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高中数学新课标人教A版选修2-1:1.1.3 四种命题间的相互关系 课件(共26张ppt)


1.1.3 四种命题间的相互关系

小故事

路边苦李

古时候有个人叫王戎,7岁那年的某一天和小

伙伴在路边玩,看见一棵李子树上的果实多得把
树枝都快压断了,小伙伴们都跑去摘,只有王戎

站着没动.他说:“李子是苦的,我不吃.”小伙
伴摘来一尝,李子果然苦的没法吃.

小伙伴问王戎:“这就怪了!你又没有吃, 怎么知道李子是苦的啊?”

王戎说:“如果李子是甜的,树长在路边, 李子早就没了!李子现在还那么多,所以 啊,肯定李子是苦的,不好吃!”

下面让我们进入今天的学习

1.明确四种命题的相互关系.(重点)
2.能够判断四种命题的真假.(难点)

3.利用互为逆否命题同真假完成间接证明命题的成立.

探究点1

四种命题之间的关系

四种命题形式: 原命题,逆命题,否命题,逆 否命题 四种命题形式: 若 p , 则 q 原命题: 若 q , 则 p 逆命题: 若┐p , 则┐q 否命题: 若┐q , 则┐p 逆否命题:

符号“¬”叫做否 定符号.“¬p”读 作“非p”,表示p 的否定,即不是p

观察与思考



1. 2. 3. 4.

若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数; 若f(x)是周期函数,则f(x)是正弦函数; 若f(x)不是正弦函数,则f(x)不是周期函数; 若f(x)不是周期函数,则f(x)不是正弦函数.
你能说出其中任意 两个命题之间的关 系吗?

四种命题之间的关系
原命题 若p,则q
互逆

逆命题 若q,则p

互 否
否命题 若﹁p,则﹁q

互 否
逆否命题 若﹁q,则﹁p

互逆

探究点2

四种命题的真假
(真 ) (真 )

看下面的例子:(判断真假) (1)原命题:若x=2或x=3, 则x2-5x+6=0. 逆命题:若x2-5x+6=0, 否命题:若x≠2且x≠3, 则x=2或x=3. 则x2-5x+6≠0.

(真 )
(真 )

逆否命题:若x2-5x+6≠0,则x≠2且x≠3.

(2)原命题:若a > b,

则 ac2>bc2.

(假) (真)

逆命题:若ac2>bc2,则a>b.

否命题:若a≤b,则ac2≤bc2.
逆否命题:若ac2≤bc2,则a≤b.

(真) (假)

一般地,四种命题的真假性,有而且仅有下面 四种情况:
原命题 真
真 假 假

逆命题 真
假 真 假

否命题 真
假 真 假

逆否命题 真
真 假 假

【提升总结】 (1)原命题为真,则其逆否命题一定为真. 但其逆命题、否命题不一定为真. (2)若其逆命题为真,则其否命题一定为真.

但原命题、其逆否命题不一定为真.
比一比 由以上三例及总结我们能发现什么?

解:原命题与其逆否命题同真假.
原命题的逆命题与否命题同真假.

(两个命题为互逆命题或互否命题,
它们的真假性没有关系).

判一判 1.判断下列说法是否正确. (1)一个命题的逆命题为真,它的逆否命题不一定 为真; (对) (2)一个命题的否命题为真,它的逆命题一定为真. (对) (3)一个命题的原命题为假,它的逆命题一定为假. (错) (4)一个命题的逆否命题为假,它的否命题为假. (错)

例1

设原命题是:当c>0时,若a>b,则ac>bc.

写出它的逆命题、否命题、逆否命题.并分别判断它

们的真假.
分析:“当c>0时”是大前提,写其它命题时应该

保留.
原命题的条件是“a>b”,结论是“ac>bc”. 解:逆命题:当c>0时,若ac>bc, 则a>b. 否命题:当c>0时,若a≤b, 则ac≤bc. 逆否命题:当c>0时,若ac≤bc, 则a≤b.

(真) (真)
(真)

例2

若m≤0或n≤0,则m+n≤0.写出其逆命题、

否命题、逆否命题,并分别指出其真假. 分析:搞清四种命题的定义及其关系,注意“且” “或”的否定为“或” “且”.

解:逆命题:若m+n≤0,则m≤0或n≤0.
否命题:若m>0且n>0, 逆否命题:若m+n>0, 则m+n>0. 则m>0且n>0.

(真) (真) (假)

小结:在判断四种命题的真假时,只需判断两 种命题的真假.因为逆命题与否命题真假等价, 逆否命题与原命题真假等价.

例3 证明:若x2+y2=0,则x=y=0. 证明:若x,y中至少有一个不为0,不妨设x≠0, 则x2>0,所以x2+y2 >0,

也就是说x2+y2 ≠0.
因此,原命题的逆否命题为真命题,从而原命题

为真命题.

【提升总结】因为原命题和它的逆否命题有相同的
真假性,所以当直接证明某一命题为真命题有困难
时,可以通过证明它的逆否命题为真命题,来 间接证明原命题为真命题.

在数学的证明中,我们会常常用到一种 方法——反证法. 反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾 来达到肯定命题的结论,完成命题的论证的一种 数学证明方法.

此处是命题的否定,要区别于否命题.

反证法的一般步骤: (1)假设命题的结论不成立 , 即假设结论 的反面成立; (2)从这个假设出发 , 经过推理论证, 得出矛盾; 归谬 反设

(3)由矛盾判定假设不正确 ,
命题的结论正确.

从而肯定
结论

1.设原命题:若a+b≥2,则a,b中至少有一 个不小于1,则原命题与其逆命题的真假情况 是( A ) A.原命题真,逆命题假 B.原命题假,逆命题真 C.原命题与逆命题均为真命题 D.原命题与逆命题均为假命题

2.命题“若a>b,则ac>bc”(这里a,b,c 都是实数)与它的逆命题,否命题、逆否命题 中,真命题的个数为( D ) A .4 B .3 C .2 D .0

3.命题“ 若△ABC不是等腰三角形,则它的任 何两个内角都不相等”的逆否命题是 若△ABC的两个内角相等,则它是等腰三角形 ________________________________________.

它是 真 命题(“真”或“假”).

4. 命题“若q≤1,则x2+2x+q=0有实根”的
2+2x+q =0 无实根,则q>1 若 x 逆否命题是__ _______________ _ .

若x2+2x+q=0有实根,则q≤1 逆命题是_____________________ __ , 它是 真 命题(“ 真 ”或“ 假 ” ).

5.命题“已知a,b为实数,若x2+ax+b≤0有非空 解集,则a2-4b≥0.”写出该命题的逆命题,否命 题,逆否命题,并判断真假.

解:逆命题“已知a,b为实数,若a2-4b≥0,
则x2+ax+b≤0有非空解集”.

否命题“已知a,b为实数,若x2+ax+b≤0
没有非空解集,则a2-4b<0”. 逆否命题“已知a,b为实数,若a2-4b<0, 则x2+ax+b≤0没有非空解集”. 原命题,逆命题,否命题,逆否命题均为 真命题.

6.求证:若一个三角形的两条边不相等,则这两

条边所对的角也不相等.
证明:如果一个三角形的两边所对的角相等, 根据等腰三角形的判定定理,这个三角形是等腰三

角形,且这两条边是等腰三角形的两条腰,也就是
说两条边相等.

这就证明了原命题的逆否命题,表明原命题的
逆否命题是真命题,所以原命题也是真命题.

(1)四种命题的关系; (2)四种命题的真假及其关系; (3)一种方法——反证法.

青年最主要的任务是学习. 朱德


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