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云南省玉溪一中2014-2015学年高一下学期期末考试数学试题


玉溪一中 2014-2015 学年下学期期末考试 高一数学试题
命题人:刘畅
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。 考试时间:120 分钟 满分:150 分

第Ⅰ卷(共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1、已知直

线 l, m,平面 ?,? ,下列命题正确的是( A.l// ? , l ? ? ? ? // ? C.l//m, l ? ? , m ? ? ? ? // ? l ? m=M ? ? // ? 2、在等差数列{an}中,已知 a1+a2=4,a2+a3=8,则 a7 等于( A.7 B.10 C.13 ) C.-ab<-a2 D.|a|<|b| ) D.19 )

B.l// ? , m// ? , l ? ? , m ? ? ? ? // ? D . l// ? , m// ? , l ?

? , m? ? ,

3、如果 a<b<0,那么下列不等式成立的是( A.-

1 1 <- a b

B.ab<b2

4、已知点 A(2, 3),B(-3, -2),若直线 l 过点 P(1, 1)且与线段 AB 相交,则直线 l 的斜率 k 的取 值范围是( )

A.k≥2 或 k≤

3 4

B.

3 ≤k≤2 4

C.k≥

3 4

D.k≤2

?4 x ? 5 y ? 8 ? 5、若变量 x, y 满足约束条件 ?1 ? x ? 3 ,则 z=3x+2y 的最小值为( ?0 ? y ? 2 ?
A.4 B.



23 5

C.6

D.

31 5


6、过点 P(1, 3),且与 x 轴,y 轴的正半轴围成的三角形的面积等于 6 的直线方程是( A.3x+y-6=0 B.x+3y-10=0 C.3x-y=0 D.x-3y+8=0

7、若某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍,母线长为 3,侧面积为 84 ? ,则该圆 台较小底面的半径为( )

A.7

B.6

C.5 )

D.3

8、在△ABC 中,a=2bcos C,则这个三角形一定是( A.等腰三角形 角三角形 B.直角三角形

C.等腰直角三角形

D. 等腰三角形或直

2 2 9、在等比数列{an}中,若 a1+a2+…+an=2n-1,则 a 1 +a 2 2 +…+a n =(

) D.4n-1

A.(2n-1)2

B.

1 n (4 -1) 3

C.

1 n (2 -1) 3

10、关于 x 的不等式 ax-b>0 的解集是(1, +∞),则关于 x 的不等式(ax+b)(x-3)>0 的解集是 ( ) A.(-1, 3) ∪(3, +∞)
2 2 11、方程(x+y-1) x ? y ? 4 =0 所表示的曲线是(

B.(1, 3)

C.(-∞, 1)∪(3, +∞)

D.(-∞, -1)



A

B

C

D )

12、某三棱锥的三视图如图所示,且三个三角形均为直角三角形,则 xy 的最大值为(

A.32

B.32 7

C.64

D.64 7

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分). 13、圆 x2+y2+2x =0 关于 y 轴对称的圆的一般方程是 .

14 、设△ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 cosA= c= .

3 5 , cosB= , b=3 ,则 5 13

15、如图所示,正三棱锥 S-ABC 中,侧棱与底面边长相等,若 E、F 分别为 SC、 AB 的中点,则异面直线 EF 与 SA 所成的角等于 16、 设 Sn 是数列{an}的前 n 项和, 且 a1=-1, an+1=SnSn+1, 则 Sn= . .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤) 17、 (10 分)某直线过直线 l1 : x-2y+3=0 与直线 l2 : 2x+3y-8=0 的交点,且点 P(0, 4)到该直 线的距离为 2,求该直线的方程.

18、 (12 分)在△ABC 中,已知 AB=2,AC=3,A=60°. (1)求 BC 的长; (2)求 sin 2C 的值.

19、 (12 分)如图所示,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°. (1)证明:AB⊥A1C; (2)若 AB=CB=2,A1C= 6 ,求三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积.

20、 (12 分)某镇计划建造一个室内面积为 800m2 的矩形蔬菜温室,在温室内,沿左、右两侧 与后侧内墙各保留 1m 宽的通道,沿前侧内墙保留 3m 宽的空地。当矩形温室的边长各为 多少时,蔬菜的种植面积最大?最大种植面积是多少?

21、 (12 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=2,Sn= (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列 ?

n?2 an(n ? N*). 3

?1? ? 的前 n 项和 Tn . a n ? ?

22、 (12 分)圆 C 的半径为 3,圆心在直线 2x+y=0 上且在 x 轴下方,x 轴被圆 C 截得的弦长为 2 5. (1)求圆 C 的方程; (2)是否存在斜率为 1 的直线 l,使得以 l 被圆截得的弦为直径的圆过原点?若存在,求出直 线 l 的方程;若不存在,说明理由.

玉溪一中 2014—2015 学年下学期期末考试 高一数学答案
一、选择题 1 D 2 C 3 A 4 A 5 B 6 A 7 A 8 A 9 B 10 D 11 D 12 C

二、填空题 13.x2+y2-2x=0 14.

14 5

15.45°

16.-

1 n

三、 解答题 17.解:设 l1 与 l2 交点为 A x-2y+3=0 由 解得 A(1,2) 2x+3y-8=0 若此直线斜率不存在,则方程为 x=1 不满足 P(0,4)到该直线距离为 2. 若此直线斜率存在,设直线方程为 y-2=k(x-1) 即 kx-y+2-k=0 P(0,4)到此直线距离 d=

?k ?2 k 2 ?1

?2

解得 k=0 或

4 3

? 直线方程为 y=2 或 4x-3y+2=0
1 2

18.解: (1)由余弦定理知,BC2=AB2+AC2-2AB· AC· cosA=4+9-2× 2× 3× =7. 所以 BC= 7 . (2)由正弦定理知,

AB BC AB 21 2 sin 60? ? ,所以 sinC= · sinA= = . sin C sin A BC 7 7

因为 AB<BC,所以 C 为锐角,则 cosC= 1 - sin 2 C = 1 ?

3 2 7 . ? 7 7

因此 sin2C=2sinC· cosC=2×

21 2 7 4 3 . ? ? 7 7 7

19.解: (1)证明:取 AB 的中点 O,连接 OC,OA1,A1B. 因为 CA=CB,所以 OC ? AB. 由于 AB=AA1,∠BAA1=60° ,故△ AA1B 为等边三角形,所以 OA1 ? AB. 因为 OC ? OA1=O,所以 AB ? 平面 OA1C. 又 A1C ? 平面 OA1C,故 AB ? A1C. (2)由题设知△ ABC 与△ AA1B 都是边长为 2 的等边三角形, 所以 OC=OA1= 3 .

又 A1C= 6 ,则 A1C2=OC2+OA12,故 OA1 ? OC. 因为 OC ? AB=O, 所以 OA1 ? 平面 ABC,OA1 为三棱柱 ABC-A1B1C1 的高. 又△ ABC 的面积 S△ ABC= 3 , 故三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积 V=S△ ABC· OA1=3. 20.解:设矩形温室的左侧边长为 a m,后侧边长为 b m,蔬菜的种植面积为 S m2,则 ab=800. 所以 S=(a-4) (b-2)=ab-4b-2a+8=808-2(a+2b)≤808-4 2ab =648. 当且仅当 a=2b,即 a=40,b=20 时等号成立,则 S 最大值=648. 答:当矩形温室的左侧边长为 40m,后侧边长为 20m 时,蔬菜的种植面积最大,最大种 植面积为 648m2. 21.解: (1)由题意得当 n≥2 时,Sn-1=

n ?1 an-1, 3

? an=Sn-Sn-1= ? an=

n?2 n ?1 an- an-1, 3 3

n ?1 an-1, n ?1 4 5 n ?1 an-1, ? a2=3a1,a3= a2,a4= a3……,an= 2 3 n ?1 n(n ? 1 ) 以上各式相乘得 an= a1=n(n+1) , 2
当 n=1 时,a1=2 也适合上式, ? an=n(n+1)(n ? N*). (2)由(1)得 an=n(n+1),?

1 1 1 1 ? ? = , ) n n ?1 a n n( n ? 1

? Tn=

1 1 1 ? ? …+ a1 a2 an

=? ?

1 ? ?1 ?1 1 ? ? 1 1 ? ? ? + ? ? ? +…+ ? ? ?1 2 ? ? 2 3 ? ? n n ?1?
n . n ?1
2 2

=

22、解: (1)设 C(x0,y0) ,则 2x0+y0=0(y0<0), 又 3 ? y0 = 5 ,得 y0=-2,x0=1,则 C(1,-2). 所以圆 C 的方程为(x-1)2+(y+2)2=9, 即 x2+y2-2x+4y-4=0. (2)设这样的直线 l 存在,其方程为 y=x+b,它与圆 C 的交点设为 A(x1,y1),B(x2,y2), x2+y2-2x+4y-4=0, 则由 得 2x2+2(b+1)x+b2+4b-4=0,

y=x+b, 所以 x1+x2=-(b+1),x1x2=

b 2 ? 4b ? 4 . 2

所以 y1y2=(x1+b)(x2+b)=x1x2+b(x1+x2)+b2. 由 OA ? OB 得 x1x2+y1y2=0, 即 b2+4b-4-b(b+1)+b2=0,b2+3b-4=0,解得 b=1 或 b=-4. 容易验证 b=1 或 b=-4,方程 2x2+2(b+1)x+b2+4b-4=0 有实根. 故存在这样的直线 l 有两条,其方程是 y=x+1 或 y=x-4.


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