? lg 2 .如果正实数 x 、 y 使得 lg( x ? y ) ? lg x ? lg y 成 立,则函数 y ? f ( x) 的递减区间是 A. (0, ??) B. (0,1) ( ) C. (0,1) 、 (1, ??) D. (0,1) )

(1, ?? )

8、函数 y ? x ? 2cos x 在 [0, ] 上取最大值时, x 的值为( A. 0 B.

? 2

π 6

C.

π 3

D.

π 2
)

9、 f ( x) ? x 3 ? x 2 ? x 的单调减区间是( A.( ? ?,? )

1 3

B. (1, ? )

C.( ? ?,? ) , (1, ? )

1 3

D. ( ? ,1)

1 3

10、某工厂生产的机器销售收入 y1 (万元)是产量 x (千台)的函数: y1 ? 17x 2 ,生产总成本

y 2 (万元)也是产量 x (千台)的函数; y2 ? 2 x 3 ? x 2 ( x ? 0) ,为使利润最大,应生产(
A.6 千台 B. 7 千台 C.8 千台 ) D.9 千台

)

11、函数 f ( x ) ? ? A. f (a) ? f (b) C. f (a) ? f (b)

x ( a ? b ? 1) ,则( ex
B. f (a) ? f (b)

D. f (a), f (b) 大小关系不能确定

12、 f ( x), g ( x) 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x ? 0 时,

f ( x) g ( x) ? 0 的解集为 f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ? 0 ,且 f (?2) ? 0, 则不等式
A. (?2,0) C. ( ??, ?2)

(

)

(2, ??) (2, ??) CY

B. ( ?2,0)

(0, 2) (0,2)

D. (??, ?2)

第Ⅱ 卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中的横线上.)
13、 若函数 f ( x ) = x ( x - c ) 在 x ? 2 处有极大值,则常数 c 的值为_________ 14、设 f ( x) ? x ?
3
2

1 2 x ? 2 x ? 5 ,当 x ? [?1,2] 时, f ( x) ? m 恒成立,则实数 m 的取值范 2

围为

.

15 、已知二次函数 f ( x ) 的导函数 f '( x) ? 2 x ? 9 , 且 f (0) 的值为整数 , 当 x ? (4,5] 时, f ( x ) 的值为整数的个数有 个.

16、对正整数 n ,设曲线 y ? x n (1 ? x) 在 x ? 2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 a n ,则 数列 ?

? an ? ? 的前 n 项和的公式是 ? n ? 1?

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及 演算步骤.)
17、(12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c 在 x ? ?
3 2

2 与 x ? 1 时都取得极值 3

(1)求 a , b 的值与函数 f ( x ) 的单调区间 (2)若对 x ? [?1, 2] ,不等式 f ( x) ? c2 恒成立,求 c 的取值范围
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18、(12 分) 已知 f ( x ) ? log3

x 2 ? ax ? b , x ? (0, ??) , 是否存在实数 a、 b , 使 f ( x) 同时满足下列 x

两个条件:(1) f ( x) 在 (0,1) 上是减函数,在 ?1, ?? ? 上是增函数;(2) f ( x) 的最小值是 1 ,若存在, 求出 a、 b ,若不存在,说明理由.

19、(12 分) 某地政府为科技兴市,欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形高科 技工业园区.已知 AB ? BC , OA // BC , AB ? BC ? 2OA = 4km ,曲线段 OC 是以点 O 为顶 点且开口向右的抛物线的一段.如果要使矩形的相邻两边分 别落在 AB, BC 上,且一个顶点落在曲线段 OC 上,问应如何 规划才能使矩形工业园区的用地面积最大 ? 并求出最大的 用地面积(精确到 0.1km ).
2

20、(12 分) 设 a ? R ,函数 f ( x) ? ax3 ? 3x 2 . (1)若 x ? 2 是函数 y ? f ( x) 的极值点,求 a 的值;

2] ,在 x ? 0 处取得最大值,求 a 的取值范围. (2)若函数 g ( x) ? f ( x) ? f ?( x),x ?[0,

21、(12 分) 已知函数 f ( x) ? ax2 ? | x | ?2a ? 1 ( a 为实常数). (1)若 a ? 1 ,作函数 f ( x) 的图像; (2)设 f ( x) 在区间 [1 , 2] 上的最小值为 g (a ) ,求 g (a ) 的表达式;

22、(14 分) 已知函数 f ( x ) ? ln x ?

a (a ? R) . x

(1)判断 f ( x ) 在定义域上的单调性; (2)若 f ( x ) 在 [1, e] 上的最小值为 2,求 a 的值.

参考答案
1.B f '( x ) ? 2.A 3.B 4.D

a ? 1 , f '(1) ? 0 ? a ? 1 ? 0 ,∴a ? ?1 . x b ' 对称轴 ? ? 0, b ? 0, f ( x) ? 2 x ? b ,直线过第一、三、四象限 2

f ' ( x) ? ?3x2 ? 2ax ?1 ? 0 在 (??,??) 恒成立, ? ? 4a2 ?12 ? 0 ? ? 3 ? a ? 3
当 x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 在 (1, ??) 上是增函数;当 x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x ) 在

(??,1) 上是减函数,故 f ( x) 当 x ? 1 时取得最小值,即有 f (0) ? f (1), f (2) ? f (1),
得 f (0) ? f (2) ? 2 f (1) 5.C f ?( x) ? 2ax ? b, f ?(0) ? b ? 0 对于任意实数 x 都有 f ( x) ? 0 得 a ? 0, b ? 4ac ? 0,?b ? 4ac
2 2

∴ c ? 0,

f (1) a ? b ? c a ? c 2 ac ? ? ?1 ? ? 1 ? 1 ? 1 ? 2, 当且仅当 a ? c 时取等号. f ?(0) b b b

6.D 极小值点应有先减后增的特点,即 f ?( x) ? 0 ? f ?( x ) ? 0 ? f ?( x ) ? 0 ,合条件的只有 1 点. 7.C 可得 y ?

x 1 ? y' ? ? ? 0( x ? 1) ,即 f ( x ) 在 (0,1) 、 (1, ??) 都是减函数. x ?1 ( x ? 1)2

8.B y ? ? 1 ? 2 sin x ,解 y ? ? 0 得 0 ? x ? 9.D

?
6

6 2 1 1 f ?( x) ? 3x 2 ? 2x ? 1 ,解 3x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 得 ? ? x ? 1 ,所以单调区间是 ( ? ,1) 3 3

? ,解 y ? 0 得

?

?x?

?

10.A 利润 y ? y1 ? y2 ? 18x 2 ? 2x 3 , y ? ?6x 2 ? 36x ,解 y ? ? 0 得 0 ? x ? 6; 解 y ? ? 0 得 x ? 6; 当 x ? 6 时, y 取得最大值.

11.C

f ?( x ) ? ?

e x ? xe x x ?1 ? ? x ,当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,即 f ( x) 在区间 (??,0) 上单调递 x 2 (e ) e

减, 又? a ? b ? 1,? f (a) ? f (b) 12.A 记 F ( x) ? f ( x) ? g ( x),? f ?( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ?( x) ? F ?( x) ,易知 F ( x) 在 R 上为奇

函数 , 且 x ? 0 时 , F ( x) 单调递减 , 结合图像 , 易得 F ( x) ? 0 , 即 f ( x) ? g ( x) ? 0 的解集 为

(?2,0) (2, ??)
13. 6

f ' ( x) ? 3x2 ? 4cx ? c2 , f ' (2) ? c2 ? 8c ?12 ? 0, c ? 2, 或6 , c ? 2 时取极小值

14. (7, ??) 当 x ? [?1,2] 时,用导数法可得 f ( x) max ? 7 ,∴m ? 7 . 15.1 设 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) ,则 f '( x ) ? 2ax ? b ? 2 x ? 9 ,∴a ? 1, b ? ?9 . 有 f ( x) ? x 2 ? 9 x ? c ? ( x ? 4.5)2 ? 4.52 ? c ,当 x ? (4,5] 时,

f ( x)max ? f ( x)min ? f (5) ? f (4.5) ? 0.25 ,又 f (5) ? ?20 ? c ? Z ,只有 1 个整数 f (0) .
16. 2
n ?1

?2

y?

x ?2

n n ?1 ? ?2n ?1 (n ? 2 ,) 切线方程为 y ? 2 ? ?2 (n ? 2)( x ? 2) ,

令 x ? 0 ,求出切线与 y 轴交点的纵坐标为 y0 ? ? n ? 1? 2n ,所以

an ? a ? ? 2n ,则数列 ? n ? 的 n ?1 ? n ? 1?

前 n 项和 Sn ?

2 ?1 ? 2n ? 1? 2

? 2n?1 ? 2

17.解:(1) f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c, f ' ( x) ? 3x2 ? 2ax ? b 由 f (? ) ?
'

2 3

12 4 1 ? a ? b ? 0 , f ' (1) ? 3 ? 2a ? b ? 0 得 a ? ? , b ? ?2 9 3 2

f ' ( x) ? 3x2 ? x ? 2 ? (3x ? 2)( x ?1) ,函数 f ( x) 的单调区间如下表:

x
f ' ( x)
f ( x)

2 (??, ? ) 3

?
0

2 3

?
?

2 ( ? ,1) 3 ?
?

1

(1, ??)
0

?
?

极大值

极小值

所以函数 f ( x ) 的递增区间是 (??, ? ) 与 (1, ??) ,递减区间是 ( ? (2) f ( x) ? x ?
3

2 3

2 ,1) ; 3

1 2 2 2 22 x ? 2 x ? c, x ? [?1, 2] ,当 x ? ? 时, f ( ? ) ? ?c 2 3 3 27

2 为极大值,而 f (2) ? 2 ? c ,则 f (2) ? 2 ? c 为最大值,要使 f ( x) ? c , x ?[?1, 2] 恒成立,

则只需要 c ? f (2) ? 2 ? c ,得 c ? ?1, 或c ? 2
2

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∴c 的取值范围是 (??, ?1)

(2, ??) .

18.解:设 g ( x) ?

x 2 ? ax ? b ,∵ f ( x ) 在 (0,1) 上是减函数,在 [1, ??) 上是增函数, x

∴g ( x) 在 (0,1) 上是减函数,在 [1, ??) 上是增函数,

∴?

? g ' (1) ? 0 ?b ? 1 ? 0 ?a ? 1 ,∴? ,解得 ? ? g (1) ? 3 ?a ? b ? 1 ? 3 ?b ? 1

经检验, a ? 1, b ? 1 时, f ( x ) 满足题设的两个条件. 19.解:以 O 为原点, OA 所在直线为 y 轴建立直角坐标系, 则抛物线方程令为 y 2 ? 2 px( p ? 0) .而 C (4,2) ,代入则有 y 2 ? x(0 ? x ? 4, y ? 0) .
3 2 令 P(t 2 , t )(0 ? t ? 2) ,易求工业区面积 S ? ?t ? 2t ? 4t ? 8 .求导解 S ? ? 0 得 t ?

2 . 3

当 t ? (0, ) 时, S ? ? 0 , S 是 t 的增函数;当 t ? ( ,2) 时, S ? ? 0 , S 是 t 的减函数.

2 3

2 3

2 时, S 取得最大值,且 S max ? 9.5(km2 ) . 3 32 8 km ,宽为 km 的矩形时,工业园区的用地面积最大 ,最大的 所以,把工业园区规划成长为 9 3
所以当 t ? 用地面积约为 9.5km 2 . 20、解:(1) f ?( x) ? 3ax ? 6 x ? 3x(ax ? 2) .
2

因为 x ? 2 是函数 y ? f ( x) 的极值点,所以 f ?(2) ? 0 ,即 6(2a ? 2) ? 0 ,因此 a ? 1 . 经验证,当 a ? 1 时, x ? 2 是函数 y ? f ( x) 的极值点. (2)由题设, g ( x) ? ax ? 3(a ? 1) x ? 6 x . g (0) ? 0
3 2

2] 上的最大值为 g (0) 时, ax ? 3(a ? 1) x ? 6 x ? 0 对一切 x ? ?0,2?都成 当 g ( x) 在区间 [0,
3 2

立, 即a ?

3x ? 6 3x ? 6 对一切 x ? ?0,2?都成立.令 ? ( x) ? 2 , x ? ?0,2?,则 a ? ?? ( x)?min 2 x ? 3x x ? 3x
3x ? 6 ? 3( x ? 2) 2 ? 6 在 x ? ?0,2?上单调递减, ? 0 ,可知 ? ( x) ? 2 2 2 x ? 3x ( x ? 3 x)

由 ? ?( x) ?

所以 ?? ( x)?min ? ? (2) ?

6 6? ? , 故 a 的取值范围是 ? ??, ? 5 5? ?

y 21.解:(1)当 a ? 1 时, f ( x) ? x 2 ? | x | ?1
2 ? ?x ? x ? 1 , x ? 0 ?? 2 .作图(如右所示) ? ?x ? x ? 1 , x ? 0

10

(2)当 x ? [1 , 2] 时, f ( x) ? ax2 ? x ? 2a ? 1 . 若 a ? 0 ,则 f ( x) ? ? x ? 1 在区间 [1 , 2] 上是减函数,

5

g (a) ? f (2) ? ?3 .
若 a ? 0 ,则 f ( x) ? a? x ?

1 -3 -2 -1 O 1 2 3

x

1 1 ? 1 . ? 1 , f ( x) 图像的对称轴是直线 x ? ? ? 2a ? 2a 2a ? 4a 当 a ? 0 时, f ( x) 在区间 [1 , 2] 上是减函数, g (a) ? f (2) ? 6a ? 3 . 1 1 ? 1 ,即 a ? 时, f ( x) 在区间 [1 , 2] 上是增函数, g (a) ? f (1) ? 3a ? 2 . 当0 ? 2a 2 1 1 1 1 ? 1 ? ? 2 ,即 ? a ? 时, g (a) ? f ? ? ? 2a ? 当1 ? ? 1. 2a 4 2 4a ? 2a ? 1 1 ? 2 ,即 0 ? a ? 时, f ( x) 在区间 [1 , 2] 上是减函数, g (a) ? f (2) ? 6a ? 3 . 当 2a 4 1 ? 当a ? ?6a ? 3 , 4 ? 1 1 1 ? ? 1, 当 ? a ? , 综上可得, g ( a ) ? ?2a ? 4a 4 2 ? 1 ? 当a ? ?3a ? 2 , 2 ? 1 a x?a 22.解:(1)由题意得 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , f ?( x) ? ? 2 ? . x x x2
① 当 a ? 0 时, f '( x) ? 0 ,故 f ( x ) 在 (0, ??) 上为增函数; ② 当 a ? 0 时,由 f '( x) ? 0 得 x ? ?a ;由 f '( x) ? 0 得 x ? ?a ;由 f '( x) ? 0 得 x ? ?a ; ∴ f ( x ) 在 (0, ?a ] 上为减函数;在 ( ?a, ??) 上为增函数. 所以 ,当 a ? 0 时 , f ( x ) 在 (0, ??) 上是增函数 ;当 a ? 0 时 , f ( x ) 在 (0, ?a ] 上是减函数 ,在

? ?

2

( ?a, ??) 上是增函数.
(2)∵ f ?( x) ?

x?a , x ? 0 .由(1)可知: x2

① 当 a ? 0 时, f ( x ) 在 (0, ??) 上为增函数, f ( x)min ? f (1) ? ?a ? 2 ,得 a ? ?2 ,矛盾! ② 当 0 ? ? a ? 1 时,即 a ? ?1 时, f ( x ) 在 (0, ??) 上也是增函数,

f ( x)min ? f ?1? ? ?a ? 2 ,∴a ? ?2 (舍去).
③ 当 1 ? ? a ? e 时,即 ?e ? a ? ?1 时, f ( x ) 在 [1, ?a ] 上是减函数,在 ( ?a, e] 上是增函数, ∴ f ( x)min ? f ? ?a ? ? ln(?a) ? 1 ? 2 ,得 a ? ?e (舍去). ④ 当 ? a ? e 时,即 a ? ? e 时, f ( x ) 在 [1, e] 上是减函数,有 f ( x ) min ? f ? e ? ? 1 ? ∴a ? ?e . 综上可知: a ? ?e .

a ? 2, e


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