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湖北卷,高考数学理科卷


2010 年普通高等学校招生全国统一考试· 年普通高等学校招生全国统一考试· 理 科数学(湖北卷)
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是满足题目要求的. 1.(2010 湖北, 1) i 为虚数单位,图中复平面内点 Z 表示复数 z, 理 若 则表示复数 的点是
y E F 1 O 1 G H Z x

z 1+ i

A.E 答案:D

B.F

C.G

D.H

2.(2010 湖北,理 2)设集合 A={(x,y)|

x2 y 2 + =1},B={(x,y)|y=3x},则 A∩B 4 16

的子集的个数是 A.4 B.3 C.2 D.1 答案:A 3.(2010 湖北,理 3)在△ABC 中,a=15,b=10,A=60°,则 cosB 等于 A.-

2 2 3

B.

2 2 3

C.-

6 3

D.

6 3

答案:D 4.(2010 湖北,理 4)投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记“硬币正面向上” 为事件 A, “骰子向上的点数是 3”为事件 B,则事件 A,B 中至少有一件发生的概率是 A.

5 12

B.

1 2

C.

7 12

D.

3 4

答案:C 0 5.(2010 湖北,理 5)已知△ABC 和点 M 满足 MA + MB + MC =0.若存在实数 m 使得

AB + AC =m AM 成立,则 m 等于
A.2 B.3 C.4 D.5 答案:B 6.(2010 湖北,理 6)将参加夏令营的 600 名学生编号为:001,002, …,600,采用系

统抽样方法抽取一个容量为 50 的样本,且随机抽得的号码为 003.这 600 名学生分住在三个 营区,从 001 到 300 在第Ⅰ营区,从 301 到 495 在第Ⅱ营区,从 496 到 600 在第Ⅲ营区.三 个营区被抽中的人数依次为 A.26,16,8 B.25,17,8 C.25,16,9 D.24,17,9 答案:B 7.(2010 湖北,理 7)如图,在半径为 r 的圆内作内接正六边形,再作正六边形的内切 圆,又在此内切圆内作内接正六边形,如此无限继续下去,设 Sn 为前 n 个圆的面积之和, 则

lim S
n→∞

n=

A.2πr2

B.

8 2 πr 3

C.4πr2

D.6πr2

答案:C 8.(2010 湖北,理 8)现安排甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学参加上海世博会志愿者服务 活动,每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加.甲、乙 不会开车但能从事其他三项工作,丙、丁、戊都能胜任四项工作,则不同安排方案的种数是 A.152 B.126 C.90 D.54 答案:B 9.(2010 湖北,理 9)若直线 y=x+b 与曲线 y=3- 4 x ? x 2 有公共点,则 b 的取值范 围是 A.[-1,1+2 2 ] C.[1-2 2 ,3] B.[1-2 2 ,1+2 2 ] D.[1- 2 ,3]

答案:C 10.(2010 湖北,理 10)记实数 x1,x2, xn 中的最大数为 max{x1,x2, xn},最小 …, …, 数为 min{x1,x2, xn}.已知△ABC 的三边边长为 a,b,c(a≤b≤c) …, ,定义它的倾斜度为
l

=max{

a b c a b c , , }·min{ , , },则“l =1”是“△ABC 为等边三角形”的 b c a b c a
B.充分而不必要的条件 D.既不充分也不必要的条件

A.必要而不充分的条件 C.充要条件 答案:A

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.(2010 湖北,理 11)在(x+ 4 3 y)20 的展开式中,系数为有理数的项共有_____项. 答案:6

? y ≤ x, ? 12.(2010 湖北,理 12)已知 z=2x-y,式中变量 x,y 满足约束条件 ? x + y ≥ 1, 则 z 的最 ? x ≤ 2, ?
大值为________. 答案:5 13.(2010 湖北,理 13)圆柱形容器内部盛有高度为 8 cm 的水,若放入三个相同的球 (球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示) ,则球的半径 是________ cm.

答案:4 14.(2010 湖北,理 14)某射手射击所得环数ξ的分布列如下:

ξ 7 8 P x 0.1 已知ξ的期望 Eξ=8.9,则 y 的值为________. 答案:0.4
15.(2010 湖北,理 15)设 a>0,b>0,称

9 0.3

10

y

2ab 为 a,b 的调和平均数.如图,C 为线段 a+b

AB 上的点,且 AC=a,CB=b,O 为 AB 中点,以 AB 为直径作半圆.过点 C 作 AB 的垂线交半 圆于 D.连结 OD,AD,BD.过点 C 作 OD 的垂线,垂足为 E.则图中线段 OD 的长度是 a,b 的算术平均数,线段________的长度是 a,b 的几何平均数,线段________的长度是 a,b 的调和平均数.
D E O C B

A

答案:CD DE 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(2010 湖北,理 16)已知函数 f(x)=cos(

π π 1 1 +x)cos( -x) g(x)= sin2x- . , 3 3 2 4

(1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求函数 h(x)=f(x)-g(x)的最大值,并求使 h(x)取得最大值的 x 的集合. 解: (1)f(x)=cos(

π π 1 3 1 3 +x)cos( -x)=( cosxsinx) ( cosx+ sinx) 3 3 2 2 2 2

1 2 3 2 1 + cos 2 x 3 ? 3 cos 2 x 1 1 cos x- sin x= = cos2x- , 4 4 8 8 2 4 2π f(x)的最小正周期为 =π. 2
= (2)h(x)=f(x)-g(x)=

1 1 2 π cos2x- sin2x= cos(2x+ ) , 2 2 2 4

当 2x+

π 2 Z =2kπ(k∈Z)时,h(x)取得最大值 . 4 2 π Z ,k∈Z}. 8

h(x)取得最大值时,对应的 x 的集合为{x|x=kπ-

17.(2010 湖北,理 17)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外 墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层, 每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元.该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位:万元)与隔热层厚度 x(单位:cm)满足关 系:C(x)=

k (0≤x≤10) ,若不建隔热层,每年能源消耗费用为 8 万元.设 f(x)为 3x + 5

隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和. (1)求 k 的值及 f(x)的表达式; (2)隔热层修建多厚时,总费用 f(x)达到最小,并求最小值. 解: (1)设隔热层厚度为 x cm,由题设,每年能源消耗费用为 C(x)= 再由 C(0)=8,得 k=40,因此 C(x)=

k , 3x + 5

40 . 3x + 5

而建造费用为 C1(x)=6x. 最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为

f(x)=20C(x)+C1(x)=20×
(2)f′(x)=6-

40 800 +6x= +6x(0≤x≤10). 3x + 5 3x + 5

2 400 , (3 x + 5) 2 400 =6, (3 x + 5)2

令 f′(x)=0,即

解得 x=5,x=-

25 (舍去). 3

当 0<x<5 时,f′(x)<0, 当 5<x<10 时,f′(x)>0,故 x=5 是 f(x)的最小值点, 对应的最小值为 f(5)=6×5+

800 =70. 15 + 5

当隔热层修建 5 cm 厚时,总费用达到最小值 70 万元. 18.(2010 湖北,理 18)如图,在四面体 ABOC 中, OC ⊥ OA , OC ⊥ OB ,∠ AOB= 120°,且 OA=OB=OC=1.
C

P O Q

B

A

(1)设 P 为 AC 的中点,证明:在 AB 上存在一点 Q,使 PQ⊥OA,并计算 (2)求二面角 O-AC-B 的平面角的余弦值.

AB 的值; AQ

解法一: (1)在平面 OAB 内作 ON⊥OA 交 AB 于 N,连结 NC.
C

P O N Q

B

A

又 OA⊥OC,∴OA⊥平面 ONC.∵NC ? 平面 ONC,∴OA⊥NC. 取 Q 为 AN 的中点,则 PQ∥NC.∴PQ⊥OA. 在等腰△AOB 中,∠AOB=120°,∴∠OAB=∠OBA=30°. 在 Rt△AON 中,∠OAN=30°.∴ON=

1 AN=AQ. 2

在△ONB 中,∠NOB=120°-90°=30°=∠NBO,∴NB=ON=AQ.∴ (2)连结 PN、PO.由 OC⊥OA,OC⊥OB 知:OC⊥平面 OAB.
C

AB =3. AQ

P O N Q

B

A

又 ON ? 平面 OAB,∴OC⊥ON.又由 ON⊥OA 知:ON⊥平面 AOC. ∴OP 是 NP 在平面 AOC 内的射影. 在等腰 Rt△COA 中,P 为 AC 的中点,∴AC⊥OP. 根据三垂线定理,知:AC⊥NP.∴∠OPN 为二面角 O-AC-B 的平面角. 在等腰 Rt△COA 中,OC=OA=1,∴OP=

2 . 2

在 Rt△AON 中,ON=OAtan30°=

3 . 3 30 , 6

∴在 Rt△PON 中,PN= OP 2 + ON 2 =

2 PO 15 ∴cos∠OPN= = 2 = . PN 5 30 6
解法二: (1)取 O 为坐标原点,分别以 OA,OC 所在的直线为 x 轴,z 轴,建立空间直 角坐标系 O—xyz(如图所示).
z C

P A x O Q y

B

则 A(1,0,0) C(0,0,1) B(, , ∵P 为 AC 中点,∴P(

1 3 , ,0). 2 2

1 1 ,0, ). 2 2 3 3 , ,0) , 2 2

设 AQ =λ AB (λ∈(0,1),∵ AB =()

∴ OQ = OA + AQ =(1,0,0)+λ(-

3 3 3 3 , ,0)=(1- λ, λ,0). 2 2 2 2

∴ PQ = OQ - OP =(

1 3 3 1 - λ, λ,- ). 2 2 2 2 1 3 1 - λ=0,λ= . 2 2 3

∵PQ⊥OA,∴ PQ · OA =0,即

∴存在点 Q(

1 AB 3 , ,0)使得 PQ⊥OA 且 =3. 2 AQ 6

(2)记平面 ABC 的法向量为 n=(n1,n2,n3) ,则由 n⊥ CA ,n⊥ AB ,且 CA =(1,

?n1 ? n3 = 0, ? 0,-1) ,得 ? 3 故可取 n=(1, 3 ,1). 3 n2 = 0, ?? n1 + ? 2 2
又平面 OAC 的法向量为 e=(0,1,0) , ∴cos〈n,e〉=

(1, 3 ,1) ? (0,1,0) 3 = . 5 ×1 5 15 . 5

二面角 O-AC-B 的平面角是锐角,记为θ,则 cosθ=

19.(2010 湖北,理 19)已知一条曲线 C 在 y 轴右边,C 上每一点到点 F(1,0)的距 离减去它到 y 轴距离的差都是 1. (1)求曲线 C 的方程; (2)是否存在正数 m,对于过点 M(m,0)且与曲线 C 有两个交点 A,B 的任一直线, 都有 FA · FB <0?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由. 解: (1)设 P(x,y)是曲线 C 上任意一点,那么点 P(x,y)满足:

( x ? 1) 2 + y 2 -x=1(x>0).
化简得 y2=4x(x>0). (2)设过点 M(m,0) m>0)的直线 l 与曲线 C 的交点为 A(x1,y1) B(x2,y2). ( ,

设 l 的方程为 x=ty+m,由 ?

? x = ty + m, ? y = 4x
2

得 y2-4ty-4m=0,Δ=16(t2+m)>0,

于是 ?

? y1 + y2 = 4t , ? y1 y 2 = ?4m.



又 FA =(x1-1,y1) FB =(x2-1,y2). , ( FA · FB <0 ? (x1-1) x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2<0. ②

y2 y y y y 又 x= ,于是不等式②等价于 1 · 2 +y1y2-( 1 + 2 )+1<0 4 4 4 4 4
? ( y1 y2 )2 1 +y1y2- [ y1+y2)2-2y1y2]+1<0. ( 16 4


2

2

2

2

由①式,不等式③等价于 m2-6m+1<4t2. ④ 2 的最小值为 0,所以不等式④对于一切 t 成立等价于 m2-6m+1<0,即 对任意实数 t,4t 3-2 2 <m<3+2 2 . 由此可知,存在正数 m,对于过点 M(m,0)且与曲线 C 有两个交点 A,B 的任一直 线,都有 FA · FB <0,且 m 的取值范围是(3-2 2 ,3+2 2 ). 20.(2010 湖北,理 20)已知数列{an}满足:a1=

1 3(1 + an +1 ) 2(1 + an ) , = ,anan+1<0 2 1 ? an 1 ? an +1

(n≥1);数列{bn}满足:bn=an+12-an2(n≥1). (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)证明:数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列. 解: (1)由题意可知,1-an+12= 令 cn=1-an2,则 cn+1= 又 c1=1-a12= (

2 (1-an2). 3

2 cn. 3
cn=

3 3 2 ,则数列{cn}是首项为 c1= ,公比为 的等比数列,即 4 4 3

3 · 4

2 n-1 ) , 3
故 1-an2= 又 a1=

3 2 3 2 · ( )n-1 ? an2=1- · ( )n-1. 4 3 4 3

1 >0,anan+1<0, 2 3 2 n ?1 ?( ) . 4 3

故 an=(-1)n-1 1 ?

bn=an+12-an2=[1-

3 2 3 2 1 2 · ( )n]-[1- · ( )n-1]= · ( )n-1. 4 3 4 3 4 3

(2)用反证法证明. 假设数列{bn}存在三项 br,bs,bt(r<s<t)按某种顺序成等差数列,由于数列{bn}是首 项为

1 2 ,公比为 的等比数列,于是有 br>bs>bt,则只可能有 2bs=br+bt 成立. 4 3 1 2 1 2 1 2 ∴2· ( )s-1= ( )r-1+ ( )t-1, 4 3 4 3 4 3
两边同乘 3t-121-r,化简得 3t-r+2t-r=2·2s-r3t-s. 由于 r<s<t,∴上式左边为奇数,右边为偶数,故上式不可能成立,导致矛盾. 故数列{bn}中任意三项不可能成等差数列. 21.(2010 湖北,理 21)已知函数 f(x)=ax+

b +c(a>0)的图象在点(1,f(1) )处 x

的切线方程为 y=x-1. (1)用 a 表示出 b,c; (2)若 f(x)≥lnx 在[1,+∞)上恒成立,求 a 的取值范围; (3)证明:1+

1 1 1 n + +…+ >ln(n+1)+ (n≥1). 2 3 n 2(n + 1) ? f (1) = a + b + c = 0, ?b = a ? 1, b ,则有 ? 解得 ? 2 x ? f ′(1) = a ? b = 1, ?c = 1 ? 2a.

解: (1)f′(x)=a-

a ?1 +1-2a. x a ?1 令 g(x)=f(x)-lnx=ax+ +1-2a-lnx,x∈[1,+∞). x a ?1 1 则 g(1)=0,g′(x)=a- 2 x x 1? a a( x ? 1)( x ? ) ax 2 ? x ? (a ? 1) a . = = x2 x2 1 1? a ①当 0<a< 时, >1. 2 a 1? a 若 1<x< ,则 g′(x)<0,g(x)是减函数,所以 g(x)<g(1)=0, a
(2)由(1)知,f(x)=ax+ 即 f(x)<lnx.故 f(x)≥lnx 在[1,+∞)上不恒成立. ②当 a≥

1 1? a 时, ≤1. 2 a

若 x>1,则 g′(x)>0,g(x)是增函数,所以 g(x)>g(1)=0, 即 f(x)>lnx.故当 x≥1 时,f(x)≥lnx.

1 ,+∞). 2 1 (3)证法一:由(2)知:当 a≥ 时,有 f(x)≥lnx(x≥1). 2
综上所述,所求 a 的取值范围为[

1 1 1 ,有 f(x)= (x- )≥lnx(x≥1) , 2 2 x 1 1 且当 x>1 时, (x- )>lnx. 2 x k +1 k +1 1 k +1 k 令 x= ,有 ln < ( ) k k 2 k k +1 1 1 1 = [ (1+ )-(1), ] 2 k k +1 1 1 1 即 ln(k+1)-lnk< ( + ) k=1,2,3, n. , …, 2 k k +1
令 a= 将上述 n 个不等式依次相加得 ln(n+1)<

1 1 1 1 1 +( + +…+ )+ , 2 2 3 n 2(n + 1)

整理得 1+

1 1 1 n + +…+ >ln(n+1)+ . 2 3 n 2(n + 1) 1 <1,不等式成立. 4 1 1 1 k + +…+ >ln(k+1)+ . 2 3 k 2(k + 1)

证法二:用数学归纳法证明. ①当 n=1 时,左边=1,右边=ln2+

②假设 n=k 时,不等式成立,就是 1+

那么 1+

1 1 1 1 k 1 k +2 + +…+ + >ln(k+1)+ + =ln(k+1)+ . 2 3 k k +1 2(k + 1) k + 1 2(k + 1)

1 时,有 f(x)≥lnx(x≥1). 2 1 1 1 令 a= ,有 f(x)= (x- )≥lnx(x≥1). 2 2 x k +2 1 k + 2 k +1 k +2 令 x= ,得: ( )≥ln =ln(k+2)-ln(k+1). k +1 2 k +1 k + 2 k +1
由(2)知:当 a≥ ∴ln(k+1)+

k +2 k +1 ≥ln(k+2)+ . 2(k + 1) 2(k + 2)

∴1+

1 1 1 1 k +1 + +…+ + >ln(k+2)+ . 2 3 k k +1 2(k + 2)

这就是说,当 n=k+1 时,不等式也成立. 根据①和②,可知不等式对任何 n∈N*都成立.


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