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【2014必备】北京中国人民大学附中高考数学综合能力题选讲:第06讲 三角函数与三角形(含详解)


数学高考综合能力题选讲 6

三角函数与三角形
题型预测
考试说明中明确要求: 要掌握正、 余弦定理及其推导过程, 并能运用它们来解三角形. 这 一类型的题目在高考中也时有出现.因此,在复习中要重视题型:运用三角恒等变换,三角 函数的图象性质,结合正、余弦定理、三角形的内角和定理来解涉及三角形的问题.

范例选讲 例1 在 ?ABC 中 , 角 A、B、C 所 对 的 边 分 别 为 a、b、c . 若
b ? c ? 2a cos?60? ? C ? ,求角 A .

讲解:解三角形的问题,对于已知条件的变形一般有两种思路:(1)把边 转化为角;(2)把角转化为边.本题中,由于解题目标是求角度,利用正弦定 理,将已知等式中的边转化为角.可得
sin B ? sin C ? 2 sin A ? cos?60? ? C ? .

对上式进行恒等变形时, 应将角 B、 向所求角 A 转化. C 考虑到 A ? B ? C ? ? , 故有 ∴ 又∵ ∴

? s i nA ? C ? ? s i n ? s i n c o C ? 3 s i n s i n , C A s A C
cos A sin C ? sin C ? ? 3 sin A sin C .

sin C ? 0 ,
cos A ? 3 sin A ? 1 ,

?? 1 ? 即 sin? A ? ? ? , 6? 2 ?
2 由 0 ? A ? ? ,可解得 A ? ? . 3

点评 正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式、内角和公 式是解三角形时常用的工具.
例2 在△ABC 中,已知 y ? 2 ? cosC cos? A ? B ? ? cos2 C . (1)若任意交换 A, B, C 的位置, y 的值是否会发生变化?试证明你的结论;

(2)求 y 的最大值. 讲解 (1)看到这样一个问题,我们不要急于交换 A, B, C 的位置,而应该

先想一想:在什么情况下,交换 A, B, C 的位置,不会导致 y 的值改变?答案应该 是明显的, 那就是当这个表达式是关于 A, B, C 的对称关系式时. 基于这样的想法, 我们应该首先对这个表达式进行恒等变形. ∵ y ? 2 ? cosC cos? A ? B ? ? cos2 C
? 2 ? cos? A ? B ? cos? A ? B ? ? cos2 C

? 2?

1 ?cos 2 A ? cos 2B ? ? cos2 C 2 1 ? 2 ? 2 cos2 A ? 1 ? 2 cos2 B ? 1 ? cos2 C 2

?

?

? 3 ? cos2 A ? cos2 B ? cos2 C

? sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ,

∴ 任意交换 A, B, C 的位置, y 的值不会发生变化. (2)如何求出 y 的最大值?从(1)的结论来看,既然 A, B, C 在表达式中的 位置是平等的,那么,我们是否可以做这样的猜想:当 A ? B ? C 时, y 取得最 值. 这样的猜想是否正确?我们可以用特殊值来验证.不难得出结论:猜想可能 是正确的,且 y 所取到的最值应是最大值.接下来的问题是:如何从理论上来证 明这一点?有下面几种不同的处理办法: 法一 将 y 看作是关于 cosC 的二次函数.

y ? 2 ? cosC cos? A ? B ? ? cos2 C
1 1 ? ? ? ?? cos C ? cos? A ? B ?? ? cos2 ? A ? B ? ? 2 . 2 4 ? ?
2

1 2 c o ?A ? B? , 且 c o s ?A ? B? 取 到 最 大 值 1 时 , 也 即 s 2 ? 9 A ? B ? C ? 时, y 取得最大值 . 4 3

所以,当 cos ? C

法二

用调整的方法, 也即对于每个固定的 C 的值,去调整 A, B ,求出 y 取

得最大值时 A, B 所满足的条件.

? 对于 y ? 2 ? co sC co s A ? B ? ? co s2 C ,如果固定 C ,则可将 y 看作是关于

? co s A ? B ? 的一次或常数函数.为了讨论其最大值,显然应该考虑 cosC 的符号,
并由此展开讨论. 若 cosC ? 0 ,则 A ? B ?

?
2

,所以, cos? A ? B ? ? 0 ,所以,

y ? A, B, C ? ? 2 ? cos C cos? A ? B ? ? cos2 C ? 2 ? cos2 C ? 2 ? cos2 ?? ? C ? ? 2 ? cos?? ? C ? ? cos2 ?? ? C ? ?C C? ? 2 ? cos?? ? C ? cos? ? ? ? cos2 ?? ? C ? ?2 2? ?C C ? ? y? , , ? ? C ? ?2 2 ?

所以,只需考虑 cosC ? 0 的情形.此时 y 是关于 cos? A ? B ? 的常数函数或单 调递增的一次函数,因此,最大值必可在 cos? A ? B ? ? 1 (即 A ? B ? 取得.所以,
1? 9 9 ? y ? 2 ? cosC cos? A ? B ? ? cos C ? 2 ? cos C ? cos C ? ?? cos C ? ? ? ? , 2? 4 4 ?
2
2 2

? ?C
2

)时

等号当且仅当 A ? B ? C ? 点评 编者注

时取得. 3 根据已知条件做出合理猜想,常常是探求结论的有效方法.
y ? 2 ? c o C c o ?sA ? B ? ? c o 2 C s s

?

? 2? c oC ? c oC s s
2

2

9 ? 1? 9 ? ?? c o C ? ? ? . s 4 ? 2? 4


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