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黑龙江省哈尔滨九中2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析


黑龙江省哈尔滨九中 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一、选择题(在下列各题的四个选项中,只有一项是最符合题意的.每小题 5 分共 60 分.请将答案填涂 在客观题答题卡上) 1. (5 分)函数 A.(﹣∞,2) 2. (5 分)已知 A. B. 的定义域为() B.(2,+∞) C.(2,3)∪(3,+∞) D. (2, 4) ∪ (4, +∞)

/>
,那么 cosα=() C. D.

3. (5 分)函数 y=1+cos2x 的图象() A.关于 x 轴对称 C. 关于点 对称

B. 关于原点对称 D.关于直线 对称

4. (5 分)已知向量 =(3,2) , =(﹣1,2) , =(4,1) ,若 +k 与 2 ﹣ 共线,则 k 的值是() A. B. C. D.

5. (5 分)如果扇形圆心角的弧度数为 2,圆心角所对的弦长也为 2,那么这个扇形的面积是() A. B. C. D.

6. (5 分)设向量 =(﹣2,1) , =(λ,﹣1) (λ∈R) ,若 、 的夹角为钝角,则 λ 的取值范围是() A.(﹣∞,﹣ ) B.(﹣ ,+∞)
4 4

C.( ,+∞)

D.(﹣ , 2) ∪ (2, +∞)

7. (5 分)函数 f(x)=sin x+cos x 的最小正周期是() A. B. C. D.π

8. (5 分)如图,在△ ABC 中,

,P 是 BN 上的一点,若

,则实数 m 的值为()

A.

B.

C .1

D.3

9. (5 分)方程 lg|x|=cosx 根的个数为() A.10 B.8

C .6

D.4

10. (5 分)函数 f(x)=sinx+cosx+sinx?cosx 的值域为() A. 11. (5 分)使函数 的一个值是() A. B. C. D.
2

B.

C.

D. 是奇函数,且在 上是减函数的 θ

12. (5 分)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数.且是以 2 为周期的周期函数.若当 x∈,则函数 f(x )的 定义域为 其中正确的是.

16. (5 分)已知函数 的取值范围是.

若 a,b,c 互不相等,且 f(a)=f(b)=f(c) ,则 abc

三、解答题(本题共 6 小题,满分 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17. (10 分)已知| |=3,| |=5, 与 的夹角为 120°. 试求: (1) (2) (3) ; . ;

18. (12 分)已知 cosα= ,cos(α﹣β)= (Ⅰ)求 tan2α 的值; (Ⅱ)求 β. 19. (12 分)已知

,且 0<β<α<



(1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求函数 f(x)在闭区间上的最小值并求当 f(x)取最小值时 x 的取值.

20. (12 分)设向量 (1)求证: (2)当 β= (3)向量 ,α∈时,向量 满足|k ; + 与 ﹣ 的模相等,求角 α;



,k>0,将 与 的数量积表示为关于 k 的函数 f(k) ,求 f

(k)的最小值及取得最小值时 与 的夹角.

21. (12 分) 已知向量 = (cosωx﹣sinωx, sinωx) , = (﹣cosωx﹣sinωx, 2 (x∈R)的图象关于直线 x=π 对称,且经过点( (1)求函数 f(x)的解析式; (2)先将函数 y=f(x)的图象向右平移 坐标不变, 最后将所得图象向上平移 上的值域.

cosωx) , 设函数 f (x) = ? +λ

,0) ,其中 ω,λ 为常数,ω∈( ,1) .

个单位,然后将所得图象上各点的横坐标变为原来的 5 倍,纵

个单位, 得到函数 y=g (x) 的图象, 求g (x) 在区间

22. (12 分)已知函数 f(x)=ax +(b﹣8)x﹣a﹣ab.当 x∈(﹣3,2)时,f(x)>0,当 x∈(﹣∞,﹣ 3)∪(2,+∞)时,f(x)<0. (1)求 f(x)的解析式; (2)若函数 在区间及 t∈时恒成立,求实数 m 的取范围.

2

黑龙江省哈尔滨九中 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(在下列各题的四个选项中,只有一项是最符合题意的.每小题 5 分共 60 分.请将答案填涂 在客观题答题卡上) 1. (5 分)函数 A.(﹣∞,2) 的定义域为() B.(2,+∞) C.(2,3)∪(3,+∞) D. (2,4)∪(4,+∞)

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据“让解析式有意义”的原则,对数的真数大于 0,分母不等于 0,建立不等式,解之即可.

解答: 解:要使原函数有意义,则



解得:2<x<3,或 x>3 所以原函数的定义域为(2,3)∪(3,+∞) . 故选 C. 点评: 本题主要考查了函数的定义域及其求法, 求定义域常用的方法就是根据“让解析式有意义”的原则, 属于基础题.

2. (5 分)已知 A. B.

,那么 cosα=() C. D.

考点: 诱导公式的作用. 专题: 三角函数的求值. 分析: 已知等式中的角变形后,利用诱导公式化简,即可求出 cosα 的值. 解答: 解:sin( +α)=sin(2π+ +α)=sin( +α)=cosα= .

故选 C. 点评: 此题考查了诱导公式的作用,熟练掌握诱导公式是解本题的关键. 3. (5 分)函数 y=1+cos2x 的图象() A.关于 x 轴对称 C. 关于点 对称

B. 关于原点对称 D.关于直线 对称

考点: 专题: 分析: 解答:

余弦函数的对称性. 计算题. 由于函数 y=1+cos2x 可以看成把函数 y=cos2x 的图象向上平移 1 个单位得到, 结合图象可得结论. 解:由于函数 y=1+cos2x 可以看成把函数 y=cos2x 的图象向上平移 1 个单位得到, 对称,

结合图象可得函数 y=1+cos2x 的图象关于直线

故选 D. 点评: 本题主要考查余弦函数的对称性,属于基础题.

4. (5 分)已知向量 =(3,2) , =(﹣1,2) , =(4,1) ,若 +k 与 2 ﹣ 共线,则 k 的值是() A. B. C. D.

考点: 平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据两向量共线,得出向量坐标之间的关系,求出 k 即可. 解答: 解:向量 =(3,2) , =(﹣1,2) , =(4,1) ,

若 +k =(3+4k,2+k) , 2 ﹣ =(﹣5,2) , +k 与 2 ﹣ 共线, 可得:2(3+4k)=﹣5(2+k) , 解得:k= .

故选:C. 点评: 本题只要熟记向量共线的充要条件化简求解,基本知识的考查. 5. (5 分)如果扇形圆心角的弧度数为 2,圆心角所对的弦长也为 2,那么这个扇形的面积是() A. B. C. D.

考点: 扇形面积公式. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: 解直角三角形 AOC,求出半径 AO,代入弧长公式求出弧长的值,再求扇形的面积即可. 解答: 解:如图:∠AOB=2,过点 0 作 OC⊥AB,C 为垂足,并延长 OC 交 ∠AOD=∠BOD=1,AC= AB=1, Rt△ AOC 中,AO= 从而弧长为 α?r= 故选 A. , ,面积为 × × = 于 D,

点评: 本题考查扇形的面积、弧长公式的应用,解直角三角形求出扇形的半径 AO 的值,是解决问题的 关键.

6. (5 分)设向量 =(﹣2,1) , =(λ,﹣1) (λ∈R) ,若 、 的夹角为钝角,则 λ 的取值范围是() A.(﹣∞,﹣ ) B.(﹣ ,+∞) C.( ,+∞) D.(﹣ ,2)∪(2,+∞)

考点: 数量积表示两个向量的夹角. 专题: 计算题.

分析: 判断出向量的夹角为钝角的充要条件是数量积为负且不反向,利用向量的数量积公式及向量共线 的充要条件求出 x 的范围. 解答: 解: ∴ 夹角为钝角

<0 且不反向

即﹣2λ﹣1<0 解得 λ>﹣ 当两向量反向时,存在 m<0 使 即(﹣2,1)=(mλ,﹣m) 解得 λ=2 λ 的取值范围是 λ>﹣ 且 λ≠2 故选 D 点评: 本题考查向量夹角的范围问题.通过向量数量积公式变形可以解决.但要注意数量积为负,夹角 包括钝角和平角两类. 7. (5 分)函数 f(x)=sin x+cos x 的最小正周期是() A. B. C. D.π
4 4

考点: 三角函数的周期性及其求法;同角三角函数间的基本关系;二倍角的正弦;二倍角的余弦. 专题: 计算题. 分析: 将 f(x)=sin x+cos x 化为 f(x)= 解答: 解:∵f(x)=(sin x+cos x) ﹣2sin xcos x =1﹣ =1+ = ∴T= = . .
2 2 2 2 2 4 4

,由余弦函数的周期公式即可求得答案.

故选 B. 点评: 本题考查三角函数的周期性及其求法,关键在于通过降幂公式将所求关系式转化为 f(x) = ,属于中档题.

8. (5 分)如图,在△ ABC 中,

,P 是 BN 上的一点,若

,则实数 m 的值为()

A.

B.

C. 1

D.3

考点: 平面向量的基本定理及其意义. 专题: 计算题;证明题;平面向量及应用. 分析: 根据题意,设 =λ ,将向量 表示成向量 、 的一个线性组合,再结合题中向量的等式,

建立关于 m、λ 的方程组,解之即可得到实数 m 的值. 解答: 解:∵ ∴ 设 =λ , (λ>0)得 且 = = + ,

∴m=

,解之得 λ=8,m=

故选:A 点评: 本题给出三角形的一边的三等分点,求某向量关于已知向量的线性关系式,着重考查了向量的线 性运算、平面向量的基本定理及其意义等知识,属于中档题. 9. (5 分)方程 lg|x|=cosx 根的个数为() A.10 B. 8 考点: 专题: 分析: 解答:

C. 6

D.4

根的存在性及根的个数判断. 计算题;作图题;函数的性质及应用. 作函数 y=lg|x|与 y=cosx 的图象,由方程的根与函数的零点的关系求方程的根的个数即可. 解:作函数 y=lg|x|与 y=cosx 的图象如下,

函数 y=lg|x|与 y=cosx 的图象有 6 个交点, 故方程 lg|x|=cosx 根的个数为 6;

故选:C. 点评: 本题考查了学生作图的能力及数形结合的思想应用,同时考查了函数的零点与方程的根的关系应 用,属于基础题. 10. (5 分)函数 f(x)=sinx+cosx+sinx?cosx 的值域为() A. B. C. D.

考点: 三角函数中的恒等变换应用;三角函数的最值. 专题: 函数的性质及应用;三角函数的求值. 分析: 首先采用换元法设 sinx+cosx=t,利用三角函数关系式的恒等变换,把函数关系式转化成二次函数 的标准形式,进一步利用函数的定义域求函数的值域. 解答: 解:设 sinx+cosx=t( 所以: 则:f(x)=sinx+cosx+sinx?cosx = = 当 t= 时,函数取最大值: )

当 t=﹣1 时,函数取最小值:f(x)min=f(﹣1)=﹣1 所以函数的值域为: 故选:B. 点评: 本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变形,换元法的应用,利用复合函数求函数的最值 问题.属于基础题型.

11. (5 分)使函数 的一个值是() A. B. C.

是奇函数,且在

上是减函数的 θ

D.

考点: 正弦函数的奇偶性;正弦函数的单调性. 专题: 计算题. 分析: 利用两角和正弦公式化简函数的解析式为 2sin(2x+θ+ 当 k 为奇数时,f(x)=﹣2sin2x,满足在 时,经检验不满足条件. ) ,由于它是奇函数, 故 θ+ =kπ,k∈z,

上是减函数,此时,θ=2nπ﹣

,n∈z,当 k 为偶数

解答: 解:∵函数 θ+ =kπ,k∈Z,θ=kπ﹣ .

=2sin(2x+θ+

) 是奇函数,故

当 k 为奇数时,令 k=2n﹣1,f(x)=﹣2sin2x,满足在 选项 B 满足条件. 当 k 为偶数时,令 k=2n,f(x)=2sin2x,不满足在

上是减函数,此时,θ=2nπ﹣

,n∈Z,

上是减函数.

综上,只有选项 B 满足条件. 故选 B. 点评: 本题考查两角和正弦公式,正弦函数的单调性,奇偶性,体现了分类讨论的数学思想,化简函数 的解析式是解题的突破口. 12. (5 分)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数.且是以 2 为周期的周期函数.若当 x∈ 因为 0<log2 <1,并且当 x∈ 所以 =﹣f(log26)=﹣ .

故选 C. 点评: 本题主要考查函数的有关性质,如奇偶性、周期性,以及对数的有关运算性质,此题属于基础题 型. 二、填空题(每小题 5 分共 20 分.请将答案写在答题纸指定的位置上) 13. (5 分)已知 sinα﹣3cosα=0,则 =﹣ .

考点: 同角三角函数基本关系的运用. 专题: 三角函数的求值. 分析: 所求式子分母利用二倍角的余弦函数公式化简,再利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正 切函数公式化简,再由已知等式弦化切后求出 tanα 的值,代入计算即可求出值. 解答: 解:∵sinα﹣3cosα=0,即 tanα=3, ∴ = =tan2α= = =﹣ .

故答案为:﹣ 点评: 此题考查了同角三角函数基本关系的应用,以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌握基本关系 是解本题的关键.

14. (5 分)若

上的投影为



考点: 向量的投影;平面向量数量积的含义与物理意义.

专题: 计算题. 分析: 先求出 ,然后求出得两向量的数量积,再求得向量 解答: 解:∵ ∴ 的模,代入公式求解.



方向上的投影为

=﹣

=﹣

=﹣



故答案为: 点评: 本题主要考查向量投影的定义及求解的方法,公式与定义两者要灵活运用,属于基础题. 15. (5 分)给出以下结论: ①函数 y=2 与函数 y=log2x 的图象关于 y 轴对称; ② ;
x

③函数 y=ln(1+x)﹣ln(1﹣x)为奇函数; 2 ④函数 f(x)的定义域为,则函数 f(x )的定义域为 其中正确的是③④. 考点: 函数奇偶性的性质;函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数与反函数图象间的关系可得①不正确;利用根式的运算法则可得②不正确;根据函数 的奇偶性的判断方法可得③正确;根据函数的定义域的 定义可得④正确,从而得出结论. x 解答: 解:由于函数 y=2 与函数 y=log2x 的互为反函数,故它们的图象关于直线 y=x 对称,故①不正 确. 由于 <0,而 = >0,∴ ,故②不正确.

由于函数 y=f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x)的定义域为(﹣1,1) ,关于原点对称,且 f(﹣x)=ln(1﹣x) ﹣ln(1+x)=﹣f(x) , 故函数 y=ln(1+x)﹣ln(1﹣x)为奇函数,故③正确. 2 2 由于函数 f(x)的定义域为,可得﹣1≤x ≤4,解得﹣2≤x≤2,则函数 f(x )的定义域为,故④正确. 故答案为 ③④. 点评: 本题主要考查函数与反函数图象间的关系、根式的运算法则、函数的奇偶性、函数的定义域,属 于基础题.

16. (5 分)已知函数 的取值范围是(10,12) .

若 a,b,c 互不相等,且 f(a)=f(b)=f(c) ,则 abc

考点: 分段函数的解析式求法及其图象的作法;函数的值. 专题: 计算题;数形结合.

分析: 画出函数的图象,根据 f(a)=f(b)=f(c) ,不妨 a<b<c,求出 abc 的范围即可. 解答: 解:作出函数 f(x)的图象如图, 不妨设 a<b<c,则﹣lga=lgb=﹣ c+6∈(0,1) ab=1,0<﹣ c+6<1 则 abc=c∈(10,12) . 故答案为: (10,12)

点评: 本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力. 三、解答题(本题共 6 小题,满分 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17. (10 分)已知| |=3,| |=5, 与 的夹角为 120°. 试求: (1) (2) (3) ; . ;

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: (1)直接代入即可得出; (2) =3×5×cos120°=﹣ ,再利用数量积运算性质即可得出 = =3 ﹣5 =﹣16;
2 2

= .



(3)利用数量积运算性质展开可得 解答: 解: (1) =

(2)∵| |=3,| |=5, 与 的夹角为 120°. ∴ ∴ (3) =3×5×cos120°=﹣ = , = = = = . =17.

点评: 本题考查了数量积的运算性质,考查了计算能力,属于中档题.

18. (12 分)已知 cosα= ,cos(α﹣β)= (Ⅰ)求 tan2α 的值; (Ⅱ)求 β.

,且 0<β<α<



考点: 两角和与差的余弦函数;三角函数值的符号;三角函数中的恒等变换应用. 专题: 计算题. 分析: (1)欲求 tan2α 的值,由二倍角公式知,只须求 tanα,欲求 tanα,由同角公式知,只须求出 sinα 即可,故先由题中 coaα 的求出 sinα 即可; (2)欲求角,可通过求其三角函数值结合角的范围得到,这里将角 β 配成 β=α﹣(α﹣β) ,利用三角函数 的差角公式求解. 解答: 解: (Ⅰ)由 ,得



,于是

(Ⅱ)由 0<β<α<

,得



又∵

,∴

由 β=α﹣(α﹣β)得:cosβ=cos=cosαcos(α﹣β)+sinαsin(α﹣β)= 所以 .

点评: 本题考查三角恒等变形的主要基本公式、 三角函数值的符号, 已知三角函数值求角以及计算能力.

19. (12 分)已知 (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求函数 f(x)在闭区间上的最小值并求当 f(x)取最小值时 x 的取值. 考点: 二倍角的余弦;二倍角的正弦;三角函数的周期性及其求法;复合三角函数的单调性. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)利用倍角公式和两角差的正弦公式化简解析式,再求出函数的最小正周期; (2)由 x 的范围求出“ 解答: 解: (1) 由题意得, ∴函数 f(x)的最小正周期 T= =4π, ”的范围,再由正弦函数的性质求出函数的最小值以及对应的 x 的值. = = ,

(2)由 0≤x≤π 得,



∴ 则当 = 或

,即 ,即 x=0 或 π 时,f(x)取最小值是 1.



点评: 本题考查了倍角公式和两角差的正弦公式,正弦函数的性质应用,属于中档题.

20. (12 分)设向量 (1)求证: (2)当 β= (3)向量 ,α∈时,向量 满足|k ; + 与 ﹣ 的模相等,求角 α;



,k>0,将 与 的数量积表示为关于 k 的函数 f(k) ,求 f

(k)的最小值及取得最小值时 与 的夹角.

考点: 平面向量数量积的运算;数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题: 平面向量及应用. 分析: (1)利用向量垂直与数量积的关系、同角三角函数基本关系式即可得出; (2)利用向量的坐标运算、模的计算公式、同角三角函数基本关系式即可得出. (3)利用数量积运算性质、向量夹角公式即可得出. 解答: (1)证明:∵向量 ∴ =(cosα+cosβ,sinα+sinβ) , =(cosα﹣cosβ,sinα﹣sinβ) , ∴ ∴ (2) ﹣ ∵向量 ∴ = + 与 ﹣ 的模相等, = , 化为 cos(α﹣β)=0, ∵β= ,α∈时, + = =(cos α﹣cos β)+(sin α﹣sin β)=1﹣1=0, ; , .
2 2 2 2



∴ ∴ 解得 (3)∵|k ∴ 又 k>0, 化为 ∴ = . ,



, =

=1. ,

=f(k) . ,当且仅当 k=1 时取等号.



=

= ,



=



点评: 本题考查了向量垂直与数量积的关系、同角三角函数基本关系式、向量的坐标运算、模的计算公 式、向量夹角公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

21. (12 分) 已知向量 = (cosωx﹣sinωx, sinωx) , = (﹣cosωx﹣sinωx, 2 (x∈R)的图象关于直线 x=π 对称,且经过点( (1)求函数 f(x)的解析式; (2)先将函数 y=f(x)的图象向右平移 坐标不变, 最后将所得图象向上平移 上的值域.

cosωx) , 设函数 f (x) = ? +λ

,0) ,其中 ω,λ 为常数,ω∈( ,1) .

个单位,然后将所得图象上各点的横坐标变为原来的 5 倍,纵

个单位, 得到函数 y=g (x) 的图象, 求g (x) 在区间

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;平面向量数量积的运算. 专题: 三角函数的图像与性质;平面向量及应用. 分析: (1)先利用向量数量积运算性质,求函数 f(x)的解析式,再利用二倍角公式和两角差的余弦 公式将函数 f(x)化为 y=Asin(ωx+φ)+k 型函数,最后利用函数的对称性和 ω 的范围,计算 ω 的值, 从而得函数的最小正周期,先将已知点的坐标代入函数解析式,求得 λ 的值,即可求得函数 f(x)的解析 式; (2)由函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换求得 g(x)的解析式,求得 ﹣ 在区间 上的值域. cosωx+λ 的取值范围,即可得到 g(x)

解答: 解: (1)∵f(x)= ? +λ=(cosωx﹣sinωx)×(﹣cosωx﹣sinωx)+sinωx×2

=﹣(cos ωx﹣sin ωx)+ =

2

2

sin2ωx+λ, )+λ, = +kπ,k∈z,

sin2ωx﹣cos2ωx+λ=2sin(2ωx﹣

∵图象关于直线 x=π 对称,∴2πω﹣ ∴ω= + ,又 ω∈( ,1) , ∴k=1 时,ω= , ∵f( )=0, ﹣ )+λ=0,

∴2sin(2× × ∴λ=﹣ ,

∴f(x)=2sin( x﹣

)﹣

. 个单位,得到的函数解析式为:y=2sin﹣ =2sin( x﹣ )

(2)先将函数 y=f(x)的图象向右平移 ﹣ .

然后将所得图象上各点的横坐标变为原来的 5 倍,纵坐标不变,得到的函数解析式为:y=2sin( )﹣ =2sin( ﹣ )﹣ .

x﹣

最后将所得图象向上平移 ) . ∵x∈ ∴ ﹣ ∈, ,

个单位,得到函数 y=g(x)的图象,得到的函数解析式为:g(x)=2sin( ﹣

∴g(x)=2sin( ﹣

)∈.

点评: 本题主要考查了 y=Asin(ωx+φ)+k 型函数的图象和性质,向量数量积运算性质,复合函数值域 的求法,整体代入的思想方法,属基础题. 22. (12 分)已知函数 f(x)=ax +(b﹣8)x﹣a﹣ab.当 x∈(﹣3,2)时,f(x)>0,当 x∈(﹣∞,﹣ 3)∪(2,+∞)时,f(x)<0. (1)求 f(x)的解析式; (2)若函数 在区间及 t∈时恒成立,求实数 m 的取范围.
2

考点: 二次函数在闭区间上的最值;二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 2 分析: (1)由题意可得 a<0,且﹣3 和 2 是方程 f(x)=ax +(b﹣8)x﹣a﹣ab=0 的 2 个实数根,利 用一元二次方程根与系数的关系解得 a 和 b 的值,即可求得 f(x)的解析式

(2)由于函数
2

=﹣x +2tanθx+5 的对称轴为 x=tanθ,且在区间及 t∈时恒成 ﹣m)t+2m﹣ ≥0

2

立.故函数 h(x)=(6﹣3t)x +(6﹣3t)x+t﹣38+2m 在上的最小值为 h(﹣ )=( 对 t∈恒成立.故有 ( ﹣m)×1+2m﹣ ≥0 且( ﹣m) (﹣1)+2m﹣
2

≥0,由此求得 m 的范围.

解答: 解: (1)由题意可得 a<0 且﹣3 和 2 是方程 f(x)=ax +(b﹣8)x﹣a﹣ab=0 的 2 个实数根, ∴﹣3+2= (2)若函数
2

,且﹣3×2=

,解得 a=﹣3,b=5,∴f(x)=﹣3x ﹣3x+18. =﹣x +2tanθx+5 的对称轴为 x=tanθ,且在区间及 t∈时恒成立,
2

2

可得 (6﹣3t)x +(6﹣3t)x+t﹣38+2m≥0 对 x∈及 t∈时恒成立. 把 x 当作自变量,可得此一元二次不等式对应的二次函数的对称轴为 x=﹣ , 故函数 h(x)=(6﹣3t)x +(6﹣3t)x+t﹣38+2m 在上的最小值为 h(﹣ )=( t∈恒成立. 故有 ( ﹣m)×1+2m﹣ ≥0 且 ( ﹣m) (﹣1)+2m﹣ ≥0,求得 m≥ .
2

﹣m)t+2m﹣

≥0 对

点评: 本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值,求函数的最值,二次函数的性质的应用,体现了分 类讨论的数学思想,属于中档题.


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