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【优化方案】2015高考数学总复习(湖北理科)课后达标检测:第10章 第3课时]


[基础达标] 一、选择题 1.(2014· 辽宁六校联考)某产品在某零售摊位上的零售价 x(单位:元)与每天的销售量 y(单 位:个)的统计资料如下表所示: x 16 17 18 19 y 50 34 41 31 ^ ^ ^ ^ 由上表可得回归直线方程y=bx+a中的b=-4,据此模型预计零售价定为 15 元时,每天 的销售量为( ) A.48 个 B.49 个 C.50 个 D

.51 个 - - ^ ^ 解析:选 B.由题意知 x =17.5, y =39,代入回归直线方程得a=109.当 x=15 时,y=109 -15×4=49. 2. (2014· 武汉二中高考模拟试题)某车间为了规定工时定额, 需要确定加工零件所花费的 时间, 为此进行了 5 次试验, 收集数据如下: 10 20 30 40 50 加工零件数 x(个) 64 69 75 82 90 加工时间 y(分钟) 经检验,这组样本数据具有线性相关关系, 那么对于加工零件的个数 x 与加工时间 y 这 两个变量,下列判断正确的是( ) A.成正相关,其回归直线经过点(30, 76) B.成正相关,其回归直线经过点(30, 75) C.成负相关,其回归直线经过点(30, 76) D.成负相关,其回归直线经过点(30, 75) - 10+20+30+40+50 解析:选 A. 随着 x 的增大,y 也增大,所以成正相关.又 x = =30, 5 - 64+69+75+82+90 y= =76,所以回归直线经过点(30, 76). 5 3.对具有线性相关关系的变量 x,y,测得一组数据如下表: x 2 4 5 6 8 y 20 40 60 70 80 ^ ^ 根据上表,利用最小二乘法得它们的回归直线方程为y=10.5x+a,据此模型来预测当 x =20 时,y 的估计值为( ) A.210 B.210.5 C.211.5 D.212.5 - - ^ ^ ^ 解析:选 C.由已知得 x =5, y =54,则(5,54)满足回归直线方程y=10.5x+a,解得a= ^ ^ 1.5,因此y=10.5x+1.5.当 x=20 时y=10.5×20+1.5=211.5. 10 ^ 4.(2014· 山东东营模拟)已知变量 x 与 y 之间的回归直线方程为y=-3+2x,若∑ xi=17, =
10 i 1

则∑ yi 的值等于( =
i 1

) B.4 D.40

A.3 C.0.4

17 解析:选 B.依题意 x= =1.7, 10 ^ 而直线y=-3+2x 一定经过(x,y), 所以 y=-3+2x=-3+2×1.7=0.4,

10

∴∑ yi=0.4×10=4. =
i 1

5 6 3 4 ^ ^ ^ 假设根据上表数据所得线性回归直线方程为 y =bx+a. 若某同学根据上表中的前两组数 据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为 y=b′x+a′,则以下结论正确的是( ) ^ ^ ^ ^ A.b>b′,a>a′ B.b>b′,a<a′ ^ ^ ^ ^ C.b<b′,a>a′ D.b<b′,a<a′ 解析:选 C.由(1,0),(2,2)求 b′,a′. 2-0 b′= =2, 2-1 a′=0-2×1=-2. ^ ^ 求b,a时,
i=1

5.已知 x 与 y 之间的几组数据如下表: x 1 2 3 y 0 2 1

4 3

?xiyi=0+4+3+12+15+24=58,

6

- - 13 x =3.5, y = , 6
i=1

?x2 i =1+4+9+16+25+36=91,

6

13 58-6×3.5× 6 5 ^ ∴b= 2 = , 7 91-6×3.5 13 5 1 ^ 13 5 a= - ×3.5= - =- , 6 7 6 2 3 ^ ^ ∴b<b′,a>a′. 二、填空题 6.(2014· 武汉市部分学校高三调研)某地区恩格尔系数 y(%)与年份 x 统计数据如下表: 2004 2005 2006 2007 年份 x 47 45.5 43.5 41 恩格尔系数 y(%) ^ ^ 从散点图可以看出 y 与 x 线性相关, 且可得回归方程为 y=bx+4 055.25, 则b=________, 据此模型可预测 2012 年该地区的恩格尔系数(%)为________. - 2 004+2 005+2 006+2 007 - 47+45.5+43.5+41 解析:因为 x = =2 005.5, y = =44.25, 4 4 - - ^ ^ 且点 x , y 在回归直线方程 y=bx+4 055.25 上,代入得b=-2,所以回归直线方程为 y=- 2x+4 055.25.当 x=2 012 时,y=31.25.故可预测 2012 年该地区的恩格尔系数为 31.25. 答案:-2 31.25 ^ 7.(2014· 辽宁大连市双基测试)已知下列表格所示数据的回归直线方程为y=3.8x+a,则 a 的值为________. x 2 3 4 5 6 y 251 254 257 262 266 解析:由已知得,x=4,y=258,因为点(x,y)在回归直线上,所以 a=242.8. 答案:242.8 8.(2014· 山东济南市模拟考试)为了均衡教育资源,加大对偏远地区的教育投入,调查了 某地若干户家庭的年收入 x(单位:万元)和年教育支出 y(单位:万元),调查显示年收入 x 与年 ^ 教育支出 y 具有线性相关关系, 并由调查数据得到 y 对 x 的回归直线方程: y=0.15x+0.2.由回

归直线方程可知,家庭年收入每增加 1 万元,年教育支出平均增加________万元. 解析:由题意知,0.15(x+1)+0.2-(0.15x+0.2)=0.15. 答案:0.15 三、解答题 9.(2014· 武汉市高三模拟考试)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品 按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据: 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 单价 x(元) 90 84 83 80 75 68 销量 y(件) ^ ^ ^ ^ (1)求回归直线方程y=bx+a,其中b=-20; (2)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(1)中的关系,且该产品的成本是 4 元/件, 为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本) - 1 解:(1)由于 x = (x1+x2+x3+x4+x5+x6)=8.5, 6 1 - y = (y1+y2+y3+y4+y5+y6)=80. 6 ^ - ^- 所以a= y -b x =80+20×8.5=250, ^ 从而回归直线方程为y=-20x+250. (2)设工厂获得的利润为 L 元,依题意得 L=x(-20x+250)-4(-20x+250) =-20x2+330x-1 000 =-20(x-8.25)2+361.25. 当且仅当 x=8.25 时,L 取得最大值. 故当单价定为 8.25 元时,工厂可获得最大利润. 10.为了分析某个高二学生的学习状态,对其下一阶段的学习提供指导性建议.现对他 前 7 次考试的数学成绩 x、物理成绩 y 进行分析.下面是该生 7 次考试的成绩. 88 83 117 92 108 100 112 数学 94 91 108 96 104 101 106 物理 (1)他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定?请给出你的证明; (2)已知该生的物理成绩 y 与数学成绩 x 是线性相关的,若该生的物理成绩达到 115 分, 请你估计他的数学成绩大约是多少? -12-17+17-8+8+12 -6-9+8-4+4+1+6 - - 解:(1) x =100+ =100, y =100+ = 7 7 100, 1 所以数学的方差是 (144+289+289+64+64+144)=142. 7 1 250 物理的方差是 (36+81+64+16+16+1+36)= . 7 7 从而物理的方差小于数学的方差,所以物理成绩更稳定.

(2)由于 x 与 y 之间具有线性相关关系, 根据回归系数公式得到 , ^ - ^- a= y -b x =50, 则 y=0.5x+50. 所以回归直线方程为 y=0.5x+50. 当 y=115 时,x=130,即该生物理是 115 分时,数学成绩是 130. [能力提升] 一、选择题 1.(2014· 黄冈中学高三模拟)经统计,用于数学学习的时间(单位:小时)与成绩(单位:分) 近似于线性相关关系. 对某小组学生每周用于数学的学习时间 x 与数学成绩 y 进行数据收集如

下: 16 18 19 22 98 115 115 120 ^ ^ ^ ^ ^ 由表中样本数据求得回归方程为y=bx+a,则点 a,b 与直线 x+18y=100 的位置关系 是( ) A.点在直线左侧 B.点在直线右侧 C.点在直线上 D.无法确定 ^ ^ ^ ^ ^ 解析:选 B.样本数据的中心点为(18,110),在直线y=bx+a上,则a+18b=110>100.故点 ^ ^ a,b 在直线 x+18y=100 的右侧. ^ ^ 2.(2014· 安徽合肥检测)由数据(x1,y1),(x2,y2),?,(x10,y10)求得线性回归方程y=bx x1+x2+?+x10 y1+y2+?+y10 ^ ^ ^ ^ +a,则“(x0,y0)满足线性回归方程y=bx+a”是“x0= ,y0= ” 10 10 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ^ ^ ^ - 解析: 选 B.(x0, y0)为这 10 组数据的平均值, 又因为回归直线y=bx+a必过样本中心点( x , - - - y ),因此(x0,y0)一定满足线性回归方程,但坐标满足线性回归方程的点不一定是( x , y ). 二、填空题 3. 某车间为了规定工时定额, 需要确定加工零件所花费的时间, 为此进行了 5 次试验. 根 据收集到的数据(如下表),由最小二乘法求得回归方程 y=0.67x+54.9 10 20 30 40 50 零件数 x(个) 62 75 81 89 加工时间 y(min) 现发现表中有一个数据模糊看不清,请你推断出该数据的值为________. - 解析:零件个数的平均值 x =30,设零件为 20 个的对应加工时间为 t min,加工时间的 - 307+t - - 平均值 y = ,因为回归直线必经过点( x , y ),代入回归方程 y=0.67x+54.9,计算得 t 5 =68. 答案:68 4.(2014· 广东梅州质检)在 2013 年 8 月 15 日那天,某市物价部门对本市的 5 家商场的某 商品的一天销售量及其价格进行调查,5 家商场的售价 x 元和销售量 y 件之间的一组数据如下 表所示: 9 9.5 m 10.5 11 价格 x 11 n 8 6 5 销售量 y ^ 由散点图可知, 销售量 y 与价格 x 之间有较强的线性相关关系, 其线性回归直线方程是y= -3.2x+40,且 m+n=20,则其中的 n=________. m - 11+n+8+6+5 n - 9+9.5+m+10.5+11 解析: x = =8+ , y = =6+ ,线性回归直线一 5 5 5 5 m n - - ? 定经过样本中心( x , y ),即 6+ =-3.2? ?8+ 5 ?+40, 5 即 3.2m+n=42. ? ? ?3.2m+n=42, ?m=10, 又∵m+n=20,即? 解得? 故 n=10. ?m+n=20, ?n=10, ? ? 答案:10 三、解答题 5.一家商场为了确定营销策略,进行了四次投入促销费用 x 和商场实际销售额的试验, 得到如下数据: 2 3 5 6 投入促销费用 x(万元) x y 15 102

(

)

(

)

100 200 300 400 商场实际营销额 y(万元) (1)在下面的直角坐标中,画出上述数据的散点图,并据此判断两个变量是否具有较好的 线性相关性;

^ ^ ^ (2)求出 x,y 之间的回归直线方程y=bx+a; (3)若该商场计划营销额不低于 600 万元,则至少要投入多少万元的促销费用? 解:(1)散点图,如图所示,从图上可以看出两个变量具有较好的线性相关性.

- 2+3+5+6 - 100+200+300+400 (2) x = =4, y = =250, 4 2

^ 故所求的回归直线方程为y=70x-30. 600+30 (3)即 70x-30≥600,即 x≥ =9(万元). 70 即该商场计划营销额不低于 600 万元,则至少要投入 9 万元的促销费用. 6.(选做题)弹簧长度 y(cm)随所挂物体重量 x(g)的不同而变化的情况如下表所示: x 5 10 15 20 25 30 y 7.25 8.12 8.95 9.90 10.96 11.80 (1)画出散点图; (2)求 y 与 x 的回归直线方程; (3)预测所挂物体重量为 27 g 时的弹簧长度(精确到 0.01 cm). 解:(1)散点图如图所示:

^ ^ (2)采用列表的方法计算a与回归系数b(如下表所示). x y x2 序号 1 5 7.25 25 2 10 8.12 100 3 15 8.95 225 4 20 9.90 400 5 25 10.96 625 6 30 11.80 900

xy 36.25 81.2 134.25 198 274 354

^ 1 077.7-6×17.5×9.50 ^ - ^- b= ≈0.183,a= y -b x =9.50-0.183×17.5≈6.30. 2 275-6×17.52 ^ ^ ^ 所以 y 与 x 的回归直线方程为y=bx+a=0.183x+6.30. ^ (3)当重量为 27 g 时,有y=0.183×27+6.30≈11.24(cm). 故当所挂物体重量为 27 g 时,弹簧的长度大约为 11.24 cm.


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