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2014年干一镇初级中学数学竞赛及优录培训9


2013年全国初数学竞赛试题及参考答案
一.选择题(5× 7'=35') 1.对正整数 n,记 n!=1× 2× ...× n,则1!+2!+3!+...+10!的末位数是( A.0 B.1 C.3 D.5 ).

? 2x ? 5 ? 3 ? x ? ?5 ? 2.已知关于 x 的不等式组 ? x ? 3 恰好有5个整数解,

则 t 的取值范围是( ? ? t ? x ? ? 2

).

A. ? 6 ? t ? ?

11 11 11 11 B. ? 6 ? t ? ? C. ? 6 ? t ? ? D. ? 6 ? t ? ? 2 2 2 2

3.已知关于 x 的方程 A.1 B.2

x x ? 2 a ? 2 x 恰好有一个实根,则实数 a 的值有( ? ? 2 x?2 x x ? 2x
C.3 D.4 ).

)个.

4.如图, 已知△ ABC 的面积为24, 点 D 在线段 AC 上, 点 F 在线段 BC 的延长线上, 且 BC=4CF, DCFE 是平行四边形,则图中阴影部分的面积为( A.3 B.4 C.5 ). D.6

5.在分别标有号码2,3,4,...,10的9个球中,随机取出两个球,记下它们的标号,则较大标号被 较小标号整除的概率是(

1 2 5 A. B. C. 4 9 18 二.填空题(5× 7'=35')

D.

7 36


(b ? 2) 3 的值为 6.设 a ? 3 3 ,b 是 a2的小数部分,则

7.一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数1、2、3、4、5、6.掷这个正方体三次,则 其朝上的面的数的和为3的倍数的概率是 .

8.已知正整数 a、b、c 满足 a+b2-2c-2=0,3a2-8b+c=0,则 abc 的最大值为 .

9. 实数 a、b、c、d 满足:一元二次方程 x2+cx+d=0的 两根为 a、b,一元二次方程 x2+ax+b=0的两根为 c、d, 则所有满足条件的数组(a、b、c、d) 为 .

10.小明某天在文具店做志愿者卖笔,铅笔每支售4元,

园珠笔每支售7元,开始时他有铅笔和圆珠笔共350支,当天虽然没有全部卖完,但是他的销 售收入恰好是2013元,则他至少卖出了 三.解答题(4× 20'=80') 11.如图,抛物线 y=ax2+bx-3,顶点为 E,该抛物线与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C,且 OB=OC=3OA.直线 y ? ?
2

支圆珠笔.

1 x ? 1 与 y 轴交于点 D,求∠DBC-∠CBE. 3
2

【分析】易知 y ? x ? 2 x ? 3 ? ( x ? 1) ? 4 , A(?1,0), B(3,0),C (0,?3),D(1,?4) ,作 EF ⊥CO 于 F,连 CE,易知△ OBC、△ CEF 都是等腰直角三角形,则△ OBE 是直角三角形.分 别在 Rt△ OBD、 Rt△ BCE 中运用正切定义, 即有 tan ? ? 则? ? ? 从而可得∠DBC-∠CBE=45? .

OD 1 CE 2 1 ? ,tan ? ? ? ? , OB 3 BC 3 2 3

12.如图,已知 AB 为圆 O 的直径,C 为圆周上一点,D 为线段 OB 内一点(不是端点),满 足 CD⊥AB,DE⊥CO,E 为垂足,若 CE=10,且 AD 与 DB 的长均为正整数,求线段 AD 的 长. 【分析】设圆 O 半径为 r,则由相似或三角函数或射影定理可知,

DE 2 ? CE ? OE ? DE 2 ? 10(r ? 10)
又 CD ? CE ? DE ? 10 ? 10(r ? 10) ? 10 r
2 2 2 2

由相交弦定理(考虑垂径时)或连 AC、BC 用相似或三角函数,易知

AD ? BD ? CD2 ? 10r ①,而 AD ? BD ? 2r ②
令 AD ? x, BD ? y , 带 标 号 的 两 式 相 除 , 即

xy 10 r y y ? ? 5 ? ? ?1 , 显 然 有 x ? y 2r x 5

0 ? y ? x ,则 0 ?

y y ? 1 ,即 0 ? ? 1 ? 1 ? 5 ? y ? 10 , y 为正整数,故 y ? 6,7,8,9 ,又 x 5

x 也为正整数,经逐一试算,仅当 y ? 6, x ? 30 这一组是正整数,故 AD ? 30 .
13. 设 a、 b、 c 是素数, 记 x ? b ? c ? a, y ? c ? a ? b, z ? a ? b ? c , 当 z ? y, x ?
2

y ?2

时,a、b、c 能否构成三角形的三边长?证明你的结论. 【分析】 ?

?y ? c ? a ? b ? 1 ? 1 ? 8a z2 ? y ? y ? z ? 2a ?? ? ?? z 2 ? z ? 2a ? 0 ? z ? 2 ?z ? a ? b ? c

a、b、c 是素数,则 a ? b ? c ? z 为整数,则 1 ? 8a ? 2k ? 1 , k 为正整数.化简整理后, 有

?k ? 1, k ? 1 ? 2a ? 1 ? 1 ? 2 ? a ? 1(非质数) k (k ? 1) ? 2a ? ? ?k ? 2, k ? 1 ? a ? 2 ? 1 ? 3

z?

? 1 ? 1 ? 8a a ? 3 ???? z ? ?3,2 2
)



z ? 3, y ? 9, x ? 9 ? 2 ? x ? 25, x ? z ? 2b ? b ? 11

,

b ? 17, a ? b ? 3 ? 17 ? 20 ? 17 ? c 不能围成三角形;

ⅱ) z ? 2, y ? 4, x ? 16, b ? 9是合数 综上所述,以 a、b、c 不能围成三角形. 14.如果将正整数 M 放在正整数 m 左侧,所得到的新数可被7整除,那么称 M 为 m 的“魔 术数” (例如, 把86放在415的左侧, 得到的数86415能被7整除, 所以称86为415的魔术数) . 求 正整数 n 的最小值,使得存在互不相同的正整数 a1,a2, . . . ,an,满足对任意一个正整数 m, 在 a1,a2, . . . ,an 中都至少有一个为 m 的“魔术数” . 【分析】考虑到魔术数均为7的倍数,又 a1,a2, . . . ,an 互不相等,不妨设 a1 ? a2 ? ... ? an 且它们连续,则7个连续的正整数中,必有一个是7的倍数,而余下的6个,被7整除,余数必 为1、2、3、4、5、6,仅对余数而言,1+6=2+5=3+4这样的组合必是7的倍数,因此这7个数 中,至少有一个为 m 的“魔术数” .即 n=7. 题号 答案 1,-2) 感觉第9题有问题,若 b=0,是不是还有很多组? 6.【分析】考虑到 a ? 3 3 ,则 1 C 2 C 3 A 4 C 5 B 6 9 7 1/3 8 2013 9 10 207

(a、b、c、d)=(1,-2,

a 2 ? 3 32 ? 3 9, 2 ? 3 8 ? 3 9 ? 3 27 ? 3, b ? 3 9 ? 2, b ? 2 ? 3 9

(b ? 2) ? (3 9 ) ? 9 则
3 3

8.先消去 c,再配方估算. 9.由根与系数关系知 a ? b ? c ? c ? d ? a ? 0 ? b ? d , ab ? d , cd ? b ,然后可得 10.设4元的卖 x 支,7元的卖 y 支,则 44 x ? 7 y ? 2013, x ? y ? 350 ,消去任一未知数,卡 出一个范围,再试算可得.


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