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高中数学选修4-4:2.4平摆线与圆的渐开线


平摆线与圆的渐开线 印江一中高二备课组 1、渐开线的定义 探究: 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上,在绳的 外端系上一支铅笔,将绳子拉紧,保持绳子与圆相切 而逐渐展开,那么铅笔会画出一条曲线。 这条曲线的形状怎样?能否求出它的轨迹方程? 动点(笔尖)满足什么几何条件? 设开始时绳子外端(笔尖)位于点A, M B ?, 当外端展开到点M时,因为绳子对圆心角?的一段弧AB ? 的长, 展开后成为切线,所以切线BM的长就是AB 这是动点(笔尖)满足的几何条件。 我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线, 相应的定圆叫做渐开线的基圆。 ? O A 几何画板演示 2、渐开线的参数方程 以基圆圆心O为原点,直线OA为x轴,建立平面 直角坐标系。 y M B 设基圆的半径为r,绳子外端M的坐标为(x,y)。 显然,点M由角 ? 唯一确定。 ? ??? ? 由于向量e1 ? (cos? ,sin ? )是与OB 同方向的单位向量, ? ???? ? 因而向量e2 ? (sin ? , ? cos ? )是与向量BM同方向的单位向量。 ???? ? ? 所以BM ? (r? )e2 ,即 ???? ? BM ? ( x ? r cos ?, y ? r sin ? ) ? r? (sin ?, ? cos ? ) 取?为参数,则点B的坐标为(rcos?,rsin?),从而 ???? ? ???? ? BM ? ( x ? r cos ?, y ? r sin ? ),| BM |? r?. ? O A x 解得 ? x ? r (cos ? ? ? sin ? ) (?是参数)。 ? ? y ? r (sin ? ? ? cos ? ) 这就是圆的渐开线的参数方程。 3、渐开线的参数方程 ? x ? r (cos ? ? ? sin ? ) (?是参数)。 ? ? y ? r (sin ? ? ? cos ? ) y M B ? O A x 渐开线的应用: 在机械工业中,广泛地使用齿轮传递动力。 由于渐开线齿形的齿轮磨损少,传动平稳,制造安装 较为方便,因此大多数齿轮采用这种齿形。 设计加工这种齿轮,需要借助圆的渐开线方程。 平行轴齿轮传动机构(圆柱齿轮传动机构) 直齿 斜齿 齿轮齿条 内齿轮 交错轴齿轮传动机构 斜 齿 蜗杆蜗轮 曲齿 人字齿 相交轴齿轮传动机构(圆锥齿轮传动机构) 直齿 斜齿 曲线齿 准双曲面齿轮 4、摆线的定义 思考: P51 如果在自行车的轮子上喷一个白色印记,那么自行车在笔直 的道路上行使时,白色印记会画出什么样的曲线? 摆线在它与定直线的两个 相邻交点之间的部分叫做一个 上述问题抽象成数学问题就是:当一个圆沿着一 拱。 条定直线无滑动地滚动时,圆周上一个定点的轨迹是 什么? M ? B 同样地,我们先分析圆在滚动过程中,圆周上 的这个动点满足的几何条件。 ? 的长,即OA ? r? 线段OA 的长等于MA 我们把点M的轨迹叫做平摆线,简称摆线,又叫旋轮线。 O A 5、摆线的参数方程 M O ? B A 根据点M满足的几何条件,我们取定直线为X轴,定点M滚动时落在定 直线上的一个位置为原点,建立直角坐标系。设圆的半径为r y M O D ? B C A 所以,摆线的参数方程为: E x x ? r ( ? ? sin ? ), A,圆心在点B。 ? 设开始时定点M 在原点,圆滚动了?角后与x轴相切于点

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