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【2013济南市一模】山东省济南市2013届高三3月高考模拟


理科数学试题 4.21
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.
x a
2 2

1.已知双曲线

?

y b

2 2

? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) (a>0,b>0)的一条渐近线与曲线 y ?

2 x ? 1 相切,则该双曲线的离心

率为 (A) 2.已知复数

2
2 ? 3i 1? i

(B)

3

(C)2

(D) 2 2 B.6 C.2 D.3

( i 是虚数单位) ,它的实部和虚部的和是 A.4

3.某苗圃基地为了解甲、乙两块地种植的同一种树苗的长势情 况,从两块地各随机抽取了 10 株树苗,用茎叶图表示上述两
x 组数据,对两块地抽取树苗的高度的平均数 x 甲 、 乙 和中位

数 y甲 、 y乙 进行比较,下面结论正确的是 A. x 甲 ? x 乙 , y甲 ? y乙 B. x 甲 ? x 乙 , y甲 ? y乙 C. x 甲 ? x 乙 , y甲 ? y乙 4.已知实数 x , y 满足 ? y
?y ?1 ? ? 2x ?1 ?x ? y ? 8 ?

D. x 甲 ? x 乙 , y甲 ? y乙 B.5 C.6 D.7

,则目标函数 z ? x ? y 的最小值为 A. ? 2

5.“ a ? 1 ”是“函数 f ( x ) ? x ? a 在区间 ? 2, ? ? ? 上为增函数”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.函数 f ? x ? ?
1? ? ln ? x ? ? x? ?

的图象是

A.

B.

C.

D.

7.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,输出的结果为 A. 1 3
11

B. 2 1
13

C.

8 13

D. 1 3
8

8.二项式 ( ?
2
3

x

1 x

)

8

的展开式中常数项是 A.28 B.-7 与圆 O
2

C.7

D.-28
3,

第 7 题图 则 OA ? OB 的值是

9.已知直线 ax A. ?
1 2

? by ? c ? 0

:x

? y

2

? 1 相交于 A , B

两点,且 AB ?

B.

1 2

C. ?

3 4

D.0
, 5? 6 ] 上的图象.

10.右图是函数 y ? A sin (? x ? ? )( x ? R ) 在区间 [ ? ?
6

-1-

为了得到这个函数的图象,只需将 y ? sin x ( x ? R ) 的图象上所有的点
?
3
1 2

A.向左平移

个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的

倍,纵坐标不变

B.向左平移

?
3

个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变

C.向左平移

?
6

个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的

1 2

倍,纵坐标不变

D.向左平移

?
6

个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变

11.一个几何体的三视图如右图所示,其中正视图是一个正三角 形,则它的体积为 (A) 1

(B)
2

[来

3 3



(C)
3

2 3 3

(D)

3
5

[来源:Zxxk.Com]

12.设 a ? A.
题号 答案
a 2 ?

?

1 x

dx, b ?

1

?

1 x

dx, c ?
b 3 ? a 2

1

?

1 x
c

1

d x ,则下列关系式成立的是

b 3

?

c 5

B.
3 4

?

C.
6

c 5

?

a 2

?

b 3

D.
8 9

a 2

?

c 5

?

b 3

5

1

2

5

7

10

11

12

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.若点 A ? 1,1 ? 在直线 mx ? ny ? 2 ? 0 上,其中 mn ? 0 , 则
x a
y ? ? 3 x ,则双曲线方程为
2 2

1 m
2 2

?

1 n

的最小值为

.

14 . 已 知 抛 物 线 y ? 4 x 的 焦 点 F 恰 好 是 双 曲 线
2

?

y b

? 1 ?a ? 0 , b ? 0 ? 的 右 顶 点 , 且 渐 近 线 方 程 为



y
P

15.函数 y ? s in (

?
2

x ??)

(? ? 0 ) 的部分图象如图所示,设 P 是
A
O

图象的最高点, A , B 是图象与 x 轴的交点,则 tan ? A P B



B

x

第 15 题图
1 6. f ( x ) ? | 2 x ? 1 |, f 1 ( x ) ? f

?x?,

f2 ? x ? ? f

? f ? x ? ? ,? ,
1

fn ? x ? ? f

?f

n ?1

? x ? ? 则函数

y ? f 4 ? x ? 的零点个数为



-2-

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 17. (本题满分 12 分) 已知 m ? ( 2 cos x ? 2 3 sin x , 1) , n ? (cos x , ? y ) ,且 m ? n . (1)将 y 表示为 x 的函数 f ( x ) ,并求 f ( x ) 的单调增区间; (2) 已知 a , b , c 分别为 ? ABC 的三个内角 A , B , C 对应的边长, f ( 若 的面积.
A 2

??

?

且 求 ) ? 3 , a ? 2 ,b ? c ? 4 , ? ABC

-3-

18.(本题满分 12 分)已知四棱锥 P ? A B C D 的底面 A B C D 是等腰梯形, A B / / C D , 且 A C ? B D ,
A C 与 B D 交 于 O , P O ? 底 面 A B C D , P O ? 2, A B ? 2 C D ? 2 2 , E 、 F 分别是 A B、 A P 的中点.

(1)求证: A C ? E F ;

(2)求二面角 F ? O E ? A 的余弦值.

P

F D O A E
第 18 题图

C

B

-4-

19. (本题满分 12 分)数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n , a 1 ? 1 , a n ? 1 ? 2 S n ? 1 ( n ? N ) ,等差数列 ? b n ? 满足
*

b 3 ? 3, b 5 ? 9 .(1)分别求数列 ? a n ? , ? b n ? 的通项公式; (2)设 c n ?

bn ? 2 a
n?2

( n ? N ) ,求证 c n ? 1 ? c n ?
*

1 3



(3)求数列 ? c n ? 的前 n 项和 s n ;

-5-

20.(本题满分 12 分)某学生参加某高校的自主招生考试,须依次参加 A、B、C、D、E 五项考试,如果前四 项中有两项不合格或第五项不合格,则该考生就被淘汰,考试即结束;考生未被淘汰时,一定继续参加后面的考 试。已知每一项测试都是相互独立的,该生参加 A、B、C、D 四项考试不合格的概率均为 的概率为
2 3 1 2

,参加第五项不合格

(1)求该生被录取的概率; (2)记该生参加考试的项数为 X ,求 X 的分布列和期望.

-6-

21.(本题满分 13 分)设函数 f ( x ) ? xe .
x

(1) 求 f ( x ) 的单调区间与极值; (2)是否存在实数 a ,使得对任意的 x 1、 x 2 ? ( a , ?? ) ,当 x 1 ? x 2 时恒有 若存在,求 a 的范围,若不存在,请说明理由.
f ( x2 ) ? f (a ) x2 ? a ? f ( x1 ) ? f ( a ) x1 ? a

成立.

-7-

22.(本题满分 13 分)已知椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的离心率为

2 2

( ,且过点 2, 2) .

(1)求椭圆的标准方程; (2)四边形 ABCD 的顶点在椭圆上,且对角线 AC、BD 过原点 O,若 k AC ? k BD ? ?
b a
2 2

,

y

(i) 求 OA ? OB 的最值. (ii) 求证:四边形 ABCD 的面积为定值;
C B O D A

x

第 22 题图

-8-

2013 年 4.21 高考模拟考试理科数学参考答案
一、选择题
题号 答案 1 A 2 C 3 B 4 A 5 A 6 B 7 D 8 C 9 A 10 A 11 B 12 C

二、填空题 13 . 2 三、解答题 17. 解: (1)增区间为 [ ? (2) S ? A B C ?
1 2

14. x ?
2

y

2

?1

15. ? 2

16. 8

3

?
3

? k? , 3 .

?
6

? k ? ], k ? Z …………………………………6 分

b c s in A ?

…………………………………………………………………………………12 分

?? ? m?n 3 ? 18.设二面角 F ? O E ? A 为 ? , c o s ? ? ?? ?? ? ----------------------12 分 3 | m || n |

19. 解: (1)? b n ? 3 n ? 6

…………………………………………………………………………6 分 所以 c n ?
3n 3
n ?1

(2)因为 a n ? 2 ? 3 n ? 1 , b n ? 2 ? 3 n 所以 c n ? 1 ? c n ? 所以 c n ? 1 ? c n ?
1 3

?

n 3
n

………………………9 分 ………………………………11 分

1 ? 2n 3
n ?1

? 0

c n ? 1 ? c n ? ? ? ? ? c1 ?

1 3

………………………………………………………12 分
1 24 ? 1 16 ? 5 48

20.解: (1)P=P(A)+P(B)=

…………………………………………………5 分

(2)该生参加考试的项数 ? 可以是 2,3,4,5.
X

2
1 4

3
1 4
3 16 5 16 57 16

4
3 16

5
5 16

p

…………………………………10 分
E(X ) ? 2? 1 4 ? 3? 1 4 ? 4? ? 5? ?

………………………………………12 分

x 21.解: (1) f ? ( x ) ? (1 ? x ) e .令 f ? ( x ) ? 0 ,得 x ? ? 1 ;……………………………………………………1 分

x

( ?? , ? 1)

?1

( ? 1, ?? )

f ?( x )

-

0 极小值

+

f (x)

-9-

? f ( x ) 的单调递减区间是 ( ?? , ? 1) ,单调递增区间是 ( ? 1, ?? ) . f ( x )

极小值

= f ( ? 1) ? ?

1 e

…………5 分

(2) 设 g ( x ) ?

f ( x) ? f (a ) x? a

, 由题意, 对任意的 x 1、 x 2 ? ( a , ?? ) , x 1 ? x 2 时恒有 g ( x 2 ) ? g ( x 1 ) , y ? g ( x ) 当 即

在 ( a , ?? ) 上是单调增函数.…………………………………………………………………………………………7 分
? g ?( x ) ? f ? ( x )( x ? a ) ? [ f ( x ) ? f ( a )] (x ? a)
2 2

?
a

(1 ? x ) e ( x ? a ) ? xe ? a e
x x

a

(x ? a)
2 x x

2

?

( x ? x ? a x ? a ) e ? xe ? a e
x x

(x ? a)

2

?

x e ? a xe ? a e ? a e
x

a

………………………………………8 分

(x ? a)
x x

2

? x ? ( a , ?? ) , g ? ( x ) ? 0
x 2 x

令 h ( x ) ? x e ? axe
2
x x x

? ae

x

? ae
x

a

? 0
x

h ? ( x ) ? 2 xe ? x e ? a (1 ? x ) e ? a e ? x ( x ? 2 ) e ? a ( x ? 2 ) e ? ( x ? 2 )( x ? a ) e ………………………10 分

若 a ? ? 2 ,当 x ? a 时, h ? ( x ) ? 0 , h ( x ) 为 [ a , ?? ) 上的单调递增函数,? h ( x ) ? h ( a ) ? 0 ,不等式成立. 11 分 若 a ? ? 2 ,当 x ? ( a , ? 2 ) 时, h ? ( x ) ? 0 , h ( x ) 为 [ a , ? 2 ] 上的单调递减函数,
? ? x 0 ? ( a , ? 2 ) , h ( x 0 ) ? h ( a ) ? 0 ,与 ? x ? ( a , ?? ) , h ( x ) ? 0 矛盾,所以,a 的取值范围为 [-2, ?? ) .…12 分
c a 2 2
4 a
2

22. 解:(1)由题意 e ?

?



?

2 b
2

? 1 ,又 a

2

? b ? c ,…………………………………………2 分
2 2

解得 a ? 8 , b ? 4 ,椭圆的标准方程为
2 2

x

2

?

y

2

? 1 .…………………………………………………………4 分

8

4

(2)设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m ,设 A ( x1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) 联立 ?
? y ? kx ? m ?x ? 2 y
2
2

2

? 8

,得 (1 ? 2 k ) x ? 4 kmx ? 2 m ? 8 ? 0
2 2 2

? ? 4 km) ? 4 (1 ? 2 k )( 2 m ? 8 ) ? 8 ? 8 k ? m ? 4 ? ? 0 (
2 2 2 2

----------①

? 4 km ? x1 ? x 2 ? 2 ? 1 ? 2k ? 2 2m ? 8 ? x x ? 1 2 2 1 ? 2k ?
? k OA ? k OB ? ? b a
2 2

……………………………………………………………6 分

? ?

1 2

? y1 y 2 ? ?

1 2
2

x1 x 2 ? ?

1 2

??

2m ? 8
2

1 ? 2k

2

? ?

m ?4
2

1 ? 2k

2

………………………7 分

y 1 y 2 ? ( kx 1 ? m )( kx 2 ? m ) ? k x 1 x 2 ? km ( x 1 ? x 2 ) ? m
2m
2

2

=k

2

?8
2

1 ? 2k

? km

? 4 km 1 ? 2k
2

? m

2

?

m ? 8k
2

2

1 ? 2k

2

…………………………………………………8 分

- 10 -

??

m ? 4
2

1 ? 2k

2

?

m ? 8k
2

2

1 ? 2k

2

? ? (m ? 4) ? m ? 8k ? 4k ? 2 ? m
2 2 2
2

2

………………………………9 分
4k ? 2 ? 4
2

(i) OA ? OB ? x 1 x 2 ? y 1 y 2

?

2m ? 8
2

1 ? 2k

2

?

m ?4
2

1 ? 2k

2

?

m ?4
2

1 ? 2k

2

?

1 ? 2k

2

? 2?

4 1 ? 2k
2

? ? ?? ? ? ?? ? ?2 ? 2 ? 4 O A O B ? ? ? 2
2 当 k=0(此时 m ? 2 满足①式),即直线 AB 平行于 x 轴时, OA ? OB 的最小值为-2.

又直线 AB 的斜率不存在时 O A ? O B ? 2 ,所以 OA ? OB 的最大值为 2. …………………………………11 分 (ii)设原点到直线 AB 的距离为 d,则
S ? AOB ? 1 2 | AB | ? d ? 1 2
2

??? ??? ? ?

1 ? k ? | x 2 ? x1 | ?
2

|m | 1? k
2

?

|m | 2

( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ? 64 k m
2 2

|m | 2 ? 2

2m ? 8 ? ? 4 km ? ? ? ?4 2 2 1 ? 2k ? 1 ? 2k ?
2

2

?

|m | 2

?

16 ( m

2 2

? 4)

4k

2

?m

2

?4 ? 2

2

m

? S 四边形

ABCD

? 4 S ? AOB ? 8 2 .

即,四边形 ABCD 的面积为定值…………………………………………………………13 分

- 11 -


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