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湖北省武汉市江汉区2015-2016学年八年级数学上学期期末考试试题(含解析) 新人教版

湖北省武汉市江汉区 2015-2016 学年八年级数学上学期期末考试试 题
一、选择题(共 10 小题,每小题 3 分,满分 30 分) 1.下列各图中,不是轴对称图形的是( )

A.

B.

C.

D.

2.给出下列式子: 、



、 + 、9x+

,其中,是分式的有(



A.5 个 B.4 个 C.3 个 D.2 个

3.分式

有意义,则 x 的取值范围是( C.x=2 D.x=﹣2 )



A.x≠2 B.x≠﹣2

4.下列分式从左至右的变形正确的是(

A.

B.

C.

D. )

5.若 x+m 与 x+2 的乘积中不含 x 的一次项,则 m 的值为( A.2 B.1 C.0 D.﹣2 6.下列各式可以写成完全平方式的多项式有( A.x +xy+y
2 2

) D.

B.x ﹣xy+

2

C.x +2xy+4y

2

2

7.边长分别为 a 和 2a 的两个正方形按如图的样式摆放并连线,则图中阴影部分的面积为 ( )

1

A.3a

2

B.

C.2a

2

D.

8.若 xy﹣x+y=0 且 xy≠0,则分式 A. B.xy C.1 D.﹣1

的值为(



9.某次列车平均提速 v 千米/小时,用相同的时间,列车提速前行驶 s 千米,提速后比提速 前多行驶 50 千米,设提速前列车的平均速度为 x 千米/小时,下列方程不正确的是( )

A.

B.x+v=

C.

D.

10.如图,在等腰△ABC 中,AB=AC,∠A=20°,AB 上一点 D 使 AD=BC,过点 D 作 DE∥BC 且 DE=AB,连接 EC,则∠DCE 的度数为( )

A.80° B.70° C.60° D.45°

二、填空题(共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分) 2 2 11.(﹣2x ) = . 12.已知一粒大米的质量约为 0.000021 千克,这个数用科学记数法表示为 .

13.如果分式
2

的值为零,则 x=
2

. .

14.若 x +2(m﹣3)x+16=(x+n) ,则 m=

2

15.如图,△ABC 中,AC=BC,AB=4,∠ACB=90°,以 AB 的中点 D 为圆心 DC 长为半径作 圆 DEF,设∠BDF=α (0°<α <90°),当 α 变化时图中阴影部分的面积为 圆:∠EDF=90°, 圆的面积= ) (

16. 已知△ABD≌△CDB, AD=BD, BE⊥AD 于 E, ∠EBD=20°, 则∠CDE 的度数为



三、解答题(共 8 小题,满分 66 分) 17.分解因式: 2 2 (1)12x ﹣3y 2 2 (2)3ax ﹣6axy+3ay .

18.解方程:



19.求值:x (x﹣1)﹣x(x +x﹣1),其中 x= . 20.如图:在 4×4 的网格中存在线段 AB,每格表示一个单位长度,并构建了平面直角坐标 系. (1)直接写出点 A、B 的坐标:A( , ),B ( , ); (2)请在图中确定点 C(1,﹣2)的位置并连接 AC、BC,则△ABC 是 三角形 (判断其形状); (3)在现在的网格中(包括网格的边界)存在一点 P,点 P 的横纵坐标为整数,连接 PA、 PB 后得到△PAB 为等腰三角形,则满足条件的点 P 有 个.

2

2

3

21.若 x +y =5,xy=2,求下列各式的值; 2 (1)(x+y) = (直接写出结果) (2)x﹣y (3) = (直接写出结果)

2

2

22.小明用 a 小时清点完一批图书的一半,小强加入清点另一半图书的工作,两人合作 小 时清点完另一半图书.设小强单独清点完这批图书需要 x 小时. (1)若 a=3,求小强单独清点完这批图书需要的时间. (2)请用含 a 的代数式表示 x,并说明 a 满足什么条件时 x 的值符合实际意义.

23.已知在△ABC 中,AB=AC,射线 BM、BN 在∠ABC 内部,分别交线段 AC 于点 G、H. (1)如图 1,若∠ABC=60°、∠MBN=30°,作 AE⊥BN 于点 D,分别交 BC、BM 于点 E、F. ①求证:CE=AG; ②若 BF=2AF,连接 CF,求∠CFE 的度数; (2)如图 2,点 E 为 BC 上一点,AE 交 BM 于点 F,连接 CF,若∠BFE=∠BAC=2∠CFE,直接

写出

=



24.在平面直角坐标系中,点 A(0,a)、B(b,0)且 a>|b|. 2 2 (1)若 a、b 满足 a +b ﹣4a﹣2b+5=0.

4

①求 a、b 的值; ②如图 1,在①的条件下,将点 B 在 x 轴上平移,且 b 满足:0<b<2;在第一象限内以 AB 为斜边作等腰 Rt△ABC,请用 b 表示 S 四边形 AOBC,并写出解答过程. (2)若将线段 AB 沿 x 轴向正方向移动 a 个单位得到线段 DE(D 对应 A,E 对应 B)连接 DO, 作 EF⊥DO 于 F,连接 AF、BF. ①如图 2,判断 AF 与 BF 的关系并说明理由; ②若 BF=OA﹣OB,则∠OAF= (直接写出结果).

2015-2016 学年湖北省武汉市江汉区八年级(上)期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(共 10 小题,每小题 3 分,满分 30 分) 1.下列各图中,不是轴对称图形的是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】轴对称图形. 【分析】根据轴对称图形的概念求解. 【解答】解:A、是轴对称图形,故错误; B、是轴对称图形,故错误; C、不是轴对称图形,故正确; D、是轴对称图形,故错误. 故选 C. 【点评】本题考查了轴对称图形的概念:轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分沿对 称轴折叠后可重合.

2.给出下列式子: 、



、 + 、9x+

,其中,是分式的有(



A.5 个 B.4 个 C.3 个 D.2 个 【考点】分式的定义. 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母,如果含有字母则是分式,如果不含有字

5

母则不是分式.

【解答】解:

、 + 的分母中均不含有字母,因此它们是整式,而不是分式.

、 、9x+ ,分母中含有字母,因此是分式. 故选 C. 【点评】本题主要考查分式的定义.在解答此题时要注意分式是形式定义,只要是分母中含 有未知数的式子即为分式.

3.分式

有意义,则 x 的取值范围是(



A.x≠2 B.x≠﹣2 C.x=2 D.x=﹣2 【考点】分式有意义的条件. 【分析】根据分式有意义的条件:分母不等于 0,即可求解. 【解答】解:根据题意得:x﹣2≠0, 解得:x≠2. 故选 A. 【点评】本题主要考查了分式有意义的条件,正确理解条件是解题的关键. 4.下列分式从左至右的变形正确的是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】分式的基本性质. 【分析】根据分式的分子分母都乘以(或除以)同一个不为零的数(或整式),分式的值不 变,可得答案. 【解答】解:A、分子、分母、分式改变其中任意两项的符号,分式的值不变,故 A 正确; B、分子分母加数,分式的值改变,故 B 错误; C、分子除以 y,分母不变,故 C 错误; 2 D、当 c=0 时,分子分母都乘以 c 无意义,故 D 错误. 故选:A. 【点评】本题考查了分式的基本性质,分式的分子分母都乘以(或除以)同一个不为零的数 (或整式),分式的值不变. 5.若 x+m 与 x+2 的乘积中不含 x 的一次项,则 m 的值为( A.2 B.1 C.0 D.﹣2 【考点】多项式乘多项式. )

6

【分析】直接利用多项式乘法去括号,进而得出一次项系数为 0,进而得出答案. 【解答】解:∵x+m 与 x+2 的乘积中不含 x 的一次项, 2 ∴(x+m)(x+2)=x +(2+m)x+2m,中 2+m=0, 故 m=﹣2. 故选:D. 【点评】此题主要考查了多项式乘以多项式,正确去括号计算是解题关键. 6.下列各式可以写成完全平方式的多项式有(
2 2 2 2 2



A.x +xy+y B.x ﹣xy+ C.x +2xy+4y D. 【考点】完全平方式. 【分析】根据完全平方式的结构对各式分析判断后即可求解. 2 2 【解答】解:A、应为 x +2xy+y ,原式不能写成完全平方式,故错误; B、 ,正确; 2 2 C、应为 x +4xy+4y ,原式不能写成完全平方式,故错误; D、应为 ,原式不能写成完全平方式,故错误; 故选:B. 【点评】本题是完全平方公式的应用;两数的平方和,再加上或减去它们积的 2 倍,就构成 了一个完全平方式.注意积的 2 倍. 7.边长分别为 a 和 2a 的两个正方形按如图的样式摆放并连线,则图中阴影部分的面积为 ( )

A.3a B. C.2a D. 【考点】整式的混合运算. 【分析】 结合图形, 发现: 阴影部分的面积=△ABQ 的面积的﹣△BER 的面积, 代入求出即可.

2

2

【解答】解:根据图形可知:

7

阴影部分的面积 S= 2a2a﹣ a a= a , 故选 B. 【点评】此题考查了整式的混合运算的应用,关键是列出求阴影部分面积的式子.

2

8.若 xy﹣x+y=0 且 xy≠0,则分式 A. B.xy C.1 D.﹣1 【考点】分式的化简求值.

的值为(



【分析】首先由 xy﹣x+y=0 得出 xy=x﹣y,进一步整理分式 值即可. 【解答】解:∵xy﹣x+y=0, ∴xy=x﹣y,

=

,整体代换求得数



=

=

=﹣1.

故选:D. 【点评】 此题考查分式的化简求值, 掌握分式的计算方法以及整体代入的思想是解决问题的 关键. 9.某次列车平均提速 v 千米/小时,用相同的时间,列车提速前行驶 s 千米,提速后比提速 前多行驶 50 千米,设提速前列车的平均速度为 x 千米/小时,下列方程不正确的是( )

A.

B.x+v=

C.

D.

【考点】由实际问题抽象出分式方程. 【分析】设提速前列车的平均速度为 x 千米/小时,则提速之后的速度为(x+v)千米/小时, 根据题意可得,相同的时间提速之后比提速之前多走 50 千米,据此列方程. 【解答】解:设提速前列车的平均速度为 x 千米/小时, 由题意得, = . 故选 A. 【点评】 本题考查了由实际问题抽象出分式方程, 解答本题的关键是读懂题意, 设出未知数, 找出合适的等量关系,列出方程. 10.如图,在等腰△ABC 中,AB=AC,∠A=20°,AB 上一点 D 使 AD=BC,过点 D 作 DE∥BC 且 DE=AB,连接 EC,则∠DCE 的度数为( )

8

A.80° B.70° C.60° D.45° 【考点】全等三角形的判定与性质. 【分析】连接 AE .根据 ASA 可证△ADE≌△CBA,根据全等三角形的性质可得 AE=AC , ∠AED=∠BAC=20°,根据等边三角形的判定可得△ACE 是等边三角形,根据等腰三角形的判 定可得△DCE 是等腰三角形,再根据三角形内角和定理和角的和差关系即可求解. 【解答】解:如图所示,连接 AE.

∵AE=DE, ∴∠ADE=∠DAE, ∵DE∥BC, ∴∠DAE=∠ADE=∠B, ∵AB=AC,∠BAC=20°, ∴∠DAE=∠ADE=∠B=∠ACB=80°, 在△ADE 与△CBA 中,

, ∴△ADE≌△CBA(ASA), ∴AE=AC,∠AED=∠BAC=20°, ∵∠CAE=∠DAE﹣∠BAC=80°﹣20°=60°, ∴△ACE 是等边三角形, ∴CE=AC=AE=DE,∠AEC=∠ACE=60°, ∴△DCE 是等腰三角形, ∴∠CDE=∠DCE, ∴∠DEC=∠AEC﹣∠AED=40°, ∴∠DCE=∠CDE=(180﹣40°)÷2=70°. 故选 B. 【点评】考查了等腰三角形的性质,全等三角形的判定和性质,等边三角形的判定和性质, 等腰三角形的判定和性质, 三角形内角和定理, 平行线的性质, 综合性较强, 有一定的难度.

9

二、填空题(共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分) 2 2 4 11.(﹣2x ) = 4x . 【考点】幂的乘方与积的乘方. n n n 【分析】利用(ab) =a b 进行计算. 2 2 4 【解答】解:(﹣2x ) =4x , 4 故答案是 4x . 【点评】解题的关键是把每一个因式分别乘方,再相乘. 12.已知一粒大米的质量约为 0.000021 千克,这个数用科学记数法表示为 2.1×10
﹣5



【考点】科学记数法—表示较小的数. 【专题】计算题. ﹣n 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为 a×10 ,与较大数 的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂, 指数由原数左边起第一个不为零的数字前面 的 0 的个数所决定. ﹣5 【解答】解:0.000 021=2.1×10 . ﹣5 故答案为:2.1×10 . ﹣n 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数,一般形式为 a×10 ,其中 1≤|a|<10,n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定.

13.如果分式

的值为零,则 x= ﹣1 .

【考点】分式的值为零的条件. 【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零.

【解答】解:∵分式
2 2

的值为零,

∴x ﹣1=0 且 x ﹣3x+2≠0. 2 由 x ﹣1=0 得:x=±1. 2 由 x ﹣3x+2≠0x≠1 且 x≠2. ∴x=﹣1. 故答案为:﹣1. 【点评】本题主要考查的是分式值为零的条件,掌握分式值为零的条件是解题的关键.

14.若 x +2(m﹣3)x+16=(x+n) ,则 m= 7 或﹣1 . 【考点】因式分解-运用公式法. 【分析】直接利用完全平方公式得出 n 的值,进而得出 m 的值. 2 2 【解答】解:∵x +2(m﹣3)x+16=(x+n) , ∴n=±4, ∴2(m﹣3)=±8,

2

2

10

解得:m=7 或﹣1. 故答案为:7 或﹣1. 【点评】此题主要考查了公式法因式分解,正确运用完全平方公式是解题关键.

15.如图,△ABC 中,AC=BC,AB=4,∠ACB=90°,以 AB 的中点 D 为圆心 DC 长为半径作 圆 DEF,设∠BDF=α (0°<α <90°),当 α 变化时图中阴影部分的面积为 π ﹣2 ( 圆: ∠EDF=90°, 圆的面积= )

【考点】扇形面积的计算. 【分析】作 DM⊥AC 于 M,DN⊥BC 于 N,构造正方形 DMCN,利用正方形和等腰直角三角形的 性质,通过证明△DMG≌△DNH,把△DHN 补到△DNG 的位置,得到四边形 DGCH 的面积=正方 形 DMCN 的面积,于是得到阴影部分的面积=扇形的面积﹣正方形 DMCN 的面积,即可得出结 果. 【解答】解:作 DM⊥AC 于 M,DN⊥BC 于 N,连接 DC,如图所示: ∵CA=CB,∠ACB=90°, ∴∠A=∠B=45°, DM= AD= AB,DN= BD= ∴DM=DN, ∴四边形 DMCN 是正方形, ∴∠MDN=90°, ∴∠MDG=90°﹣∠GDN, ∵∠EDF=90°, ∴∠NDH=90°﹣∠GDN, ∴∠MDG=∠NDH, AB,

在△DMG 和△DNH 中,



∴△DMG≌△DNH(AAS), ∴四边形 DGCH 的面积=正方形 DMCN 的面积, ∵正方形 DMCN 的面积=DM = AB ,= ×4 =2,
2 2 2

11

∴四边形 DGCH 的面积= AB ,

2

∵扇形 FDE 的面积=

=

=

=π ,

∴阴影部分的面积=扇形面积﹣四边形 DGCH 的面积=π ﹣2, 故答案为:π ﹣2.

【点评】本题主要考查了等腰直角三角形斜边中线的性质,正方形的性质,全等三角形的判 定和性质,能正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键. 16. 已知△ABD≌△CDB, AD=BD, BE⊥AD 于 E, ∠EBD=20°, 则∠CDE 的度数为 125°或 15° . 【考点】全等三角形的性质. 【分析】由直角三角形的性质求出∠BDA 的度数,由等腰三角形的性质和三角形内角和定理 求出∠A=∠ABD=55°, 由全等三角形的性质得出∠CBD=∠BDA=70°, BC=BD, ∠BDC=∠C=55°, 分两种情况,即可得出结果. 【解答】解:∵BE⊥AD 于 E,∠EBD=20°, ∴∠BDA=90°﹣20°=70°, ∵AD=BD,∴∠A=∠ABD=55°, ∵△ABD≌△CDB, ∴∠CBD=∠BDA=70°,BC=BD,∠BDC=∠C=55°, 分两种情况: ①如图 1 所示:∠CDE=70°+55°=125°; ②如图 2 所示:∠CDE=70°﹣55°=15°; 综上所述:∠CDE 的度数为 125°或 15°; 故答案为:125°或 15°.

12

【点评】本题考查了全等三角形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内 角和定理;根据题意画出图形,分两种情况讨论是解决问题的关键. 三、解答题(共 8 小题,满分 66 分) 17.分解因式: 2 2 (1)12x ﹣3y 2 2 (2)3ax ﹣6axy+3ay . 【考点】提公因式法与公式法的综合运用. 【分析】(1)首先提取公因式 3,再利用平方差公式分解因式即可; (2)首先提取公因式 3,再利用完全平方公式分解因式即可. 2 2 【解答】解:(1)12x ﹣3y 2 2 =3(4x ﹣y ) =3(2x﹣y)(2x+y); (2)3ax ﹣6axy+3ay 2 2 =3a(x ﹣2xy+y ) 2 =3a(x﹣y) . 【点评】 此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式, 正确应用乘法公式是解题关键.
2 2

18.解方程:



【考点】解分式方程. 【专题】计算题. 【分析】方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到 x 的值,经检验即可得到分式 方程的解. 2 【解答】解:去分母得:6(2x+1)(x+6)=5x +5x, 2 整理得:7x +73x+36=0,

解得:x=



经检验 x=

是分式方程的解.

【点评】此题考查了解分式方程,解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化 为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根.

19.求值:x (x﹣1)﹣x(x +x﹣1),其中 x= . 【考点】整式的混合运算—化简求值. 【分析】先去括号,然后合并同类项,在将 x 的值代入即可得出答案. 3 2 3 2 2 【解答】解:原式=x ﹣x ﹣x ﹣x +x=﹣2x +x,

2

2

13

将 x= 代入得:原式=0. 故答案为:0. 【点评】本题考查了整式的混合运算化简求值,是比较热点的一类题目,但难度不大,要注 意细心运算. 20.如图:在 4×4 的网格中存在线段 AB,每格表示一个单位长度,并构建了平面直角坐标 系. (1)直接写出点 A、B 的坐标:A( 0 , 1 ),B( ﹣1 , ﹣1 ); (2)请在图中确定点 C(1,﹣2)的位置并连接 AC、BC,则△ABC 是 等腰直角 三角形 (判断其形状); (3)在现在的网格中(包括网格的边界)存在一点 P,点 P 的横纵坐标为整数,连接 PA、 PB 后得到△PAB 为等腰三角形,则满足条件的点 P 有 8 个.

【考点】等腰三角形的判定;坐标与图形性质;等腰直角三角形. 【分析】(1)根据平面直角坐标系可直接写出 A、B 的坐标; 2 2 2 (2)画出图形,利用勾股定理计算出 AB 、CB 、AC ,再利用逆定理证明△ACB 是等腰直角 三角形; (3)分别以 A、B 为圆心,AB 长为半径画圆可得 P 的位置及个数. 【解答】解:(1)根据平面直角坐标系可得 A(0,1),B(﹣1,﹣1), 故答案为:0;1;﹣1;﹣1; (2)∵AB =1 +2 =5,CB =1 +2 =5,AC =1 +3 =10, 2 2 2 ∴AB +BC =AC , ∴△ACB 是等腰直角三角形, 故答案为:等腰直角; (3)如图所示:
2 2 2 2 2 2 2 2 2

14

, 满足条件的点 P 有 8 个, 故答案为:8.

【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定,以及平面直角坐标系中点的坐标,勾股定理和 逆定理,关键是掌握两边相等的三角形是等腰三角形. 21.若 x +y =5,xy=2,求下列各式的值; 2 (1)(x+y) = 9 (直接写出结果) (2)x﹣y (3) = ± (直接写出结果) 【考点】分式的化简求值;完全平方公式. 【分析】(1)原式利用完全平方公式展开,将已知的数值代入计算即可; (2)所求式子利用完全平方公式变形,进一步开方求得答案即可; (3)由(1)(2)求出 x+y 与 x﹣y 的值,原式计算化简后,将各自的数值代入计算即可. 【解答】解:(1)(x+y) =x +2xy+y =5+2×2=9; (2)x﹣y=± =± =± =±1;
2 2 2 2 2

(3)∵x+y=±3,x﹣y=±1,xy=2,



=

=± .

15

故答案为:9,± . 【点评】 此题考查分式的化简求值, 掌握完全平方公式和整体代入的思想是解决问题的关键.

22.小明用 a 小时清点完一批图书的一半,小强加入清点另一半图书的工作,两人合作 小 时清点完另一半图书.设小强单独清点完这批图书需要 x 小时. (1)若 a=3,求小强单独清点完这批图书需要的时间. (2)请用含 a 的代数式表示 x,并说明 a 满足什么条件时 x 的值符合实际意义. 【考点】分式方程的应用. 【分析】(1)设小强单独清点这批图书需要的时间是 x 小时,根据“小明 3 小时清点完一 批图书的一半”和“两人合作 小时清点完另一半图书”列出方程,求出 x 的值,再进行检 验,即可得出答案; (2)根据小明完成的工作量加上两人合作完成的工作量为 1,列出方程解答即可. 【解答】解:(1)设小强单独清点完这批图书需要 x 小时,由题意得 +( + )× =1, 解得:x=4, 经检验 x=4 是原分式方程的解. 答:小强单独清点完这批图书需要 4 小时. (2)由题意得 +( + )× =1,

解得:x=



a> . 所以当 a> 时 x 的值符合实际意义. 【点评】本题考查了分式方程的应用,分析题意,找到关键描述语,找到等量关系:工作总 量=工作效率×工作时间是解决问题的关键. 23.已知在△ABC 中,AB=AC,射线 BM、BN 在∠ABC 内部,分别交线段 AC 于点 G、H. (1)如图 1,若∠ABC=60°、∠MBN=30°,作 AE⊥BN 于点 D,分别交 BC、BM 于点 E、F. ①求证:CE=AG; ②若 BF=2AF,连接 CF,求∠CFE 的度数; (2)如图 2,点 E 为 BC 上一点,AE 交 BM 于点 F,连接 CF,若∠BFE=∠BAC=2∠CFE,直接

16

写出

=



【考点】全等三角形的判定与性质. 【分析】(1)①由 AB=AC,∠ABC=60°得到△ABC 为等边三角形,根据等边三角形的性质得 到∠BAC=∠ACB=60°, AB=CA, 求得∠BFD=∠AFG=60°, 推出∠EAC=∠GBA 证得△GBA≌△EAC, 根据全等三角形的性质即可得到结论;②如图 1,取 BF 的中点 K 连接 AK,由 BF=2AF,推出 △FAK 是 等 腰 三 角 形 , 根 据 等 腰 三 角 形 的 性 质 得 到 ∠FAK=∠FKA , 求 得 ,根据全等三角形的性质得到 AG=CE,BG=AE,∠AGB=∠AEC,推出 △GAK≌△EFC,根据全等三角形的性质得到∠CFE=∠AKF 即可得到结论; (2)如图 2,在 BF 上取 BK=AF,连接 AK,推出∠EAC=∠FBA,根据全等三角形的性质得到 S△ABK=S△ACF,∠AKB=∠AFC,证得△FAK 是等腰三角形,根据等腰三角形的性质得到 AF=FK, 即可得到结论. 【解答】解:(1)①∵AB=AC,∠ABC=60° ∴△ABC 为等边三角形, 则∠BAC=∠ACB=60°,AB=CA, ∵AD⊥BN,∠MBN=30°, ∴∠BFD=∠AFG=60°, ∵∠ABF+∠BAF=60°, ∠BAF+∠EAC=60° ∴∠EAC=∠GBA 在△GBA 与△EAC 中,

, ∴△GBA≌△EAC, ∴CE=AG; ②如图 1,取 BF 的中点 K 连接 AK, ∵BF=2AF, ∴AF=BK=FK= BF, ∴△FAK 是等腰三角形, ∴∠FAK=∠FKA, ∵∠BFD=∠FAK+∠FKA=2∠AKF,

17

∵∠BFD=60°, ∴ , ∵△GBA≌△EAC, ∴AG=CE,BG=AE,∠AGB=∠AEC, ∴KG=BG﹣BK=AE﹣AF=FE, 在△GAK 与△EFC 中,

, ∴△GAK≌△EFC, ∴∠CFE=∠AKF, ∴∠CFE=∠AKF=30°; (2)如图 2,在 BF 上取 BK=AF,连接 AK, ∵∠BFE=∠BAF+∠ABF, ∵∠BFE=∠BAC, ∴∠BAF+∠EAC=∠BAF+ABF, ∴∠EAC=∠FBA, 在△ABK 与△ACF 中,

, ∴△ABK≌△AFC, ∴S△ABK=S△ACF,∠AKB=∠AFC, ∵∠BFE=2∠CFE, ∴∠BFE=2∠AKF, ∵∠BFE=2∠AKF=∠AKF+KAF, ∴∠AKF=∠KAF, ∴△FAK 是等腰三角形, ∴AF=FK, ∴BK=AE=FK, ∴S△ABK=S△AFK, ∵S△ABF=S△ABK+S△AFK=2S△ABK=2S△ACF,



= .

故答案为: .

18

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定,等腰三角形的判定和性质,三角形的面积的 计算,正确的作出辅助线是解题的关键. 24.在平面直角坐标系中,点 A(0,a)、B(b,0)且 a>|b|. 2 2 (1)若 a、b 满足 a +b ﹣4a﹣2b+5=0. ①求 a、b 的值; ②如图 1,在①的条件下,将点 B 在 x 轴上平移,且 b 满足:0<b<2;在第一象限内以 AB 为斜边作等腰 Rt△ABC,请用 b 表示 S 四边形 AOBC,并写出解答过程. (2)若将线段 AB 沿 x 轴向正方向移动 a 个单位得到线段 DE(D 对应 A,E 对应 B)连接 DO, 作 EF⊥DO 于 F,连接 AF、BF. ①如图 2,判断 AF 与 BF 的关系并说明理由; ②若 BF=OA﹣OB,则∠OAF= 60° (直接写出结果).

【考点】全等三角形的判定与性质;坐标与图形性质. 2 2 【分析】(1)①化简得(a﹣2) +(b﹣1) =0,根据非负数的性质即可求出 a、b.②利用 S 四边形 AOBC=S△AOB+S△ABC 即可解决. (2)①结论:AF=FB,AF⊥FB,作 FG⊥y 轴,FH⊥x 轴垂足分别为 G、H.,先证明四边形 FHOG 是正方形,然后证明△FGA≌△FHB 得 FA=FB,∠AFG=∠BFH 所以∠AFB=∠GFH=90°.从 而得证. ②由△FGA≌△FHB 得∠FBH=∠OAF,在 RT△FBH 中,求出 cos∠FBH= 【解答】解:(1)①∵a +b ﹣4a﹣2b+5=0,
2 2

的值即可解决.

19

∴(a﹣2) +(b﹣1) =0, ∴a=2,b=1, ②∵A(0,2),B(b,0), ∴AB= ,

2

2

∵△ABC 是等腰直角三角形,

∴BC=

AB=


2 2

∴S 四边形 AOBC=S△AOB+S△ABC= AOBO+ BC = b +b+1,(0<b<2). (2)①结论:FA=FB,FA⊥FB,理由如下: 如图,作 FG⊥y 轴,FH⊥x 轴垂足分别为 G、H. ∵A(0,a)向右平移 a 个单位到 D, ∴点 D 坐标为(a,a),点 E 坐标为(a+b,0), ∴∠DOE=45°, ∵EF⊥OD, ∴∠OFE=90°∠FOE=∠FEO=45°, ∴FO=EF, ∴FH=OH=HE= (a+b), ∴点 F 坐标( , ), ∴FG=FH,四边形 FHOG 是正方形, ∴OG=FH= ,∠GFH=90°,

∴AG=AO﹣OG=a﹣

=

,BH=OH﹣OB=

=



∴AG=BH, 在△FGA 和△FHB 中,

, ∴△FGA≌△FHB, ∴FA=FB,∠AFG=∠BFH, ∴∠AFB=∠GFH=90°. AF⊥BF,AF=BF. ②∵△FGA≌△FHB, ∴∠FBH=∠OAF,

在 RT△BFH 中,∵BF=OA﹣OB=a﹣b,BH=



20

∴cos∠FBH= = , ∴∠FBH=60°, ∴∠OAF=60°. 故答案为 60°.

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、非负数的性质、三角函数等知识, 解题的关键是添加辅助线构造全等三角形,属于中考常考题型.

21


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