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数学(人教a版)必修5配套课件:3.4.3 基本不等式的实际应用(数学备课大师网 为您整理) (20)


第三章 不等式
3.1 不等关系与不等式
3.1.1 不等关系与不等式的性质

【学习目标】

1.能判断生活中的不等关系.
2.会把生活中的不等关系用不等式刻化. 3.掌握不等式的性质;会将一些基本性质结合起来应用.

1.符号法则

a > > >

; 设 a>0,b>0 则 a+b______0, ab______0 ,b______0.

a+ b≥0 练习 1:“a 与 b 的和是非负数”用不等式表示为 ________.
2.不等式的基本性质

< a. (1)如果 a>b,那么 b______
> c. (2)如果 a>b,b>c,那么 a______ > b+c. (3)如果 a>b,那么 a+c______

(4)如果 a>b,c>0,那么 ac______ > bc. < bc. 如果 a>b,c<0,那么 ac______ > b+d. (5)如果 a>b,c>d 那么 a+c______

> bd. (6)如果 a>b>0,c>d>0 那么 ac______
(7)如果a>b>0,那么an______ > bn(n∈N,n≥1).

(8)如果 a>b>0,那么 n a ______ > n a (n∈N,n≥2).
> 练习 2:(1)x>2,?x+3______2 +3;
< -2y; (2)x>y?-2x______ 6 ; (3)x>2,y>3?xy>______ (4)x>2?x2______4. >

【问题探究】 1.不等式 x≥2 的含义是什么? 答案:其含义是指“x 不小于 2”,即“x>2 或 x=2”. 2.符号“?”与“?”的意义一样吗? 答案:不一样,“?”是指“推出”,而“?”是指“等

价于”.
3.两个同向不等式可以相乘吗?

答案:不能,除非是同号的.

题型 1 利用不等式的性质判断真假 【例 1】 对于实数 a,b,c, ①若a>b,则ac2>bc2;

1 1 ②若 a>b,则a<b; b a ③若 a<b<0,则a>b;

④若 a>b>0,c>d>0,则 b b+x ⑤若 0<a<b,则a< . a+x

a d>

b c;

上述命题中正确的个数是(
A.1 个 B.2 个

) D.4 个

C.3 个

思维突破:对于一些简单的不等式证明,绝不能视为显然

而直接证得,而应该运用不等式性质等知识进行严密的逻辑推
理.

解析:①当 c=0 时,有 ac2=bc2,所以不正确. 1 ②当 a=0 时,a没有意义,所以不正确. ? ? ?-a>-b>0, ?-a>-b>0, a b ③由 a<b<0??1 1 ?? 1 ?b>a, 所 1 > - >-a>0 ? ? ?a b ? b 以不正确. 1 1 1 1 a ④由 c>d>0?d>c >0,又因为 a>b>0,所以 a· d>b· c >0,即d b >c >0.所以 a d> b c .所以为真命题.

b 3 5 b+x ⑤特殊值法,令 a=2,b=3,x=2,a=2>4= ,所以 a+x

为假命题. 答案:A

准确记忆各性质成立的条件,是正确应用的前
提.在不等式的判断中,特殊值法也是非常有效的方法,尤其是

对于选择题或填空题,特殊值法可以节省时间.

【变式与拓展】

1.(2013 年北京)设 a,b,c∈R,且 a>b,则( D )
A.ac>bc C.a2>b2 1 1 B.a<b D.a3>b3

解析:3>2,但是 3×(-1)<2×(-1),故 A 不正确;1>
1 -2,但是 1>-2,故 B 不正确;-1>-2,但是(-1)2<(-2)2,

故C不正确.故选D.

2.判断下列命题的真、假(真命题要说明成立的依据,假命 题要举出反例):

(1)若a>b,则a2>b2;
(2)若 a> b,则 a>b; a c (3)若b>d>0,则 ad>bc;

(4)若 a>b>0>c>d,则 ad<bc.

解:(1)是假命题.例如 a=1,b=-2 满足 a>b, 但 a2<b2.又如 a=1,b=-1,显然 a>b,但 a2=b2. (2)是真命题.若 b=0,则命题显然成立.若 b>0,则 a>0, b>0, a> b,两边乘以 a,得 a> a· b,两边乘以 b, 得 a· b>b,所以 a>b. a (3)是假命题.例如 a=-2,b=-1,c=1,d=1 满足条件b c >d>0,但 ad=-2,bc=-1 有 ad<bc.

(4)是真命题.显然 ad<0,bc<0. 由d<c<0 知:|d|>|c|>0, 又a>b>0,∴|ad|>|bc|,即-ad>-bc,从而ad<bc.

题型 2 利用不等式的性质证明不等式 a b 【例 2】 已知 c>a>b>0,求证: > . c-a c-b

证明:∵c>a>b>0,∴-a<-b<0.
1 1 ∴0<c-a<c-b.∴0< < . c-b c-a a b 又 a>b>0,∴ > . c-a c-b

在运用性质时,注意变形前后的等价性,需要充 分理解其因果关系,掌握其推导思维与过程,只有充分理解不

等式的基本性质,才能打好证明不等式和解不等式的基础.

【变式与拓展】
e e 3.已知 a>b>0,c<d<0,e<0.求证: > . a-c b-d

证明:∵c<d<0, ∴-c>-d>0. 又∵a>b>0, ∴a+(-c)>b+(-d)>0,即 a-c>b-d>0.

1 1 ∴0< < . a-c b-d e e 又∵e<0, ∴ > . a-c b-d

题型 3 利用不等式的性质求取值范围

a 【例 3】 已知 2<a≤5,3≤b<10,求 a-b,b的取值范围.
思维突破: 欲求 a-b 的取值范围, 应先求-b 的取值范围; 1 a 欲求b的取值范围,应先求b的取值范围,再利用不等式性质求 解.

解:∵3≤b<10,∴-10<-b≤-3. 又∵2<a≤5,∴-8<a-b≤2.

1 1 1 1 a 5 又∵10<b≤3,∴5<b≤3.
本题需使用性质去求解,而不能错误地使用同

向不等式相减(除)等.同向不等式只能相加,不能相减.

【变式与拓展】

α+β α-β π π 4.已知-2≤α<β≤2,分别求 2 , 2 的取值范围. π π 解:∵-2≤α<β≤2, π π π π ∴-2≤α<2,-2<β≤2. π α+β π ∴-π<α+β<π,-2< 2 <2. π π 又∵-2≤-β<2,∴-π≤α-β<π. ∵α<β,∴α-β<0.∴-π≤α-β<0. π α-β ∴-2≤ 2 <0.

【例 4】 已知:1≤a-b≤2,2≤a+b≤4,求 4a-2b 的取

值范围.
易错分析:本题主要考查多个不等式等号能否成立的问题,

可以考虑待定系数法和换元法,要特别注意 1≤a-b≤2,2≤a
+b≤4 中的 a,b 不是独立的,而是相互制约的,因此无论用

哪种方法都必须将 a-b,a+b 当作一个整体来看待.

解:方法一:待定系数法. 设 4a-2b=m(a-b)+n(a+b)=(m+n)a+(n-m)b,
? ?m+n=4, ∴? ? ?n-m=-2, ? ?m=3, 解得? ? ?n=1.

∴4a-2b=3(a-b)+(a+b). ∵1≤a-b≤2,∴3≤3(a-b)≤6. 又∵2≤a+b≤4,∴5≤3(a-b)+(a+b)≤10. 即 5≤4a-2b≤10.

方法二:换元法. 令 a+b=m, a-b=n,则 1≤n≤2,2≤m≤4.

? ?a=m+n, ? 2 ? ?a+b=m, 由? 解得? ? ?a-b=n, ? m-n b= 2 . ? ? m+n m-n ∴4a-2b=4· 2 -2· 2 =m+3n.

而 2≤m≤4,3≤3n≤6,
则 5≤m+3n≤10,即 5≤4a-2b≤10.

[方法· 规律· 小结] 1.用不等式(组)来描述不等关系,是研究不等关系的数学工 具,要能从不等关系中正确列出不等式. 2. 不等式的基本性质是解不等式与证明不等式的理论依 据,要注意不等式成立的条件. 3.处理分式不等式时,不要随便将不等式两边乘以含字母 的式子,如果需要去分母,那么要考虑所乘的代数式的正负.


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