当前位置:首页 >> >> 第五章 平面向量

第五章 平面向量

平面向量

陈华伟

高中数学第五章-平面向量
考试内容: 向量.向量的加法与减法.实数与向量的积.平面向量的坐标表示.线段的定比分点.平面向量的 数量积.平面两点间的距离、平移. 考试要求: (1)理解向量的概念,掌握向量的几何表示,了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积,理解两个向量共线的充要条件. (4)了解平面向量的基本定理,理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算. (5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂 直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式,以及线段的定比分点和中点坐标公式,并且能熟练运用掌握平移 公式.

§05. 平面向量 知识要点
1.本章知识网络结构

?

2.向量的概念? (1)向量的基本要素:大小和方向.?(2)向量的表示:几何表示法 AB ;字母表示:a; 坐标表示法 a=xi+yj=(x,y).? (3)向量的长度:即向量的大小,记作|a|.? (4)特殊的向量:零向量 a=O ? |a|=O.? 单位向量 aO 为单位向量 ? |aO|=1.?
-1-

平面向量

陈华伟

(5)相等的向量:大小相等,方向相同?(x1,y1)=(x2,y2) ? ? (6) 相反向量:a=-b ? b=-a ? a+b=0

? x1 ? x 2 ? y1 ? y 2

(7)平行向量(共线向量):方向相同或相反的向量,称为平行向量.记作 a∥b.平行向量也称为共线 向量.? 3.向量的运算? 运算类型 几何方法 坐标方法 运算性质

? ? ? ? a?b ? b?a
向量的 加法 1.平行四边形法则 2.三角形法则

? ? a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )

? ? ? ? ? ? (a ? b) ? c ? a ? (b ? c)

AB ? BC ? AC
向量的 三角形法则 减法 1. ? a 是 一 个 向 量 , 满 数 乘 向 量 足: | ? a |?| ? || a | 2. ? >0 时, ? a与a 同向;

? ? a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )

? ? ? ? a ? b ? a ? (?b)

??? ? ??? ? AB ? ? BA , OB ? OA ? AB
? ?

?

?

?

? ( ? a) ? (?? )a
? ? ? ? (? ? ? )a ? ? a ? ? a

? ? ? ?

? a ? (? x, ? y )

? ( a ? b) ? ? a ? ? b
? ? ? ? a // b ? a ? ? b ? ? ? ? a ?b ? b? a
? ? ? ? ? ? (? a) ? b ? a ? (? b) ? ? (a ? b)

? ?

?

?

? <0 时, ? a与a 异向;
? ? ? =0 时, ? a ? 0 .

向 量 的 数 量 积

? ? a ? b 是一个数

? ? ? ? 1. a ? 0或b ? 0 时, ? ? a ?b ? 0 . ? ? ? ? a ? 0且b ? 0时, 2. ? ? ? ? a ? ?| a || b | cos( a, b) b

? ? a ? b ? x1 x2 ? y1 y2

? ? ? ? ? ? ? ( a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c
?2 ? ? ? a ?| a |2 即|a|= x 2 ? y 2

? ? ? ? | a ? b |?| a || b |

4.重要定理、公式 (1)平面向量基本定理?

-2-

平面向量

陈华伟

e1,e2 是同一平面内两个不共线的向量,那么,对于这个平面内任一向量,有且仅有一对实数λ
1

,λ 2,使 a=λ 1e1+λ 2e2.? (2)两个向量平行的充要条件? a∥b ? a=λ b(b≠0) ? x1y2-x2y1=O.? (3)两个向量垂直的充要条件? a⊥b ? a·b=O ? x1x2+y1y2=O.? (4)线段的定比分点公式? 设点 P 分有向线段 P1 P2 所成的比为λ ,即 P P =λ PP2 ,则? 1

OP =

1 1 OP1 + OP2 (线段的定比分点的向量公式)? 1? ? 1? ?

? ?x ? ? ? ?y ? ? ?

x1 ? ?x 2 , 1? ? (线段定比分点的坐标公式)? y1 ? ?y 2 . 1? ?

当λ =1 时,得中点公式:?

x1 ? x 2 ? , ?x ? 1 ? 2 OP = ( OP1 + OP2 )或 ? 2 ? y ? y1 ? y 2 . ? 2 ?
(5)平移公式 设点 P(x,y)按向量 a=(h,k)平移后得到点 P′(x′,y′) , 则 O P ? = OP +a 或 ?

? x ? ? x ? h, ? y ? ? y ? k.

曲线 y=f(x)按向量 a=(h,k)平移后所得的曲线的函数解析式为: y-k=f(x-h) (6)正、余弦定理? 正弦定理:

a b c ? ? ? 2 R. sin A sin B sin C
2 2 2

余弦定理:a =b +c -2bccosA,? b =c +a -2cacosB,? c =a +b -2abcosC.?
2 2 2 2 2 2

-3-

平面向量

陈华伟

(7)三角形面积计算公式: 设△ABC 的三边为 a,b,c,其高分别为 ha,hb,hc,半周长为 P,外接圆、内切圆的半径为 R,r. ①S△=1/2aha=1/2bhb=1/2chc ④S△=1/2sinC·ab=1/2ac·sinB=1/2cb·sinA ②S△=Pr ③S△=abc/4R [海伦公式]

⑤S△= P?P ? a ??P ? b ??P ? c ?

⑥S△=1/2(b+c-a)ra[如下图]=1/2(b+a-c)rc=1/2(a+c-b)rb [注]:到三角形三边的距离相等的点有 4 个,一个是内心,其余 3 个是旁心.A 如图:
A

A
E
b

F

A cD I B aE C
ra

c a E D ra ra I

c b O
B
F

C N

F b

B

C

C

a

B

1图

图2

图3

图4

图 1 中的 I 为 S△ABC 的内心, S△=Pr 图 2 中的 I 为 S△ABC 的一个旁心,S△=1/2(b+c-a)ra 附:三角形的五个“心” ; 重心:三角形三条中线交点. 外心:三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心:三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心:三角形三边上的高相交于一点. 旁心:三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点. ⑸已知⊙O 是△ABC 的内切圆,若 BC=a,AC=b,AB=c [注:s 为△ABC 的半周长,即 则:①AE= s ? a =1/2(b+c-a) ②BN= s ? b =1/2(a+c-b) ③FC= s ? c =1/2(a+b-c) 综合上述:由已知得,一个角的邻边的切线长,等于半周长减去对边(如图 4). 特例:已知在 Rt△ABC,c 为斜边,则内切圆半径 r=
a?b?c ab (如图 3). ? 2 a?b?c

a?b?c ] 2

⑹在△ABC 中,有下列等式成立 tan A ? tan B ? tanC ? tan A tan B tanC . 证明:因为 A ? B ? ? ? C, 所以 tan? A ? B? ? tan?? ? C ? ,所以
tan A ? tan B ? ? tan C ,? 结论! 1 ? tan A tan B

-4-

平面向量

陈华伟

⑺在△ABC 中,D 是 BC 上任意一点,则 AD 2 ?

AC 2 BD ? AB 2 BC ? BD ? DC . BC

证明:在△ABCD 中,由余弦定理,有 AD 2 ? AB 2 ? BD 2 ?2 ? AB ? BD cos B ? ① 在△ABC 中,由余弦定理有 cos B ? 可得, AD 2 ?
AB 2 ? BC 2 ? AC 2 ? ②,②代入①,化简 2 AB ? BC
A

AC 2 BD ? AB 2 BC ? BD ? DC (斯德瓦定理) BC

图5

①若 AD 是 BC 上的中线, ma ? ②若 AD 是∠A 的平分线, t a ? ③若 AD 是 BC 上的高, ha ? ⑻△ABC 的判定:
2 a

1 2b 2 ? 2c 2 ? a 2 ; 2
2 B bc ? p? p ? a ? ,其中 p 为半周长; b?c p? p ? a ?? p ? b?? p ? c ? ,其中 p 为半周长.
D C

c 2 ?a 2 ?b 2 ? △ABC 为直角△ ? ∠A + ∠B = ?
2

c 2 < a 2 ?b 2 ? △ABC 为钝角△ ? ∠A + ∠B< c 2 > a 2 ?b 2 ? △ABC 为锐角△ ? ∠A + ∠B>

? 2 ? 2

2 2 2 附:证明: cosC ? a ?b ?c ,得在钝角△ABC 中, cos C ? 0 ?a 2 ?b 2 ?c 2 ? 0, ?a 2 ?b 2 ?c 2

2ab

⑼平行四边形对角线定理:对角线的平方和等于四边的平方和.
a ? b 2 ? a ? b 2 ? 2( a 2 ? b 2 )

空间向量 1.空间向量的概念: 具有大小和方向的量叫做向量
王新敞
奎屯 新疆

注:⑴空间的一个平移就是一个向量
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

⑵向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2.空间向量的运算 定义:与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

? ? OB ? OA ? AB ? a ? b ? ? BA ? OA ? OB ? a ? b

-5-

平面向量

陈华伟

? OP ? ?a (? ? R)
运算律:⑴加法交换律: a ? b ? b ? a

?

?

?

?
?

⑵加法结合律: (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c ) ⑶数乘分配律: ? (a ? b ) ? ?a ? ?b 3 共线向量
王新敞
奎屯 新疆

?

?

?

?

?

?

?

?

?

表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合, 则这些向量叫做共线向量或平行向量. a 平行于 b 记作 a // b .

?

?

?

?

当我们说向量 a 、 b 共线(或 a // b )时,表示 a 、 b 的有向线段所在的直线可能是同一直线, 也可能是平行直线. 4.共线向量定理及其推论: 共线向量定理:空间任意两个向量 a 、 b ( b ≠ 0 ) a // b 的充要条件是存在实数 λ,使 a = , λb . 推论:如果 l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线,那么对于任意一点 O,点 P 在 直线 l 上的充要条件是存在实数 t 满足等式

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? OP ? OA ? t a .
其中向量 a 叫做直线 l 的方向向量. 5.向量与平面平行: 已知平面 ? 和向量 a ,作 OA ? a ,如果直线 OA 平行于 ? 或在 ? 内,那么我们说向量 a 平行 于平面 ? ,记作: a // ? . 通常我们把平行于同一平面的向量,叫做共面向量 说明:空间任意的两向量都是共面的 6.共面向量定理: 如果两个向量 a , b 不共线, p 与向量 a , b 共面的充要条件是存在实数 x, y 使 p ? xa ? yb
王新敞
奎屯 新疆

?

?

??? ?

?

?

?

王新敞
奎屯

新疆

? ?

?

? ?

?

?

?
王新敞
奎屯 新疆

推 论 : 空 间 一 点 P 位 于 平 面 MAB 内 的 充 分 必 要 条 件 是 存 在 有 序 实 数 对 x, y , 使

???? ???? ???? ??? ???? ? ? ???? ???? MP ? xMA ? yMB 或对空间任一点 O ,有 OP ? OM ? xMA ? yMB



-6-

平面向量

陈华伟

①式叫做平面 MAB 的向量表达式

王新敞
奎屯

新疆

7 空间向量基本定理:
王新敞
奎屯 新疆

如果三个向量 a , b , c 不共面,那么对空间任一向量 p ,存在一个唯一的有序实数组 x, y, z ,使

? ? ?

?

? ? ? ? p ? xa ? yb ? zc

王新敞
奎屯

新疆

推论:设 O, A, B, C 是不共面的四点,则对空间任一点 P ,都存在唯一的三个 有序实数 x, y, z ,使 OP ? xOA ? yOB ? zOC 8 空间向量的夹角及其表示:
王新敞
奎屯 新疆

??? ?

??? ?

??? ?

????
王新敞
奎屯 新疆

已知两非零向量 a , b ,在空间任取一点 O ,作 OA ? a , OB ? b ,则 ?AOB 叫做向量 a 与 b 的夹 角,记作 ? a , b ? ;且规定 0 ?? a , b ?? ? ,显然有 ? a , b ??? b , a ? ;若 ? a , b ??

? ?

??? ?

? ? ???

?

?

?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

?
2

,则称 a 与

?

? ? ? b 互相垂直,记作: a ? b .
9.向量的模: 设 OA ? a ,则有向线段 OA 的长度叫做向量 a 的长度或模,记作: | a | . 10.向量的数量积: a ? b ? | a | ? | b | ? cos ? a , b ? . 已知向量 AB ? a 和轴 l , e 是 l 上与 l 同方向的单位向量,作点 A 在 l 上的射影 A? ,作点 B 在

??? ?

?

??? ?
?

?

?

? ?

?

? ?

??? ?

?

?

???? ? ??? ? ? l 上的射影 B? ,则 A?B? 叫做向量 AB 在轴 l 上或在 e 上的正射影.
可以证明 A?B? 的长度 | A?B? |?| AB | cos ? a, e ??| a ? e | . 11.空间向量数量积的性质: (1) a ? e ?| a | cos ? a, e ? . (2) a ? b ? a ? b ? 0 . (3) | a | ? a ? a .
2

???? ?

???? ?

??? ?

? ?

? ?

? ?

?

? ?

?

?

? ?

?

? ?

12.空间向量数量积运算律: (1) (? a ) ? b ? ? (a ? b ) ? a ? (?b ) . (2) a ? b ? b ? a (交换律) (3) a ? (b ? c ) ? a ? b ? a ? c (分配 律) . 空间向量的坐标运算 一.知识回顾:
-7-

? ?

? ?

?

?

? ?

? ?

? ?

?

? ?

? ?

平面向量

陈华伟

(1)空间向量的坐标:空间直角坐标系的 x 轴是横轴(对应为横坐标) 轴是纵轴(对应为纵轴) ,y , z 轴是竖轴(对应为竖坐标). ①令 a =(a1,a2,a3), b ? (b1 , b2 , b3 ) ,则
a ? b ? (a 1 ?b1 ,a 2 ?b 2 ,a 3 ?b 3 )

? a ? (?a 1 , ?a 2 , ?a 3 )(? ? R)
a1 a 2 a 3 ? ? b1 b 2 b 3

a ? b ?a 1 b1 ? a 2 b 2 ? a 3 b 3 a ? b ?a 1 b1 ? a 2 b 2 ? a 3 b 3 ? 0

a



b ? a 1 ? ?b 1 , a 2 ? ? b 2 , a 3 ? ? b 3 ( ? ? R ) ?

a ? a ? a ? a 1 2 ?a 2 2 ?a 3
? ? ? ? a ?b cos ? a , b ?? ? ? ? | a |?|b |

2

(用到常用的向量模与向量之间的转化: a 2 ? a ? a ? a ? a ? a )
a1b1 ? a 2 b2 ? a 3 b3

2 2 2 2 2 a1 ? a 2 ? a 3 ? b12 ? b2 ? b3

②空间两点的距离公式: d ? ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ? ( z 2 ? z1 ) 2 . (2) 法向量: 若向量 a 所在直线垂直于平面 ? , 则称这个向量垂直于平面 ? , 记作 a ? ? , 如果 a ? ? 那么向量 a 叫做平面 ? 的法向量. (3)用向量的常用方法: ①利用法向量求点到面的距离定理:如图,设 n 是平面 ? 的法向量,AB 是平面 ? 的一条射线,其中
A ?? ,则点 B 到平面 ? 的距离为
| AB? n | |n|

.

②利用法向量求二面角的平面角定理: n 1 , n 2 分别是二面角 ? ? l ? ? 中平面 ? , ? 的法向量, n 1 , n 2 设 则 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小( n 1 , n 2 方向相同,则为补角, n 1 , n 2 反方,则为其 夹角). ③证直线和平面平行定理:已知直线 a ?? 平面 ? , A ? B ? a, C ? D ?? ,且 CDE 三点不共线,则 a∥ ? 的充要条件是存在有序实数对 ? ? ? 使 AB ? ? CD ? ? CE .(常设 AB ? ? CD ? ? CE 求解 ?, ? 若 ?, ? 存在 即证毕,若 ?, ? 不存在,则直线 AB 与平面相交).
A n


B

B

?
?
C A



n1

C

D E

n2

?

?

-8-


更多相关文档:

2014-2017高考真题 第五章 平面向量.doc

2014-2017高考真题 第五章 平面向量 - 第五章 平面向量 考点 1 平面向量的概念及坐标运算 →→ 1.(2015 新课标全国Ⅰ,7)设 D 为△ABC 所在平面内一点...

第五章 平面向量(答案).doc

第五章 平面向量(答案) - 答案 第五章 平面向量 第一节 平面向量的概念及线

【05】第五章-平面向量.pdf

【05】第五章-平面向量 - 高考数学基础知识总结 第五章 §5.1 平面向量 平面向量的概念及线性运算 【1】 向量的有关概念 (1) 向量: 定义:既有大小,又有...

高中数学第五章平面向量专题讲义【精品】.doc

高中数学第五章平面向量专题讲义【精品】 - 第 1 讲 平面向量的概念及线性运算

第五章 平面向量.doc

第五章 平面向量 - 仁荣中学 2019 届高三文科数学一轮复习导学案---专题五 平面向量 第一节 平面向量的概念与线性运算 ④ a = b 的充要条件是| a ...

第五章-平面向量章节测试题..doc

第五章-平面向量章节测试题. - 第五章-平面向量章节测试题.,平面向量的数量积,平面向量公式大全,平面向量经典例题,平面向量平行公式,平面向量公式大全图解,平面...

高中数学第五章-平面向量资料.doc

高中数学第五章-平面向量资料 - 高中数学第五章-平面向量资料.txt38 当乌

推荐-第五章平面向量 精品.doc

推荐-第五章平面向量 精品 - 第五章 平面向量 一、向量及向量的基本运算 1)

05--第五章平面向量.doc

05--第五章平面向量 - 第五章平面向量 1. (2006 年安徽卷)在 ?

第五章平面向量.doc

第五章平面向量 - 第五章平面向量名师检测题 时间:120 分钟分值:150 分

05-第五章 平面向量.doc

05-第五章 平面向量 - § 5.1 向量的概念、向量的加法、减法、实数与向量

高三复习课第五章 5.3平面向量数量积(公开课)_图文.ppt

第五章 平面向量 §5.3 平面向量的数量积 教学目标: 1.理解掌握数量积的定

家教:第五章 平面向量知识点总结及基础训练题.doc

家教:第五章 平面向量知识点总结及基础训练题 - 第五章 平面向量 一、向量的相

第五章 平面向量--知识要点复习.doc

第五章 平面向量知识要点复习 第五章 平面向量一.向量的相关定义、概念 向量的

高中数学全套教案【第五章.平面向量试题】.doc

高中数学全套教案【第五章.平面向量试题】 - 5-1 平面向量的概念与线性运算

第五章 平面向量5-2平面向量基本定理及向量的坐标表示_....ppt

第五章 平面向量5-2平面向量基本定理及向量的坐标表示_高一数学_数学_高中教育_教育专区。第一章、第五章集合与逻辑,平面向量 ? ? ? ? 重点难点 重点:①掌握...

第五章 平面向量.doc

高三数学平面向量复习汇总高三数学平面向量复习汇总隐藏>> 第五章 平面向量一、向量及向量的基本运算 1)向量的有关概念 ) ①向量: 既有大小又有方向的量。 向量...

2014-2017高考真题 第五章 平面向量.doc

2014-2017高考真题 第五章 平面向量 - 2019 高考帮 第五章 平面向量 考点 1 平面向量的概念及坐标运算 →→ 1.(2015 新课标全国Ⅰ,7)设 D 为△ABC 所...

高中数学知识点总结 第五章平面向量.doc

高中数学知识点总结 第五章平面向量_高二数学_数学_高中教育_教育专区。高中数学第五 平面向量 高中数学第五章-平面向量考试内容: 考试内容: 向量.向量的加法与...

高中数学第五章-平面向量资料.txt

高中数学第五章-平面向量资料 - 高中数学第五章-平面向量资料.txt51 自信

更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com