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高二数学试卷补偿练习(答案)


高二数学试卷补偿练习
1. (2014 秋?上海校级期末)已知点 P1(1,1) ,P2(5,4)到直线 l 的距离等于 ,求的 直线 l 的方程_______________. 2.已知 0<k<4 直线 L:kx﹣2y﹣2k+8=0 和直线 M:2x+k y﹣4k ﹣4=0 与两坐标轴围成一 个四边形,则这个四边形面积最小值时 k=_____________. 【解

答】解:如图所示: 直线 L:kx﹣2y﹣2k+8=0 即 k(x﹣2)﹣2y+8=0,过定点 B(2,4) , 与 y 轴的交点 C(0,4﹣k) , 直线 M:2x+k y﹣4k ﹣4=0,即 2x+k (y﹣4)﹣4=0, 2 过定点(2,4 ) ,与 x 轴的交点 A(2 k +2,0) , 由题意,四边形的面积等于三角形 ABD 的面积和梯形 OCBD 的面积之和, ∴所求四边形的面积为 ×4×(2 k +2﹣2)+ ×(4﹣k+4)×2=4k ﹣k+8, ∴当 k= 时,所求四边形的面积最小, 故选: .
2 2 2 2 2 2 2

3.已知 P 是直线 l:x+my+4=0 上一动点,PA、PB 是圆 C:x +y ﹣2x=0 的两条切线,切点 分别为 A、B,若四边形 PACB 的最小面积为 2,则实数 m=___________. 2 2 【解答】解:圆 C:x +y ﹣2x=0 的圆心(1,0) ,半径是 r=1, 由圆的性质知:S 四边形 PACB=2S△ PBC,四边形 PACB 的最小面积是 2. ∴S△ PBC 的最小值 S=1= rd(d 是切线长) ∴d 最小值=2 圆心到直线的距离就是 PC 的最小值, ∴m=±2 故选:A. 4.直线 y=k(x﹣1)与以 A(3,2) 、B(2,3)为端点的线段有公共点,则 k 的取值范围 是______________.
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2

2

解:因为直线 y=k(x﹣1)恒过 P(1,0) ,画出图形, 直线 y=k(x﹣1)与以 A(3,2) 、B(2,3)为端点的线段有公共点, 就是直线落在阴影区域内, 所以 kPA= =1;kPB= =3;

所求 k 的范围是[1,3]. 故答案为:[1,3].

5.直线 y=kx+1 与以 A(3,2) 、B(﹣2,3)为端点的线段有公共点,则实数 k 的取值范 围是______________. 【解答】解:如图所示, 由直线 l:y=kx+1,可知直线 l 过定点 P(0,1) . ∴kPA= , .

∵直线 y=kx+1 与以 A(3,2) 、B(﹣2,3)为端点的线段有公共点, ∴k≥kPA 或 k≤kPB, 即 或 k≤﹣1. .

∴实数 k 的取值范围是(﹣∞,﹣1]∪ 故答案为: (﹣∞,﹣1]∪ .

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6.若直线 y=x+m 与曲线 x= ______________. 解:对 x= 故曲线 x=

有且只有一个公共点,则实数 m 的取值范围是

平方可得 x +y ﹣2y=0,整理可得 x +(y﹣1) =1, 代表以点(0,1)为圆心,1 为半径的圆的右半圆,

2

2

2

2

而直线 y=x+m 的斜率为 1,截距为 m,在同一个坐标系中作出它们的图象:

由图象可得当直线介于 l1,l2 之间,或为 l3 时两图象有且只有一个公共点, 由 l3 为相切可得 故当 故答案为: =1,解得 m=1﹣ 时,满足题意, ,或 m=1+ , (舍去)

7.若直线 y=x+m 与曲线 y= ______________. 解:曲线 y=

有且只有一个公共点,则实数 m 的取值范围

即 x +y =4 (y≥0) ,

2

2

表示以原点为圆心,半径等于 2 的半圆,如图. 当直线 y=x+m 与半圆相切时,由 2= ,可得 m=2 ,或 m=﹣2 (舍去) .

当直线 y=x+m 过点(﹣2,0) , 把点(﹣2,0)代入直线 y=x+m 可得 0=﹣2+m,故 m=2. 当直线 y=x+m 过点(2,0) , 把点(2,0)代入直线 y=x+m 可得,0=2+m,故 m=﹣2. 数形结合可得,当直线 y=x+m 与曲线 y= 一个公共点时, 则 m 的取值范围是: 故答案为: , . 有且只有

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8.若曲线 y=1+ 是______________. 解:曲线 y=1+

与直线 y=k(x﹣4)+3 有且只有一个公共点,则实数 k 的取值范围

,即 x +(y﹣1) =4,表示以 C(0,1)为圆心、半径 r=2 的半圆

2

2

(圆位于直线 y=1 的上方(含直线 y=1) ) . y=k(x﹣4)+3,经过定点 A(4,3) . 由圆心到直线的距离等于半径可得 =2,求得 k=0 或 (舍去) ,

当直线经过点(﹣2,1)时,直线的斜率为 当直线经过点(2,1)时,直线的斜率为 ∴曲线 y=1+ 或 . .

= , =1

与直线 y=k(x﹣4)+3 有且只有一个公共点,实数 k 的取值范围是 k=0

故答案为:k=0 或

9. 若直线 y=x+b 与曲线 x= 【解答】解:曲线 x= 分 如图所示, 当直线 y=x+b 与圆 x=

有两个公共点, 则实数 b 的取值范围为______________. 表示以(0,0)为圆心,2 为半径的圆在直线 y=0 右侧的部

相切时,b=﹣2



当直线过点(0,2)时,b=﹣2,此时有两个交点. ∴实数 b 的范围是﹣2 m≤﹣2 故答案为: (﹣2 ,﹣2].
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10.若直线 y=x+b 与曲线 y=1+ ______________. 【解答】解:曲线 y=1+ 半径等于 1 的半圆,如图所示:

有两个不同的公共点,则实数 b 的取值范围为

即 x +(y﹣1) =1 (y≥1) ,表示以 C(0,1)为圆心、

2

2

当直线 y=x+b 过点(0,2)时,可得 b=2,满足直线 y=x+b 与曲线 y=1+ 同的公共点. 当直线 y=x+b 和半圆相切时,由 1= 故直线 y=x+b 与曲线 y=1+ 1+ ) , 故答案为[2,1+ 解得 b=1+ ,或 b=1﹣

有两个不

(舍去) ,

有两个不同的公共点时,实数 b 的取值范围为[2,

) .

11.圆(x﹣a) +(y﹣a) =1 上有且只有两点到原点的距离为 1,则实数 a 的取值范围是 ______________. 【解答】解:圆(x﹣a) +(y﹣a) =1 和圆 x +y =1 相交,两圆圆心距 d= ∴1﹣1< |a|<1+1, 即﹣ <a< 且 a≠0.
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2 2 2 2

2

2

|a|,

故答案为:﹣

<a<
2

且 a≠0.
2 2

12.若圆(x﹣3) +(y+5) =r 上有且只有两个点到直线 4x﹣3y=2 的距离为 1,则半径 r 的取值范围是______________. 【解答】解:∵圆心 P(3,﹣5)到直线 4x﹣3y=2 的距离等于 由|5﹣r|<1,解得:4<r<6, 则半径 r 的范围为(4,6) . 故答案为: (4,6) =5,

13.过半径为 2 的圆外一点 P 作圆的两条切线 PA,PB,切点分别为 A、B,则 小值______________. 【解答】解:如图所示:设 PA=PB=x,∠APO=α,OA⊥AP,则:

?

的最

OP=

,sinα=
2



∴cos∠APB=cos2α=1﹣2sin α= ∴ =



= ;

∴当 故答案为:

,即 x= .
2 2

时,

取最小值



14.知圆 C: (x﹣1) +y =2,过点 A(﹣1,0)的直线 l 将圆 C 分成弧长之比为 1:3 的两 段圆弧,则直线 l 的方程为______________. 【解答】解:根据题意画出相应的图形,如图所示:

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连接 CE,CF,过 C 作 CD⊥EF 于点 D, 2 2 由圆的方程(x﹣1) +y =2,得到圆心 C(1,0) ,半径 r= ∵直线 l 将圆 C 分成弧长之比为 1:3 的两段圆弧, ∴∠ECF= ×360°=90°,又 EC=FC= ∴△CEF 为等腰直角三角形, ∴EF= =2, ,



∴CD=ED=FD= EF=1, 设直线 l 的斜率为 k,由 A(﹣1,0) ,得到直线 l 方程为 y=k(x+1) ,即 kx﹣y+k=0, ∴圆心 C 到直线 l 的距离 d= =1,即 k = ,
2

解得:k=±

, x﹣y+ =0 或
2 2

则直线 l 的方程为 故答案为: x﹣y+

=0 或 x+y+

x+y+ =0

=0.

15.已知圆 C: (x﹣1) +y =8,过点 A(﹣1,0) ,直线 l 将圆 C 分成弧长之比为 1:2 的 两段圆弧,则直线 l 的方程为______________. 2 2 【解答】解:由圆 C 的方程(x﹣1) +y =8,得到圆心 C 为(1,0) ,半径 r=2 , 由直线 l 过 A(﹣1,0) ,且斜率存在,设为 k,可得直线 l 的方程为 y﹣0=k(x+1) ,即 kx ﹣y+k=0, ∵直线 l 将圆 C 分成弧长之比为 1:2 的两段圆弧, ∴直线 l 被圆截得的弦所对的圆心角为 120°, ∴圆心 C 到直线 l 的距离 d= r=
2

,即

=



整理得:k =1, 解得:k=1 或 k=﹣1, 则直线 l 的方程为 x﹣y+1=0 或 x+y+1=0. 故答案为:x﹣y+1=0 或 x+y+1=0

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16.已知圆 P 的方程是 x +y +ax+by+c=0,圆心 P 是直线 l1:x﹣y﹣3=0 与直线 l2:x+y﹣1=0 的交点 (1)求 P 的坐标以及实数 c 的取值范围; (2)若圆 P 与 y 轴交于 A,B 两点,且∠APB=120°,求实数 c 的值. 【解答】解: (1)由 求得 ,故圆心 P 的坐标为(2,﹣1) ,∴﹣ =2,

2

2

且﹣ =﹣1, 求得 a=﹣4,b=2. 再由圆的半径为 = > 0, 求得 c<5, 即实数 c 的取值范围为 (﹣

∞,5) . 2 2 (2)由(1)可得圆 P 的方程是 x +y +﹣4x+2y+c=0,点 P 到 y 轴的距离为 4,半径为 . 由于半径、弦心距、半弦长构成直角三角形,再由直角三角形中的边角关系可得 cos60°= 解得 c=1. 17.已知点 A(﹣5,4)和 B(3,2) ,求过点 C(﹣1,2)且与点 A、B 的距离相等的直 线方程. 【解答】解:∵ =﹣ . , = ,

①当过点 C(﹣1,2)且与过点 A、B 的直线平行时,所求直线方程为 化为 x+4y﹣7=0.

②当过点 C (﹣1, 2) 且过线段 AB 的中点 M (x, y)时, 由中点坐标公式可得



化为 M(﹣1,3) . ∵点 C 与点 M 的横坐标相等,故所求的直线为 x=﹣1. 综上可知:所求的直线方程为 x+4y﹣7=0 或 x=﹣1. 18.已知圆 C1:x +y ﹣4=0 与圆 C2:x +y ﹣4x+4y﹣12=0 相交于 A、B 两点. (1)求圆 C1 与圆 C2 的公共弦所在直线的方程; (2)求圆 C1 与圆 C2 的公共弦的长度. 2 2 2 2 【解答】解: (1)圆 x +y ﹣4=0 与圆 x +y ﹣4x+4y﹣12=0 方程相减得圆 C1 与圆 C2 的公共 弦所在直线的方程:x﹣y+2=0; 2 2 (2)圆 C1:x +y ﹣4=0 的圆心(0,0) ,r=2 ∵圆心(0,0)到直线 x﹣y+2=0 的距离 d= ,
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2 2 2 2

则公共弦长为 2

=2



19.已知两圆 C1:x +y ﹣2x﹣6y﹣1=0,C2:x +y ﹣10x﹣12y+45=0 (1)求证:圆 C1 和圆 C2 相交; (2)求圆 C1 和圆 C2 的公共弦所在直线方程和公共弦长. 【解答】 证明: (1) 圆 C1: x +y ﹣2x﹣6y﹣1=0 的圆心 C1 (1, 3) , 半径 r1= C2:x +y ﹣10x﹣12y+45=0 的圆 C2(5,6) ,半径 r2= |C1C2|= =5,
2 2 2 2

2

2

2

2

= =4,



∵4﹣ <|C1C2|=5<4+ , ∴圆 C1 和圆 C2 相交. 2 2 2 2 解: (2)∵两圆 C1:x +y ﹣2x﹣6y﹣1=0,C2:x +y ﹣10x﹣12y+45=0, ∴两圆相减,得圆 C1 和圆 C2 的公共弦所在直线方程为: 8x+6y﹣46=0,即 4x+3y﹣23=0. 圆心 C2(5,6)到直线 4x+3y﹣23=0 的距离 d= ∴圆 C1 和圆 C2 的公共弦长|AB|=2 =2 =2 . =3,

20.已知圆的方程为 x +y ﹣2x﹣2my+2m ﹣4m+1=0(m∈R) . (1)当该圆的半径最长时,求 m 的值; (2)在满足(1)的条件下,若该圆的圆周上到直线 l:2kx﹣2y+4+ ﹣3k=0 的距离等于 1 的点有且只有 3 个,求实数 k 的值. 2 2 2 【解答】解: (1)圆的方程 x +y ﹣2x﹣2my+2m ﹣4m+1=0 可化为: 2 2 2 (x﹣1) +(y﹣m) =﹣m +4m, 2 它表示圆时,应有﹣m +4m>0, 解得 0<m<4; 当半径最大时,应有﹣m +4m 最大, 2 2 此时 m=2,圆的方程为 x +y ﹣2x﹣4y+1=0; 2 2 2 2 (2)圆的方程 x +y ﹣2x﹣4y+1=0,化为(x﹣1) +(y﹣2) =4; 该圆的圆周上到直线 l:2kx﹣2y+4+ ﹣3k=0 的距离等于 1 的点有且只有 3 个, 则圆心(1,2)到直线 l 的距离 d 等于半径 r﹣1, 即
2 2

2

2

2

=1,

化简得 解得 k=﹣ .

=4k +4,

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21. (1)设圆(x﹣3) +(y+5) =r 上有且只有两个点到直线 4x﹣3y=2 的距离等于 1,求 r 的取值范围. (2)若曲线 y=1+ 的取值范围. 【解答】解: (1)圆心 P(3,﹣5)到直线 4x﹣3y=2 的距离等于 由题意可得|5﹣r|<1,解得 4<r<6, 则 r 的取值范围为(4,6) ; (2)曲线 y=1+ (﹣2≤x≤2)即 x +(y﹣1) =4(y≥1)
2 2

2

2

2

(﹣2≤x≤2)与 直线 y=k(x﹣2)+4 有两个交点时,求实数 k

=5,

表示一个以(0,1)为圆心,以 2 为半径的位于 x 轴上方的半圆,如图所示: 直线 y=k(x﹣2)+4 表示恒过点 P(2,4) ,斜率为 k 的直线. 结合图形可得 kAP= ∵ = , =2,解得 k= ,即切线的斜率为 ,

∴要使直线与半圆有两个不同的交点,k 的取值范围是(

, ].

22.有两直线 ax﹣2y﹣2a+4=0 和 2x﹣(1﹣a )y﹣2﹣2a =0,当 a 在区间(0,2)内变化 时,求直线与两坐标轴围成的四边形面积的最小值. 【解答】解:∵0<a<2, 可得 l1:ax﹣2y=2a﹣4,与坐标轴的交点 A(0,﹣a+2) ,B(2﹣ ,0) .
2 2 2

2

2

l2:2x﹣(1﹣a )y﹣2﹣2a =0,与坐标轴的交点 C(a +1,0) ,D(0,
2 2

) .

两直线 ax﹣2y﹣2a+4=0 和 2x﹣(1﹣a )y﹣2﹣2a =0,都经过定点(2,2) ,即 yE=2. ∴S 四边形 OCEA=S△ BCE﹣S△ OAB = |BC|?yE﹣ |OA|?|OB|

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= (a + ﹣1)×2﹣ (2﹣a)×( ﹣2) =a ﹣a+3 =(a﹣ ) +
2 2

2



,当 a= 时取等号. .

∴l1,l2 与坐标轴围成的四边形面积的最小值为

23.已知点 A(3,2) ,直线 l1:x+2y﹣3=0.求: (1)过点 A 与 l1 垂直的直线方程; (2) 求过点 A 的直线与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积的最小值及此时的直线方程. 【解答】解: (1)直线 l1 的斜率为﹣ ,故所求的直线的斜率等于 2, 所以,所求直线方程为:y﹣2=2(x﹣3) ,即 2x﹣y﹣4=0. (2)设过 A 点的直线方程为:y﹣2=k(x﹣3) ,则直线与 x 轴正半轴交点的坐标为 , 与 y 轴正半轴交点的坐标为(0,2﹣3k) . 根据题意有 ,解得 k<0. . ,当且仅当﹣9k= = 时,取等号. =12.

此时,所求三角形的面积为: 又 所以三角形面积的最小值为: 此时

.此时直线的方程为:2x+3y﹣12=0.

24.已知△ABC 的顶点 A(2,3) ,∠B 的平分线所在直线的方程为 y=0,AB 边上的高所 在直线的方程为 x+y﹣1=0,求边 BC 所在直线的方程. 【解答】解:∵AB 边上的高所在直线的方程为 x+y﹣1=0, ∴kAB=1,∴AB 方程为 y﹣3=x﹣2,即 x﹣y+1=0,
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∵B 点在 x 轴上,∴B(﹣1,0) ∵) ,∠B 的平分线所在直线的方程为 y=0, ∴A 点关于 x 轴的对称点在直线 BC 上 ∵A(2,3) ,∴A 点关于 x 轴的对称点 A′(2,﹣3) ∴直线 BC 方程为 即 x+y+1=0 25. △ABC 中, 已知点 A (3, ﹣1) 和点 B (10, 5) , ∠B 的平分线所在直线方程为 x﹣4y+10=0, 求 BC 边所在直线的方程. 【解答】解:设 A 关于直线 x﹣4y+10=0 的对称点 A′(x,y) 则可得 ﹣4× +10=0,且 ? =﹣1,

解得 x=1,y=7,即 A′(1,7) 由对称性知 A′在 BC 边所在直线上, ∴直线 BC 的斜率 k= =﹣

故直线 BC 的点斜式方程为:y﹣5=﹣ (x﹣10) 化为一般式可得:2x+9y﹣65=0 26.已知△ABC 的顶点 A 为(0,5) ,AB 边上的中线所在直线方程为 4x+11y﹣27=0,∠B 的平分线所在直线方程为 x﹣2y+5=0,求 BC 边所在直线的方程. 【解答】 解: 设B (x0, y0) , 由 AB 中点在 4x+11y﹣27=0 上, 可得 联立 x0﹣2y0+5=0 解得 B(﹣3,1)…(5 分) 设 A 点关于 x﹣2y+5=0 的对称点为 A′(x′,y′) ,

则有

解得 A′(2,1)…(10 分) ∴BC 边所在的直线方程为 y=1…(12 分) 27.已知点 P 是直线 3x+4y+8=0 上的动点,PA、PB 是圆(x﹣1) +(y﹣1) =1 的两条切 线,A、B 为切点,C 为圆心,求四边形 PACB 面积 S 的最小值. 【解答】解:由题意(如图)可设 PC=d, 则由圆的知识和勾股定理可得 PB=PA= ∴四边形 PACB 面积 S=2× ×PA×BC= 当 d 取最小值时 S 取最小值,
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2 2

, ,

由点 P 在直线上运动可知当 PC 与直线垂直时 d 取最小值, 此时 d 恰为点 C 到已知直线的距离, 由点到直线的距离公式可得 d= ∴四边形 PACB 面积 S 的最小值为 2 . =3,

28.已知直线 l1:3x+4y﹣5=0,圆 O:x +y =4. (1)求直线 l1 被圆 O 所截得的弦长; (2)如果过点(﹣1,2)的直线 l2 与 l1 垂直,l2 与圆心在直线 x﹣2y=0 上的圆 M 相切,圆 M 被直线 l1 分成两段圆弧,其弧长比为 2:1,求圆 M 的方程. 【解答】解: (1)由题意得:圆心到直线 l1:3x+4y﹣5=0 的距离 由垂径定理得弦长为 (2)直线 设圆心 M 为 ,圆心 M 到直线 l2 的距离为 r,即圆的半径, ,

2

2

由题意可得,圆心 M 到直线 l1:3x+4y﹣5=0 的距离为 1,圆半径为 2, 故圆心 M 到直线 l1 的距离为 ,

所以有: 解得: ,所以圆心为 ,

= , ,所以所求圆方程为:

或 a=0,即圆方程为:x +y =4 29.在平面直角坐标系 xoy 中,以 C(1,﹣2)为圆心的圆与直线 (Ⅰ)求圆 C 的方程;
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2

2

相切.

(Ⅱ)是否存在斜率为 1 的直线 l,使得以 l 被圆 C 截得的弦 AB 为直径的圆过原点,若存 在,求出此直线方程,若不存在,请说明理由. 【解答】解: (1)设圆的方程是(x﹣1) +(y+2) =R ,依题意得,所求圆的半径 , ∴所求的圆方程是(x﹣1) +(y+2) =9. (2)设存在满足题意的直线 l,设此直线方程为 y=x+m, 设直线 l 与圆 C 相交于 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1) , (x2,y2) ,依题意有 OA⊥OB, 即 kOA?kOB=﹣1,∴ ,∴x1x2+y1y2=0.
2 2 2 2 2

因为 ﹣4=0, 所以, ∵ ∴ ∴ ,解得 m1=﹣4,m2=1, . ,

, 消去 y 得: 2x +2 (m+1) x+m +4m

2

2



经检验 m1=﹣4,m2=1 都满足△>0,都符合题意,∴存在满足题意的直线 l:l1:y=x﹣4, l2:y=x+1. 30. 圆 C 的半径为 3, 圆心 C 在直线 2x+y=0 上且在 x 轴下方, x 轴被圆 C 截得的弦长为 . (1)求圆 C 的方程; (2) 是否存在斜率为 1 的直线 l, 使得以 l 被圆 C 截得的弦 AB 为直径的圆过原点?若存在, 求出 l 的方程;若不存在,说明理由. 【解答】解: (1)如图由圆心 C 在直线 2x+y=0 上且在 x 轴下方,x 轴被圆 C 截得的弦长为 可得圆心到 x 轴的距离为 2 ∴C(1,﹣2) 2 2 ∴圆 C 的方程是(x﹣1) +(y+2) =9﹣﹣(4 分) (2)设 L 的方程 y=x+b,以 AB 为直径的圆过原点,则 OA⊥OB,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 x1x2+y1y2=0 ①﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分) 由 得 2x +(2b+2)x+(b +4b﹣4)=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8 分)
2 2

要使方程有两个相异实根,则 △=(2+2b) ﹣4×2(b +4b﹣4)>0 即 分)
2 2

<b<

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(9

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﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣(10 分) 2 由 y1=x1+b,y2=x2+b,代入 x1x2+y1y2=0,得 2x1x2+(x1+x2)b+b =0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分) 2 即有 b +3b﹣4=0,b=﹣4,b=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(13 分) 故存在直线 L 满足条件,且方程为 y=x﹣4 或 y=x+1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣(14 分)

31.已知圆 C:x +y ﹣2x+4y﹣4=0. (1)直线 l1 过点 P(2,0) ,被圆 C 截得的弦长为 4 ,求直线 l1 的方程; (2)直线 l2 的斜率为 1,且 l2 被圆 C 截得弦 AB,若以 AB 为直径的圆过原点,求直线 l2 的方程. 2 2 【解答】解:圆 C: (x﹣1) +(y+2) =9,圆心为(1,﹣2) ,半径为 3, (1)因直线 l1 过点 P(2,0) , ①当直线斜率不存在时,直线 l1:x=2,圆心到直线的距离为 1 ∴直线 l1 被圆 C 截得的弦长为 =4 ,

2

2

∴直线 l1:x=2 满足题意; ②当直线斜率存在时,可设 l1 方程为 y=k(x﹣2) ,即 kx﹣y﹣2k=0 由直线 l1 被圆 C 截得的弦长为 4 ∴ =1,∴k= ,则圆心 C 到 l1 的距离为 =1

∴l1 方程为 y= (x﹣2) ,即 3x﹣4y﹣6=0; 由上可知 l1 方程为:x=2 或 3x﹣4y﹣6=0 …(8 分) 2 2 (2)设直线 l2 的方程为 y=x+b,代入圆 C 的方程,整理可得 2x +(2b+2)x+b +4b﹣4=0(*) ∵以 AB 为直径的圆过原点 O,∴OA⊥OB. 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 x1x2+y1y2=0,…(10 分) 2 ∴2x1x2+b(x1+x2)+b =0 由(*)式得 x1+x2=﹣b﹣1,x1x2=
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∴b +4b﹣4+b(﹣b﹣1)+b =0,即 b +3b﹣4=0, ∴b=﹣4 或 b=1…(14 分) 将 b=﹣4 或 b=1 代入(*)方程,对应的△>0. 故直线 l2:x﹣y﹣4=0 或 x﹣y+1=0. …(16 分)

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