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高一数学第一学期必修二第二章第3节:空间直角坐标系


一、以考查知识为主试题 【容易题】 1.结晶体的基本单位称为晶胞,如图是食盐晶胞的示意图.其中实 点· 代表钠原子, 黑点 代表氯原子. 建立空间直角坐标系 O-xyz 后, 图中最上层中间的钠原子所在位置的坐标是( ) 1 1 A.( , ,1) 2 2 B.(0,0,1) 1 C.(1, ,1) 2 1 1 D.(1, , ) 2 2 【答案】A 2.设 y∈R,则点 P(1

,y,2)的集合为( ) A.垂直于 xOz 平面的一条直线 B.平行于 xOz 平面的一条直线 C.垂直于 y 轴的一个平面 D.平行于 y 轴的一个平面 【答案】A. 3.已知正方体的不在同一个表面上的两个顶点 A(-1,2,-1),B(3,-2,3),则正方体的棱 长等于( ) A.4 B.2 C. 3 D.2 3 【答案】A. 4.(2012· 滨州质检)在坐标平面 xOy 上,到点 A(3,2,5),B(3,5,1)距离相等的点有( ) A.1 个 B.2 个 C.不存在 D.无数个 【答案】D. 5. 若 A、 B 两点的坐标是 A(3cosα, 3sinα, 1), B(2cosθ, 2sinθ, 1), 则|AB|的取值范围是( ) A.[0,5] B.[1,5] C.(1,5) D.[1,25] 【答案】B. 6.动点 P( x, y, z ) 的坐标始终满足 y ? 3 , 则动点 P 的轨迹为 ( ) A. y 轴上一点 B.坐标平面 xOz C.与坐标平面 xOz 平行的一个平面 D.平行于 y 轴的一条直线 【答案】 C 7.空间中过点 A(?2,1,3) ,且与 xOy 坐标平面垂直的直线上点的坐标满足 ( )

( A ) x ? ?2 ( B ) y ? 1 ( C ) x ? ?2 或 y ? 1 ( D ) x ? ?2 且 y ? 1 【答案】 D

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8.已知 m,n 为不同的直线,α,β 为不同的平面,给出下列命题: ?m⊥β ?m⊥α ? ? ①? ?n∥m;②? ?β∥α; ? ? ?n⊥β ?m⊥β m ?α ? ? ③?n⊥β ?m∥n. ? ?α⊥β 其中正确的是( ) A.②③ B.①③ C.①② D.①②③ 【答案】C. 9.点 (2, ?3, 6) 在 x 轴、 y 轴上的射影的坐标分别是、 . 【答案】 (2, 0, 0) 、 (0, ?3, 0) 10.在空间直角坐标系中, 点 P 的坐标是 (7, 4, 2) , 过点 P 向 yOz 平面作垂线 PQ , 则垂足 Q 的坐标是. 【答案】 (0, 4, 2) 二、以考查技能为主试题 【中等题】 11.(2011· 高考辽宁卷)如图,四棱锥 S?ABCD 的底面为正方形,SD⊥底面 ABCD,则下列结论中不正确的是________(填正确结论的序号). A.AC⊥SB B.AB∥平面 SCD C.SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角 D.AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角 【答案】D. 12.空间到两点 A(1,0, ?1), B(3, 2,0) 距离相等的点的坐标 ( x, y, z ) 所满足的条件为. 【答案】 4 x ? 4 y ? 2 z ? 11 ? 0 13.△ABC 的顶点分别为 A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),则 AC 边上的高 BD 等于 ________. 【答案】5 14.点 P(1,2,3)关于 y 轴的对称点为 P1,P 关于坐标平面 xOz 的对称点为 P2,则|P1P2|= ________. 【答案】2 14 15.已知三角形的三个顶点为 A(2,-1,4),B(3,2,-6),C(5,0,2),则 BC 边上的中线长为 ________. 【答案】2 11 16.(2012· 西安调研)在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,各棱长相等, 侧棱垂直于底面,点 D 是侧 面 BB1C1C 的中心,则 AD 与平面 BB1C1C 所成角的大小是________. 【答案】60° 17.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,线段 B1D1 上有两个 1 动点 E、F,且 EF= ,则下列结论中正确的是________.( 填正确 2 结论的序号) ①AC⊥BE; ②EF∥平面 ABCD; ③三棱锥 A-BEF 的体积为定值; ④△AEF 的面积与△BEF 的面积相 等. 【答案】①②③
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18.已知 x,y,z 满足(x-3)2+(y-4)2+z2=2,求 x2+y2+z2 的最小值.

【答案】由已知得点 P(x,y,z)在以 M(3,4,0)为球心, 2为半径的球面上,x2+y2+z2 表示 原点 O 与点 P 的距离的平方,显然当 O,P,M 共线且 P 在 O 与 M 之间时,|OP|最 小,此 时|OP|=|OM|- 2= 32+42- 2=5- 2. ∴|OP|2=27-10 2. 19.(2011· 高考天津卷)如图,在三棱柱 ABC?A1B1C1 中,H 是正方形 AA1B1B 的中 心,AA1=2 2,C1H⊥平面 AA1B1B,且 C1H= 5. (1)求异面直线 AC 与 A1B1 所成角的余弦值; (2)求二面角 A?A1C1?B1 的正弦值; (3)设 N 为棱 B1C1 的中点,点 M 在平面 AA1B1B 内,且 MN⊥平面 A1B1C1,求线段 BM 的长.

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【答案】如图所示,建立空间的直角坐标系, 点 B 为坐标原点. 依题意得 A(2 2,0,0),B(0,0,0),C( 2,- 2, 5),A1(2 2,2 2,0),B1(0,2 2, 0),C1( 2, 2, 5).

→ (1)易得AC=(- 2,- 2, 5), → → AC· A1B1 4 2 → → → A1B1=(-2 2,0,0),于是 cos〈AC,A1B1〉= = = . → → 3 2 2 |AC|· |A1B1| 3× 2 所以异面直线 AC 与 A1B1 所成角的余弦值为 . 3 → → (2)易知AA1=(0,2 2,0),A1C1=(- 2,- 2, 5). 设平面 AA1C1 的法向量 m=(x,y,z), → ? A1C1=0, ?m· ?- 2x- 2y+ 5z=0, 则? 即? → ?2 2y=0. ? AA1=0, ?m· 不妨令 x= 5,可得 m=( 5,0, 2).同样地,设平面 A1B1C1 的法向量 n=(x,y,z), → ?n· A1C1=0, ? ?- 2x- 2y+ 5z=0, 则? 即? → ?-2 2x=0. ?n· A1B1=0, ? 不妨令 y= 5,可得 n=(0, 5, 2), m· n 2 2 于是 cos〈m,n〉= = = , |m|· |n| 7· 7 7 3 5 从而 sin〈m,n〉= . 7 3 5 所以二面角 A?A1C1?B1 的正弦值为 . 7 2 3 2 5? (3)由 N 为棱 B1C1 的中点,得 N? , . , 2 2? ?2 2 3 2 5? → 设 M(a,b,0),则MN=? -a, . -b, 2 2? ?2 → → ?MN · A1B1=0, ? 由 MN⊥平面 A1B1C1,得? → → ?MN · A1C1=0, ?

? 2 ? ?-2 2?=0, ? ?? 2 -a?· 即? ? 2 ? ?- 2?+?3 2-b?· ?- ? ?? 2 -a?· ? 2 ?

2? +

5 · 5=0. 2

?a= 22, 解得? 2 ?b= 4 .

故 M?

2 2 ? 2 2 → .因此BM=? , ,0?, 4 ? 2 , 4 ,0? ?2 ?

10 → 所以线段 BM 的长|BM|= . 4
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【较难题】 20.如图所示, 正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1, 以 D 为原点, 正方体的三条棱所在的直线分别为坐标轴, 建立空间直角坐标系 D -xyz,有一动点 P 在正方体的各个面上运动. (1)当点 P 分别在平行于坐标轴的各条棱上运动时, 探究动点 P 的坐标特征; (2)当点 P 分别在各个面的对角线上 运动时,探究动点 P 的坐 标特征.

【答案】(1)当点 P(x,y,z)分别在平行于 x 轴的棱 A1D1、B1C1、BC 上运动时,动点 P 的纵 坐标 y、竖坐标 z 不变,横坐标 x 在[0,1]内取值; 当点 P(x,y,z)分别在平行于 y 轴的棱 A1B1、C1D1、AB 上运动时,动点 P 的横坐标 x、 竖坐标 z 不变,纵坐标 y 在[0,1]内取值; 当点 P(x,y,z)分别在平行于 z 轴的棱 AA1 、BB1、CC1 上运动时,动点 P 的横坐标 x、 纵坐标 y 不变,竖坐标 z 在[0,1]内取值. (2)当点 P(x,y,z)分别在面对角线 BC1、B1C 上运动时,动点 P 的纵坐标 y 不变,横坐 标 x、竖坐标 z 分别在[0,1]内取值; 当点 P(x,y,z)分别在面对角线 A1B、AB1 上运动时,动点 P 的横坐标 x 不变,纵坐标 y、竖坐标 z 分别在[0,1]内取值; 当点 P(x,y,z)分别在面对角线 A1C1、B1D1 上运动时,动点 P 的竖坐标 z 不变,横坐标 x、 纵坐标 y 分别在[0,1]内取值.

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