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17学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.2复数代数形式的乘除运算学案2_2

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3.2.2 复数代数形式的乘除运算
一、课前准备 1.课时目标 ⑴掌握复数代数形式的乘法与除法的运算法则,会进行乘法与除法运算; ⑵理解共轭复数的概念,并会用它及其性质求解相关问题; ⑶掌握复数的乘法所满足的运算律,并能应用它们熟练地进行的四则运算. 2.基础预探 ⑴设 z1 ? a ? bi,z2 ? c ? di ,则 z1 z2 ? ___________, ⑵ 对 于

z1 ? ___________. z2

z1 , z2 , z3 ? C 有 z1 z2 ? ___________ , ( z1 z2 ) z3 ? ___________ ,

z1 ( z2 ? z3 ) ? ___________.
⑶一般地,当两个复数的实部___________,虚部___________时,这两个复数叫做互为共轭 复数.虚部不为零的两个共轭复数也叫做___________.设 z ? a ?b i ,则 z ? ___________. ⑷已知 z1 , z2 是共轭复数,那么①若 z1 , z2 是共轭虚数,在复平面内, z1 , z2 所对应的点关于 ___________对称;② z1 z2 ? ___________. 二、学习引领 1.乘法运算的解读 复数代数形式的乘法运算也并不繁琐,两个复数相乘,只要按照多项式的乘法进行,并将 i 的平方换成 ?1 ,最后将结果整理成 a ? bi(a, b ? R) 的形式即可. 2.除法运算的解读 复数代数形式的除法运算,要求掌握除法运算的一般规律: 分子分母同乘以分母的共轭复数, 然后分子运用复数代数形式的乘法运算进行化简,而分母则运用 z z = | z |2 进行化简,最后 将结果整理成 a ? bi(a, b ? R) 的形式即可. 3.共轭复数的解读 ⑴共轭复数是复数集中比较重要且具有独特性质的复数, 应注意它的几何特性: 关于是轴对 称;代数特性:实部相等,虚部互为相反数.这正是建立方程组的出发点. ⑵实数 a 的共轭复数仍然是 a 本身,即 z ? C , z ? z ? z ? R ,这是判断一个数是否是实 数的一个准则. 4.复数运算中 i 的周期性: i 三、典例导析 题型一 复数的乘法基本运算
n

4n

? 1,i4n?1 ? i,i4n?2 ? ?1,i4n?3 ? ?i .

1

例 1 计算 ⑴ (1+i)(1 ? i) ? (1+i)2 ; ⑵ (1 ? 2i)(3 ? 4i)(5 ? 6i) ? 4i . 思路导析:解答本题只要熟练运用复数的乘法法则及乘法运算律(乘法公式)即可求解. 解析:⑴ (1+i)(1 ? i) ? (1+i)2

? 12 ? i2 ? (1 ? 2i ? i2 )
? 2 ? 2i .
⑵ (1 ? 2i)(3 ? 4i)(5 ? 6i) ? 4i

? (3 ? 4i ? 6i ? 8i2 )(5 ? 6i) ? 4i
? (?5 ? 10i)(5 ? 6i) ? 4i ? ?25 ? 30i ? 50i ? 60i2 ? 4i
? ?85 ? 16i .
规律总结: 三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算, 混合运 算与实数的运算一样;对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法,用乘法公式更简便, 如平方差公式,完全平方公式等. 【变式练习 1】计算⑴ (1 ? i)2 ; ⑵ (?1 ? 3i)(3 ? 4i) ; 题型二 复数的除法基本运算 例 2 计算 ⑴ (2 ? i) ? (2 ? i) ;⑵

i(2 ? i) . 1 ? 2i

思路导析:熟练掌握除法运算法则,将分母实数化解决本题.

2 ? i (2 ? i)2 5 ? 4i 4 ? 2 2 ? ? 1? i . 解析:⑴ (2 ? i) ? (2 ? i) ? 2?i 2 ?i 5 5
⑵解法一:

i(2 ? i) 2i ? 1 (2i ? 1)(1 ? 2i) ?5 ? ? ? ? ?1 . 1 ? 2i 1 ? 2i 12 ? (2i) 2 5

解法二:

i(2 ? i) 2i ? 1 ?(1 ? 2i) ? ? ? ?1 . 1 ? 2i 1 ? 2i 1 ? 2i

规律总结:进行复数的除法,通常从两方面计算:①运用复数除法法则“分母实数化” ;② 逆(或正)用乘法运算律,整体处理;如 a ? bi ? i(b ? ai) ? ?i( ? b ? ai)= ? (?a ? bi) . 【变式练习 2】计算⑴

i 1? i ;⑵ . 1? i 2?i
2

题型三 共轭复数及应用 例 3 已知复数 x ? x ? 2 ? ( x ? 3x ? 2)i(x ? R) 是 4 ? 20i 的共轭复数,求 x 的值.
2

2

思路导析:利用共轭复数的概念:实部相等,虚部互为相反数,建立方程组求解 x 的值.
2 ? ? x ? x ? 2 ? 4, 解析:由题意得, ? 2 解之得 x ? ?3 . ? ? x ? 3 x ? 2 ? 20,

故 x 的值为 ?3 . 规律总结: 对于共轭复数及应用型问题, 通常抓住共轭复数的代数特征, 建立方程进行求解. 【变式练习 3】若 x ? 2 ? yi 和 3x ? i 互为共轭复数,则实数 x, y 的值为() (A)3,3 (B)5,1 (C) ?1, ?1 题型四 简单的复数方程 例 4 证明:在复数范围内,方程 z ? (1 ? i) z ? (1 ? i) z ?
2

(D) ?1,1

5 ? 5i ( i 为虚数单位)无解. 2?i

思路导析:利用复数相等将复数方程转化为实数方程组进行证明. 证明: 原方程化简为 z ? (1 ? i) z ? (1 ? i) z ? 1 ? 3i , 设 z ?x ?y x 则 z ?x ? i (, y ? R ) , y i, 代入上述方程得 x2 ? y 2 ? (2 x ? 2 y)i ? 1 ? 3i , ∴?
2

? x 2 ? y 2 ? 1, ? ?(2 x ? 2 y ) ? ?3,

整理得 8x ? 12 x ? 5 ? 0 .
2

因 ? ? (?12)2 ? 4 ? 8 ? 5 ? ?16 ? 0 ,∴方程无实数解, ∴原方程在复数范围内无解. 规律总结:处理复数方程问题,一般是设出复数 z 的代数形式,利用四则运算整理方程,然 后复数相等的充要条件转化为代数方程组进行求解. 【变式练习 4】已知 z ? C ,解方程 zz ? 3iz ? 1 ? 3i . 四、随堂练习 1. (?1 ? 3i)(1 ? i) 等于() (A) ?2 ? 4i 2.复数 (B) ?2 ? 4i (C) 2 ? 4i (D) 2 ? 4i

1+ 3i 等于( ) 3 ?i
(B) ?i
2 3

(A) i

(C) 3 ? i (D) 3 ? i

3. 1 ? i+i ? i ? (A) ?1 (B) 1

? i 2012 的值为( )
(C) ?i (D) i

4.复数 z 满足 (1 ? 2i) z ? 4 ? 3i ,那么 z ? ___________.

3

5.若 z1 ? a ? 2i,z2 ? 3 ? 4i ,且

z1 为纯虚数,则实数 a 的值为___________. z2

6.若复数 z 同时满足 z ? z ? 2i, z ? iz ( i 为虚数单位) ,求复数 z . 五、课后作业 1.设 a , b 为实数,若复数 (A) a ?

3 1 ,b ? 2 2 2 ? bi (b ? R) 的实部和虚部互为相反数,则 b 的值为() 2.若复数 1+2i 2 2 (A) 2 (B) (C) ? (D)2 3 3 x y 5 ? ? 3.若 z ? x ? yi,(x, y ? R) 满足 ,则 z ? ___________. 1 ? i 1 ? 2i 1 ? 3i
4.定义运 算

1 ? 2i ? 1 ? i ,则( ) . a ? bi 1 3 (B) a ? , b ? (C) a ? 3, b ? 1 (D) a ? 1, b ? 3 2 2

a b c d

? ad ? bc , 则 符 合 条 件

2 z

?1 ? 3 ? 2i 的 复 数 z 的 共 轭 复 数 zi

z?



5.计算:⑴ (1 ? i) ? ?

? 1 (1 ? 2i)2 (2 ? i) 2 3 ? ? i (1 ? i) ? ; ⑵ . ? ? 2 2 ? 3 ? 4i 4 ? 3i ? ?
z 2 均为实数,且复数 ( z ? ai) 在复平面上对应的点在第一象 2?i

6.已知 z 是复数, z ? 2i 与 限,求实数 a 的取值范围. 答案: 基 础 预 探

⑴ (ac ? bd ) ? (ad ? bc)i

ac ? bd bc ? ad ? i(c ? di ? 0) c2 ? d 2 c2 ? d 2
共轭虚数

⑵ z2 z1

z1 ( z2 z3 )
z2 .
2

z1 z2 ? z1 z3 ⑶相等

互为相反数

a ? bi ⑷ 实轴

z1 或

2

变式练习 1.解:⑴ (1 ? i) ? 1 ? 2i ? i ? ?2i ;
2 2

⑵ (?1 ? 3i)(3 ? 4i) ? ?3 ? 4i ? 9i ?12i ? 9 ? 13i .
2

变式练习 2.解:⑴ ⑵

i i(2 ? i) ?1 ? 2i 1 2 ? 2 2 ? ?? ? i; 2?i 2 ?i 5 5 5

1 ? i ?i(1 ? i) ? ? ?i . 1? i 1? i

4

变式练习 3. D 解:x ? 2 ? yi 与 3x ? i 互为共轭复数, ∴? 变 式 练 习 4 . 解 : 设 z ? x ? iy( x , ? y

? x ? 2 ? 3x, ? x ? ?1, 解得 ? 故选 D. ? y ? ?(?1), ? y ? 1.

, ) R则 z? x ? iy , 代 入 原 方 程 得

x2 ? y 2 ? 3 y ? 3xi=1 ? 3i ,
∴?

? x 2 ? y 2 ? 3 y ? 1, ? ?3 x ? 3,

解之得 ?

? x ? ?1, ? x ? ?1, 或? ? y ? 0, ? y ? 3.
8 3

即 z ? ?1 或 z ? ?1 ? 3i . 随堂练习 1 D 2 A 3 B 4 2+i 5

1. 解: (?1 ? 3i)(1 ? i)= ?1+i ?3i ?3i 2 ? 2 ? 4i .

2. 解:

1+ 3i (1+ 3i)( 3+i) 3 ? i+3i ? 3 ? ? ? i. 2 2 4 3 ?i ( 3) ? i
2 3

3. 解: 1 ? i+i ? i ?

? i 2012 ?

1 ? i 2013 1 ? i 4?503+1 1 ? i ? ? ?1. 1? i 1? i 1?i

4.解: z ?

4 ? 3i (4 ? 3i)(1 ? 2i) 10 ? 5i = = ? 2 ? i ,∴ z ? 2 ? i . 1 ? 2i 12 ? (2i) 2 5

5. 解:设

z1 ,∴ z1 ? z2bi ,即 a ? 2i ? 4b ? 3bi , ? bi ( b ? R 且 b ? 0 ) z2

∴?

?a ? 4b, 8 解之得 a ? . 3 ?2 ? 3b, ? x ? yi ? (x ? yi)=2i, 即 ? x ? yi=i(x ? yi),

6 .解:设设 z ? x ? yi(x, y ? R) ,则 z ? x ? yi ,代入原方程得 ?

?2 yi=2i, ? x ? ?1, ∴? 故 z ? ?1 ? i . ? ? x ? yi= ? y ? xi, ? y ? 1.
课后作业:1 A 2 C 3 1.解:∵

26 4

7 4 ? i 5 5

1 ? 2i ? 1 ? i ,∴ 1 ? 2i ? (1 ? i)(a ? bi)=(a ? b) ? (a ? b)i , a ? bi

5

∴?

?a ? b ? 1, 3 1 解之得 a ? , b ? ,故选 A. 2 2 ?a ? b ? 2,
2 ? 2b 4 ? b 2 2 ? bi (2 ? bi)(1 ? 2i) 2 ? 2b 4 ? b ? ,解之得 b ? ? , ? ? ? i ,∴ 2 2 5 5 3 1+2i 1 ? (2i) 5 5 x y 5 1 1 1 ? ? 整理得 ( x ? xi) ? ( y ? 2 yi) ? (1 ? 3i) , 1 ? i 1 ? 2i 1 ? 3i 2 5 2

2.解:∵ 故选 C. 3.解:由

即 (5x ? 2 y) ? (5x ? 4 y)i=5+15i ,∴ ? ∴ z ? ?1 ? 5i ,∴ z ?

?5 x ? 2 y ? 5, 解之得 x ? ?1, y ? 5 . ?5 x ? 4 y ? 15,

26 .

4. 解: 由题意可得 2 zi ? z ? 3 ? 2i , ∴z?

7 4 3 ? 2i (3 ? 2i)(1 ? 2i) 7 4 ? ?? ? i .z ? ? i . 2 2 5 5 1+2i 1 ? (2i) 5 5

5.解:⑴ (1 ? i) ? ?

? 1 ? 1 3 ? 3 ? ? i (1 ? i)=(1 ? i)(1 ? i) ? ? ? ? ? 2 2 ? ? 2 2 i? ? ? ? ? ?

? 1 ? 1 3 ? 3 ? ? (1 ? i 2 ) ? ?? 2 ? 2 i? ? ? 2? ?? 2 ? 2 i? ? ? ?1 ? 3i . ? ? ? ?


(1 ? 2i)2 (2 ? i)2 ( ? 3 ? 4i)(3 ? 4i) (3 ? 4i)(4 ? 3i) ? ? ? 3 ? 4i 4 ? 3i 32 ? (4i)2 42 ? (3i)2
? 7 ? 24i 25i 7 49 ? ? ? i. 25 25 25 25

6.解:设 z ? x ? yi,(x, y ? R) , z ? 2i ? x ? ( y ? 2)i 为实数,∴ y ? ?2 . ∴ z ? x ? 2i .

z x ? 2i 1 1 ? ? (2 x ? 2) ? ( x ? 4)i 为实数, 2?i 2?i 5 5
∴ x ? 4 ,则 z ? 4 ? 2i . ∵ ( z ? ai) ? (12 ? 4a ? a ) ? 8(a ? 2)i 在第一象限,
2 2

∴?

?12 ? 4a ? a 2 ? 0, ?8( a ? 2) ? 0,

解得 2 ? a ? 6 .

故实数 a 的取值范围为 ? 2, 6 ? .

6


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