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2013广东高考数学真题(官方规范版)


刘老师

圆梦教育

高考数学

2013 广东高考数学真题 1 参考公式:台体的体积公式 V ? S1 ? S1S 2 ? S 2 h ,其中 S1 , S2 分别是台体的上、下底面积, h 表示台体的高. 3

?

?

一、 选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的.
2 2 1.设集合 M ? x | x ? 2 x ? 0, x ? R , N ? x | x ? 2 x ? 0, x ? R ,则 M ? N ? (

?

?

?

?

)

A.

?0?

B. ?0, 2?

C. ??2,0?

D. ??2,0, 2? )

2.定义域为 R 的四个函数 y ? x3 , y ? 2x , y ? x2 ? 1 , y ? 2sin x 中,奇函数的个数是( A. 4 A. B. 3 B. ? 2, ?4 ? C. 2 ) D. ? 4, 2 ? C. ? 4, ?2 ? D.1 3.若复数 z 满足 iz ? 2 ? 4i ,则在复平面内, z 对应的点的坐标是(

? 2, 4 ?
X
P

4.已知离散型随机变量 X 的分布列为

1

则 X 的数学期望 EX ? ( A.

1 3 5
) C.

2 3 10

3 1 10
D. 3 )

2
2
正视图 侧视图

3 2

B. 2

5 2

5.某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 ( A. 4 C. B.

1

14 3

1
第 5 题图

16 俯视图 D. 6 3 m, n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命题中正确的是( 6.设 )
A . 若 ? ? ? , m ? ? , n ? ? ,则 m ? n C.若 m ? n , m ? ? , n ? ? ,则 ? ? ? B.若 ? // ? , m ? ? , n ? ? ,则 m // n D.若 m ? ? , m // n , n // ? ,则 ? ? ?

7.已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F ?3,0? ,离心率等于 A.

3 ,在双曲线 C 的方程是 ( 2
D.

)

x2 y 2 ? ?1 4 5

B.

x2 y 2 ? ?1 4 5

C.

x2 y 2 ? ?1 2 5

x2 y 2 ? ?1 2 5

8.设整数 n ? 4 ,集合 X ? ?1,2,3,?, n? .令集合

S ? ?? x, y, z ? | x, y, z ? X , 且三条件x ? y ? z, y ? z ? x, z ? x ? y恰有一个成立?
若 ? x, y, z ? 和 ? z, w, x ? 都在 S 中,则下列选项正确的是( ) 开始 输入n
i ? 1, s ? 1

? y, z, w? ? S , ? x, y, w? ? S C. ? y, z, w? ? S , ? x, y, w? ? S
A.

B. ? y, z, w? ? S , ? x, y, w? ? S D. ? y, z, w? ? S , ? x, y, w? ? S

二、填空题:本题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,共 30 分 (一)必做题(9~13 题)
2 9.不等式 x ? x ? 2 ? 0 的解集为___________.

i?n




输出 s 结束

10.若曲线 y ? kx ? ln x 在点 ?1, k ? 处的切线平行于 x 轴,则 k ? ______. 11.执行如图所示的程序框图,若输入 n 的值为 4 ,则输出 s 的值为______.

s ? s ? ? i ?1?

i ? i ?1
第 11 题图

刘老师

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12. 在等差数列 ?an ? 中,已知 a3 ? a8 ? 10 ,则 3a5 ? a7 ? _____.

?x ? 4 y ? 4 ? 13. 给定区域 D : ? x ? y ? 4 ,令点集 T ? {? x0 , y0 ? ? D | x0 , y0 ? Z , ? x0 , y0 ? ?x ? 0 ?
是 z ? x ? y 在 D 上取得最大值或最小值的点 } ,则 T 中的点共确定______ 条不同的直线.

y 4

1 O

4

x

(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分)
14.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 2 cos t ? ? y ? 2 sin t ?

( t 为参数), A E D O

C 在点 ?1,1? 处的切线为 l ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立
极坐标系,则 l 的极坐标方程为_____________. 15. (几何证明选讲选做题)如图, AB 是圆 O 的直径,点 C 在圆 O 上, 延长 BC 到 D 使 BC ? CD ,过 C 作圆 O 的切线交 AD 于 E .若

.
C B

AB ? 6 , ED ? 2 ,则 BC ? _________.

第 15 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 题图

16.(本小题满分 12 分)
已知函数 f ( x) ? (Ⅱ) 若 cos ? ?

? ? ? ? ?? 2 cos ? x ? ? , x ? R .(Ⅰ) 求 f ? ? ? 的值; 12 ? ? ? 6?

3 ? 3? ? ,? ? ? , 2? ? ,求 5 ? 2 ?

?? ? f ? 2? ? ? . 3? ?

17.(本小题满分 12 分)
某车间共有 12 名工人,随机抽取 6 名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数. (Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值; (Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人. 根据茎叶图推断该车间 12 名工人中有几名优秀工人; (Ⅲ) 从该车间 12 名工人中,任取 2 人,求恰有 1 名优秀 工人的概率.

1 2

7 0
0

9
1

5

3

第 17 题图

刘老师

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18.(本小题满分 14 分)
如图 1,在等腰直角三角形 ABC 中, ?A ? 90? , BC ? 6 , D, E 分别是 AC , AB 上的点, CD ? BE ? 2 ,

O 为 BC 的中点.将 ?ADE 沿 DE 折起,得到如图 2 所示的四棱锥 A? ? BCDE ,其中 A?O ? 3 .
C D O. E C A 图1 (Ⅰ) 证明: A?O ? 平面 BCDE ; (Ⅱ) 求二面角 A? ? CD ? B 的平面角的余弦值. D 图2 B

A?

O E

B

19.(本小题满分 14 分)
设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn .已知 a1 ? 1 , (Ⅰ) 求 a2 的值; (Ⅱ) 求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ) 证明:对一切正整数 n ,有

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N* . n 3 3

1 1 1 7 ? ?? ? ? . a1 a2 an 4

20.(本小题满分 14 分)

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已知抛物线 C 的顶点为原点,其焦点 F ? 0, c ?? c ? 0? 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离为 点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA, PB ,其中 A, B 为切点. (Ⅰ) 求抛物线 C 的方程; (Ⅱ) 当点 P ? x0 , y0 ? 为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程; (Ⅲ) 当点 P 在直线 l 上移动时,求 AF ? BF 的最小值.

3 2 .设 P 为直线 l 上的点,过 2

21.(本小题满分 14 分)
设函数 f ? x ? ? ? x ?1? e ? kx (其中 k ? R ).
x 2

(Ⅰ) 当 k ? 1 时,求函数 f ? x ? 的单调区间; (Ⅱ) 当 k ? ?

?1 ? ,1 时,求函数 f ? x ? 在 ?0, k ? 上的最大值 M . ?2 ? ?


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