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江苏南京市2015-2016学年高一上学期期末调研数学试题

南京市 2015-2016 学年度第一学期期末学情调研

高 一 数 学
注意事项:

2016.01

1.本试卷共 4 页,包括填空题(第 1 题~第 14 题) 、解答题(第 15 题~第 20 题)两部分.本 试卷满分为 100 分,考试时间为 100 分钟. 2.答题前,请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内.试题的答案写 在答题卡 上对应题目的答案空格内.考试结束后,交回答题卡. ... 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 3 分,共 42 分.请把答案填写在答题卡相应位置 上. ....... 1.函数 f (x)= 1 的定义域是 x–3 ▲ . ▲ . ▲ cm2. ▲ . .

2.集合{0,1}的子集的个数为 3.求值:log345-log35= ▲

4.已知角? 的终边经过点 P(2,-1),则 sin? 的值为

5.已知扇形的半径为 3cm,圆心角为 2 弧度,则扇形的面积为 6.函数 f (x)=cos (x-?),x?[0,?]的值域是 3 2 ▲ . ▲

7.三个数 a=0.32,b=log20.3,c=20.3 之间的大小关系是 连结) .

(用 a,b,c 表示,并用“<”

8.将函数 y=sin2x 的图象向右平移?个单位长度,所得图象的函数解析式是 6 9.如图,在矩形 ABCD 中,已知 AB=3,AD=2, → → → 1→ → → 且 BE = EC , DF = FC ,则 AE · BF = 2 ▲ .
A (第 9 题) D F


C E B



10.已知函数 f (x)=3-log2x 的零点为 x0,若 x0?(k,k+1),其中 k 为整数,则 k= x 11.已知函数 f (x)= ex, x≤0, 其中 e 为自然对数的底数,则 f [f(1)]= ln x,x>0, 2 ▲ .





12 . 已知定义在实数集 R 上的偶函数 f ( x) 在区间 [0 ,+ ? ) 上是单调增函数,且 f (lg x ) < f (1) , 则 x 的取值范围是 ▲ .

13.若函数 f (x)=m·4x-3×2x 1-2 的图象与 x 轴有交点,则实数 m 的取值范围是






14.若函数 f (x)=sin(ωx+?) (ω>0) 3 一,则ω的取值范围是 ▲

在区间[0,2?]上取得最大值 1 和最小值-1 的 x 的值均唯 .

二、解答题:本大题共 6 小题,共 58 分.请在答题卡指定区域内 作答,解答时应写出文字说明、 ........ 证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 8 分) 已知 sin x=4,其中 0≤x≤?. 5 2 (1)求 cos x 的值; (2)求 cos(-x) ? sin( -x) -sin(2? - x) 2 的值.

16. (本小题满分 10 分) 已知向量 a=(2,-1),b=(3,-2),c=(3,4) . (1)求 a· (b+c); (2)若(a+?b)∥c,求实数?的值.

17. (本小题满分 10 分) 经市场调查,某商品在过去 20 天的日销售量和日销售价格均为销售时间 t(天)的函数,日销 售量(单位:件)近似地满足:f (t)=-t+30(1≤t≤20,t?N*),日销售价格(单位:元)近似地满足: g(t)= 2t + 40,1≤t≤10,t?N*, 15, 11≤t≤20,t?N*.

(1)写出该商品的日销售额 S 关于时间 t 的函数关系; (2)当 t 等于多少时,日销售额 S 最大?并求出最大值.

18. (本小题满分 10 分) 已知函数 f (x)=Asin( ?x+?)(A>0,?>0,0<?<2?)的部分图象如图所示, 且 f (0)=f (5?). 6 (1)求函数 f (x)的最小正周期; (2)求 f (x)的解析式,并写出它的单调增区间.
O ? 6 –2 (第 18 题)


y

5? 6



x

19. (本小题满分 10 分) 已知| a |= 10,| b |= 5,a·b=-5,c=x a+(1-x) b. (1)当 b ? c 时,求实数 x 的值; (2)当| c |取最小值时,求向量 a 与 c 的夹角的余弦值.

20. (本小题满分 10 分) 对于定义在[0,+?)上的函数 f (x),若函数 y=f (x)-(ax+b)满足:①在区间[0,+?)上单调 递减;②存在常数 p,使其值域为(0,p],则称函数 g (x)=ax+b 为 f (x)的“渐近函数” . (1)证明:函数 g(x)=x+1 是函数 f (x)= p 的值; (2)若函数 f (x)= x2+1,x?[0,+?)的渐近函数是 g (x)=ax,求实数 a 的值,并说明 理由. x2+2x+3 ,x?[0,+?)的渐近函数,并求此时实数 x+ 1

南京市 2015-2016 学年度第一学期期末学情调研 高一数学参考答案
说明: 1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照 评分标准制订相应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难 度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分 的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,填空题不给中间分数. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 3 分,共 42 分. 1. (3,+?) 5. 9 2. 4 6.[1,1] 2 3.2 7.b<a<c 4. - 5 5 8. y=sin(2x-?) 3

2016.01

9. - 4 13. (0,+?)

10.2

11.1 2

12.( 1 ,10) 10

14.[ 7 ,13) 12 12 二、解答题:本大题共 6 小题,共 58 分. 15.解(1)因为 sin 2x +cos2 x=1, 所以 cos 2x=1-sin2 x=1-(4)2= 9 . 5 25 又因为 0≤x≤?,故 cos x≥≤0,所以 cos x=3. 2 5 (2)原式= cosx cosx―(―sinx) ……………………… 7 分 ……………………… 2 分 ………………… 4 分

cosx = cosx+sinx 3 = 5 =3. 3 4 7 + 5 5 16.解(1)因为 b+c=(3,-2)+(3,4)=(6,2), 所以 a·(b+c)=(2,-1)·(6,2)=12-2=10.

……………………… 8 分

……………………… 2 分 ……………………… 5 分

(2)因为 a+?b=(2,-1)+(3?,-2?)=(2+3?,-1-2 ?), 又(a+?b)//c, 所以 4(2+3 ??=3(-1-2 ?), 解得?=-11. 18 17.解(1)由题意知,S=f (t)·g(t) = (2t+40)(-t+30),1≤t≤10,t?N*, 15(-t+30), 11≤t≤20,t?N*. ………… 4 分 ……………………… 8 分 ……………………… 10 分

(2)当 1≤t≤10,t?N*时, S=(2t+40)(-t+30)=-2 t2+20t+1200=-2 (t-5)2+1250. 因此,当 t=5 时,S 最大值为 1250; 当 11≤t≤20,t?N*时, S=15(-t+30)=-15t+450 为减函数, 因此,当 t=11 时,S 最大值为 285. 综上,S 的最大值为 1250. 答:当 t=5 时,日销售额 S 最大,最大值为 1250 元. …………… 10 分 ……………………… 9 分 ……………………… 7 分

5? 0+ 6 =5?, 18.解(1)由题意知,函数图象的一条对称轴为 x= 12 2 则 T=5?-?=?, 即 T=?. 4 12 6 4 所以函数的最小正周期是π.

………… 2 分

……………………… 4 分

(2)由图可知,A=2,因为 T=?,所以?=2?=2. ……………………… 6 分 T 又 f(5?)=-2,所以 2 sin(5?+?)=-2,即 sin(5?+?)=-1, 12 6 6 因此5?+?=2k?-?,即?=2k?-4?,k∈Z. 6 2 3 因为 0<?<2?,所以?=2?. 3 所以函数的解析式为 f (x)=2sin(2x+2?). 3 由 2k?-?≤2x+2?≤2k?+?,k∈Z, 2 3 2 解得 k?-7?≤x≤k?- ? ,k∈Z, 12 12 所以函数的单调增区间为[k?-7?, k?- ? ],k∈Z.……………… 10 分 12 12 19.解(1)b·c=b·[xa+(1-x) b] =x b·a+(1-x) b 2 =x×(-5)+(1-x)×5=0,解得 x=1. 2 (2)| c |2=[xa+(1-x) b]2=x2a2+2x(1-x) a·b+(1-x)2 b 2 =10x2-10x(1-x)+5(x-1)2 =25x2-20x+5 =25(x-2)2+1. 5 所以,当 x=2时,| c |2 有最小值 1,即| c |有最小值 1. 5 此时,c=2a+3b. 5 5 又 a·c=a· (2a+3b) 5 5 =2a2+3a·b=2×10+3×(-5)=1. 5 5 5 5 设向量 a,c 的夹角为? , …………… 7 分 ……………… 4 分 ……………………… 8 分

a·c 1 = = 10. ……………………… 10 分 | a || c | 1× 10 10 x2+2x+3-(x+1)2 x2+2x+3 2 20.解(1)由题意知,f (x)-x-1= -x-1= = . x+1 x+1 x+1 2 易知,函数 y= 在[0,+?)上单调递减,且值域为(0,2]. x+ 1 则 cos? = x2+2x+3 所以,函数 g(x)=x+1 是函数 f (x)= ,x?[0,+?)的渐近函数, x+1 此时 p=2. (2)①当 a>1 时,考察函数 y= x2+1-ax, 令 y=0,得 x2+1=ax,两边平方得 x2+1=a2x2,所以 x2= 因为 x≥0,所以 x= 1 a2-1 ,即 x= 1 1 , a -1
2

……………………… 3 分

a2-1

时,函数 y= x2+1-ax 的值为 0.

因此,函数 y= x2+1-ax 的值域不是(0,p]. 所以 g(x)=ax 不是函数 f (x)= x2+1的渐近函数. ………………… 5 分 ②当 a=1 时,考察函数 y= x2+1-x, 由于 x2+1-x= ,下面考察 t= x2+1+x. x2+1+x 1

任取 x1,x2?[0,+?),且 x1<x2, 则 t1-t2= x1+1+x1- x2+1-x2 =
2 x1+1- 2 x2+1+x1-x2= 2 2

x1-x2 x1+1 +
2

2

2

x2+1

2

+x1-x2

=(x1-x2)(

x1+x2 x1+1+ x2+1
2 2

+1)<0,

所以函数 t= x2+1+x 在[0,+?)上单调递增, 又当 x 无限增大时,t 的值也无限增大,所以 t 的取值范围是[1,+?). 1 因为函数 y= 在(0,+?)单调递减, t 从而函数 y= x2+1-x 在[0,+?)单调递减,且值域为(0,1] . 所以 g(x)=x 是 f (x)= x2+1的渐近函数. ③当 0<a<1 时, 方法(一)y= x2+1-ax=( x2+1-x)+(1-a)x 因为 x2+1-x?(0,1],所以 y>(1-a)x. 假设 y=ax 是 f (x)= x2+1的渐近函数, ………………… 8 分

则 y= x2+1-ax 的值域为(0,p],故 y 的最大值为 p. 设(1-a)x=p,则 x= p p ,当 x> 时,必有 y>p,矛盾. 1-a 1-a ……………………… 9 分

所以,此时 g(x)=ax 不是函数 f (x)的渐近函数. 方法(二)记 F(x)= x2+1-ax,则 F(0)=1,

2a 2a 由 x2+1-ax=1,即 x2+1=ax+1,解得 x= >0,即 F(0)=F( ), 1-a2 1-a2 所以函数 y= x2+1-ax 在[0,+?)上不单调, 所以 g(x)=ax 不是函数 f (x)的渐近函数. ……………………… 9 分

④若 a≤0,则函数 y= x2+1-ax 在[0,+?)上单调递增,不合题意. 综上可知,当且仅当 a=1 时,g(x)=x 是函数 f (x)= x2+1的渐近函数. ……………………… 10 分


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