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重庆一中2015届高三上学期12月月考数学试卷(文科)

重庆一中 2015 届高三上学期 12 月月考数学试卷(文科)
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 2 1. (5 分)设集合 A={﹣3,﹣2,﹣1,0,1},集合 B={x|x ﹣4=0},则 A∩B=() A.{﹣2} B.{2} C.{﹣2,2} D.? 2. (5 分)函数 y=3sin(3x+ A.
2 2

)﹣3 的最小正周期为() C . 3π D.

B.

3. (5 分)圆 x +y +2x﹣4y=0 的圆心坐标和半径分别是() A.(1,﹣2) ,5 B.(1,﹣2) , C.(﹣1,2) ,5
2

D.(﹣1,2) ,

4. (5 分)己知 a∈R,则“a=±1”是“a ﹣1+(a﹣1)i 为纯虚数”的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 5. (5 分)已知{an}为等差数列,若 a1+a5+a9=π,则 cos(a2+a8)的值为() A. B. C. D.

6. (5 分)登山族为了了解某山高 y(km)与气温 x(°C)之间的关系,随机统计了 4 次山高 与相应的气温,并制作了对照表如下: 0 气温( C) 18 13 10 ﹣1 山高 (km) 24 34 38 64 由表中数据, 得到线性回归方程 =﹣2x+ ( ∈R) , 由此估计山高为 72km 处气温的度数是 () A.﹣10 B . ﹣8
2 a

C . ﹣6

D.﹣4

7. (5 分)已知 0<a<1,则 a 、2 、log2a 的大小关系是() 2 a a 2 2 a A.a >2 >log2a B.2 >a >log2a C.log2a>a >2
3 3 3 3 3 3

D.2 >log2a>a

a

2

8. (5 分)程序框图表示求式子 2 ×5 ×11 ×23 ×47 ×95 的值,则判断框内可以填的条件为()

A.i≤90?

B.i≤100?

C.i≤200? , 且| |=

D.i≤300?

9. (5 分) 已知平面向量 , 的夹角为 ﹣6 ,D 为 BC 中点,则| A.2 B. 4 |=()

, | |=2, 在△ ABC 中, =2 +2 , =2

C. 6

D.8

10. (5 分)已知椭圆 C1:

+

=1(a>b>0)与圆 C2:x +y =b ,若在椭圆 C1 上不存在点

2

2

2

P,使得由点 P 所作的圆 C2 的两条切线互相垂直,则椭圆 C1 的离心率的取值范围是() A.(0, ) B.(0, ) C. [ ,1) D.[ ,1)

二、填空题(本大题有 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 2 11. (5 分)设 x∈[0,4],则 x ≤4 的概率是. 12. (5 分)已知抛物线 y =2px(p>0)的准线与圆 x +y ﹣6x﹣7=0 相切,则 p 的值为. 13. (5 分)某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积为 3,则正视图中的 x=.
2 2 2

14. (5 分)已知 b>0,直线(b +1)x﹣ay+2=0 与直线 x+b y﹣1=0 互相垂直,则 ab 的最小 值为. 15. (5 分)已知函数 f(x)=ax ﹣3x +1,若 f(x)存在唯一的零点 x0,且 x0>0.则 a 的取 值范围是.
3 2

2

2

三、解答题(6 道大题,共 75 分) 16. (13 分)已知函数 f(x)=x﹣1﹣2lnx (1)求曲线 f(x)在点(1,f(x) )处的切线方程; (2)求 f(x)的单调区间. 17. (13 分)某中学共有学生 2000 人,各年级男,女生人数如下表: 一年级 二年级 三年级 女生 373 x y 男生 377 370 z 已知在全校学生中随机抽取 1 名,抽到 2014-2015 学年高二年级女生的概率是 0.19. (1)现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生,问应在 2015 届高三年级抽取多少名? (2)已知 y≥245,z≥245,求 2015 届高三年级中女生比男生多的概率. 18. (13 分)已知数列{an}满足 a1=4,an+1=3an﹣2(n∈N+) (1)求证:数列{an﹣1}为等比数列,并求出数列{an}的通项公式; (2)令 bn=log3(a1﹣1)+log3(a2﹣1)+…+log3(an﹣1) ,求数列{ }的前 n 项和 Tn.

19. (12 分) 己知在锐角△ ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 且 tanC= (Ⅰ)求角 C 大小; 2 2 (Ⅱ)当 c=1 时,求 a +b 的取值范围. 20. (12 分)如图所示四棱锥 E﹣ABCD 中,四边形 ABCD 为正方形,AE⊥平面 CDB,且 AR=3, AB=6. (1)求证:AB⊥平面 ADE;

(2)求四棱锥 E﹣ABCD 的体积.

21. (12 分)设椭圆 C: A,在 x 轴负半轴上有一点 B,满足 (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率;

的左、右焦点分别为 F1、F2,上顶点为 ,且 AB⊥AF2.

(Ⅱ)若过 A、B、F2 三点的圆恰好与直线 相切,求椭圆 C 的方程; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过右焦点 F2 作斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 交于 M、N 两点,若点 P(m,0)使得以 PM,PN 为邻边的平行四边形是菱形,求 m 的取值范围.

重庆一中 2015 届高三上学期 12 月月考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 2 1. (5 分)设集合 A={﹣3,﹣2,﹣1,0,1},集合 B={x|x ﹣4=0},则 A∩B=() A.{﹣2} B.{2} C.{﹣2,2} D.? 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 2 分析: 先求出方程 x ﹣4=0 的实数根,即求出集合 B,再由交集的运算求出 A∩B. 2 解答: 解:由方程 x ﹣4=0,解得 x=±2,则 B={﹣2,2}, 又集合 A={﹣3,﹣2,﹣1,0,1},所以 A∩B={﹣2}, 故选:A. 点评: 本题考查了交集及其运算,属于基础题.

2. (5 分)函数 y=3sin(3x+

)﹣3 的最小正周期为()

A.

B.

C . 3π

D.

考点: 三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由条件根据 y=Asin(ωx+φ)的周期等于 T= 解答: 解:函数 y=3sin(3x+ ,可得结论. ,

)﹣3 的最小正周期为 T=

故选:B. 点评: 本题主要考查三角函数的周期性及其求法,利用了 y=Asin(ωx+φ)的周期等于 T= ,属于基础题.

3. (5 分)圆 x +y +2x﹣4y=0 的圆心坐标和半径分别是() A.(1,﹣2) ,5 B.(1,﹣2) , C.(﹣1,2) ,5 考点: 圆的标准方程. 专题: 计算题. 分析: 将圆的方程化为标准方程,找出圆心坐标与半径即可.

2

2

D.(﹣1,2) ,

解答: 解:圆的方程化为标准方程为(x+1) +(y﹣2) =5, 则圆心是(﹣1,2) ,半径为 . 故选 D 点评: 此题考查了圆的标准方程,将圆方程化为标准方程是本题的突破点. 4. (5 分)己知 a∈R,则“a=±1”是“a ﹣1+(a﹣1)i 为纯虚数”的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 若 a ﹣1+(a﹣1)i 为纯虚数,可得
2 2

2

2

,解得 a=﹣1.即可判断出.

解答: 解:若 a ﹣1+(a﹣1)i 为纯虚数,则
2

2

,解得 a=﹣1.

∴“a=±1”是“a ﹣1+(a﹣1)i 为纯虚数”必要也不充分条件. 故选:B. 点评: 本题考查了简易逻辑的判定方法、纯虚数的定义,属于基础题. 5. (5 分)已知{an}为等差数列,若 a1+a5+a9=π,则 cos(a2+a8)的值为() A. B. C. D.

考点: 数列的应用. 专题: 计算题. 分析: 先利用等差数列的性质求出 a5= ,进而有 a2+a8= ,再代入所求即可.

解答: 解:因为{an}为等差数列,且 a1+a5+a9=π,由等差数列的性质; 所以有 a5= 所以 a2+a8= , ,故 cos(a2+a8)=﹣

故选 A. 点评: 本题是对等差数列性质以及三角函数值的考查.这一类型题,考查的都是基本功, 是基础题. 6. (5 分)登山族为了了解某山高 y(km)与气温 x(°C)之间的关系,随机统计了 4 次山高 与相应的气温,并制作了对照表如下: 气温( C) 18 山高 (km) 24
0

13 34

10 38

﹣1 64

由表中数据, 得到线性回归方程 =﹣2x+ ( ∈R) , 由此估计山高为 72km 处气温的度数是 () A.﹣10 B . ﹣8 C . ﹣6 D.﹣4

考点: 线性回归方程. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 求出 = 代入,即可求得 x 的估计值. 解答: 解:由题意, = =10, = =40, =10, = =40,代入回归方程,求出 ,将 =72

代入到线性回归方程 =﹣2x+ ,可得 =60, ∴ =﹣2x+60, ∴由 =﹣2x+60=72,可得 x=﹣6, 故选:C. 点评: 本题考查回归方程的运用,考查学生的计算能力,属于基础题. 7. (5 分)已知 0<a<1,则 a 、2 、log2a 的大小关系是() 2 a a 2 2 a A.a >2 >log2a B.2 >a >log2a C.log2a>a >2
2 a

D.2 >log2a>a

a

2

考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据指数函数,幂函数,对数函数的性质分别判断取值范围即可得到结论.

解答: 解:∵0<a<1, ∴0<a <1,1<2 <2,log2a<0, a 2 ∴2 >a >log2a, 故选:B. 点评: 本题主要考查函数值的大小比较,根据指数函数,幂函数,对数函数的性质是解决 本题的关键,比较基础. 8. (5 分)程序框图表示求式子 2 ×5 ×11 ×23 ×47 ×95 的值,则判断框内可以填的条件为()
3 3 3 3 3 3 2 a

A.i≤90?

B.i≤100?

C.i≤200?

D.i≤300?

考点: 循环结构. 专题: 图表型. 分析: 先根据已知循环条件和循环体判定循环的次数,然后根据运行的后输出的结果,从 而得出所求. 解答: 解:根据题意可知该循环体运行情况如下: 第 1 次:s=1×2 ,i=1×2+1=5 3 3 第 2 次:s=2 ×5 ,i=5×2+1=11 3 3 3 第 3 次:s=2 ×5 ×11 ,i=11×2+1=23 3 3 3 3 第 4 次:s=2 ×5 ×11 ×23 ,i=23×2+1=47 3 3 3 3 3 第 5 次:s=2 ×5 ×11 ×23 ×47 ,i=47×2+1=95 3 3 3 3 3 3 第 6 次:s=2 ×5 ×11 ×23 ×47 ×95 ,i=95×2+1=191 3 3 3 3 3 3 因为输出结果是 2 ×5 ×11 ×23 ×47 ×95 的值,结束循环,判断框应该是 i≤100?. 故选 B. 点评: 本题主要考查了循环结构,循环结构有两种形式:当型循环结构和直到型循环结构, 以及周期性的运用,属于基础题.新课改地区 2015 届高考常考题型.也可以利用循环的规律 求解.
3

9. (5 分) 已知平面向量 , 的夹角为 ﹣6 ,D 为 BC 中点,则| A.2 B. 4 |=()

, 且| |=

, | |=2, 在△ ABC 中, =2 +2 , =2

C. 6

D.8

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由已知中平面向量 , 的夹角为 的中点, = =2 ,且| |= ,| |=2,
2

=3,再由 D 为边 BC

,利用平方法可求出 ,且| |=

=4,进而得到答案.

解答: 解:∵平面向量 , 的夹角为 ∴ =| || |cos =3,

,| |=2,

∵由 D 为边 BC 的中点, ∴ ∴ ∴ =
2

=2 ) =4,
2



=(2 =2;

故选:A. 点评: 本题考查了平面向量数量积,向量的模,一般地求向量的模如果没有坐标,可以通 过向量的平方求模.

10. (5 分)已知椭圆 C1:

+

=1(a>b>0)与圆 C2:x +y =b ,若在椭圆 C1 上不存在点

2

2

2

P,使得由点 P 所作的圆 C2 的两条切线互相垂直,则椭圆 C1 的离心率的取值范围是() A.(0, ) B.(0, ) C. [ ,1) D.[ ,1)

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 作出简图,则 > ,则 e= .

解答: 解:由题意,如图 若在椭圆 C1 上不存在点 P,使得由点 P 所作的圆 C2 的两条切线互相垂直, 由∠APO>45°, 即 sin∠APO>sin45°, 即 > ,

则 e= 故选 A.



点评: 本题考查了椭圆的基本性质应用,属于基础题. 二、填空题(本大题有 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. (5 分)设 x∈[0,4],则 x ≤4 的概率是 .
2

考点: 几何概型. 专题: 概率与统计. 分析: 据题意,所有事件构成的是区间,属于几何概型,求出区间长度,利用几何概型概 率公式求出概率. 解答: 解:x 对应的所有结果构成的区间长度是 4﹣0=4, 2 ∵x ≤4,x∈[0,4], ∴0≤x≤2 ∴满足 x ≤4 的 x 构成的区间长度是 2﹣0=2, 由几何概型概率公式得 P= ; 故答案为: 点评: 本题考查几何概型的概率求法,利用几何概型的概率公式求事件的概率关键是明确 基本事件对应的测度是区域长度,还是区域面积或者体积. 12. (5 分)已知抛物线 y =2px(p>0)的准线与圆 x +y ﹣6x﹣7=0 相切,则 p 的值为 2. 考点: 圆与圆锥曲线的综合. 专题: 计算题. 2 2 2 分析: 先表示出准线方程,然后根据抛物线 y =2px(p>0)的准线与圆(x﹣3) +y =16 相 切,可以得到圆心到准线的距离等于半径从而得到 p 的值. 解答: 解:抛物线 y =2px(p>0)的准线方程为 x=﹣ ,
2 2 2 2 2

因为抛物线 y =2px(p>0)的准线与圆(x﹣3) +y =16 相切, 所以 3+ =4,解得 p=2. 故答案为:2 点评: 本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系,理解直线与圆相切时圆心 到直线的距离等于半径. 13. (5 分)某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积为 3,则正视图中的 x=3.

2

2

2

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由三视图可知:该几何体是一个四棱锥,PA⊥底面 ABCD,PA=x,底面是一个上下 边分别为 1,2,高为 2 的直角梯形.据此即可得出答案. 解答: 解:由三视图可知:该几何体是一个四棱锥,PA⊥底面 ABCD,PA=x,底面是一个 上下边分别为 1,2,高为 2 的直角梯形. ∴V= 故答案为 3. =3,解得 x=3,

点评: 由三视图正确恢复原几何体是解题的关键. 14. (5 分)已知 b>0,直线(b +1)x﹣ay+2=0 与直线 x+b y﹣1=0 互相垂直,则 ab 的最小 值为 2. 考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用.
2 2

分析: 利用相互垂直的直线与斜率之间的关系可得 ab =b +1.再利用基本不等式的性质即 可得出. 解答: 解:当 a=0 时,不满足条件,舍去. 当 a≠0,b>0 时,直线(b +1)x﹣ay+2=0 与直线 x+b y﹣1=0 的斜率分别为 ∵两条直线互相垂直, ∴
2 2 2

2

2

,﹣



?(﹣
2

)=﹣1.

化为 ab =b +1. ∴ab= =b+ =2,当且仅当 b=1 时取等号.

∴ab 的最小值为 2. 点评: 本题考查了相互垂直的直线与斜率之间的关系、基本不等式的性质,属于基础题. 15. (5 分)已知函数 f(x)=ax ﹣3x +1,若 f(x)存在唯一的零点 x0,且 x0>0.则 a 的取 值范围是. 考点: 利用导数研究函数的极值;函数零点的判定定理. 专题: 导数的综合应用. 分析: 分类讨论:当 a≥0 时,容易判断出不符合题意;当 a<0 时,求出函数的导数,利用 导数和极值之间的关系转化为求极小值 f( )>0,解出即可. 解答: 解:当 a=0 时,f(x)=﹣3x +1=0,解得 x= 合题意,应舍去; 当 a>0 时,令 f′(x)=3ax ﹣6x=3ax(x﹣ )=0,解得 x=0 或 x= >0,列表如下: x (﹣∞,0) 0 (0, ) ( ,+∞)
2 2 3 2

,函数 f(x)有两个零点,不符

f′(x)+ 0 ﹣ 0 + f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 ∵x→﹣∞,f(x)→﹣∞,而 f(0)=1>0,∴存在 x<0,使得 f(x)=0,不符合条件:f(x) 存在唯一的零点 x0,且 x0>0,应舍去. 当 a<0 时,f′(x)=3ax ﹣6x=3ax(x﹣ )=0,解得 x=0 或 x= <0,列表如下: x (﹣∞, ) ( ,0) 0 (0,+∞)
2

f′(x)﹣ 0 + 0 ﹣ f(x) 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 而 f(0)=1>0,x→+∞时,f(x)→﹣∞,∴存在 x0>0,使得 f(x0)=0,

∵f(x)存在唯一的零点 x0,且 x0>0,∴极小值 f( )=a( ) ﹣3( ) +1>0, 化为 a >4, ∵a<0,∴a<﹣2. 综上可知:a 的取值范围是(﹣∞,﹣2) . 故答案为: (﹣∞,﹣2) . 点评: 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论的思想方法,考查了 推理能力和计算能力,属于难题. 三、解答题(6 道大题,共 75 分) 16. (13 分)已知函数 f(x)=x﹣1﹣2lnx (1)求曲线 f(x)在点(1,f(x) )处的切线方程; (2)求 f(x)的单调区间. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)求出原函数的导函数,得到函数在 x=1 时的导数,再求得 f(1) ,然后利用直 线方程的点斜式得答案; (2)求出导函数的零点,由导函数的零点对定义域分段,由导函数在不同区间段内的符号得 到原函数的单调期间. 解答: 解: (1)由 f(x)=x﹣1﹣2lnx,得 ,则 f′(1)=﹣1,
2

3

2

又 f(1)=1﹣1﹣2ln1=0, ∴曲线 f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程为 y=﹣1×(x﹣1) , 即 x+y﹣1=0; (2)由(1)知 (x>0) ,

当 x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,f(x)为增函数; 当 x∈(0,2)时,f′(x)<0,f(x)为减函数. 点评: 本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,考查了利用导数求函数的单 调区间,是中档题. 17. (13 分)某中学共有学生 2000 人,各年级男,女生人数如下表: 一年级 二年级 三年级 女生 373 x y 男生 377 370 z 已知在全校学生中随机抽取 1 名,抽到 2014-2015 学年高二年级女生的概率是 0.19. (1)现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生,问应在 2015 届高三年级抽取多少名? (2)已知 y≥245,z≥245,求 2015 届高三年级中女生比男生多的概率. 考点: 分层抽样方法;等可能事件的概率. 专题: 计算题. 分析: (1)先根据抽到 2014-2015 学年高二年级女生的概率是 0.19,做出 2014-2015 学年 高二女生的人数,再用全校的人数减去 2014-2015 学年高一和 2014-2015 学年高二的人数,得

到 2015 届高三的人数,全校要抽取 48 人,做出每个个体被抽到的概率,做出 2015 届高三被 抽到的人数. (2)设出 2015 届高三年级女生比男生多的事件为 A,2015 届高三年级女生,男生数记为(y, z) ,因为 y+z=500,且 y,z∈N,列举出基本事件空间包含的基本事件有共 11 个,事件 A 包含 的基本事件数,得到结果. 解答: 解: (1)∵ ,∴x=380

2015 届高三年级人数为 y+z=2000﹣(373+377+380+370)=500 现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生, 应在 2015 届高三年级抽取的人数为 (名) .

(2)设 2015 届高三年级女生比男生多的事件为 A,2015 届高三年级女生, 男生数记为(y,z) ,由(2)知 y+z=500,且 y,z∈N, 基本事件空间包含的基本事件有(245,255) , (246,254) , (247,253) ,┅, (255,245) 共 11 个. 事件 A 包含的基本事件(251,249) , (252,248) , (253,247) , (254,246) , (255,245) 共 5 个. ∴ 点评: 本题考查等可能事件的概率,考查分层抽样,是一个统计的综合题,题目运算量不 大,也没有难理解的知识点,是一个基础题. 18. (13 分)已知数列{an}满足 a1=4,an+1=3an﹣2(n∈N+) (1)求证:数列{an﹣1}为等比数列,并求出数列{an}的通项公式; (2)令 bn=log3(a1﹣1)+log3(a2﹣1)+…+log3(an﹣1) ,求数列{ }的前 n 项和 Tn.

考点: 数列的求和;等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (I)由 an+1=3an﹣2(n∈N+) ,变形为 an+1﹣1=3(an﹣1) ,即可证明. (II)由(I)可得 log3(an﹣1)=n.可得 bn=1+2+…+n= = =2 .利用“裂项求和”即可得出. .可得

解答: (I)证明:∵an+1=3an﹣2(n∈N+) , ∴an+1﹣1=3(an﹣1) , ∴数列{an﹣1}为等比数列,a1﹣1=3. n ∴an﹣1=3 , ∴ .

(II)解:由(I)可得 log3(an﹣1)=n. ∴bn=log3(a1﹣1)+log3(a2﹣1)+…+log3(an﹣1)=1+2+…+n= .



=

=2 }的前 n 项和 Tn=

. +…+

∴数列{ = = .

点评: 本题考查了等比数列的定义、对数的运算性质、“裂项求和”方法,考查了变形能力与 计算能力,属于中档题.

19. (12 分) 己知在锐角△ ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 且 tanC= (Ⅰ)求角 C 大小; 2 2 (Ⅱ)当 c=1 时,求 a +b 的取值范围. 考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 计算题. 分析: (I ) 利用锐角△ ABC 中,sinC= ,求出角 C 的大小. (II)先求得 B+A=150°,根据 B、A 都是锐角求出 A 的范围,由正弦定理得到 a=2sinA, b=2sinB=2sin(A+30°) ,根据 a +b =4+2 2 2 而得到 a +b 的范围.
2 2

sin(2A﹣60°) 及 A 的范围,得(2A﹣60°) ,从

解答: 解: (I )由已知及余弦定理,得 tanC=

=

=



∴sinC= ,故锐角 C=



(II)当 C=1 时,∵B+A=150°,∴B=150°﹣A.由题意得



∴60°<A<90°.由 ∴a +b =4[sin A+sin (A+30°)]=4[ ( cosA﹣ sin2A)]=4+2
2 2 2 2

=2,得 a=2sinA,b=2sinB=2sin(A+30°) , + ]=4[1﹣ cos2A﹣

sin(2A﹣60°) .

∵60°<A<90°,∴(2A﹣60°) . 2 2 ∴7<a +b ≤4+2 . 点评: 本题考查同角三角函数的基本关系,正弦定理得应用,其中判断 sin(2A﹣60°)的取 值范围是本题的难点.

20. (12 分)如图所示四棱锥 E﹣ABCD 中,四边形 ABCD 为正方形,AE⊥平面 CDB,且 AR=3, AB=6. (1)求证:AB⊥平面 ADE; (2)求四棱锥 E﹣ABCD 的体积.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)由已知得 AB⊥CD,CD⊥AD,由此能证明 AB⊥平面 ADB. (2)过点 E 作 EF⊥AD 于 F,过点 B 作 BF⊥AD 于点 F,由此能求出四棱锥 E﹣ABCD 的体 积. 解答: (1)证明:∵AE⊥平面 CDE,CD?平面 CDB, ∴AB⊥CD, 在正方形 ABCD 中,CD⊥AD, ∵AD∩AB=A,∴CD⊥平面 ADB, ∵AB∥CD,∴AB⊥平面 ADB. (2)解:在 Rt△ ADB 中,AB=3,AD=6, ∴DE= =3 ,

过点 E 作 EF⊥AD 于 F, ∵DE= =3 ,过点 B 作 BF⊥AD 于点 F,

∵AB⊥平面 ADB,EF?平面 ADE,∴EF⊥AB, ∵AD∩AB=A,∴EF⊥平面 ABCD, ∵AD?EF=AE?DE, ∴EF= = ,

又正方形 ABCD 的面积 SABCD=36, ∴四棱锥 E﹣ABCD 的体积 V= = =18 .

点评: 本题考查直线与平面垂直的证明,考查四棱锥的体积的求法,解题时要认真审题, 注意空间思维能力的培养.

21. (12 分)设椭圆 C: A,在 x 轴负半轴上有一点 B,满足 (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率;

的左、右焦点分别为 F1、F2,上顶点为 ,且 AB⊥AF2.

(Ⅱ)若过 A、B、F2 三点的圆恰好与直线 相切,求椭圆 C 的方程; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过右焦点 F2 作斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 交于 M、N 两点,若点 P(m,0)使得以 PM,PN 为邻边的平行四边形是菱形,求 m 的取值范围.

考点: 圆与圆锥曲线的综合;直线与圆的位置关系;椭圆的简单性质. 专题: 综合题. 分析: (Ⅰ)由题意知 F1(﹣c,0) ,F2(c,0) ,A(0,b) ,由 的中点,由 AB⊥AF2,知 Rt△ ABF2 中,BF2 =AB +AF2 由此能求出椭圆的离心率. (Ⅱ)由 ,知 , , ,Rt△ ABF2 的外接圆圆心为(﹣
2 2 2

知 F1 为 BF2 ,

,0) ,半径 r=a,所以

,由此能求出椭圆方程.

(Ⅲ)由 F2(1,0) ,l:y=k(x﹣1) ,设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,由
2 2 2 2

,得

(3+4k )x ﹣8k x+4k ﹣12=0,由此能求出 m 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ)由题意知 F1(﹣c,0) ,F2(c,0) ,A(0,b) ∵ AB⊥AF2 ∴Rt△ ABF2 中,BF2 =AB +AF2 又 a =b +c ∴a=2c
2 2 2 2 2 2

知 F1 为 BF2 的中点,



故椭圆的离心率 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 于是 ,

…(3 分) 得 , ,

Rt△ ABF2 的外接圆圆心为(﹣ a,0) ,半径 r=a,

所以 ∴c=1, ,

,解得 a=2,

所求椭圆方程为

…(6 分)

(Ⅲ)由(Ⅱ)知 F2(1,0) ,l:y=k(x﹣1) , 设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) , 由 ,代入得(3+4k )x ﹣8k x+4k ﹣12=0
2 2 2 2





y1+y2=k(x1+x2﹣2)…(8 分)

由于菱形对角线垂直, 则 故 x1+x2﹣2m+k(y1+y2)=0 2 即 x1+x2﹣2m+k (x1+x2﹣2)=0, …(10 分) 由已知条件知 k≠0, ∴



故 m 的取值范围是

.…(12 分)

点评: 本题主要考查椭圆标准方程,简单几何性质,直线与椭圆的位置关系,圆的简单性 质等基础知识.考查运算求解能力,推理论证能力;考查函数与方程思想,化归与转化思想.


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