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山东省济宁市2015届高考数学一轮复习 25平面向量的基本概念及线性运算限时检测 新人教A版


课时限时检测(二十五)

平面向量的基本概念及线性运算
题号及难度 基础 1 2,3,7 10 4 8,11 9 5,6 12 中档 稍难

(时间:60 分钟 满分:80 分)命题报告 考查知识点及角度 平面向量的有关概念 平面向量的线性运算 共线向量定理的应用 综合应用 一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1.若 a+

c 与 b 都是非零向量,则“a+b+c=0”是“b∥(a+c)”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 【解析】 B. 必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

若 a+b+c=0,则 b=-(a+c),∴b∥(a+c);

若 b∥(a+c),则 b=λ (a+c),当 λ ≠-1 时,a+b+c≠0,因此“a+b+c=0”是 “b∥(a+c)”的充分不必要条件. 【答案】 A 2.(2014·天津模拟) 已知两个非零向量 a,b 满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确 的是( ) B.a⊥b D.a+b=a-b 法一:(代数法)将原等式两边平方得|a+b| =|a-b| ,∴a +2a·b+b
2 2 2 2 2

A.a∥b C.|a|=|b| 【解析】
2

=a -2a·b+b , ∴ a·b=0,∴a⊥b,故选 B. 法二:(几何法)如图所示,

→ → → → 在?ABCD 中,设AB=a,AD=b,∴AC=a+b,DB=a-b.∵|a+b|=|a-b|,∴平行四 边形两条对角线长度相等,即平行四边形 ABCD 为矩形,∴a⊥b,故选 B. 【答案】 B

1

图 4-1-2 → → → 3.如图 4-1-2, 正六边形 ABCDEF 中,BA+CD+EF=( A.0 → C.AD 【解析】 → → → → → → B.BE → D.CF )

BA+CD+EF=DE+CD+EF=CD+DE+EF=CF.

→ →

→ → →

【答案】 D 4.(2014·青岛模拟)设 a,b 都是非零向量,下列四个条件中,一定能使 + =0 |a| |b| 成立的是( ) B.a∥b D.a⊥b 由 + =0 可知 a 与 b 必共线且反向,结合四个选项可知 A 正确. |a| |b|

a

b

1 A.a=- b 3 C.a=2b 【解析】 【答案】 A

a

b

5.(2012·浙江高考)设 a,b 是两个非 零向量( A.若|a+b|=|a|-|b|,则 a⊥b B.若 a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|

)

C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数 λ ,使得 b=λ a D.若存在实数 λ ,使得 b=λ a,则|a+b|=|a|-|b| 【解析】 2|a||b|+|b| , ∴a·b=-|a||b|. ∵a·b=|a||b|cos〈a,b〉 ,∴cos〈a,b〉=-1, ∴〈a,b〉=π ,此时 a 与 b 反向共线,因此 A 错误.当 a⊥b 时,a 与 b 不反向也不 共线,因此 B 错误. 若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数 λ =-1,使 b=-a,满足 a 与 b 反向共线,故 C 正确.若存 在实数 λ ,使得 b=λ a,则|a+b|=|a+λ a|=|1+λ ||a|,|a|-|b|=|a| -|λ a|=(1-|λ |)|a|,只有当-1≤λ ≤0 时,|a+b|=|a|-|b|才能成立,否则不能成 立,故 D 错误.
2
2

由|a+b|=|a|-|b|知(a+b) =(|a|-|b|) ,即 a +2a·b+b =|a| -

2

2

2

2

2

【答案】 C → → → → → → 6.已知△ABC 和点 M 满足MA+MB+MC=0.若存在实数 m 使得AB+AC=mAM成立,则 m= ( ) A.2 C.4 【解析】 B.3 D.5 → → → 由MA+MB+MC=0 易得 M 是△ABC 的重心,且重心 M 分中线 AE 的比为 AM∶ 3 3

2m → → → → 2m → ME=2∶1,∴AB+AC=2AE=mAM= ·AE,∴ =2.∴m=3. 【答案】 B 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)

图 4-1-3 7.如图 4-1-3 所示,向量 a-b=________(用 e1,e2 表示 ). 【解析】 → 由图知,a-b=BA=e1+(-3e2)=e1-3e2.

【答案】 e1-3e2 → → → 8 .若|AB|=8,|AC|=5,则|BC|的取值范围是________. 【解析】 → → → → → → → → → ∵BC=AC-AB,当AB、AC同向时,|BC|=8-5=3,当AB、AC反 向时,|BC

→ → → → |=8+5=13,当AB、AC不共线时,3<|BC|<13,综上可知 3≤|BC|≤13. 【答案】 [3,13] 9.已知向量 a,b 是两个非零向量,则在下列四个条件中,能使 a、b 共线的条件是 ________(将正确的序号填在横线上). ①2a-3b=4e,且 a+2b=-3e; ②存在相异实数 λ 、μ ,使 λ a+μ b=0; ③xa+yb=0(实数 x,y 满足 x+y=0). 【解析】 由①得 10a-b=0,故①对.②对.对于③,当 x=y=0 时,a 与 b 不一定

共线,故③不对. 【答案】 ①② 三、解答题(本大题共 3 小题,共 35 分) 10.(10 分)设 a,b 是不共线的两个非零向量.

3

→ → → (1)若OA=2a-b,OB=3a+b,OC=a-3b,求证:A、B、C 三点共线. (2)若 8a+kb 与 ka+2b 共线,求实数 k 的 值. → → → (3)若AB=a+b,BC=2a-3b,CD=2a-kb,且 A、C、D 三点共线,求 k 的值. → → → 【解】 (1)证明 AB=OB-OA=a+2b, →

AC=OC-OA=-a-2b.
→ → 所以AC=-AB,又因为 A 为公共点, 所以 A、B、C 三点共线. (2)设 8a+kb=λ (ka+2b),
?8=λ k, ? 则? ? ?k=2λ ?k=4, ? ?? ? ?λ =2 ?k=-4, ? 或? ? ?λ =-2,

→ →

所以实数 k 的值为±4. → → → (3)AC=AB+BC=(a+b)+(2a-3b)=3a-2b, 因为 A、C、D 三点共线, → → 所以AC与CD共线. → → 从而存在实数 λ 使AC=λ CD,即 3a-2b=λ (2a-kb),
?3=2λ , ? 得? ?-2=-λ k, ?

3 4 解得 λ = ,k= , 2 3

4 所以 k= . 3

图 4-1-4 → 1→ → → 11.(12 分)如图 4-1-4 所示,在△ABC 中,AN= NC,P 是 BN 上的一点,若AP=mAB+ 3 2→ AC,求实数 m 的值. 11 → → → 【解】 如题图所示,AP=AB+BP, → → ∵P 为 BN 上一点,则BP=kBN, → → → → → → ∴AP=AB+kBN=AB+k(AN-AB)

4

→ 1→ → 1→ 又AN= NC,即AN= AC, 3 4 → → k→ 因此AP=(1-k)AB+ AC, 4

k 2 所以 1-k=m,且 = , 4 11
8 3 解得 k= ,则 m=1-k= . 11 11 → → 12.(13 分)设 O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三点,动点 P 满足OP=OA +λ ( 点: ①△ABC 的外心;②△ABC 的内心;③△ABC 的重心; ④△ABC 的垂心. → AC + ),λ ∈[0,+∞).求点 P 的轨迹,并判断点 P 的轨迹通过下述哪一个定 → → |AB| |AC|

AB



→ → → AB → AC → → → → → 【解】 如图,记AM= ,AN= ,则AM,AN都是单位向量,∴|AM|=|AN|,AQ= → → |AB| |AC| → → → → → → → → AM+AN ,则四边形 AMQN 是菱形,∴AQ 平分∠BAC,∵OP=OA+AP,由条件知OP=OA+λ AQ, → → ∴AP=λ AQ(λ ∈[0,+∞)),∴点 P 的轨迹是射线 AQ,且 AQ 通过△ABC 的内心.

5


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